Mathematik in Ägypten und Babylonien zurück. Die Babylonier

Mathematik in Ägypten und Babylonien zurück. Die Babylonier führten die
Messung von Winkeln in Grad, Minuten und Sekunden ein. Die Griechen des
Altertums gaben dann der Trigonometrie ein beachtliches Ausmaß.
In seinem großen astronomischen Handbuch Almagest lieferte Ptolemäus eine
Tafel über „Kreissehnen”. Dazu stellte er Sehnen in Schritten von yº von 0º bis
180º in einer Tabelle zusammen. Er erläuterte auch seine Methode, wie er diese
Tabelle aufgestellt hatte, und gab im Laufe seines Buches viele Beispiele, wie man
die Tabelle benutzte, um unbekannte Komponenten von Dreiecken aus bekannten
zu erhalten. Ptolemäus stellte außerdem das als Satz des Menelaos bekannte
Theorem zur Bestimmung von Kugeldreiecken auf. Mehrere Jahrhunderte lang war
seine Trigonometrie für jeden Astronomen die Haupteinführung in dieses Gebiet.
Doch hatten indische Astronom en etwa zeitgleich mit Ptolemäus ein
trigonometrisches System entwickelt, das auf der Sinusfunktion und nicht auf der
Sekantenfunktion der Griechen beruhte. Diese Sinusfunktion war im Gegensatz zu
der heutigen kein Längenverhältnis, sondern einfach die Länge der Seite, die dem
Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck mit einer festen Hypotenuse
gegenüberlag. Die Inder benutzten verschiedene Werte für die Hypotenuse.
Im späten 8. Jahrhundert übernahmen arabische Astronomen sowohl die
griechischen als auch die indischen Erkenntnisse. Bis zum Ende des
10. Jahrhunderts hatten sie die Sinusfunktion und die fünf anderen
trigonometrischen Funktionen vervollständigt. Außerdem stellten sie verschiedene
grundlegende trigonometrischen Sätze sowohl für ebene als auch für
Kugeldreiecke auf und brachten die mathematischen Beweise dafür. Verschiedene
Mathematiker regten an, r = 1 statt r = 60 zu verwenden. Genau dadurch erhält
man die heute benutzten Werte der trigonometrischen Funktionen.3
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2.4.
Das allgemeine Dreieck
Praktische Anwendungen der Trigonometrie beinhalten oft die Bestimmung von
Entfernungen, die nicht direkt gemessen werden können. Ein solches Problem
kann dadurch gelöst werden, dass man die gewünschte Entfernung als Seite eines
Dreiecks definiert, dessen andere Seiten oder dessen Winkel man misst und dann
die unten angeführten Formeln anwendet.
Sind A, B und C die drei Winkel eines Dreiecks und a, b und c die entsprechenden
gegenüberliegenden Seiten, so kann bewiesen werden, dass folgendes gilt:
Die Gesetze für den Kosinus und den Tangens können jeweils in zwei andere
Formen gebracht werden, indem man die Buchstaben a, b, c und A, B, C zyklisch
vertauscht.
Diese drei Beziehungen können zur Bestimmung eines beliebigen Dreiecks benutzt
werden, d. h., die unbekannten Seiten oder Winkel kann man erhalten, sobald
eine Seite und zwei Winkel, zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel, zwei
Seiten und der einer von ihnen gegenüberliegende Winkel (in diesem Fall gibt es
gewöhnlich zwei Dreiecke) oder drei Seiten bekannt sind.2
4.
GESCHICHTE
Die Geschichte der Trigonometrie geht bis in die früheste aufgez eichnete
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Die Zahlenwerte der trigonometrischen Funktionen einiger Winkel kann man leicht
erhalten. So beträgt z. B. jeder spitze Winkel eines gleichschenkligen
rechtwinkligen Dreiecks 45º, wie aus Bild 4 ersichtlich wird. Daraus folgt, dass
Die Zahlenwerte der trigonometrischen Funktionen eines beliebigen Winkels
können annähernd auf folgende Weise bestimmt werden: Man zeichnet mit Zirkel,
Lineal und Winkelmesser den Winkel in Standardposition. Dann misst man x, y
und r und anschließend berechnet man aus den gewonnenen Daten die
entsprechenden Verhältnisse. Dabei muss man die Werte von sin è und cos è nur
für einige ausgewählte Winkel berechnen. Unter Anwendung der am Ende
angeführten trigonometrischen Beziehungen ergeben sich die Werte für weitere
Winkel und die anderen Funktionen. 1
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Trigonometrie, Zweig der Mathematik, der sich mit den Beziehungen zwischen
den Seiten und Winkeln von Dreiecken und den Eigenschaften und Anwendungen
der trigonometrischen Winkelfunktionen beschäftigt. Die beiden Hauptbereiche der
Trigonometrie sind die ebene und die sphärische Trigonometrie. Erstere befasst
sich mit der Berechnung von ebenen Dreiecken und stützt sich dabei auf die Sätze
der Planimetrie. Im Gegensatz dazu behandelt man in der sphärischen
Trigonometrie Dreiecke, die Ausschnitte einer Kugeloberfläche sind (siehe Dreieck:
Kugeldreiecke). Die sphärische Trigonometrie zählt daher auch zur so genannten
sphärischen Geometrie.
Die frühesten Anwendungen der Trigonometrie waren in den Gebieten der
Navigation, der Vermessungskunde und der Astronomie. Das Hauptproblem
bestand im Allgemeinen darin, nicht direkt messbare Entfernungen, wie z. B.
diejenige über einen großen See, zu berechnen. Auch astronomische Entfernungen
wie z. B. diejenige von der Erde zum Mond ( siehe Aristarchos von Samos)
gehörten dazu. Die Untersuchung periodischer Phänomene (z. B. Wellen,
elektromagnetische Strahlung) in der Physik, der Chemie und in fast allen
Bereichen der Technik ist eine weitere wichtige Anwendungsmöglichkeit der
Trigonometrie. Beispiele hierfür wären Untersuchungen über die Schwingungen
einer Brücke oder eines Gebäudes oder die mathematische Beschreibung des
Stromflusses bei Wechselstrom (siehe Elektrizität; siehe Gleichrichtung). Die
heutzutage übliche mathematische Beschreibung von trigonometrischen
Funktionen geht im Wesentlichen auf den Schweizer Mathematiker Leonhard Euler
(18. Jahrhundert) zurück.