Grundidee

Grundidee
Immer noch ein Monopolist, aber dieser wählt Menge anstatt Preis
Profit: Erlös minus Kosten, aber jetzt in Abhängigkeit der Menge;
Π(X ) = R(X ) − C (X )
C (X ) ist die übliche Form der Kostenfunktion; R = p · X , der Preis
muss jetzt in Abhängigkeit der Menge ausgedrückt werden; diese
Darstellung nennt man inverse Nachfragefunktion, p wird als der
Gleichgewichtspreis beim Angebot X gesehen; also
Π(X ) = p(X ) · X − C (X )
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Grenzprofit
Erste Ableitung, für Bedingung erster Ordnung:
dR(X ) dC (X )
dΠ(X )
=
−
dX
dX
dX
dp(X ) dC (X )
=p+X
−
dX
dX
= MR(X ) − MC (X )
Interpretation des MR ist analog zum Preissetzungsmonopol: jede
zusätzliche (kleine) Einheit bringt p, aber der Preis verringert sich
durch die zusätzliche Menge, und diese Preissenkung verringert
den Erlös für jede produzierte Einheit; MR ≤ p: Gleichheit bei
horizontaler Nachfrage oder bei der ersten kleinen Einheit“ (kein
”
Verlust auf bisherigen Output)
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Amoroso-Robinson-Relation
Grenzerlös kann wieder ausgedrückt werden als Funktion der
Elastizität:
dp
MRX = p + X
dX
dp X
=p 1+
dX p
1
=p 1+
X ,p
MR bezüglich der Menge ist größer Null solange die Nachfrage
bezüglich des Preises elastisch ist, d.h. solange −∞ < X ,p < −1
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Monopollösung
FOC durch Null setzen des Grenzprofits:
!
Π0 (X ) = MR(X ) − MC (X ) = 0 ⇒ MR(X ) = MC (X )
I
I
optimale Menge bei Schnittpunkt von MR und MC
optimaler Preis auf der Nachfragekurve, zugehörig zur
optimalen Menge
Welche Fläche repräsentiert den Gewinn? Ohne Fixkosten: ABME,
oder ABD
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Lösung im Linear-Linearen-Fall
inv. Nachfragefkt.:
Kostenfkt.:
p(X ) = a − bX
C (X ) = cX
Π(X ) = (a − bX )X − cX
FOC
dΠ/dX = (a − bX ) + (−b)X − c ⇒
0 = a − 2bXM − c
a−c
XM =
2b
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Lösung im Linear-Linear-Fall
fortgesetzt
bzw. unter expliziter Berücksichtigung des Prohibitivpreises a:
XM =
a−c
2b
0
c≤a
c>a
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Lerner-Maß
Aus FOC und Amoroso-Robinson-Relation kann man schreiben:
1
= MR
MC = p 1 +
X ,p
1
MC /p = 1 +
X ,p
1
MC /p − 1 =
X ,p
p − MC
1
=−
p
X ,p
dieser Ausdruck wird als Lerner-Maß” bezeichnet
”
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Lerner-Maß als Marktmacht
Interpretation des Lerner-Maßes:
I
es gibt an, wie viel Prozent vom Preis der Preisaufschlag über
die Grenzkosten ausmacht
I
im Fall des perfekten Wettbewerbs gilt: p = MC , denn der
Preis wird aus Sicht jeder Firma als exogen betrachtet; dann
ist das Lerner-Maß Null, kein Aufschlag ist möglich (s. unten)
I
Lerner-Maß kann zwischen Null und Eins liegen und in
Relation zum perfekten Wettbewerb interpretiert man es
folgendermaßen als Marktmacht”: je höher der Aufschlag,
”
desto weiter entfernt vom perfekten Wettbewerb
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Marktmacht und Monopolgewinn
Eine interessante Einschränkung dieser Interpretation ist aber, dass
Marktmacht nicht mit Gewinn einhergehen muss: im graphischen
Beispiel setzt der Monopolist XM , aber das ist die einzige
(X , p)-Kombination, bei der er seine Kosten decken kann (Existenz
von Fixkosten)
allerdings muss man hinzufügen: Lerner-Maß erfasst hier auch
Situtation des perfekten (Preis-)Wettbewerbs nicht brauchbar, weil
sich dabei ebenfalls nur ein Anbieter mit Angebotsmenge XM
behaupten kann, der dann ebenfalls keinen Profit macht
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Vergleich Mengenpolitik/Preispolitik
Graphische Darstellung der Analogie zwischen Preis- und
Mengensetzung:
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Parameterveränderung und das Envelope-Theorem
Anhand des Monopolbeispiels soll dargestellt werden, wie man den
Effekt einer Stückkostenveränderung (Parameter) auf die Wahl der
optimalen Outputmenge untersuchen kann.
Monopolist möchte Gewinn maximieren, gegeben Marktnachfrage
p(x) = a − bx
und Kostenfunktion
C (x) = cx.
Wollen untersuchen, was der Effekt einer Veränderung des
Parameters c ist. Der wird in der Optimierung des Monopolisten
als konstant betrachtet, aber trotzdem kann man fragen: was
passiert mit dem optimalen Gewinn, wenn sich c verändert. Aber
zuerst: Gewinn maximieren
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Gewinnmaximum
max Π(x),
x
Π(x) = (a − bx)x − cx
erste Ableitung:
∂Π(x)
= (a − bx) + (−b)x − c
∂x
ergibt FOC
a − 2bx ∗ − c = 0 ⇔ x ∗ =
a−c
2b
Gewinn:
Π(x ∗ ) = a
a − c 2
a−c
a−c
(a − c)2
−b
=
−c
2b
2b
2b
4b
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Effekt einer Stückkostenveränderung
der gesamte Effekt einer Stückkostenveränderung ist in Π∗ bereits
auf c reduziert; obwohl c einen direkten Effekt hat (Verringerung
der Kosten bei gegebenem Output x) und einen indirekten
(Veränderung der optimalen Menge x ∗ ), sind beide in der Ableitung
a−c
dΠ∗
=−
= −x ∗
dc
2b
berücksichtigt; Alternative wegen des Envelope-Theorems: Leite Π∗
nach c ab und vernachläßige den indirekten Effekt auf x ∗ :
Π∗ = (a − bx ∗ )x ∗ − cx ∗
dΠ∗
= −x ∗
dc
das ist richtig wegen des Envelope-Theorems; noch einmal
ausführlicher . . . (auf nächster Folie)
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Effekt einer Stückkostenveränderung
Erklärung: bei Berücksichtigung des indirekten Effekts
verschwindet dieser im Optimum, weil
∂x ∗ (c)
dΠ∗
∂x ∗ (c)
∂x ∗ (c)
= (a − bx ∗ )
+ x∗
(−b) − c
+ x∗
dc
∂c
∂c
∂c
∂x ∗ (c)
∗
∗
∗
=
(a − bx − bx − c) − x
∂c
∗
∂x (c)
(0) − x ∗ = −x ∗
=
∂c
Klammerausdruck, der 0 wird, entspricht der FOC (s. oben):
a − 2bx ∗ − c = 0 ⇔ x ∗ =
a−c
2b
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Envelope-Theorem
Das Envelope-Theorem heißt zu deutsch meistens
Enveloppentheorem”, oder auch Hüllkurventheorem”.
”
”
Wozu braucht man das?
1. interessant, weil allgemeine Aussagen zur Interpretation von
Parameterveränderungen nach der Optimierung möglich sind
2. manchmal nötig, um bei komplexen (keine geschlossene
Lösung möglich) Modellen Interpretationen zu ermöglichen
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Envelope-Theorem
Wozu braucht man das?
3. hilft später, die Wirkung des Verhaltens auf eigenen Profit
und den des Konkurrenten zu untersuchen:
I
direkter“ Effekt: hier, dass durch die Kostensenkung bei jeder
”
Einheit, die verkauf wird, mehr Gewinn übrig bleibt
I
strategischer“ Effekt: eigentlich gibt es zwei indirekte“
”
”
Effekte; (1) durch die Kostensenkung könnte sich der eigene
optimale Output verändern; das wird er nicht, wegen E.-T.;
(2) durch die Kostensenkung kann sich das Verhalten der
Konkurrenten verändern; zieht sich der Konkurrent etwas aus
dem Markt zurück wenn die eigene Produktion billiger wird?
Dieser zweite indirekte Effekt ist der strategische Effekt, d.h.
der Konkurrent verändert sein Verhalten dadurch, dass sich
einer der eigenen Parameter ändert;
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Doppelte Marginalisierung (Double Marginalisation)
interessantes Ergebnis für vertikal verbundene Monopolisten, im
einfachsten Fall ein Produzent und ein Zwischenhändler; Annahme:
Händler hat keine Kosten außer dem Einkaufspreis pP , den der
Produzent setzt; Struktur:
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Lösung durch Rückwärtsinduktion
Gewinnfunktionen:
ΠP (pP , XH ) = (pP − c)XH
ΠH (pP , XH ) = (p(XH ) − pP )XH
beachte: der Preis, den der Produzent setzt, sind die Grenzkosten
des Händlers auf der zweiten Stufe; der wählt die Monopolmenge
(bei linearer Nachfrage):
!
∂ΠH /∂XH = (a − bXH − pP ) + (−b)XH = 0 ⇒
a − 2bXH = pP
das entspricht wieder MRH = MCH , denn MCH = pP ; gleichzeitig
ist es aus der Perspektive des Produzenten eine (inv.)
Nachfragefunktion: gegeben die Menge des Händlers (die
gleichzeitig seine eigene ist), formiert sich ein Preis pP ; die
Nachfragefunktion am Verbrauchermarkt wird für den Produzenten
wegen der Zweistufigkeit ersetzt durch die Grenzerlöskurve des
Händlers
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Rückwärtsinduktion: Stufe 1
aus der inv. Nachfragefkt. (MRH ) des Produzenten:
a − 2bXH = pP ⇔ XH = (a − pP )/(2b)
und so:
ΠP (pP , XH (pP )) = (pP − c)(a − pP )/(2b)
!
dΠP /dpP = (pP − c)(−1)/(2b) + (a − pP )/(2b) = 0 ⇒
−(pP − c) a − pP
+
⇔
0=
2b
2b
a+c
pP =
2
daraus ergibt sich:
a − a+c
a−c
2
=
2b
4b
und als Preis für die Endverbraucher:
XH =
p =a−b
a−c
3a + c
=
4b
4
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Effekt der Doppelten Marginalisierung
gäbe es keinen Händler, dann wäre pP gleichzeitig der Marktpreis
und die Menge viel größer (bis zu doppelt):
also: Zwischenhändler bringt nur dem Zwischenhändler etwas;
außer: er leistet eine vorteilbringende ökonomische Funktion, etwa
durch Spezialisierungsvorteile (z.B. Informationsvorteile bzgl.
potenzieller Kaufinteressenten, oder Skalenerträge bei der
Distribution vieler Güter)
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Vergleich
Vergleich von Monopollösung und perfektem Wettbewerb:
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Wohlfahrtstheorie
Wohlfahrtstheorie: Vergleich der gesamtwirtschaftlichen Situation
basierend auf monetären Bewertungen
Produzentenrente: Differenz zwischen Grenzkosten und
Marktpreis für jede produzierte Einheit; Fläche zwischen Preis und
Grenzkostenkurve
Konsumentenrente: Differenz zwischen Zahlungsbereitschaft
(Nachfragekurve; Z. nimmt ab bei negativer Steigung) und
Marktpreis; Geldeinheiten, die von der Z. übrig bleiben”, nachdem
”
das Gut zum Marktpreis gekauft worden ist; Fläche zwischen
Nachfragekurve und Marktpreis
Steuern: positive oder negative Steuern, die der Staat erhält oder
die Produzenten bzw. Konsumenten zugute kommen, aber
irgendjemand (Staat oder Konsumenten oder Produzenten)
bezahlen muss
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Konsumentenrente
formal:
Z
X
p(q)dq − p(X )X
0
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Anwendung
vollkommene Konkurrenz maximiert die Wohlfahrt (als Summe der
Renten plus Steuereinnahmen):
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Vergleich: Monopol und Vollkommene Konkurrenz
graue Fläche stellt den Wohlfahrtsverlust dar, der durch das
Monopol entsteht; Monopolist verliert zwar auch einen Teil relativ
zu pPC (den er auch setzen könnte), aber gewinnt mehr als das
dazu, abgeschnitten von der Konsumentenrente
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Wohlfahrt: Abschluß
weitere Anwendungen der Wohlfahrtsanalyse (siehe PW):
Höchstpreis, Gewinnsteuer, Mengensteuer (Stücksteuer)
wichtige Konsequenz: schaffe Regeln, damit die Wohlfahrt
möglichst groß wird; Verhinderung von Monopolstellungen
( Mißbrauch von Marktmacht”) und Kartellbildung
”
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Preisdifferenzierung
Preisdifferenzierung bedeutet: das gleiche Gut kann zu
verschiedenen Preisen verkauft werden; das war bisher nicht
möglich
Preisdifferenzierung ersten Grades: perfekte
Preisdiskriminierung; jede Einheit eines Gutes kann jedem Käufer
zum Preis gleich seiner Zahlungsbereitschaft verkauft werden;
hypothetische Veranschaulichung: holländische Auktion bei der ein
Gut in Einzelstücken verkauft wird und jeder Käufer jedes Stück
kauft, sobald sein Reservationspreis (holländisch: von oben)
erreicht wird
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Voraussetzungen für P.
nur möglich wenn:
I
Firma hat Marktmacht, sonst kann nicht mehr als der
Wettbewerbspreis verrechnet werden
I
Konsumenten sind unterschiedlich bzw. ihre
Zahlungsbereitschaft ist unterschiedlich für verschiedene
Mengen
I
Wiederverkauf ist unmöglich oder begrenzt (z.B. wenn
Speicherung schwierig, wie etwa Strom, Telefondienste)
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Preisdifferenzierung
Preisdifferenzierung zweiten Grades: Anbieter verkauft das
Produkt so, dass Produktpreis mit der Stückanzahl variiert; dafür
gibt es viele verschiedene Möglichkeiten
Beispiel: Zweikomponententarif (two-part tariff); Grundgebühr T ,
Stückpreis p; de-facto Stückpreis sinkt also für den Konsumenten
mit der konsumierten Stückzahl; wenn es nur eine homogene
Konsumentengruppe gibt, mit n Konsumenten:
max [Π(p, T ) = nT + npx − C (nx)]
p,T
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Preisdifferenzierung
die Lösung ist einfach: setze die Grundgebühr so hoch wie der
gesamte Zahlungsbereitschaftüberschuss ist (=Konsumentenrente)
und maximiere Konsumentenrente + Produzentenrente (d.h., Preis
gleich Grenzkosten)
Anmerkung: das entspricht bei einer homogenen
Konsumentengruppe genau dem Endergebnis der P. ersten Grades
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Preisdifferenzierung
erste Erweiterung: es gibt zwei verschiedene Gruppen, die aus in
sich homogenen Konsumenten bestehen:
Kons.-rente von Gruppe B läßt sich nur mehr teilweise extrahieren,
beschränkt durch Gruppe A; Anm.: was passiert wenn die Gruppe
A sehr klein ist?
nächste Erweiterung: es gibt zwei Gruppen und zwei Tarife, in die
sich die Konsumenten aber durch Selbstselektion einteilen müssen
(Unterscheidung durch den Anbieter ist per Annahme unmögl.)
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Preisdifferenzierung
Preisdifferenzierung dritten Grades: Anbieter kann einen Markt
in zwei Gruppen teilen;
Beispiel Kinokarten, für Studenten (S, Anzahl nS ) billiger als für
Berufstätige (B, Anzahl nB ); einfaches Zahlenbeispiel mit
Gruppen- und Gesamtprofiten abhängig von Preisgestaltung (MC
sei Null):
pB
5
10
10
5
10
10
pS
5
10
5
5
10
5
nB
10
10
10
10
10
10
nS
20
20
20
5
5
5
ΠB
50
100
100
50
100
100
ΠS
100
0
100
25
0
25
Π
150
100
200
75
100
125
Anmerkung: im ersten Fall steigt der Profit durch durch höheren
Preis für Konsumentengruppe der Berufstätigen, im zweiten Fall
durch die Anziehung einer weiteren Konsumentengruppe, die der
Studenten
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Preisdifferenzierung
fortgesetzt
andere Beispiele:
I
Flugticketpreis abhängig davon, ob die Reise ein Wochenende
umschließt; Dienstreisende haben oft höhere
Zahlungsbereitschaft, reisen aber nicht am Wochenende
I
Rabattmarken, die Kunden mit niedriger Zahlungsbereitschaft
bereit sind auszuschneiden und zu sammeln, Kunden mit
höherer Zahlungsbereitschaft aber lieber den Normalpreis
zahlen als sich um Sammlung zu kümmern
I
intertemporale P., wenn ein Produkt kurzfristig im Angebot
ist und sich preissensible Kunden über solche Situationen
informieren, während weniger preissensible Kunden kaufen
wann sie wollen
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Preisdifferenzierung
fortgesetzt
Gewinnfunktion des Monopolisten, der P. dritten Grades betreibt:
Π(x1 , x2 ) = p1 (x1 )x1 + p2 (x2 )x2 − C (x1 + x2 )
zwei FOC:
∂Π(x1 , x2 )
= MR1 (x1 ) − MC (x1 + x2 ) = 0
∂x1
∂Π(x1 , x2 )
= MR2 (x2 ) − MC (x1 + x2 ) = 0
∂x2
Anmerkung: daraus ergibt sich, dass Grenzerlöse gleich sein
müssen; sonst könnte eine Einheit vom einen Markt zum anderen
umgeschichtet werden, Erlös gesteigert, aber Kosten konstant
gehalten werden
34 / 35
Preisdifferenzierung Graphisch
Grenzerlöse müssen gleich sein, Lösung z.B. bei konstanten
Grenzkosten:
35 / 35