Trigonometrie Einführung
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Mathematik Trigonometrie Einführung Was bedeutet das Wort Trigonometrie und mit was beschäftigt sich die Trigonometrie? Eine kleine • tri • gon • metrie Wortkunde: bedeutet 'drei' bedeutet 'Winkel'/'Eck' bedeutet 'Messung' Beispiel: Triathlon, . . . Beispiel: Pentagon – das Fünfeck mit 5 Winkeln Beispiel: Geometrie – die Erdvermessung Das Wort impliziert also die 'Dreiwinkelmessung' oder allgemein die 'Dreiecksberechnung'. Während die Planimetrie die Konstruktion eines Dreieckes aus gegebenen Stücken lehrt, bei der die Genauigkeit der Resultate verhältnismässig gering ist, liefert die Trigonometrie auf rechnerischem Weg exaktere Ergebnisse. Erklärung der trigonometrischen Funktionen: In einem rechtwinkligen Dreieck ABC seien a und b die Katheten, c die Hypothenuse, die spitzen Winkel entsprechend α und β , wobei gilt: α + β = 90o. Man nennt a die Gegenkathete und b die Ankathete des Winkels α . (Analog nennt man a die _____________ und b die _____________ des Winkels β .) Zieht man in einem rechtwinkligen Dreieck ABC zur Kathete a Parallelen wie B1C1, B2C2 usw., so entstehen rechtwinklige Dreiecke AB1C1, AB2C2 usw., die einander ähnlich sind. a a a Daraus folgt (Strahlensätze!): = 1 = 2 = ... c c1 c 2 Da durch das Verhältnis zweier Seiten das rechtwinklige Dreieck in seiner Gestalt festgelegt ist, ist auch die Grösse des Winkels α (und damit natürlich auch β ) eindeutig bestimmt. Umgekehrt ist das Seitenverhältnis im rechtwinkligen Dreieck durch den Winkel α bestimmt. Man bezeichnet ein solches Streckenverhältnis als eine Funktion des Winkels α und zwar als trigonometrische Funktion von α . Dadurch ist die Möglichkeit gegeben, gesuchte Winkel durch Streckenverhältnisse auszudrücken. Auf diese Weise kommt man über die metrische Geometrie der Ebene, die hauptsächlich nur Beziehungen zwischen Strecken kennt, hinaus – man denke an die Satzgruppe des Pythagoras, die nur Aussagen über Beziehungen zwischen Strecken macht – zur Trigonometrie als neuen Wissenzweig. A5100-Trigonometrie Einführung B. Willimann 24.09.2006 Seite 1 / 6 Mathematik Trigonometrie Definition der trigonometrischen Funktionen Definition der trigonometrischen Funktionen • • • • • • Das Seitenverhältnis Gegenkathete zu Hypothenuse wird als der a Sinus des Winkels α bezeichnet: sin α = c Das Seitenverhältnis Ankathete zu Hypothenuse wird als der b Cosinus des Winkels α bezeichnet: cos α = c Das Seitenverhältnis Gegenkathete zu Ankathete wird als der a Tangens des Winkels α bezeichnet: tan α = b Das Seitenverhältnis Ankathete zu Gegenkathete wird als der b Cotangens des Winkels α bezeichnet: cot α = a Das Seitenverhältnis Hypothenuse zu Ankathete wird als der c Secans des Winkels α bezeichnet: sec α = b Das Seitenverhältnis Hypothenuse zu Kathete wird als der c Cosecans des Winkels α bezeichnet: co sec α = a (Steigung) Anmerkungen: 1. Die letzten beiden trigonometrischen Funktionen sind seit längerem nicht mehr gebräuchlich. 2. In früheren Lehrmitteln waren auch noch die Abkürzungen a a für tan α = und b b b b ctgα = für cot α = zu finden – heute üblich sind durchgehend dreistellige Bezeichnungen a a t gα = für die Winkelfunktionen: sin, cos, tan, und cot. A5100-Trigonometrie Definition der trigonometrischen Funktionen B. Willimann 24.09.2006 Seite 2 / 6 Mathematik Trigonometrie Konstruktive Ermittlung der Werte trigonometrischer Funktionen spitzer Winkel - Übung Zeichnen Sie mit Hilfe des Transporteurs Winkel der Grösse α = 10o, 20o, . . ., 80o, fällen Sie von einem beliebigen Punkt auf dem einen Schenkel das Lot auf den anderen, messen Sie in dem entstandenen rechtwinkligen Dreieck die Katheten a und b und die Hypothenuse c und bestimmen Sie dann rechnerisch in der folgenden Tabelle für diese Winkel die Seitenverhältnisse des Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens - auf 2 Stellen nach dem Komma: A5100-Trigonometrie B. Willimann Konstruktive Ermittlung der Werte 24.09.2006 trigonometrischer Funktionen spitzer Winkel - Übung Seite 3 / 6 Mathematik Trigonometrie Konstruktive Ermittlung der Werte trigonometrischer Funktionen spitzer Winkel - Übung Messen Sie für jeden Winkel die angegebenen Strecken in mm und bilden Sie die Verhältnisse für die Winkelfunktionen: (Tabelle 1) a b a b aα bα cα sin α = cos α = tan α = cot α = c c b a 0o 10o 20o 30o 40o 50o 60o 70o 80o 90o Übertragen Sie nun die Verhältnisse in diese Tabelle und rechnen Sie rückwärts den Winkel aus: (Tabelle 2) sin α = a c α cos α = b c α tan α = a b α 0o 10o 20o 30o 40o 50o 60o 70o 80o 90o A5100-Trigonometrie B. Willimann Konstruktive Ermittlung der Werte 24.09.2006 trigonometrischer Funktionen spitzer Winkel - Übung Seite 4 / 6 Mathematik Trigonometrie Die Grafen der trigonometrischen Funktionen spitzer Winkel - Übung Zeichnen Sie nun mit den Daten aus Tabelle 1 die Graphen der Winkelfunktionen von 0o bis 90o: A5100-Trigonometrie Die Grafen der trigonometrischen Funktionen spitzer Winkel - Übung B. Willimann 24.09.2006 Seite 5 / 6 Mathematik Trigonometrie Die Grafen der trigonometrischen Funktionen spitzer Winkel - Lösung Lösung: Der Verlauf der trigonometrischen Funktionen sin, cos, tan und cot von 0o bis 90o: A5100-Trigonometrie Die Grafen der trigonometrischen Funktionen spitzer Winkel - Lösung B. Willimann 24.09.2006 Seite 6 / 6
