Mathematik Trigonometrie Einführung

Mathematik
Trigonometrie
Einführung
Was bedeutet das Wort Trigonometrie und mit was beschäftigt sich die Trigonometrie?
Eine kleine
• tri
• gon
• metrie
Wortkunde:
bedeutet 'drei'
bedeutet 'Winkel'/'Eck'
bedeutet 'Messung'
Beispiel: Triathlon, . . .
Beispiel: Pentagon – das Fünfeck mit 5 Winkeln
Beispiel: Geometrie – die Erdvermessung
Das Wort impliziert also die 'Dreiwinkelmessung' oder allgemein die
'Dreiecksberechnung'.
Während die Planimetrie die Konstruktion eines Dreieckes aus gegebenen Stücken lehrt,
bei der die Genauigkeit der Resultate verhältnismässig gering ist, liefert die
Trigonometrie auf rechnerischem Weg exaktere Ergebnisse.
Erklärung der trigonometrischen Funktionen:
In einem rechtwinkligen Dreieck ABC seien a und b die Katheten, c die Hypothenuse, die
spitzen Winkel entsprechend α und β , wobei gilt: α + β = 90o.
Man nennt a die Gegenkathete und b die Ankathete des Winkels α .
(Analog nennt man a die _____________ und b die _____________ des Winkels β .)
Zieht man in einem rechtwinkligen Dreieck ABC zur Kathete a Parallelen wie B1C1, B2C2
usw., so entstehen rechtwinklige Dreiecke AB1C1, AB2C2 usw., die einander ähnlich sind.
a
a a
Daraus folgt (Strahlensätze!): = 1 = 2 = ...
c c1 c 2
Da durch das Verhältnis zweier Seiten das
rechtwinklige Dreieck in seiner Gestalt
festgelegt ist, ist auch die Grösse des
Winkels α (und damit natürlich auch β )
eindeutig bestimmt. Umgekehrt ist das
Seitenverhältnis im rechtwinkligen Dreieck
durch den Winkel α bestimmt.
Man bezeichnet ein solches
Streckenverhältnis als eine Funktion des
Winkels α und zwar als
trigonometrische Funktion von α . Dadurch
ist die Möglichkeit gegeben, gesuchte Winkel durch Streckenverhältnisse auszudrücken.
Auf diese Weise kommt man über die metrische Geometrie der Ebene, die hauptsächlich
nur Beziehungen zwischen Strecken kennt, hinaus – man denke an die Satzgruppe des Pythagoras, die nur
Aussagen über Beziehungen zwischen Strecken macht – zur Trigonometrie als neuen Wissenszweig.
A5100-Trigonometrie
Einführung
B. Willimann
28.09.2006
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Mathematik
Trigonometrie
Definition der trigonometrischen Funktionen
Definition der trigonometrischen Funktionen
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Das Seitenverhältnis Gegenkathete zu Hypothenuse wird als der
G a
Sinus des Winkels α bezeichnet: sin α = =
H c
Das Seitenverhältnis Ankathete zu Hypothenuse wird als der
A b
Cosinus des Winkels α bezeichnet: cos α = =
H c
Das Seitenverhältnis Gegenkathete zu Ankathete wird als der
G a
Tangens des Winkels α bezeichnet: tan α = =
A b
Das Seitenverhältnis Ankathete zu Gegenkathete wird als der
A b
Cotangens des Winkels α bezeichnet: cot α = =
G a
Das Seitenverhältnis Hypothenuse zu Ankathete wird als der
H c
Secans des Winkels α bezeichnet: sec α = =
A b
Das Seitenverhältnis Hypothenuse zu Gegenkathete wird als der
H c
Cosecans des Winkels α bezeichnet: co sec α = =
G a
(Steigung)
Anmerkungen:
1. Die letzten beiden trigonometrischen Funktionen sind seit längerem nicht mehr gebräuchlich.
2. In früheren Lehrmitteln waren auch noch die Abkürzungen
a
a
für tan α =
und
b
b
b
b
ctgα = für cot α = zu finden – heute üblich sind durchgehend dreistellige Bezeichnungen
a
a
t gα =
für die Winkelfunktionen: sin, cos, tan, und cot.
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Definition der trigonometrischen Funktionen
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Mathematik
Trigonometrie
Übung: Konstruktive Ermittlung der Werte der trigonometrischen
Funktionen spitzer Winkel
Zeichnen Sie mit Hilfe des Transporteurs Winkel der Grösse α = 10o, 20o, . . ., 80o,
fällen Sie von einem beliebigen Punkt auf dem einen Schenkel das Lot auf den
anderen, messen Sie in dem entstandenen rechtwinkligen Dreieck die Katheten a und
b und die Hypothenuse c und bestimmen Sie dann rechnerisch in der folgenden
Tabelle für diese Winkel die Seitenverhältnisse des Sinus, Kosinus, Tangens und
Kotangens - auf 2 Stellen nach dem Komma:
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Übung: Konstruktive Ermittlung der
trigonometrischen Funktionen spitzer Winkel
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Trigonometrie
Übung:
Konstruktive Ermittlung der Werte der trigonometrischen
Funktionen spitzer Winkel
Messen Sie für jeden Winkel die angegebenen Strecken in mm und bilden Sie die
Verhältnisse für die Winkelfunktionen: (Tabelle 1)
a
b
a
aα
bα
cα
sin α =
cos α =
tan α =
c
c
b
cot α =
b
a
0o
10o
20o
30o
40o
50o
60o
70o
80o
90o
Übertragen Sie nun die Verhältnisse in diese Tabelle und rechnen Sie rückwärts den Winkel
aus: (Tabelle 2)
sin α =
a
c
α
cos α =
b
c
α
tan α =
a
b
α
cot α =
b
a
α
0o
10o
20o
30o
40o
50o
60o
70o
80o
90o
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Übung: Konstruktive Ermittlung der
trigonometrischen Funktionen spitzer Winkel
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Übung:
Trigonometrie
Die Graphen der trigonometrischen Funktionen spitzer Winkel
Zeichnen Sie nun mit den Daten aus Tabelle 1 die Graphen der Winkelfunktionen von
0o bis 90o:
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Übung: Die Graphen der trigonometrischen
Funktionen spitzer Winkel
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Trigonometrie
Übung: Die Graphen der trigonometrischen Funktionen spitzer Winkel
Lösung:
Der Verlauf der trigonometrischen Funktionen sin α , cos α , tan α und cot α von 0o bis 90o:
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Funktionen spitzer Winkel
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