(MA 1501, MA 1503), WiSe 2014/15 Aufgabe - TUM

Technische Universität München, Zentrum Mathematik
Lehrstuhl für Angewandte Geometrie und Diskrete Mathematik
Propädeutikum Diskrete Mathematik
(MA 1501, MA 1503), WiSe 2014/15
Dr. René Brandenberg
Aufgabenblatt 3
Aufgabe 3.1
a) Angenommen wir betrachten in Satz 2.27 Multigraphen anstelle der einfachen Graphen und
erlauben daher Parallelkanten. Formulieren Sie ein 2.27 entsprechendes Kriterium für die
Existenz von Eulertouren in Multigraphen.
b) Ist es für jeden beliebigen Graphen möglich durch Hinzunahme maximal eines Knotens und einer
beliebigen Anzahl von Kanten, die diesen Knoten enthalten, einen neuen Graph zu konstruieren
in dem jeder Knoten geraden Grad hat? Geben Sie einen Beweis oder ein Gegenbeispiel mit
Begründung an.
c) Sei G ein beliebiger zusammenhängender Graph, welcher auch Knoten ungeraden Grades enthält.
Sie wissen aus der Vorlesung, dass Sie dann in jeder alle Kanten von G benutzenden geschlossenen
Kantenfolge mindestens eine Kante mehrfach benutzen müssen. Angenommen, Sie wollen die
Anzahl der Kantenmehrfachbenutzungen minimieren.
i) Beweisen oder widerlegen Sie: In jeder alle Kanten von G benutzenden und die Anzahl
aller Kantenmehrfachbenutzungen minimierenden geschlossenen Kantenfolge wird jede
mehrfach benutzte Kante genau zweimal benutzt.
ii) Führen Sie Ihr Minimierungsproblem auf die Suche nach einem kostenminimalen perfekten
Matching in einem Hilfsgraphen mit gewichteten Kanten zurück, ohne Begründung.
Lösung zu Aufgabe 3.1
MA1501,1503
a) Das Kriterium kann so bleiben wie es ist. Hierzu kann man die Beweise für Multigraphen
wiederholen. Alternativ füge man auf Parallelkanten e, e0 mit Endknoten v, w einen neuen
Knoten z ein, sodass e = {v, w} erhalten bleibt und e0 durch {v, z}, {w, z} ersetzt wird. In
dem so entstehenden Graphen haben genau dann alle Knoten geraden Grad, wenn dies für den
Multigraphen galt. Da sich ferner auch die Eulertouren entsprechen, sind wir fertig.
b) Ja. Es seien v1 , . . . , v2k mit k ≥ 0 die Knoten ungeraden Grades in G. (Sie wissen aus der Übung,
dass es immer gerade-viele davon gibt.) Sei v ein neuer Knoten. Wir fügen die Kanten {v, v1 },
{v, v2 }, . . . , {v, v2k } hinzu. Bezeichne G0 den neuen Graphen. Dann ist der Grad von jedem vi
um genau eins gestiegen. Daher haben diese Knoten in G0 einen geraden Grad. Der Knoten v
selber hat den geraden Grad 2k. Also haben alle Knoten in G0 einen geraden Grad.
c) Sei G ein beliebiger Graph mit Knoten ungeraden Grades.
i) Die Behauptung ist wahr.
Sei Z eine solche Kantenfolge. Angenommen, es gäbe eine Kante e ∈ E, welche von Z
mindestens dreimal benutzt wird. Durchlaufen wir Z in eine bestimmte Richtung, so
durchlaufen wir e = {x, y} mindestens zwei Mal in die selbe Richtung, o.B.d.A. sei diese
Richtung von x nach y. Also ist Z die geschlossene Verkettung von P1 , {x, y}, P2 , {x, y}
(in dieser Reihenfolge), wobei P1 und P2 zwei y-x-Kantenfolgen sind.
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WiSe 2014
Sei P2 die Kantenfolge P2 umgekehrt durchlaufen, dann ist die geschlossene Verkettung
von P1 und P2 ebenfalls eine geschlossene Kantenfolge. Diese Kantenfolge besucht alle
Kanten (nur zwei der mindestens drei Besuche von e wurden entfernt), und benutzt
insgesamt zwei Kantenmehrfachbenutzungen weniger als Z. Damit hat Z die Anzahl der
Kantenmehrfachbenutzungen nicht minimiert, ein Widerspruch.
P1
P1
y
x
e
wird zu
y
x
P2
P2
ii) Sei U die Menge der Knoten ungeraden Grads, G0 = (U, U2 ) und ` : U2 → N mit `({u, u0 })
die Länge eines kürzesten Weges zwischen u und u0 in G. Finde ein `-minimales perfektes
Matching (existiert, da |U | gerade) in G.
Aufgabe 3.2
Wir betrachten einen vollständigen Graphen G = (V, V2 ) und eine Funktion ` : V2 → R≥0 mit der
Eigenschaft, dass `({u, w}) ≤ `({u, v}) + `({v, w}) für jedes (u, v, w) ∈ V 3 . (Dreiecksungleichung für
gewichtete Graphen)
Sei H ein beliebiger Hamiltonkreis in G mit kleinster `-Gesamtlänge. Sei T ein beliebiger aufspannender
Baum in G mit kleinster `-Gesamtlänge. Bezeichne `(H) (bzw. `(T )) die `-Gesamtlänge von H (bzw.
von T ). Zeigen Sie:
a) `(T ) ≤ `(H),
b) `(H) ≤ 2`(T ).
Hinweis: Zeigen Sie, dass aus einem geschlossenen Kantenzug, der jeden Knoten mindestens
einmal besucht, in G ohne Gewichtszunahme ein Hamiltonkreis erzeugt werden kann.
Lösung zu Aufgabe 3.2
MA1501,1503
a) Streicht man eine (beliebige) Kante aus einem Hamiltonkreis, so erhält man einen Hamiltonweg,
welcher ein (spezieller) Spannbaum ist. Kein Hamiltonweg und damit auch kein Hamiltonkreis
kann daher kürzer als ein minimaler Spannbaum sein.
b) Doppelt man die Kanten eines minimalen Spannbaums, so erhält man einen Multigraphen mit
lauter geraden Knotengraden. Dieser ist nach Aufgabe 1 c) eulersch, und jede Eulertour in ihm
ist genau doppelt so lang wie der minimale Spannbaum.
Bestimmt man nun eine Eulertour durch diese Kanten, dann besucht diese alle Knoten des
Graphen mindestens einmal. Sei xi der Knoten der als i-tes zum ersten Mal besucht wird.
Der Hamiltonkreis x1 , . . . , xn , x1 ist nicht länger als die Eulertour (er kürzt wegen der Dreiecksungleichung höchstens an den Stellen ab, an denen die Eulertour Knoten ein zweites Mal
besucht).
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WiSe 2014
Aufgabe 3.3
Sei G = (V, E) ein Graph. Zeigen Sie: Sind M ein maximales Matching und M ∗ ein größtes Matching
in G, so gilt 2|M | ≥ |M ∗ |.
Lösung zu Aufgabe 3.3
Wir zeigen, dass die Behauptung auch dann noch wahr ist, wenn in ihr das Adjektiv ‘größtes’ durch
‘beliebiges’ ersetzt wird. (Natürlich ist sie selbst dann auch bewiesen; es geht darum, dass wir die
Eigenschaft ‘größtes für den Beweis nicht brauchen.) Sei M ein beliebiges maximales Matching in G.
Sei M ∗ ein beliebiges Matching in G. Wegen Maximalität von M wird jedes e∗ ∈ M ∗ von mindestens
einem e ∈ M geschnitten. Einfach deswegen, weil M ∗ ein Matching und jedes e ∈ M eine 2-Menge ist,
kann jedes e ∈ M nur höchstens zwei Kanten von M ∗ schneiden. Insgesamt kann M also höchstens
2|M | Kanten von M ∗ schneiden. Wäre |M ∗ | > 2|M |, gäbe es daher mindestens ein e∗ ∈ M ∗ , das von
keiner Kante aus M geschnitten wird, im Widerspruch zur Maximalität von M .
Aufgabe 3.4
˙
Sei G = (V, E) ein bipartiter Graph mit zugehöriger Bipartition V = A∪B.
Beweisen Sie:
a) Gilt |A| ≤ |B| und deg(v) = a ∈ N für alle v ∈ A sowie deg(v) = b ∈ N für alle v ∈ B, dann
existiert ein Matching, das A vollständig überdeckt.
Hinweis: Betrachten Sie für beliebiges S ⊂ A den Graphen GS = G[S ∪ N (S)].
b) Existiert d ∈ N, sodass |N (S)| ≥ |S| − d für alle Teilmengen S ⊂ A gilt, dann existiert in G ein
Matching, das mindestens |A| − d Knoten aus A überdeckt.
Hinweis: Machen Sie den Beweis des Heiratssatzes nicht nach, sondern konstruieren Sie einen
Hilfsgraphen G∗ , auf den Sie den Heiratssatz anwenden können.
c) Gilt |A| = |B| = t ∈ N und |E| > t2 − t, dann existiert in G ein perfektes Matching.
Lösung zu Aufgabe 3.4
MA1501,1503
a) Es gilt a|A| = |E| = b|B|, woraus mit |A| ≤ |B| folgt, dass a ≥ b. Für ein beliebiges S ⊂ A,
betrachten wir GS = G[S ∪ N (S)]. Dann ist
b|S| ≤ a|S| = |E(GS )| ≤ b|N (S)|,
also |S| ≤ |N (S)|, und laut Satz von Hall folgt, dass es ein Matching gibt, das A überdeckt.
b) Sei B 0 eine zu V disjunkte d-elementige Menge. Bezeichne G0 den Graphen mit Knotenmenge
˙ ∪B
˙ 0 , und Kantenmenge E 0 := E ∪{{a,
˙
V 0 := A∪B
b0 } : a ∈ A, b0 ∈ B 0 }. Dann folgt |NG0 (S)| ≥
|S|, für jedes S ⊂ A, und daher existiert laut Satz von Hall in G0 ein Matching, welches alle
Knoten aus A überdeckt. Da |B 0 | = d, enthält dieses Matching höchstens d verschiedene B 0
schneidende Kanten, muss also mindestens |A| − d Kanten aus E enthalten. Daher gibt es in G
ein Matching, das |A| − d Knoten aus A überdeckt.
c) Angenommen, G enthielte kein perfektes Matching. Nach dem Satz von Hall existiert dann ein
S ⊂ A mit |N(S)| ≤ |S| − 1. Für jedes v ∈ S ist dann deg(v) = |N(v)| ≤ |N(S)| ≤ |S| − 1, und
es folgt
|E| =
X
a∈A
deg(a) =
X
a∈S
deg(a) +
X
deg(a) ≤ |S| · (|S| − 1) + |A \ S| · t
a∈A\S
≤ t · (|S| − 1) + (t − |S|) · t = t2 − t
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