8.1. Kinetische Theorie der Wärme

8.1. Kinetische Theorie der
Wärme
Definition: Ein ideales Gas ist ein System von „harten”
Massenpunkten, die untereinander und mit den Wänden
elastische Stöße durchführen und keiner anderen
Wechselwirkung unterliegen.
Kinetische Theorie ⇒
Zustandsgleichung:
pV = NkT = Nm v
1
3
2
N = Anzahl der Gasmoleküle in V
m = Masse eines Gasmoleküls
v = statistisch verteilte Geschwindigkeit der Gasmoleküle
→
M. zur Nedden / S. Kowarik
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8.1. Kinetische Theorie der
Wärme
Zustandsgleichung:
pV = NkT = Nm v
1
3
2
Spezialfall: Stoffmenge 1 mol ↔ N = NA
Def.: Allgemeine Gaskonstante R = NAk = 8,31 J K−1 mol−1
Folgerung:
p Vmol = R T
Folgerung: Mittlere kinetische Energie eines Gasmoleküls
W ≡ E kin =
m
2
v 2 = 32 kT
Verallgemeinerung: #Freiheitsgrade der Bewegung = f
W = f2 kT
Ideales Gas: f = 3 Freiheitsgrade der Translation (x,y,z)
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8.1. Spezifische Molwärme
(ideales Gas)
f = #Freiheitsgrade → Translation, Rotation, Schwingung
a) V = const.:
mittlere kin. Energie pro Molekül:
W
⇒ innere Energie:
= f2 kT
U = N A W = f2 RT
Zufuhr der Wärmemenge ∆Q ⇒
∆U = ∆Q = f2 R ⋅ ∆T
Spezifische Molwärme bei konstantem Volumen
CV =
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∆Q
∆T V = const .
= R
f
2
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8.1. Spezifische Molwärme
(ideales Gas)
b) p = const.: p V = R T ⇒ p ∆V = R ∆T
Zufuhr der Wärmemenge ∆Q ⇒
Volumenarbeit des Gases bei
Temperaturänderung
•Änderung der inneren Energie
∆U = f2 R ⋅ ∆T
•Volumenarbeit bei p = const.
p ∆V = R ⋅ ∆T
Energieerhaltung (1. Hauptsatz, s.u.) ⇒
∆Q = ∆U + p ∆V = f2 R ⋅ ∆T + R ⋅ ∆T ≡ C p ⋅ ∆T
CV
Spezifische Molwärme bei konstantem Druck
Cp =
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∆Q
∆T p = const .
= CV + R =
f +2
2
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R
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8.1. Adiabatenindex
c) Definition:
Adiabatenindex
γ ≡ κ ≡
Cp
CV
=
f +2
f
Messung von κ → Messung von f (→ Molekülstruktur des Gases)
zweiatomig
dreiatomig
einatomig
f=3
( Translation )
κ = 5/3
f=3
+2
( Translation )
( Rotation )
κ = 7/5
Schwingungsmoden → erst bei sehr großen T
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f=3
+3
( Translation )
( Rotation )
κ = 8/6
( Quantenmechanik )
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8.1. Spezifische Wärme von
Festkörpern
Schwingungen der Gitteratome: Phononen
Mittlere Energie einer Schwingungsmode:
E = T + V = const.
2
2
1
1
&
T = 2 mx V = 2 Dx
D
x (t ) = A sin (ω t + φ ) ω =
x& (t ) = A ω cos (ω t + φ )
m
x
2
=
1
2
A
2
x&
2
=
1
2
ω 2A
D
m
2
Kristallgitter
⇒
x
⇒
T = 14 mω 2 A 2 = 14 m mD A 2 = 14 DA 2 = V
3 Schwingungsrichtungen ⇒ f = 3 (kinetisch) + 3 (potentiell) = 6
⇒ Regel von Dulong Petit:
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C V = f2 R = 3R
versagt für T → 0K →
Quantenmechanik
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8.1. Einfrieren von
Freiheitsgraden
Gase: Einatomig: f=3, Zweiatomig: f=5
cv = 3R
f
cv = ⋅ R
2
Gleiches Phänomen bei
Festkörper bei tiefen
Temperaturen
Aber: nicht durch klassische
Theorie erklärbar
Abweichung vom Gesetz
Von Dulong-Petit
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8.2. Wärmeleitung und
Diffusion
Statistische Transportphänomene:
• Energietransport ↔
Wärmeleitung
• Massentransport ↔
Diffusion
• Impulstransport ↔
innere Reibung
Voraussetzung: räumliche Variationen von
• Temperatur T
⇒ Wärmetransport
• Dichte ρ
bzw. Konzentration ⇒ Massentransport
r
• Geschwindigkeit v
⇒ Impulstransport
•…
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8.2. Diffusion
Teilchenstrom ∝ Konzentrationsgefälle
Ficksches Gesetz:
⇒
r
r
j = −D ⋅∇n
r
r
j = n v = mittlere Teilchenstromdichte
n = #Teilchen pro Volumen
[D ] = m 2 s − 1
D = Diffusionskonstante
Teilchenanzahl bleibt erhalten
⇒
⇒
Kontinuitätsgleichung:
∂n
∂t
rr
+∇ j = 0
Diffusionsgleichung:
∂n
∂t
− D ⋅∆n = 0
Mikroskopische Theorie ⇒
D =
1
nσ
ρkT
9πm
∝
T
m
( σ = Stoß-Wirkunsquerschnitt der Moleküle, [σ] = m2 )
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8.2. Wärmeleitung
Drei Typen:
• Leitung ohne Massentransport z.B. in Festkörpern
• Elektromagnetische Strahlung (d.h. auch durchs Vakuum)
• Leitung mit Massentransport, Konvektion (Flüssigk., Gase)
Bénard-Zelle
( Konvektionszelle )
Bénard-Instabilität:
Spontane Strukturbildung (
Selbstorganisation )
T2
T1 > T2
T1
schwache Heizung
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starke Heizung
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8.2. Wärmeleitung ohne
Massentransport
r
r
Def.: Wärmestromdichte
: j
dQ
q
= j ⋅ dA
q
dt
r
jq
dQ = Wärmedurchgang pro dt
dA
dA
r
r
jq = − λ∇T
r
jq ∝Temperaturgefälle ⇒
λ = Wärmeleitfähigkeit
Kontinuitätsgleichung:
[λ ] =
1 ∂Q
V ∂t
W K
−1
m
rr
+ ∇ jq = 0
−1
mit
= JK
1 ∂Q
V ∂t
Dichte
⇒
Wärmeleitungsgleichung:
∂T
∂t
−1
− ρcλ ⋅ ∆ T = 0
m
−1
s −1
= ρc
∂T
∂t
spez.
Wärme
Temperaturleitwert
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8.2. Wärmeleitfähigkeit von
Metallen
Spezialfall: Metalle
Freie Leitungselektronen ↔ große elektrische Leitfähigkeit
kleine Masse ↔
v2
groß ↔ große Wärmeleitfähigkeit
Wiedemann-Franz-Gesetz
Empirischer Befund:
Faustregeln:
λ
= const .(T )
σ el
λ Metall >> λ fester Nichtleiter >> λ Flüssigkeit >> λ Gas
λ
ρc Festkörper
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>> ρcλ
Gas
>> ρcλ
Flüssigkeit
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8.2. Wärmeleitfähigkeit von
Metallen
Beispiel: Stationäres Temperaturgefälle im dynamischen Gleichgewicht
T1 = 0°C
T2 = 100°C
L
Kupferstab
(Querschnitt A)
T(x)
Eis
∂T
∂ 2T
= 0 ⇒ 0 = ∆T = 2
∂t
∂x
Randbedingungen
Wärmefluss:
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⇒ T = ax + bx
⇒ T = T1 + T2 L−T1 x
P = A ⋅ jq = − A λ ∂∂ Tx = A λ T1 −LT2
Messe P ⇒ λ
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8.2. Wärmestrahlung
Physik IV ⇒
Stefan-Boltzmann-Strahlungsgesetz
dW
= A ⋅σ ⋅T4
dt
dW
=
dt
elektromagnetische Strahlungsleistung (Wärmestrahlung)
A = Oberfläche
σ = Stefan-Boltzmann-Konstante
Kirchhoffsches Gesetz: σ groß ⇔ Oberfläche ist guter Absorber
Idealer Absorber ↔ idealer schwarzer Körper
⇒
σ = σ max
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π 2k 4
−8
−2 −4
(
)
=
=
5
,
670400
40
⋅
10
W
m
K
3 2
60 h c
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