Kap. 4 Dynamik ausgedehnter Körper 1. Der starre Körper 2
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Kap. 4 Dynamik ausgedehnter Körper 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Der starre Körper Massenschwerpunkt Bewegung des starren Körpers Trägheitsmoment und Rotationsenergie Rotation und Translation Intertialsysteme und Trägheitskräfte Rotation des Starren Körpers Der Kreisel M. zur Nedden / S. Kowarik Vorlesung 11 Mechanik und Thermodynamik (Physik I) Seite 1 4.1. Der Starre Körper Def.: Starrer Körper System von Massenpunkten fester Relativkoordinaten Homogene Körper ⇔ r ρ( r ) = const. r dm = ρ ( r ) dV r ρ ( r ) = Dichte r M = ∫ ρ ( r ) dV dm dV r r M O Komponenten der Bewegung: 1. Translation: Massenpunkte laufen auf kongruenten Bahnen 2. Rotation: Massenpunkte laufen auf konzentrischen Kreisen M. zur Nedden / S. Kowarik Vorlesung 11 Mechanik und Thermodynamik (Physik I) Seite 2 4.2. Massenmittelpunkt Def.: Massenmittelpunkt (MMP) r r r r ∫ ρ( r ) r dV ∫ r dm R= = r M ∫ ρ(r )dV r r r& Folgerung: Gesamtimpuls P ≡ ∫ dp = ∫ r d m = r& r &r& Bewegungsgl.: P = M R = ∑ Fext d dt r& r ∫ r dm = MR Translationsbewegung: Der MMP bewegt sich wie ein Massenpunkt der Masse M unter dem Einfluss der externen Kräfte. Dieser Teil ist also gewöhnliche Punktmechanik. Dieses Kapitel: Rotationsbewegung um den ruhenden MMP M. zur Nedden / S. Kowarik Vorlesung 11 Mechanik und Thermodynamik (Physik I) Seite 3 4.2. Massenmittelpunkt: Bestimmung . MMP Stabile Lage Mg Experiment: MMP M. zur Nedden / S. Kowarik Vorlesung 11 Mechanik und Thermodynamik (Physik I) Seite 4 4.2. Massenmittelpunkt: Stabilität MMP MMP MMP Mg stabil M. zur Nedden / S. Kowarik Mg labil Mg instabil Vorlesung 11 Mechanik und Thermodynamik (Physik I) Seite 5 4.3. Rotationsenergie r ω Trot = ∫ 12 v 2 d m = 1 2 2 2 2 1 ( ) ω ⋅ r d m = ω r 2 ∫ ⊥ ∫ ⊥dm dm r⊥ Def.: Trägheitsmoment (bezüglich der Drehachse) J = ∫ r⊥2dm [J] = 1kgm 2 Drehachse Folgerung: Trot = 12 J ω 2 M. zur Nedden / S. Kowarik (nicht notwendig um MMP) Vorlesung 11 Mechanik und Thermodynamik (Physik I) Seite 6 4.3. Trägheitsmoment Beispiel: Vollzylinder J VZ = M R 1 2 ( → Tafelrechnung) R 2 Achse z Vergleich: Vollzylinder: Vollkugel: L 0 J VZ = M R J VK = M R 2 1 2 2 5 2 Hohlzylinder: Hohlkugel: J HZ = M R 2 J HK = 23 M R 2 J VK < J VZ < J HK < J HZ 0,4 : 0,5 : 0,667 : 1 M. zur Nedden / S. Kowarik Vorlesung 11 Mechanik und Thermodynamik (Physik I) Seite 7 4.3. Trägheitsmoment Beispiel: „Rollende“ Zylinder M ∆t ω h M Abrollender Faden Zylinder auf schiefer Ebene Energiebilanz ( → Tafelrechnung ) ⇒ M. zur Nedden / S. Kowarik 2 ∆ t HZ = ∆ t VZ 3 Vorlesung 11 Mechanik und Thermodynamik (Physik I) Seite 8 4.3. Trägheitsmoment M Beispiel: Maxwell-Rad Faden 2r Drehachse m Tafelrechnung ⇒ R v(h ) = M M. zur Nedden / S. Kowarik 2g h 1 + 2mMrR2 2 < 2g h h Vorlesung 11 Mechanik und Thermodynamik (Physik I) Seite 9 4.4. Steinerscher Satz r ω Totale kinetische Energie: Rotation um MMP: MMP Trot = 12 J S ω 2 MMP trans Translation von MMP: T (Kreisbewegung um Achse) Rotation um Drehachse: ⇒ MMP = M (Sω) 1 2 2 S Trot = 12 J ω 2 Steinerscher Satz: J = JS + M S Drehachse (nicht um MMP) 2 Es reicht, Drehachsen zu betrachten, die durch den MMP gehen. Die Übersetzung auf parallelverschobene Achsen ist trivial. M. zur Nedden / S. Kowarik Vorlesung 11 Mechanik und Thermodynamik (Physik I) Seite 10 4.5. Drehmoment und Drehimpuls Translation → Masse → Trägheitsmoment m Rotation (bzgl. Drehachse) Geschwindigkeit r v J = ∫ r dm 2 ⊥ → Winkelgeschwindigkeit r r r r ω , v = ω× r Kinetische Energie T = 12 m v 2 M. zur Nedden / S. Kowarik → Rotationsenergie Trot = 12 J ω 2 Vorlesung 11 Mechanik und Thermodynamik (Physik I) Seite 11 4.5. Drehmoment und Drehimpuls Translation → Rotation Impuls → Drehimpuls r r r r r r L = ∫ r × (ω × r )d m = ∑ ri × p i r p p = mv Kraft ( ri r L ω ≡ L ⋅ eω L ω = J ω = J ϕ& → r F Drehmoment Bewegungsgleichung r (ext ) r& p = ∑ Fi i M. zur Nedden / S. Kowarik → ) r r r M = ∑ ri × Fi i r& r (ext ) L = ∑ Mi i Vorlesung 11 Mechanik und Thermodynamik (Physik I) Seite 12 4.5. Bewegungsgleichung r& r (ext ) L = ∑ Mi r Fi i r ri Referenzpunkt Folgerung: Drehimpulserhaltung Wirken keine äußeren Drehmomente auf einen Körper (bzgl. eines Referenzpunktes), bleibt der Drehimpuls (bzgl. des Referenzpunktes) konstant. M. zur Nedden / S. Kowarik Vorlesung 11 Mechanik und Thermodynamik (Physik I) Seite 13
