Geometrie 1 Die Euklidische Ebene

Notizen zur Vorlesung
Geometrie
Wintersemester 10/11
1
apl. Prof. Dr. M. Joachim
Die Euklidische Ebene
§1 Die reellen Zahlen: R Grundrechenarten in R §2 Punkte, Geraden und Abstände: Mengentheoretisches Set-up: Ebene E, Punkt, Familie der Geraden L, Gerade Inzidenzaxiom Beispiel R2 mit Geraden La,b,c (ohne Verifizierung
der Axiome) Bijektion Koordinatensystem für eine Gerade Messlattenaxiom Betragsfunktion in R Definition des Abstandes zwischen zwei Punkten in der Ebene Eigenschaften
der Abstandsfunktion Definition des Abstandes zwischen zwei Punkten im R2 §3 Strecken, Strahlen und das Ebenentrennungsaxiom: Definition von: R liegt zwischen P und Q für Punkte P, Q, R auf einer Geraden Beobachtung 3.1.a: Für je drei verschiedene
Punkte auf einer Geraden gilt, dass genau einer der drei Punkte zwischen den beiden anderen
liegt. Beobachtung 3.1.b: Für je zwei verschiedene Punkte P und Q gibt es einen Punkt, der
←→
auf der Geraden P Q zwischen P und Q liegt. Beobachtung 3.1.c: Für je zwei verschiedene
←→
Punkte P und R gibt es einen Punkt Q auf der Geraden P R, so dass R zwischen P und Q
liegt. Strecke Strahl entgegengesetzer Strahl Kongruenz von Strecken Proposition 3.2
−→
(Abtragung von Strecken): Ist eine Strecke P Q und ein Strahl RS gegeben, so gibt es genau eine
−→
Strecke RS 0 mit RS 0 ∼
= P Q und RS 0 ⊂ RS. konvex Ebenentrennungsaxiom Halbebene Lemma 3.4 (mit Beweis): Sind L und L0 zwei verschiedene Geraden, so besitzen sie höchstens
einen Schnittpunkt. §4 Winkel und das Winkelmaßaxiom: Winkel sich ergänzende Winkel Inneres eines
Winkels Winkelmaßaxiom kongruente Winkel Skalarprodukt im R2 Winkelmaß im R2
rechter Winkel senkrecht aufeinander stehende Geraden Satz 4.1: Zu jedem Punkt P auf
einer Geraden L gibt es genau eine Gerade M mit P ∈ M und M ⊥ L. §5 Dreiecke und SWS-Axiom: Dreieck gleichschenkliges Dreieck Vorliegen einer Kongruenz zwischen Dreiecken kongruente Dreiecke SWS-Axiom gleichseitiges Dreieck der
einer Seite gegenüberliegedne Winkel Satz 5.1 (mit Beweis): Basiswinkelsatz Satz 5.2: WSWKongruenzsatz Satz 5.3: SSS-Kongruenzsatz Satz 5.4: Ist P ein Punkt und L eine Gerade, so
gibt es genau eine Gerade M mit P ∈ M und M ⊥ L (vgl. Satz 4.1). äußerer Winkel zu einem
a
−→
gerichteten Strahl P R in einem Dreieck P QR zu einem äußeren Winkel gehöriger entfernter
Innenwinkel Satz 5.5: Ein äußerer Winkel ist stets größer als die ihm zugehörigen entfernten
Innenwinkel. Satz 5.6: In einem Dreieck gilt: Die Länge einer Seite ist größer als die Länge
einer anderen genau dann, wenn der zur ersten Seite gegenüberliegende Winkel größer ist, als
der der zweiten Seite gegenüberliegende. Satz 5.7: strenge Dreiecksungleichung Korollar
5.8: allgemeine Dreiecksungleichung Satz 5.9: SsW-Kongruenzsatz §6 Das Parallelenaxiom: parallel Proposition 6.1 (mit Beweis): Sind M1 und M2 zwei
Geraden, die beide senkrecht auf einer weiteren Geraden L stehen, so sind M1 und M2 parallel. Proposition 6.2: Es sei L eine Gerade und P ein Punkt. Dann gibt es mindestens eine Gerade L0
mit P ∈ L0 und L ||L0 . Parallelenaxiom Wechselwinkelpaar Proposition 6.3: Es seien zwei
Geraden M1 und M2 und eine weitere Gerade L so gegeben, dass Wechselwinkelpaare entstehen.
Dann haben die beiden Winkel eines zugehörigen Wechselwinkelpaares genau dann das gleiche
Winkelmaß, wenn M1 || M2 . Satz 6.4: In einem Dreieck ist die Summe der Winkelmaße der
Innenwinkel stets 180. Satz 6.5: Satz 6.4 ist äquivalent zum Parallelenaxiom. Lemma 6.6:
Zwei Geraden La,b,c und La0 ,b0 ,c0 im R2 sind parallel genau dann, wenn ab0 = ba0 gilt. Lemma
6.7: Zwei Geraden La,b,c und La0 ,b0 ,c0 im R2 stehen senkrecht aufeinander genau dann, wenn
aa0 + bb0 = 0 gilt. 2
Isometrien der Euklidischen Ebene
§7 Spezielle Isometrien der Euklidischen Ebene: Isometrie identische Abbildung Spiegelung an einer Geraden Spiegelung an einem Punkt Drehung an einem Punkt um ein
gerichtetes Winkelmaß Translation Punktaddition in R2 Skalarmultiplikation im R2 2×2Matrizen, mit den zugehörigen Rechenoperationen die durch eine Matrix bestimmte Abbildung
auf R2 Lemma 10.1: Zwei Translationen τAB und τCD stimmen genau dann überein, wenn
τAB (C) = D gilt. Explizite Beschreibung der speziellen Isometrien durch Koordinaten im R2 ,
jedoch nicht für den Fall der allgemeinen Geradenspiegelung §8 Abbildungseigenschaften
von Isometrien
a
a
a: Lemma 8.1: Ist φ eine Isometrie, so gilt
für jedes Dreieck ABC die Aussage: ABC ≡ φ(A)φ(B)φ(C). a
Korollar 8.2:
Isomea Eine
0
0
trie erhält Winkelmaße. Satz 8.3: Liegt zwischen zwei Dreiecken ABC und A B C 0 eine
Kongruenz vor, so gibt es genau eine Isometrie, so dass φ(A) = A0 , φ(B) = B 0 und φ(C) = C 0 .
Proposition 8.4: Bildet eine Isometrie φ drei nicht-kollineare Punkte identisch ab, so ist φ
die identische Abbildung. Satz 8.5: Bilden zwei Isometrien φ1 und φ2 drei nicht-kollineare
Punkte A, B, C gleich ab (d.h. es gilt φ1 (A) = φ2 (A), φ1 (B) = φ2 (B) und φ1 (C) = φ2 (C)),
so gilt φ1 = φ2 . Proposition 8.6: Eine Translation τAB ist eine Bijektion; ihre Umkehrfunktion ist τBA . Proposition 8.7: Die Drehung am Punkt (0, 0) um ein gerichtetes Winkelmaß
θ ist eine Bijektion; ihre Umkehrfunktion ist die Drehung am Punkt (0, 0) um das gerichtete
Winkelmaß −θ. Proposition 8.8: Jede Spiegelung σL an einer Geraden L ist eine Bijektion;
ihre Umkehrfunktion ist σL . Lemma 8.9 (mit Beweis): Eine Komposition von Isometrien ist
eine Isometrie. Satz 8.10: Jede Isometrie ist eine Bijektion. §9 Algebraische Betrachtungen zur Menge der Isometrien des R2 : Gruppe Satz 9.1:
Die Menge der Isometrien auf R2 mit der Verknüpfung von Isometrien (als Verknüpfung) und
der identischen Abbildung (als neutralem Element) ist eine Gruppe. Untergruppe Untergruppe der Transalationen Untergruppe der orthogonalen Transformationen Satz 9.2: Jede
orthogonale Transformation φ ist von der Form φ = %θ oder φ = %θ ◦ σx−Achse . Beschreibung
einer orthognalen Transformation durch Multiplikation mit einer geeigneten Matrix §10 Symmetrien und Symmetriegruppen: Symmetrie echte Symmetrie Symmetriegruppe Proposition 10.1 (mit Beweis): Für jede Teilmenge S in R2 ist Sym(S) eine
Untergruppe von Isom(R2 ). endliche zyklische Untergruppe Cm zueinander konjugierte
Untergruppen Proposition 10.2: Ist S eine Teilmenge von R2 , ψ ∈ Isom(R2 ) und S 0 = ψ(S),
so sind Sym(S) und Sym(S 0 ) zueinander konjugiert.
Satz 10.3: Jede endliche zyklische
Untergruppe von Isom(R2 ) ist zu einer der Gruppen C1 , C2 , ... oder D1 konjugiert. Dm Satz 10.4: Satz von Leonardo da Vinci 2