Die elektrische Ladung

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Elektrizität
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Die elektrische Ladung
Was elektrische Ladung ist, lässt sich eigentlich nicht sagen. Die elektrische Ladung hat bestimmte
Eigenschaften, die sich durch gewisse Erscheinungen bemerkbar machen. Dazu ein paar Experimente zur Elektrostatik.
Ladung ist nicht erklärbar
Auf dem Experimentiertisch stehen zwei sehr gut isolierte Metallkugeln, die je mit einem Elektrometer verbunden sind. Das Elektrometer (EM) besteht zur Hauptsache aus einem Metallkasten, in
dem zwei isolierte Metallplättchen aufgehängt sind. Das eine Plättchen ist festgemacht, das andere
kann wie ein Pendel ausgelenkt werden. Daneben benötigt man einen Bernsteinstab, ein Katzenfell,
einen Glasstab, einen Wolllappen, einen Metalllöffel mit isoliertem Griff und eine Rolle Klebband.
Die Experimente liefern die folgenden Resultate
experimenteller Aufbau und Basisversuche
Experiment
Erscheinung
Bernstein mit Katzenfell reiben und erste
Kugel berühren.
Bewegliches Metallplättchen des ersten EM
schwenkt weg und bleibt ausgelenkt.
Glasstab mit Wolllappen reiben und zweite
Kugel berühren.
Zweites EM schlägt aus. Der Ausschlag bleibt
wie im ersten Fall bestehen.
Beide Stäbe in die Nähe der jeweils andern
Kugel bringen.
Solange der „falsche“ Stab in der Nähe ist,
verkleinert sich der Ausschlag des EM.
Mit Metalllöffel beide Kugeln abwechslungsweise berühren.
Mit jeder Berührung geht der Aussschlag des
jeweiligen EM ein Stück mehr zurück.
Auf ungeladene Kugel ein Stück Klebband
aufpressen, abreissen und dann auf die zweite
ungeladene Kugel kleben
Mit dem Abreissen des Bandes schlägt das
zugehörige EM aus. Beim Aufkleben auf die
andere Kugel schlägt das zweite EM auch aus.
Bernsteinstab nacheinander in die Nähe der
Kugeln bringen.
Der Ausschlag vergrössert sich beim einen EM
und verkleiner sich beim andern.
Die Elektrometer zeigen an, dass „Ladung“ auf die zugehörige Kugel gebracht worden ist. Bernsteinladung und Glasladung verhalten sich kompensatorisch: sie können sich gegenseitig vernichten
und sie können aus dem Nichts durch Trennung erzeugt werden.
Interpretation
Bernsteinladung und Glasladung sind nicht etwa zwei eigenständige Sorten. Die eine Ladung ist das
Gegenteil der andern. Man hat der Glasladung das positive und der Bernsteinladung das negative
Vorzeichen zugeordnet. Gemäss dieser Definition besitzt der geriebene Glasstab einen Ladungsüberschuss und der Bernsteinstab einen Ladungsmangel.
Vorzeichen
Je mehr Ladung man auf eine Metallkugel bringt, desto höher steigt das elektrische Potential. Ist die
Ladung negativ, wird auch das Potential kleiner als Null. Ladung und Potential sind proportional zueinander. Kennt man das Fassungsvermögen (die Kapazität) der Kugel, kann die Ladung mit Hilfe
eines geeichten Elektrometers bestimmt werden.Das Elektrometer ist also eine Art elektrische Füllstandsanzeige
Das elektrische Potential
Ladung = Kapazität * Potential :
Q = C ◊j
[Q] = Coulomb (C); [j ] = Volt (V)
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Der elektrische Strom
Unter einem Strom versteht man den Transport einer mengenartigen Grösse. Werden Mengen ohne
messbare Bewegung transportiert, nennt man den Transportvorgang leitungsartig. Fliesst eine Menge in einem Materialstrom (Luft, Wasser, Gase) durch den Raum, heisst der Transport konvektiv.
Den Strom misst man mit der Stromstärke. Die Stromstärke sagt, wieviel Menge pro Zeit durch eine
ausgewählte Referenzfläche transportiert wird. Mit der Orientierung der Referenzfläche weist man
der Stromstärke ein Vorzeichen zu. Statt einer orientierten Referenzfläche zeichnet man oft nur einen Bezugspfeil.
Strom und Stromstärke
Werden zwei elektrische geladene Metallkörper miteinander verbunden, fliesst ein elektrischer
Strom, bis sich die Potentiale der beiden Systeme angeglichen haben. Die Richtung des elektrischen
Stromes ist durch die Zuweisung des positiven Vorzeichens zur Glaselektrizität eindeutig festgelegt:
der elektrische Strom fliesst vom Körper mit abnehmender zum Körper mit zunehmender Ladung.
Verbindet man also eine positiv geladene Metallkugel mit einer negativ geladenen, fliesst der Strom
von der positiv zur negativ geladenen Kugel.
elektrische Ströme
Ein elektrischer Strom erzeugt ein Magnetfeld. Über dieses Magnetfeld übt ein Leiter auf andere
stromdurchflossene Leiter oder auf Permanentmagnete Kräfte aus. Die Einheit der Stromstärke, das
Ampere (A), ist über die Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern definiert. Aus dieser Definition folgt: 1 C = 1 A·s.
elektrische Stromstärke
Kochsalz besteht aus positiv geladenen Natriumionen und negativ geladenen Chlorionen. Würde
man ein Gramm Kochsalz in die Natrium- und in die Chlorionen aufspalten und beide Ionensorten
an die beiden Pole der Erde bringen, würden sich die zwei Ionenpakete mit 150 N anziehen. Die Abstossung innerhalb der einzlenen Ionenpakete wäre aber immens gross. Die starke elektrische
„Kraft“ sorgt nun dafür, dass sich nirgends grosse Mengen von elektrischer Ladung ansammelt.
Elektrische Ströme fliessen deshalb praktisch immer im Kreis. Der elektrische Strom kann wie ein
Riementrieb immer in die gleiche Richtung oder wie eine Pleuelstange hin und her fliessen. Man
spricht dann von einem Gleichstrom oder einem Wechselstrom.
Stromkreise
Es soll eine technische und eine physikalische Stromrichtung geben. Solches kann nur behaupten,
wer noch nie über Transportvorgänge nachgedacht hat. Verbindet man zwei elektrische geladene
Metallkugeln leitend miteinander, nimmt auf der einen Kugel die Ladung ab und auf der andern zu.
Zunehmen kann auch bedeuten, dass die Ladung von -4 nC auf Null ansteigt. Weist man nun der
Glaselektrizität das negative Vorzeichen zu, würden sämtliche Ladungen das Vorzeichen wechseln
und alle elektrischen Ströme flössen auf die andere Seite. Die Richtung des elektrischen Stromes ist
also eine reine Definitionssache. Die Definition, wonach der geriebene Glasstab eine positiv Ladung
aufweist, ist aber schon mehr als zweihundert Jahre alt und weltweit gültig.
Stromrichtung
In Metallen sind frei bewegliche Elektronen (metallische Bindung) für den Ladungstransport verantwortlich. Nur dürfen die Leitungselektronen nicht als Punkte gesehen werden, die sich zwischen
dem Metallionen des Gitters bewegen. Bewegung ist eine Idee der makroskopischen Welt und hat
in der Physik der Atome wenig zu suchen. Nach der heute akzeptierten Theorie, der Quantenmechanik, sind die Elektronen über das ganze Ionengitter verschmiert. Es ist dennoch nicht verboten, sich
die Elektronen als kleine Kügelchen vorzustellen, die wie die Mücken durch das Ionengitter schwirren. Weil die Elektronen eine negative Ladung tragen, wird die Ladung gegen die Flugrichtung der
Elektronen transportiert. Bewegen sich die Elektronen zum Beispiel nach rechts, tragen sie eine Ladungsschuld nach rechts. Folglich wird Ladung nach links transportiert. Eine analoge Überlegung
kann man mit Münzen anstellen, die einen negativen Wert tragen. Wird man solche Münzen los,
steigt das eigene Vermögen.
Elektronen
Eine Stromstärke wird bezüglich einer Referenzfläche gemessen. Oft zeichnet man aber nur einen
Bezugspfeileil und nimmt als Referenzfläche stillschweigend den Drahtquerschnitt an. Die Stromstärke muss dann auf diesen Pfeil bezogen werden. Ist die Stromstärke grösser als Null, wird Ladung
in Pfeilrichtung transportiert, sinkt die Stromstärke unter Null, fliesst der elektrische Strom gegen
den Bezugspfeil. Zwei Vorzeichenkonventionen sind somit auseinander zu halten: die Definition der
Ladung (Glaselektriziät ist positiv) legt die Stromrichtung fest; der Bezugspfeil weist der Stromstärke ein Vorzeichen zu.
Vorzeichen
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zugeordneter Energiestrom und Prozessleistung
Ein leitungsartiger Strom kann Energie mitführen. Bildlich gesprochen ist eine Menge (Volumen,
Impuls, Drehimpuls, elektrische Ladung, Entropie oder Stoffmenge) beim Transport mit Energie beladen. Das Energiebeladungsmass heisst Potential. Ein Potential zeigt auch den Füllzustand eines
Speichers an. Weil die Energie in Joule gemessen wird, ist die Einheit des Potentials Joule pro Einheit der zugehörigen Menge. Das elektrische Potential wird demnach in Joule pro Coulomb oder
Watt pro Ampere angegeben.
Potential als Energiebeladungsmass
Das allgemeine Schema mit zugeordnetem Energiestrom und Prozessleistung lässt sich am Beispiel
des Wasserfalles anschaulich erläutern. Der schweren Masse kommt die Rolle der mengeartige
Grösse zu und als Energiebeladungsmass amtet das Gravitationspotential (im Falle eines homogenen
Gravitationsfeldes ist das Potential gleich Gravitationsfeldstärke mal Höhe). Nun kann man sowohl
dem zufliessenden als auch dem abfliessenden Wasser einen potentiellen Energiestrom zuordnen.
Der Unterschied zwischen den beiden Energieströmen heisst Prozessleistung. Die Prozessleistung
wird im Wasserfall freigesetzt und kann zum Antrieb weiterer Prozesse genutzt werden
Wasserfall als Archetyp
P
IW1
zg. Energiestrom
IW = j ◊ IM
Prozessleistung
P = (j1 - j 2 )◊ IM
IW2
j1
Gravitations M ∫ m
j = g◊ h
IM
j2
Beim einfachen Kreis (Batterie und Glühbirnchen) wird der Strom bei der Quelle mit Energie beladen. Im Widerstand setzt der Stromkreis die gleiche Energie wieder frei. Die Potentialdifferenz
heisst Spannung und hat die Einheit Volt (V). Folglich ist die Prozessleistung gleich Stromstärke mal
Spannung
P = (j1 - j 2 ) I = U ◊ I
Prozessleistung im
Stromkreis
[U ] = J C = W A = V (Volt)
Der zugeordnete Energiestrom spielt in der Eletrotechnik nur eine untergeordnete Rolle. Der Stromkreis nimmt bei der Quelle Energie auf und gibt sie bei den Verbrauchern wieder frei.Was dazwischen passiert, interessiert kaum. Häufig wird der eine Leiter auf Erdpotential geschaltet. Dann kann
der Energietransport dem andern Leiter zugeschrieben werden. Wie wenig Einfluss das Potential
auf den Energiestransport bei einem Stromkreis hat, soll an einem einfachen Experiment verdeutlicht werden. Verbindet man eine Batterie (4.5 V) über zwei Drähte mit einem Glühbirnchen und
erdet den Minuspol, liegt der Pluspol bei 4.5 V. Die Energie fliesst dann zusammen mit der Ladung
beim Pluspol aus der Batterie. Erdet man den Pluspol, fliesst die Energie beim Minuspol gegen den
elektrischen Strom zum Glühbirnchen. Um beim Umpolen das Potential hinauf- und herunterzuziehen, müssen geringe Ladungsmengen verschoben werden. Diese Ladungstransporte sind aber im
Vergleich zur Stärke des Stromkreises so klein, dass sie nur bei sehr schnellen Umschaltprozessen
messbar werden.
zugeorndeter Energiestrom
Fliesst der elektrische Strom auf negativem Potential, wird die Energie gegen die Ladung transportiert (Beispiel mit Batterie und Glühbirnchen bei geerdetem Pluspol). Dieser Zusammenhang steckt
schon in der Formel drin (das Vorzeichen einer Stromstärke ist auf den Bezugspfeil zu beziehen)
Vorzeichen
IW = j ◊ I
sgn(IW ) = sgn(j ) ◊ sgn(I )
sgn(): Vorzeichenfunktion
Das Vorzeichen der Prozessleistung hängt dagegen von der Orientierung des Spannungspfeils ab.
Die Spannung ist positiv, wenn der Pfeil vom höheren zum tieferen Potential zeigt. Weisen Stromund Spannungspfeil in die gleiche Richtung, wird Prozessleistung freigesetzt, sobald der Ausdruck
für die Leistung (P=U·I) positiv wird.
In einem Wechselstromnetz verändern sich sowohl Stromstärke als auch Spannung harmonisch in
der Zeit. Die mittlere Prozessleistung hängt dann auch noch von der Phase (Dj)ab
P = U ◊ I = U 0 cos(w ◊ t ) ◊ I 0 cos(w ◊ t + Df )
Wechselstrom
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Das elektromagnetische Feld
Der Feldbegriff hat seit der Einführung in die Physik durch Michael Faraday eine gewaltige Umgestaltung erfahren. Brauchte man das elektrische und das magnetische Feld anfänglich nur zur Erklärung der „Kraftwirkung“, gilt das elektromagnetische Feld heute als vollwertiges physikalisches
System. Das elektromagnetische Feld kann Impuls, Drehimpuls, Entropie und Energie sowohl speichern als auch übertragen. Dank seiner Teilchenstruktur (Photonengas) darf ihm auch ein chemisches Potential zugeordnet werden.
Das Feld als System
Das elektrische und das magnetische Feld können, solange die felderzeugenden Prozesse statisch
oder stationär sind, als zwei getrennte Systeme aufgefasst werden. Beide Felder beschreibt man mit
je einer Feldstärke. Im stationären Fall ist die Feldstärke eine Funktion des Ortes, im instationären
kommt noch eine Zeitabhängigkeit dazu.
Feldststärke
Das elektrostatische Feld ist seiner Struktur nach dem Gravitationsfeld ähnlich. Zur Ermittlung der
Feldstärke nimmt man bei der Gravitation einen Probekörper, bestimmt die einwirkende Gewichtskraft und dividiert diese durch die Masse m des Probekörpers. Die so gebildete vektorwertige Grösse
mit der Einheit N/kg, die selber nicht mehr vom Körper abhängt, heisst Gravitationsfeldstärke g.
Beim elektrischen Feld verfährt man genau gleich. Man nimmt einen geladenen Probekörper, misst
die elektrisch einwirkende Kraft und dividiert diese duch die Ladung Q des Probekörpers. Die neue
Grösse mit der Einheit N/C heisst elektrische Feldstärke E. Ist die elektrische Feldstärke an irgend
einem Punkt des Raumes gegeben, wirkt dort auf einen Körper mit Ladung Q eine Kraft ein, diegleich dem Produkt aus Feldstärke (Raumeigenschaft) und Ladung (Körpereigenschaft) ist
r
r
FE = Q ◊ E
elektrische Feldstärke
Magnetisch geladene Körper hat man bis jetzt noch keine entdeckt. Wohl besitzen die Elementarteilchen einen Eigendrehimpuls (Spin), mit dem eine mangetische Wirkung verknüpft ist, doch lässt
sich diese Erscheinung nur auf einen Dipol (Nord- und Südpol) zurückführen. Ein magnetisches Feld
wirkt aber auch auf elektrisch geladene Körper, sofern sich diese bewegen. Die Wirkung beruht auf
Ablenkung und nie auf Veränderung der Schnelligkeit (Betrag der Geschwindigkeit). Das Magnetfeld tauscht demnach mit dem bewegten Körper nur Impuls und keine Energie aus. Die einfachste
Beschreibung, die mit diesem Phänomen verträglich ist, liefert das richtige Kraftgesetz
r
r r
FB = Q(v ¥ B)
magnetisches Kraftgesetz
Das magnetische Kraftgesetz definiert die Stärke des Magnetfeldes. Die magnetische Feldstärke B
(Flussdichte, Induktion) bestimmt zusammen mit der Ladung und der Geschwindigkeit des Körpers
die zugehörige Kraft. Das Kraftgesetz ordnet der magnetischen Feldstärke die Einheit N·s/(C·m) zu.
Diese Einheit heisst auch Tesla (T).
magnetische Feldstärke
Wirkt sowohl ein elektrisches als auch ein magnetisches Feld auf einen geladenen Körper ein, können beide Kraftgesetze zur sogenannten Lorentzkraft zusammengefasst werden
r
r r r
FL = Q( E + v ¥ B)
Lorentzkraft
Man beachte, dass bei einem negativ geladenen Körper der elektrische Kraftanteil gegen die elektrische Feldstärke und der magnetische gegen das Vektorprodukt zeigt.
Elektrische und magnetische Felder lassen sich in ihrer Struktur mit der Strömung einer idealen Flüssigkeit vergleichen. Dazu ordnet man der Feldstärke eine Strömungsgeschwindigkeit zu, womit sich
Feldlinien in Stromlinien verwandeln. Feldlinien sind Hilfskurven, die so verlaufen, dass der Feldstärkevektor überall tangential zur Kurve steht. Obwohl das Feldlinienbild eine rein mathematische
Konstruktion ist, lässt es sich physisch darstellen. Streut man Eisenfeilspäne auf eine horizontal ausgerichtete, glattpolierte Platte und legt ein Magnetfeld an, verwandeln sich die Späne in kleine Stabmagneten. Die kleinen Magnete bilden dann lange Ketten, die sich nach der Feldstärke ausrichten.
Im Falle eines elektrischen Feldes nimmt man Griesskörner auf Rhizinusöl. Die Griesskörner verwandeln sich unter der Wirkung des Feldes in kleine Dipole und stellen sich parallel zur elektrischen
Feldstärke. Elektrische Feldlinien verlaufen oft von einem ersten Körper zu einem zweiten, wobei
der positiv geladene Körper als Quelle und der negativ geladene als Senke wirkt. Das Magnetfeld ist
hingegen quellenfrei, dafür bildet es Wirbel aus.
Stömungsbild
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Der elektrische Widerstand
Die elektrische Energie bezieht man in der Regel von einer sogenannten Spannungsquelle. Diese hält
die Spannung zwischen zwei Anschlüssen entweder konstant (Gleichspannungsquelle) oder verändert sie sinusartig in der Zeit (Wechselspannungsquelle). Unter der Spannung U versteht man eine
Differenz zwischen zwei Potentialen.Weil bei vielen Spannungsquellen der eine Anschluss auf Erdpotential (Nullleiter) gehalten wird, ist die Spannung identisch mit dem Potential des zweiten Anschluss (Phase).
Spannungsquellen
Verbindet man die beiden Enden eines Metalldrahtes mit einer Spannungsquelle, fliesst ein messbarer Strom. Wird der Draht durch einen Kunststofffaden ersetzt, ist kein Strom mehr messbar. Die
meisten Stoffe leiten den elektrischen Strom entweder gut oder sehr schlecht. Die erste Gruppe, die
Leiter, besitzen freie Elektronen, die für den Ladungstransport verantwortlich sind. Bei der zweiten
Gruppe, den Isolatoren, sind die Elektronen nicht frei und können folglich keine elektrische Ladung
transportieren. Die Art, wie die Elektronen gebunden sind, entscheidet also über die Leitfähigkeit
des Materials. Eine metallische Bindung (Elektronengas) liefert eine gute Leitfähigkeit, kovalente
(Elektronenpaar-) und die ionische (salzartige) Bindungen behindern den Ladungstransport. Beim
Graphit sind die Kohlenstoffatome wohl durch Elektronenpaare gebunden, doch sorgt eine nicht lokalisierbare Bindung für gute Leitfähigkeit. Flüssigkeiten und Gase leiten den elektrischen Strom
gut, falls sie genügend Ionen enthalten.
Leiter und Isolatoren
Das Verhältnis von angelegter Spannung (Ursache) zu hindurchfliessendem Strom (Wirkung) nennt
man elektrischer Widerstand R.
Widerstand
R=
U
I
[ R] =
[U ]
Volt (V)
=
= Ohm (W)
[ I ] Ampere (A)
In Serie geschaltete Widerstände dürfen direkt und parallel geschaltete reziprok zum Gesamtwert
bzw. zum Kehrwert zusammengezählt werden.
Statt vom Widerstand redet man oft vom Leitwert eines Systems. Der Leitwert ist als Kehrwert des
Widerstandes definiert
G=
1
I
=
R U
[G ] =
Leitwert
[ I ] Ampere (A)
=
= Siemens (S)
[U ]
Volt (V)
Leitwerte dürfen bei Parallelschaltung zum Gesamtleitwert zusammengezählt werden. Bei Serieschaltung gilt die reziproke Additionsvorschrift.
Sind genügend Ladungsträger vorhanden, hängt der Widerstand selber nicht von der Stromstärke ab.
Diese Gestzmässigkeit heisst Ohm‘sches Gesetz.
Gesetz von Ohm
Weil bei Serieschaltung die Einzelwiderstände zum Gesamtwert addiert werden, nimmt der elektrische Widerstand eines Drahtes proportional mit der Länge zu. Entsprechend folgt aus der Parallelschaltung die reziproke Abhängigkeit des Widerstandes vom Drahtquerschnitt. Fass man beide
Gesetzmässigkeiten zusammen, erhält man eine Berechnungsvorschrift für Widerstände von prismatischen Körpern
spezifischer Widerstand
R=r
l
A
[ r ] = W ◊ m oder [ r ] =
W ◊ mm 2
m
Die Materialgrösse r heisst spezifischer Widerstand und ist einer Tabelle zu entnehmen.
Der elektrische Widerstand von metallischen Leitern steigt mit zunehmender Temperatur. Bei Halbleitern nimmt die Beweglichkeit der Elektronen mit steigender Temperatur zu, womit der Widerstand sinkt (Heissleiter). Rein formal kann das Temperaturverhalten durch einer quadratische
Funktion angenähert werden
r = r 0 (1 + a ◊ DT + b ◊ DT 2 )
[a ] = K -1 und [ b ] = K -2
Als Temperaturbezugspunkt, bei dem r0 gemessen wird, nimmt man in der Regel 293 K (20˚C). a
und b heissen linearer und quadratischer Temperaturkoeffizient.
Temperaturabhängigkeit
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Der Kondensator
Formen
Zy
lin
de
r
ko
nd
en
sa
to
r
Eine isolierte Matallkugel besitzt eine sehr kleine elektrische Kapazität. Zudem baut sich beim Laden um die Kugel herum ein starkes elektrisches Feld auf. Umschliesst man die erste Kugel mit einer
zweiten, wird das elektrische Feld nach aussen abgeschirmt und die Kapazität des Systems vergrössert sich. Statt einer Kugel kann man auch einen Draht mit einem Hohlzyinder ummanteln oder zwei
grosse Platten gegeneinander stellen
Kugelkondensator
_
_
+
+
Plattenkondensator
_
_
_
+
+
+
_
_
+
+
Schiebt man einen ungeladenen Metallkörper in ein Gebiet, in dem ein elektrisches Feld herrscht,
treibt die elektrische Feldstärke im Metall drin einen Strom, bis der ganze Metallkörper feldfrei ist.
Auf einem Teil der Körperobberfläche sammelt sich positive und an andern Stellen negative Ladung
an. Die Ladung wird so verteilt, dass das von ihr erzeugte Feld das äussere an jeder Stelle des Metallkörpers genau kompensiert. Diese äusserst schnelle Reaktion eines Leiters auf ein externes elektrisches Feld nennt man Influenz. Die Oberflächenladung verschwindet, sobald des externe elektrische Feld nicht mehr da ist.
Influenz
Ist der innere Teil eines Kugelkondensators mit der Erde verbunden und führt man der äusseren
Schale mittels eines geriebenen Glasstabes elektrische Ladung zu, fliesst dank Influenz die gleiche
Ladungsmenge an die Erde weg. Die innere Kugel bleibt auf Erdpotential und das Potential der äusseren steigt proportional mit der zugeführten Ladung. Zwischen den Kugelschalen baut sich ein elektrisches Feld auf, das die zusammen mit der Ladung zugeführte Energie aufnimmt. Der Kondensator
selber speichert also nur Energie und keine Ladung. Ein Kondensator verhält sich analog zum hydraulischen Zweikammerspeicher.
Ladung und Feld
beim Kondensator
Unter der Kondensatorladung versteht man die geflossene oder die von einem der beiden Teile gespeicherte Ladung. Der andere Teil des Kondensators muss nicht zwingend auf Erdpotential gehalten werden. Infolge Influenz speichert er immer das Gegenteil des andern. Die elektrische Kapazität
ist definiert als Verhältnis der geflossenen Ladung zur aufgebauten Spannung
Kapazität
C=
Q
U
[C ] =
[Q ] C
= = Farad (F)
[U ] V
Multipliziert man die Prozessleistungsformel mit dem Zeitschritt dt erhält man die differenzielle Energie-Ladungs-Beziehung
Energie
dW = P ◊ dt = U ◊ I ◊ dt = U ◊ dQ
Die pro Ladungselement zugeführte Energie ist gleich dem Produkt aus Spannung und Ladung. Insgesamt entspricht die von einem Ladungsspeicher aufgenommene Energie der Fläche unter der
Spannungs-Ladungs-Kurve. Weil beim Kondensator die Spannung proportional mit der Ladung
steigt, ist die Fläche dreieckförmig
W=
1
1
Q2
U ◊ Q = C ◊U2 =
2
2
2C
Sind mehrere Kondensatoren parallel mit der gleichen Spannungsquelle verbunden, dürfen die Ladungen und somit auch die Kapazitäten zu einem Gesamtwert zusammengefasst werden. Bei in Serie
geschalteten Kondensatoren addieren sich die Reziprokwerte der Kapazitäten zum Gesamtwert eines fiktiven Ersatzkondensators.
Parallel- und Serieschaltung
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Die Spule
Ein stromdurchflossener Draht wird vom eigenen Magnetfeld richtiggehend eingehüllt. Die zugehörigen Feldlinien umkreisen den Draht zylinderförmig, d.h. der elektrische Strom bildet das Zentrum
eines magnetischen Wirbelfeldes. Stromdurchflossener Leiter und zugehöriges Magnetfeld gehorchen der rechten-Hand-Regel. Legt man den Daumen der rechten Hand parallel zum Strom, zeigen
die Finger in Richtung der magnetischen Feldlinien
Strom und Magnetfeld
B
B
I
B
I
B
Verformt man den stromführenden Draht zu einer Schleife, verstärkt sich das Magnetfeld im Innern
durch Überlagerung der Beiträge der einzelnen Leiterabschnitte. Formt man nun Schleife um Schleife, indem man den Draht zu einer Spule aufwickelt, erhält man im Spuleninnern ein äusserst starkes
Magnetfeld. Dieses Magnetfeld ist im Innern der Spule recht homogen. Im Aussenraum gleicht es
dem Feld eines Stabmagneten. Schiebt man einem Eisenkern in die Spule hinein, vervielfacht sich
die Magnetfeldstärke.
Spulen
Das elektromagnetische Feld speichert Energie. Beim Kondensator steckt die Energie im elektrischen Feld, bei der Spule im Magnetfeld. Die Energiedichte (Energie pro Volumen) ist proportional
zum Quadrat der elektrischen und der magnetischen Feldstärke. Infolge dieser quadratischen Abhängigkeit spielt die Anordnung der felderzeugenden Grössen (Ladungen und Ströme) eine wesentliche
Rolle. Durch die enge Wicklung verstärkt man die Energiespeicherfähigkeit der Spule. Der grösste
Teil der magnetischen Feldenergie steckt dann im Kern der Spule. Wickelt man den Draht zu einer
Torusspule, wird nur im Kern ein Feld aufgebaut. Die magnetische Feldenergie steckt dann vollständig im Innern der Spule.
Energie des Magnetfeldes
Supraleitende Spulen, wie sie heute zur medizinischen Analyse (Kernspintomographie) eingesetzt
werden, dissipieren keine Energie. Wohl beziehen sie Energie, um das Magnetfeld aufzubauen. Sie
geben die Energie aber wieder zurück, sobald das Magnetfeld zusammenfällt. Nun ist das Magnetfleld direkt mit dem in der Spule fliessenden Strom verbunden. Aus der quadratischen Abhängigkeit
von Energiedichte und Magnetfeldstärke folgt eine analoge Abhängigkeit zwischen Gesamtenergie
und Spulenstrom. Alle Gesetzmässigkeiten und die ganze Geometrie der Spule fasst man mit der
Grösse L zusammen und schreibt
Energie der supraleitenden Spule
W=
1
L ◊ I2
2
[ L] =
[W ]
Joule (J)
= Henry (H)
2 =
[I]
{(Ampere (A)}2
Formuliert man nun die Energiebilanz und leitet für die Inhaltsänderungsrate aus der oberen Formel
den entsprechenden Ausdruck ab (vergl. dazu Zusammenhang zwischen kinetischer Energie und zugehöriger Änderungsrate), erhält man einen Ausdruck für die über der Spule messbare Spannung
P = W˙
fi
U ◊ I = L ◊ I ◊ I˙ fi
Energiebilanz
U = L ◊ I˙
Eine Spannung ist über der supraleitenden Spule nur dann feststellbar, wenn der hindurchfliessende
Strom sich ändert. Spannung und Änderungsrate der Stromstärke sind proportional zueinander. Der
Proportionalistätsfaktor heisst Induktivität. Für die zugehörige Einheit gilt auch 1H = 1V·s/A. Das
Vorzeichen der Spannung folgt aus der Energiebilanz: beim Aufbau des Magnetfeldes verhält sich
die Spule wie ein Verbraucher, beim Abbau wie eine Energiequelle.
Induktivität
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RC-Glieder
Fügt man ein Speicherelement mit konstanter Kapazität und einen linearen Widerstand zusammen,
erhält man ein sogenanntes RC-Glied. Die Dynamik dieser Glieder ist durch die Kapazität und denWiderstand festgeleg. Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über die Kapazitäts- und Widerstandselemente aus den verschiedenen Gebieten
Gebiet
Kapazität
Einheit
Widerstand
Einheit
Hydraulik
A/(r·g)
m3/Pa
128·h·l/(p·d4)
Pas/m3
Elektrizität
C
F = C/V
R
W = V/A
Translation
Masse m
kg
viskoser Dämpfer
m/(Ns) = s/kg
Rotation
Trägheitsmomen J
kgm2
Viskokupplung
1/(Nms) = s/kgm2
Ein Gefäss mit einem langen, dünnen, horizontalen Ausflussrohr, das mit Öl oder einer andern zähen
Flüssigkeit gefüllt ist, bildet ein hydraulisches RC-Glied. Weil an der freien Oberfläche ungefähr der
gleiche Druck herrscht wie bei der Ausflussöffnung, ist der hydrostatische Druckaufbau gleich dem
widerstandsbedingten Druckgefälle. Ausgehend von der Bilanz ersetzt man die Inhaltsänderungsrate
durch das Kapazitivgesetz und den Strom durch das Widerstandsgesetz. Beim Widerstandsgesetz
achte man auf das Vorzeichen: die Volumenstromstärke hat vom Gefäss aus gesehen das andere
Vorzeichen als vom Widerstand aus
IV = V˙
-
mit - IV =
p
RV
Übersicht
Gleichungen
und V = CV ◊ p oder V˙ = CV ◊ p˙
p
= CV ◊ p˙
R
oder RV ◊ CV ◊ p˙ + p = 0
Die so gewonnene Gleichung besagt, dass der Druck am Boden des Gefässes in jedem Moment entgegengesetzt gleich gross ist, wie eine Konstante mal die Änderungsrate dieses Druckes. Die Einheit
der Konstante muss Sekunde sein. Eine Gleichung, die eine zeitabhängige Grösse mit ihrer Änderungsrate verknüpft, heisst Differentialgleichung.
Differentialgleichung
Ist eine Grösse proportional zur eigenen Änderungsrate, wird ihr Zeitverhalten durch die Exponentialfunktion beschrieben. Nimmt man als zugehörige Basis die Eulersche Zahl e, sieht die Funktion
speziell einfach aus
Lösung der Gleichung
p = p0 ◊ e
-
t
t
t = RV ◊ CV
p0 beschreibt den Überdruck am Boden des Gefässes zu Beginn des Vorganges; t nennt man die
Zeitkonstante. Je grösser die Kapazität und je grösser der Widerstand, desto langsamer verläuft der
Auslaufprozess.
Die Inhalts-Zeit-Funktion ist proportional zur Druck-Zeit-Funktion. Als Proportionalistätsfaktor
wirkt definitionsgemäss die Kapazität. Auch die Stromstärke nimmt exponentiell mit der Zeit ab.
Zum Beweis setzt man die Druck-Zeit-Funktion ins Widerstandsgesetz ein. Würde die Stromstärke
im Verlaufe des Prozesses nicht abnehmen, wäre das Gefäss exakt nach der Zeitkonstanten t leer.
Inhalt und Strom
Während des leitungsartigen Transportes nimmt die Entropie infolge Produktion laufend zu. Die
mittransportierte Energie bleibt dagegen erhalten. Deshalb behandelt man oft die Energie und nicht
die Entropie als fundamental. Interessanterweise sind sowohl die Energiekapazität als auch der thermische (energetische) Leitwert vieler Stoffe bei Raumtemperatur etwa konstant. Der Abkühlprozess
eines heissen Körpers verläuft deshalb wie bei einem hydraulischen oder elektrischen RC-Glied
Wärme als Spezialfall
DJ = DJ 0 ◊ e
-
t
t
t=
CW
GW
Die Energiekapazität CW heisst fälschlicherweise Wärmekapazität und ist pro Kilogramm Stoff tabelliert. Der Leitwert, der reziproke Widerstande, setzt sich meistens aus mehreren Teilen zusammen.
Theorie
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Spezielle Schaltungen
Wir vergleichen zwei elektrische Schaltungen miteinander. Die erste Anordnung besteht aus einem
Kondensator mit der Kapazität C, der nach dem Schliessen des Schalters S über einen Widerstand R
entladen wird. In der zweiten Schaltung fliesst ein Strom mit konstanter Stärke I durch eine supraleitende Spule. Sobald man den Schalter S öffnet, wird der durch die Spule fliessende Strom über
den Widerstand R zurückgeführt.
RC- und RL-Glieder
I
C
L
S
S
U
R
R
Das erste Problem ist im letzten Abschnitt besprochen worden. Als Repetition sei hier die Herleitung
nochmals gegeben. Beim zweiten Problem steigt die Spannung über dem Widerstand nach dem Öffnen des Schalters schlagartig auf den Wert U = R·I. Die gleiche Spannung herrscht dann aber auch
über der Induktivität. Diese reagiert darauf mit einer negativen Änderungsrate des Stromes. So gehen Strom und Spannung mit abnehmender Intensität gegen Null
U
R
I = Q˙
mit - I =
UL + UR = 0
mit U L = L ◊ I˙
und Q˙ = C ◊ U˙
also R ◊ C ◊ U˙ + U = 0
und U R = R ◊ I
also
Differentialgleichungen
L ˙
I+I=0
R
Die beiden Differentialgleichungen sind mathematisch identisch. In beiden Fällen ist die gesuchte
Grösse (U oder I) proportional zur eigenen Änderungsrate. Der Proportionalitätsfaktor selber ist
kleiner als Null ist.
Nicht nur die Differentialgleichungen sind gleich. In beiden Fällen ist die gesuchte Grösse (U oder
I) anfänglich positiv und strebt dann gegen Null. Deshalb können wir die Lösung des Kondensatorproblems auf den Ausschaltvorgang der Spule übertragen
UC = U 0 ◊ e
-
t
t
t = R◊C
I L = I0 ◊ e
-
t
t
t=
Stom und Spannung
beim R-L-Glied
L
R
Die Spannung, die über der Spule herrscht, ist in jedem Moment gleich der Spannung über dem Widerstand. Folglich darf die Spannung mit der gleichen Funktion wie der Strom beschrieben werden.
Für den Anfangswert gilt U0 = R·I0.
Beiden Schaltungen können auch zusammen mit einer idealen Spannungsquelle betrieben werden
C
R
L
U0
R
U0
+
+
S
S
In der ersten Schaltung ist der Kondensator anfänglich ungeladen. Der Ladestrom geht vom Maximalwert langsam gegen Null. Bei der zweiten Schaltung ist die Stromstärke anfänglich gleich Null.
Mit dem Strom wächst auch die Spannung über dem Widerstand. Die Spannung über dem Kondensator und der Strom durch die Spule zeigen wieder das gleich Zeitverhalten
UC = U0 (1 - e
-
t
t
)
t = R◊C
I L = I0 (1 - e
-
t
t
)
t=
L
R
Schaltungen mit
Spannungsquellen