Kapazität und Induktivität

Kapazität und Induktivität
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Kapazität und Induktivität
Lernziele
In diesem Kapitel lernen Sie
• dass das elektromagnetisches Feld durch die elektrische und die magnetische Feldstärke (in Funktion von Ort und
Zeit) beschrieben wird
• dass das elektromagnetisches Feld Energie, Impuls, Drehimpuls und Entropie speichern und transportieren kann
• dass das elektromagnetische Feld mit einer Kraft auf einen geladenen Körper einwirkt
• wie sich das elektrische Feldstärke eines geladenen Körpers mit der Abstand abschwächt
• wie die magnetische Feldstärke mit dem Abstand zu einem langen, geraden, stromdurchflossenen Draht abnimmt
• wie die Spannung im homogenen elektrischen Feld mit der Feldstärke zusammenhängt
• wie man die Ladung und die Energie eines Kondensators berechnet
• wie Stromstärke und Spannung bei der Induktivität zusammen hängen
• wie die Energie einer stromdurchflossenen Spule berechnet wird
• wie sich bei einem RC-Glied die Spannung über dem Kondensator in der Zeit ändert
• wie sich bei einem CL-Glied die Spannung über dem Kondensator in der Zeit ändert
elektromagnetisches Feld
• Video 15:25 [1]
Elektrische Felder (Feldstärke E) und magnetische Felder (Feldstärke B) wirken mit einer Kraft FL auf elektrisch
geladene Körper (Ladung Q) ein
Das elektrische Feld beschleunigt einen geladenen Körper in Feldrichtung (positive Ladung) oder gegen die
Feldrichtung (negative Ladung). Die Kraftwirkung des Magnetfeldes steht normal zur Ebene, die von der
Geschwindigkeit und der magnetischen Feldstärke aufgespannt wird. Bewegt sich der Körper parallel zu den
magnetischen Feldvektoren (Feldlinien), wirkt keine Kraft. Das Kraftgesetz legt auch die Einheiten für die beiden
Feldstärken fest: Newton pro Coulomb für die elektrsiche Feldstärke und Newton mal Sekunde pro Newton und
Meter. Die Einheit für die magnetische Feldstärke heisst auch Tesla (T).
Ein kleiner, geladener Körper mit der elektrischen Ladung Q0 erzeugt ein radialsymmetrisches Feld der Stärke
wobei
= 8.854 x 10-12 F/m die elektrische Feldkonstante ist. Der Abstand von der
Körpermitte bis zum Punkt, an dem man die Feldstärke misst, wird hier mit r bezeichnet. Bei positiver Ladung
zeigt die Feldstärke vom Körper weg, bei negativer Ladung zum Körper hin.
Ein gerader stromdurchflossener Draht (Stromstärke I0) erzeugt ein magnetisches Wirbelfeld, d.h. die magnetischen
Feldlinien bilden konzentrische Kreise um den Draht herum, wobei die Orientierung der Feldstärkevektoren B der
rechten-Hand-Regel gehorcht. Die Stärke des Magnetfeldes nimmt umgekehrt proportional mit dem Abstand zum
sehr langen Draht ab
wobei
= 4π x 10-7 H/m die magnetische Feldkonstante ist. Der Abstand von der Körpermitte
bis zum Punkt, an dem man die Feldstärke misst, wird hier mit r bezeichnet.
Das Produkt der beiden Feldkonstanten ist gleich dem Reziprokwert der Lichtgeschwindigkeit im Quadrat. In der
Elektrizitätslehre ist die Lichtgeschwindigkeit eine universelle Naturkonstante, was Einstein zu folgendem Postulat
bewogen hat: die Lichtgeschwindigkeit ist in jedem Bezugssystem gleich gross.
Kapazität und Induktivität
Ladung erzeugt ein elektrisches Feld und Strom erzeugt ein magnetisches Feld. Weil Strom und Ladung über die
Bilanz miteinander verknüpft sind, bilden auch das elektrische und das magnetische Feld eine untrennbare Einheit,
das elektromagnetische Feld. Dieses Feld ist wie die "Materie" ein eigenständiges physikalisches System, welches
Energie, Impuls, Drehimpuls und Entropie speichern und transportieren kann.
Das elektrische Feld erzeugt eine Spannung, die im homogenen Feld wie folgt berechnet wird: die Spannung
zwischen zwei Punkten ist gleich Feldstärke mal Abstand gemessen in Feldrichtung. Indem man das elektrische Feld
mit dem Gravitationsfeld vergleicht, kann man diese Berechnungsformel gut verstehen
Gravitationsfeld
elektrisches Feld
Die elektrische Spannung wird durch ein elektrisches Feld erzeugt, das wiederum von einer elektrischen Ladung
aufgebaut wird. Deshalb wird der Draht einer Hochspannungsleitung in einer fünfzigstel Sekunde einmal positiv und
einmal negativ aufgeladen. Dabei entsteht ein starkes elektrisches Feld, das die umgebende Luftmoleküle oft sogar
ionisieren kann. Energie wird aber erst transportiert, wenn gleichzeitig noch ein Strom durch den Leiter fliesst, der
dann ein magnetisches Feld aufbaut. Nach den heutigen Vorstellungen wird die elektrische Energie nicht durch den
Draht sondern durch das elektromagnetischen Feld transportiert.
Der Kondensator
• Video 11:41 [2]
Elektrisch geladene Kugeln speichern entsprechend dem gemessenen Potential Ladung und Energie. Die elektrische
Ladung sitzt auf der Kugeloberfläche, die Energie im elektrischen Feld. Übersetzt man ein System bestehend aus
zwei gegensätzlich geladenen Kugeln ins Flüssigkeitsbild, werden aus den Kugeln zylinderförmige Töpfe mit der
Kapazität als Querschnittfläche und dem Potential als Füllhöhe. Die beiden Töpfe stehen in einem riesigen See drin,
mit dem beliebig viel Ladung ausgetauscht werden kann. Der See, der das Nullniveau für die Füllhöhe festlegt, steht
für die Erde.
Nun gehen wir von ungeladenen Kugeln aus, entnehmen der einen Kugel eine kleine Ladung und führen sie der Erde
zu. Je mehr Ladung wir der Kugel entnommen haben, umso mehr Energie brauchen wir für die nächste
Ladungsmenge. Führen wir der andern Kugel Ladung von der Erde her zu, machen wir die gleiche Erfahrung. Der
Grund für diese Zunahme der Energie können wir direkt dem Flüssigkeitsbild entnehmen: je mehr Ladung ein
Körper enthält, desto höher müssen wir die nächste Ladungsportion, die wir der Erde entnehmen, "pumpen". Beim
negativ geladenen Körper gilt die spiegelbildliche Aussage: je weniger Ladung der Körper enthält, desto höher
müssen wir die nächste Ladungsportion, die wir der Erde zuführen, "pumpen".
Die Analogie geht noch ein Stück weiter. Im Flüssigkeitsbild stellen wir uns eine Flüssigkeit vor, die im Schwerefeld
der Erde gepumpt wird. Bei den elektrisch geladenen Kugeln "pumpen" wir gegen das elektrische Feld. Ersetzt man
die Kugeln durch je zwei sehr grosse Platten, die durch ein Dielektrikum getrennt sind, wird die Analogie
mathematisch noch stimmiger. Dazu verbinden wir die eine Platte mit der Erde. Die Ladung der andern Platte ist
dann die Kondensatorladung, die wir ins Flüssigkeitsbild übertragen. Die nachfolgende Tabelle beschreibt die
Analogie, wobei in der Elektirzitätslehre von einem Plattenkondensator ausgegangen wird.
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Kapazität und Induktivität
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Begriff
Gravitation
Elektrizität
Menge
schwere Masse m (kg)
elektrische Ladung Q(C)
Potential
UG = gh
U = Es
Kapazität
Cm = ρ A/g
C = εrε0A/d
gespeicherte Menge
m = CmUG
Q = CU
gespeicherte Energie W = mU / 2 = C U 2/ 2 = C / (2 m2) W = QU/ 2 = CU2/ 2 = C/ (2 Q2)
G
G
m G
m
E
εr ist eine Zahl grösser 1 und heisst relative Permittivität (auch Dielektrizitätszahl); ε = 8.85 10-12 F/m ist die
elektrische Feldkonstante.
Kapazität und Induktivität
• Video 8:58 [3]
Kapazität und Induktivität sind die beiden Gegenspieler in dynamisch-elektrischen Systemen. Kapazität ist die
zentrale Eigenschaft der Kondensatoren und Induktivität die der (idealen) Spulen. Beide Systeme können Energie
speichern, wobei die Energie beim Kondensator im elektrischen und bei der Spule im magnetischen Feld gespeichert
wird. Die konstitutiven Gesetze für die beiden linearen Systeme lauten
Kapazität
aus
Induktivität
Kapazitäten werden in Farad (F) und Induktivitäten in Henry (H) gemessen. Aus den beiden Definitionsgleichungen
folgt, dass bei Parallelschaltung von Kapazitäten die Einzelkapazität direkt zur Gesamtkapazität und bei
Serieschaltung Reziprok zum Reziprokwert der Gesamtkapazität addiert werden darf. Bei Serieschaltung werden die
Induktivitäten direkt und bei Parallelschaltung reziprok addiert. Induktivitäten behandelt man demnach wie
Widerstände und Kapazitäten wie Leitwerte.
Die kapazitiv gespeicherte Energie ist proportional zur Ladung im Quadrat und die induktiv gespeicherte Energie
proportional zur Stromstärke im Quadrat
Kapazität
Induktivität
Sowohl Farad als auch Henry sind recht grosse Einheiten. Superkondensatoren (Supercaps) können Kapazitäten von
Kilofarad (kF) erreichen, wobei die Spannung nur einige wenige Volt betragen darf.
RC-Glied
• Video 12:00 [4]
Ein geladener Kondensator, der über einen Widerstand entladen wird, kann mit einem gefüllten Topf verglichen
werden, aus dem die Flüssigkeit laminar durch ein horizontal ausgerichtetes Rohr abfliesst. Der elektrische
Stromkreis sei nun so auf Erde geschaltet, dass die eine Seite des Kondensators andauernd das Potential null hat. Die
Kondensatorladung entspricht dann dem Volumen, die Spannung dem Überdruck beim Boden des Topfs und der
Widerstand dem Strömungswiderstand im Abflussrohr. Denkt man sich einen kleinen Drucksensor, der im Topf bis
zum Boden eingetaucht und dann durch das Abflussrohr geführt wird, würde man beim Abtauchen einen
Druckanstieg und längs des Abflussrohres einen Druckabfall bemerken. Genauso verhält es sich beim elektrischen
Analogon. Geht man vom geerdeten Teil des Kondensators aus, steigt das Potential bis zum Maximalwert beim
andern Teil des Kondensators an. Das Potential nimmt dann längs des Widerstandes wieder ab. Der Druck beim
Kapazität und Induktivität
Gefässboden und das Potential auf dem zweiten Teil des Kondensators nehmen infolge des Entladevorgangs ab. Die
Aussage, wonach der hydrostatische Druckaufbau im Topf immer gleich dem Druckabbau im Rohr bzw. die
Spannung über dem Kondensator gleich der Spannung über dem Widerstand ist, bleibt bestehen.
Nun formulieren wir die Bilanzgleichung bezüglich des nicht geerdeten Teils des Kondensators
Das Minuszeichen hängt von der Wahl des "Strompfeils" ab: wenn wir die Stromstärke durch den Widerstand als
positiv annehmen, dann müssen wir diese Stromstärke in der Bilanz negativ einsetzen. Nun ersetzen wir die
Stromstärke durch Spannung geteilt durch Widerstand
und die Kondensatorladung durch die Kapazität mal Spannung
oder
und multiplizieren die Gleichung mit dem Widerstand
Das Produkt aus Widerstand und Spannung hat die Einheit Sekunde. Wir bezeichnen diese Grösse deshalb als
Zeitkonstante mit dem Formelzeichen τ
Damit erhalten wir eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstantem Koeffizienten. Wie man diese
Gleichung löst, lernen Sie später in der Mathematik. Die Lösung dieser Gleichung für die Spannung U
ist einfach zu interpretieren: weil die Spannung gleichzeitig proportional zur Kondensatorladung und über den Strom
proportional zur Änderungsrate dieser Ladung ist, muss der Entladevorgang mit der Zeit immer schwächer werden.
Die Exponentialfunktion hat eine interessante Eigenschaft: würde der Strom so stark fliessen, wie zu Beginn des
Entladevorgangs, wäre der Kondensator nach nur einer Zeitkonstanten vollständig entladen. Im Graphen für die
Spannungs-Zeit-Funktion bedeutet dies, dass die Tangente an die Kurve die Zeitachse nach einer Zeitkonstante
schneidet. Diese Konstruktion funktioniert zu jedem Zeitpunkt. Die eigentliche Spannung ist nach einer
Zeitkonstante auf den e-ten Teil abgesunken.
Dieses einfache System sollten Sie mit wenig Aufwand mit Berkeley Madonna selber modellieren können
(versuchen Sie es!). Sie werden dann erkennen, dass die Rückkopplung im Modell (feedback loop) von der Ladung
über Spannung und Stromstärke zur Änderungsrate der Ladung die eigentliche Differentialgleichung ausmacht.
LC-Glied
• Video 14:18 [5]
Zwei Gefässe, die unterschiedlich hoch mit Wasser gefüllt sind, gleichen ihre Füllhöhe an, sobald man sie
miteinander verbindet. Modelliert man dieses System mit Berkeley Madonna, sieht man, dass sich die beiden
Füllhöhen exponentiell mit der Zeit angleichen, falls das Widerstandsgesetz linear modelliert wird. Verkleinert man
den Widerstand, wird die Zeitkonstante immer kleiner, d.h. der Prozess läuft immer schneller ab. Um eine
Schwingung, wie sie beim U-Rohr zu beobachten ist, zu erzeugen, brauchen wir aber ein weiteres Element, die
Induktivität, d.h. wir müssen die Trägheit der Flüssigkeitssäule dazu nehmen. Ein entsprechendes Modell mit
Berkeley Madonna haben Sie schon oder werden Sie noch im Praktikum erstellen.
Eine analoge Aussage gilt auch in der Elektrizitätslehre: ein Schwingkreis besteht aus Kondensator (Kapazität C,
Einheit Farad F) und Spule (Widersand R, Einheit Ohm und Induktivität L, Einheit Henry). Nun erden wir den einen
Teil des Kondensators und formulieren für den andern Teil die Bilanzgleichung
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Kapazität und Induktivität
Ladung und Stromstärke können wir wie beim RC-Glied durch die Spannung über dem Kondensator und die
Spannung über dem Widerstand ersetzen
Die beiden Spannungen sind aber nicht mehr gleich gross. Zudem stellt sich die Frage, wie wir hier das induktive
Gesetz
einbringen können. Dazu leiten wir die Bilanz nach der Zeit ab, d.h. wir bilden die Änderungsrate
der Bilanzgleichung
ersetzen die Ladung über das kapazitive Gesetz und die Änderungsrate des Stromes über das induktive Gesetz
Damit auf beiden Seiten die gleiche Spannung steht, ersetzen wir die Spannung über der Induktivität durch
Bei der zweiten Umformung ist die Stromstärke über die Bilanz durch die Kapazität ersetzt worden.
Zusammenfassend erhalten wir
Diese Herleitung, die sich stark an der Modellbildung orientiert, müssen Sie nicht bis ins letzte Detail begriffen
haben. Zudem geht man in der Elektrotechnik direkt von der Spannung aus, was die Herleitung vereinfacht. Aber Sie
sollten verstehen, dass ein systemdynamisches Modell, das über zwei "Topfstrukturen" hinweg rückkoppelt,
schwingungsfähig ist und mathematisch zu einer Differentialgleichung zweiter Ordnung führt.
Wie in der Hydraulik soll hier nur die Lösung für den ungedämpften Schwingkreis formuliert werden
wobei ω Kreisfrequenz heisst und um 2π grösser ist als die Frequenz oder der Reziprokwert der Schwingungsdauer
(Periode). Für die Kreisfrequenz findet man
und somit für die Schwingungsdauer
Kontrollfragen
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Mit welchen Einheiten werden Kapazität, Widerstand, Induktivität sowie elektrische Feldstärke gemessen?
Wie bestimmt man mit Hilfe der Kapazität und der Spannung die Kondensatorladung?
Wann misst man über einer Induktivität (ideale Spule) eine Spannung und wie ist die gerichtet?
Wie berechnet man die induktiv gespeicherte Energie einer Spule?
Wie berechnet man die Zeitkonstante bei einem RC-Glied?
Was sagt uns die Zeitkonstante?
Wie berechnet man die Schwingungsdauer eines idealen Schwingkreises (nur Kapazität und Induktivität, kein
Widerstand)?
8. Welche Einheit ergibt sich aus dem Produkt von Ohm und Farad?
9. Welche Einheit ergibt sich aus dem Produkt von Henry und Farad?
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Kapazität und Induktivität
Antworten zu den Kontrollfragen
1. Farad (F), Ohm (Ω), Henry (H), N/C oder V/m
2. Die Ladung auf dem Kondensator ist gleich dem Produkt aus Kapaztität und Spannung (Flüssigkeitsbild).
3. Bei einer Induktivität miss man nur dann eine Spannung, wenn sich die Stromstärke mit der Zeit ändert. Nimmt
der Betrag der Stromstärke zu, verhält sich die Spule wie ein Energieverbraucher (Magnetfeld wird stärker und
nimmt Energie auf). Nimmt der Betrag der Stromstärke ab, verhält sich die Spule wie eine Energielieferant
(Magnetfeld wird schwächer und gibt Energie ab).
4. Die induktiv gespeicherte Energie einer Spule ist gleich Induktivität geteilt durch 2 mal die Stromstärke im
Quadrat.
5. Die Zeitkonstante ist gleich dem Produkt aus Widerstand R und Kapazität C.
6. Die Zeitkonstante sagt uns, nach welcher Zeitspanne sich die Stromstärke oder die Spannung auf den e-ten Teil
abgeschwächt haben. Teilt man die Ladung durch die Zeitkonstante, bekommt man die anfängliche Stärke des
Entladestromes.
7. Die Schwingungsdauer eines idealen Schwingkreises ist gleich zwei mal pi mal die Wurzel aus dem Produkt von
Kapazität und Induktivität.
8. Aus der Berechungsformel für die Zeitkonstante folgt, dass das Produkt aus Ohm und Farad gleich Sekunde sein
muss.
9. Aus der Berechungsformel für die Schwingungsdauer folgt, dass das Produkt aus Henry und Farad gleich
Sekunde im Quadrat sein muss.
Materialien
Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014
Physik und Systemwissenschaft in Aviatik
Quellennachweise
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https:/ / www. youtube. com/ watch?v=j8CgOewfvyU
https:/ / www. youtube. com/ watch?v=rOF2d4m_OL8
https:/ / www. youtube. com/ watch?v=5HradXnglg4
https:/ / www. youtube. com/ watch?v=eR0l2sqv8Zo
https:/ / www. youtube. com/ watch?v=o58Owwv_DL0
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Quelle(n) und Bearbeiter des/der Artikel(s)
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Kapazität und Induktivität Quelle: http://systemdesign.ch/index.php?oldid=11848 Bearbeiter: Admin
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