Einführung in die Geometrie WS10/11

Die Elemente des Euklid
Euklid von Alexandria
lebte ca. 360 v. Chr. bis ca. 280 v. Chr.
systematisierte in 13 Büchern ( Elemente“) das
”
mathematische Wissen der Antike - bis ins 19. Jahrhundert
nach Bibel das am meisten verbreitete Werk der Weltliteratur
stellte die Geometrie in Form einer axiomatischen Theorie dar
Dr. Denis Vogel
Einführung in die Geometrie WS10/11
Die Elemente des Euklid
Die Elemente des Euklid - Papyrus aus Oxyrhynchon, ca.
100 n.Chr.
Dr. Denis Vogel
Einführung in die Geometrie WS10/11
Die Elemente des Euklid
Die Elemente des Euklid - Wilhelm Janß 1618, Amsterdam
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Die Elemente des Euklid
Die Elemente des Euklid - Wilhelm Janß 1618, Amsterdam
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Die Elemente des Euklid
Die Elemente des Euklid - Wilhelm Janß 1618, Amsterdam
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Die Elemente des Euklid
Die Elemente des Euklid - Wilhelm Janß 1618, Amsterdam
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Die Elemente des Euklid
Die Elemente des Euklid - Wilhelm Janß 1618, Amsterdam
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Die Elemente des Euklid
Die Elemente des Euklid - Wilhelm Janß 1618, Amsterdam
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Die Elemente des Euklid
Die Elemente des Euklid - Gliederung von Buch 1
Definitionen
Postulate
Axiome
Propositionen
Dr. Denis Vogel
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Die Elemente des Euklid
23 Definitionen (aus der Übersetzung von C.Thaer, 1933)
1. Ein Punkt ist, was keine Teile hat.
2. Eine Linie breitenlose Länge.
4. Eine gerade Linie (Strecke) ist eine solche, die zu den
Punkten auf ihr gleichmäßig liegt.
8. Ein ebener Winkel ist die Neigung zweier Linien in einer
Ebene gegeneinander, die einander treffen, ohne einander
fortzusetzen.
10. Wenn eine gerade Linie, auf eine gerade Linie gestellt,
einander gleiche Nebenwinkel bildet, dann ist jeder der beiden
gleichen Winkel ein Rechter; und die stehende gerade Linie
heißt senkrecht zu der, auf der sie steht.
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Die Elemente des Euklid
23 Definitionen (aus der Übersetzung von C.Thaer, 1933)
15. Ein Kreis ist eine ebene, von einer einzigen Linie umfaßte
Figur mit der Eigenschaft, dass alle von einem innerhalb der
Figur gelegene Punkte bis zur Linie laufenden Strecken
einander gleich sind.
16. Und Mittelpunkt des Kreises heißt dieser Punkt.
19. Geradlinige Figuren sind solche, die von Strecken umfaßt
werden; dreiseitige die von drei, ...
20. Von den dreiseitigen Figuren ist ein gleichseitiges Dreieck
jede mit drei gleichen Seiten, ...
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Die Elemente des Euklid
5 Postulate (aus der Übersetzung von C.Thaer, 1933)
Gefordert soll sein:
1. Dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke
ziehen kann,
2. Dass man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend
gerade verlängern kann,
3. Dass man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis
zeichnen kann,
4. Dass alle rechten Winkel einander gleich sind,
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Die Elemente des Euklid
Postulat 5 - Das Parallelenpostulat
5. Und dass, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei
geraden Linien bewirkt, dass innen auf derselben Seite
entstehende Winkel zusammen kleiner als zwei Rechte werden,
dann die zwei geraden Linien bei Verlängerung ins unendliche
sich treffen auf der Seite, auf der die Winkel liegen, die
zusammen kleiner als zwei Rechte sind.
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Die Elemente des Euklid
5 Axiome (aus der Übersetzung von C.Thaer, 1933)
1. Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.
2. Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen
gleich.
3. Wenn von Gleichem Gleiches weggenommen wird, sind die
Reste gleich.
4. Was einander deckt, ist gleich.
5. Das Ganze ist größer als der Teil.
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Die Elemente des Euklid
Proposition 1 (aus der Übersetzung von C.Thaer, 1933)
Über einer gegebenen Strecke ein gleichseitiges Dreieck zu
errichten.
Die gegebene Strecke sei AB. Man soll über der Strecke AB ein
gleichseitiges Dreieck errichten. Mit A als Mittelpunkt und AB als
Abstand zeichne man den Kreis BCD (Postulat 3), ebenso mit B
als Mittelpunkt und BA als Abstand den Kreis ACE . Ferner ziehe
man vom Punkte C , in dem die Kreise einander schneiden, nach
den Punkten A, B die Strecken CA, CB (Postulat 1).
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Die Elemente des Euklid
Proposition 1 (aus der Übersetzung von C.Thaer, 1933)
Über einer gegebenen Strecke ein gleichseitiges Dreieck zu
errichten.
Die gegebene Strecke sei AB. Man soll über der Strecke AB ein
gleichseitiges Dreieck errichten. Mit A als Mittelpunkt und AB als
Abstand zeichne man den Kreis BCD (Postulat 3), ebenso mit B
als Mittelpunkt und BA als Abstand den Kreis ACE . Ferner ziehe
man vom Punkte C , in dem die Kreise einander schneiden, nach
den Punkten A, B die Strecken CA, CB (Postulat 1).
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Die Elemente des Euklid
Proposition 1 (aus der Übersetzung von C.Thaer, 1933)
Über einer gegebenen Strecke ein gleichseitiges Dreieck zu
errichten.
Die gegebene Strecke sei AB. Man soll über der Strecke AB ein
gleichseitiges Dreieck errichten. Mit A als Mittelpunkt und AB als
Abstand zeichne man den Kreis BCD (Postulat 3), ebenso mit B
als Mittelpunkt und BA als Abstand den Kreis ACE . Ferner ziehe
man vom Punkte C , in dem die Kreise einander schneiden, nach
den Punkten A, B die Strecken CA, CB (Postulat 1).
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Die Elemente des Euklid
Proposition 1 (aus der Übersetzung von C.Thaer, 1933)
Über einer gegebenen Strecke ein gleichseitiges Dreieck zu
errichten.
Die gegebene Strecke sei AB. Man soll über der Strecke AB ein
gleichseitiges Dreieck errichten. Mit A als Mittelpunkt und AB als
Abstand zeichne man den Kreis BCD (Postulat 3), ebenso mit B
als Mittelpunkt und BA als Abstand den Kreis ACE . Ferner ziehe
man vom Punkte C , in dem die Kreise einander schneiden, nach
den Punkten A, B die Strecken CA, CB (Postulat 1).
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Einführung in die Geometrie WS10/11
Die Elemente des Euklid
Proposition 1 (aus der Übersetzung von C.Thaer, 1933)
Über einer gegebenen Strecke ein gleichseitiges Dreieck zu
errichten.
Da A Mittelpunkt des Kreises CDB ist, ist AC = AB (Def. 15);
ebenso ist, da Punkt B Mittelpunkt des Kreises CAE ist,
BC = BA. Wie oben bewiesen, ist auch CA = AB, also sind CA
und CB beide = AB. Was aber demselben gleich ist, ist auch
einander gleich (Axiom 1), also ist auch CA = CB; also sind
CA, AB, BC alle drei einander gleich. Also ist das Dreieck ABC
gleichseitig (Def. 20); und es ist über der gegebenen Strecke AB
errichtet - dies hatte man ausführen sollen.
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Die Elemente des Euklid
Proposition 1 (aus der Übersetzung von C.Thaer, 1933)
Über einer gegebenen Strecke ein gleichseitiges Dreieck zu
errichten.
Da A Mittelpunkt des Kreises CDB ist, ist AC = AB (Def. 15);
ebenso ist, da Punkt B Mittelpunkt des Kreises CAE ist,
BC = BA. Wie oben bewiesen, ist auch CA = AB, also sind CA
und CB beide = AB. Was aber demselben gleich ist, ist auch
einander gleich (Axiom 1), also ist auch CA = CB; also sind
CA, AB, BC alle drei einander gleich. Also ist das Dreieck ABC
gleichseitig (Def. 20); und es ist über der gegebenen Strecke AB
errichtet - dies hatte man ausführen sollen.
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Die Elemente des Euklid
Kritik am Beweis von Proposition 1
Wieso existiert der Schnittpunkt C der beiden Kreise?
Wieso treffen sich AC und BC nicht schon, bevor sie C
erreichen? (Disput zwischen Zenon von Sidon und
Poseidonios)
Dr. Denis Vogel
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Die Elemente des Euklid
Literatur
Euklid, Die Elemente, Clemens Thaer (Hrsg. und Übs.), Teil 1
(Buch I-III), Teil 2 (Buch IV-VI), Teil 3 (Buch VII-IX), Teil 4
(Buch X), Teil 5 (Buch XI), Teil 6 (Buch XII-XIII), in:
Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Band 235 ff.,
Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 1933, 1935, 1936
und 1937
European Cultural Heritage Online (ECHO)
echo.mpiwg-berlin.mpg.de
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