Euklids Axiome

Sphärische Geometrie
Jetzt geht’s rund!
Modulfest 2010
Miriam Sorgenfrei, Fabio Schlindwein, Janik Prottung
Wundern Sie sich auch...?
...weshalb Flugzeuge auf
der Strecke von
Frankfurt nach L.A. einen
Bogen fliegen und...
...weshalb sie nicht die
scheinbar direkte Strecke
nehmen?
Euklid is out
Euklid von Alexandria
Fachbegriffe
Die Sphäre
ist die Menge aller Punkte des
Raumes, die von O den Abstand r
haben.
r
r o
Großkreis
heißen alle Kreise der Sphäre
mit O als Mittelpunkt. Er ist die
Gerade auf der Kugel.
Fachbegriffe
Der Abstand
zwischen den sphärischen Punkten
A und B entspricht dem kürzeren
Teil der Großkreises durch A und B.
Diametrale Punkte
sind zwei Punkte A und B, zwischen
denen die beiden Großkreisabschnitte genau gleich lang sind.
A
B
A
B
Zweiecke
• zwei verschiedene Geraden
schneiden sich in genau zwei
Punkten auf der Kugel
• Eigenschaften: 2 Ecken, 2 gleiche
Seiten, 2 gleiche Winkel
• zwei Großkreise zerlegen die Kugeloberfläche
in 4 Kugelzweiecke (paarweise kongruent)
Sphärische Dreiecke
• Sphärische Dreiecke sind
Flächenstücke der Sphäre,
die durch drei Großkreisbögen
begrenzt sind
• Durch drei Großkreisbögen können auf der
Sphäre vier verschiedene Dreiecke entstehen
Das Poldreieck
• Spezielles Dreieck auf der Erdoberfläche
• Eine der Ecken liegt
auf dem Nord- oder
Südpol der Erde
• Dient zur Berechnung von Entfernungen
Dreiecksfläche
1
A 
g

h
D2
Dreieck mit drei 90° Winkeln
Axiomatik
Euklids Axiome für die ebene Geometrie:
1.Je zwei verschiedene Punkte sind durch eine
Gerade verbindbar.
2.Jede Gerade ist „unbegrenzt“.
3.Man kann Abstände antragen.
4.Alle rechten Winkel sind gleich.
5.Zwei ebene nicht-parallele Geraden
schneiden sich.
Bedeutung des Parallelenaxioms
• Abänderung des Axioms:
 Es gibt keine Parallelen
• Entstehung der nicht-euklidischen Geometrie
Frankfurt – Los Angeles
Beispiel:
N: Nordpol
Erdradius: 6370 km
(
:
118
,
2

W
,
:
34
,
1

N
)
A: Los Angeles
A
A
(
:
8
,
6

O
,
:
50
,
1

N
)
B: Frankfurt
B
B



Frankfurt – Los Angeles
 

sin(
90



)

sin(
90



)

cos(



)
cos(
l
)

cos(
90


)

cos(
90


)
Ort
B
A
B
A
BA
Die Gleichung mit eingesetzten Werten
cos(
l
)

cos(
90


34,1

)

cos(
90


50,1

)
Ort

sin(
90


34,1

)

sin(
90


50,1

)

cos(
118,2

8,6

)

0
,
112
arccos(
0
,
112
)

83
,
57

Frankfurt – Los Angeles

Berechnung der Stecke mit dem Bogenmaß:
l
83
,
57

Ort
b

2
r


2

637
km


92
,
1
k
360

36

Die Entfernung zwischen Los Angeles und
Frankfurt beträgt ca. 9291,1 km.
Ausblick
Zu der nicht-euklidischen
Geometrie gehören auch
noch andere Geometrien,
wie z. B. die
Hyperbolische Geometrie