Kinetische Gastheorie - Ing. Peter R. Hakenesch
Werbung
Thermodynamik __________________________________________________________________________________________________________ Thermodynamik Prof. Dr.-Ing. Peter Hakenesch [email protected] www.lrz-muenchen.de/~hakenesch __________________________________________________________________________________________________________ Thermodynamik _________________________________________________________________________________________________________ 1 Einleitung 2 Grundbegriffe 3 Systembeschreibung 4 Zustandsgleichungen 5 Kinetische Gastheorie 6 Der erste Hauptsatz der Thermodynamik 7 Kalorische Zustandsgleichungen 8 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik 9 Zustandsänderungen 10 Reversible Kreisprozesse 11 Kreisprozesse thermischer Maschinen 12 Kälteanlagen _________________________________________________________________________________________________________ Folie 1 von 18 Thermodynamik Kinetische Gastheorie __________________________________________________________________________________________________________ 5 Kinetische Gastheorie 5.1 Druck als Ergebnis von Stoßvorgängen Klassische Thermodynamik Erkenntnisse beruhen auf experimenteller Untersuchung thermodynamischer Prozesse Kinetische Gastheorie ⇒ Teil der statistischen Thermodynamik ⇒ Betrachtung der mikroskopischen Struktur der gasförmigen Materie ⇒ Beschreibung der Stoffeigenschaften und Gesetzmäßigkeiten erfolgt auf Basis der klassischen Mechanik und Statistik __________________________________________________________________________________________________________ Folie 2 von 18 Thermodynamik Kinetische Gastheorie __________________________________________________________________________________________________________ Annahmen der kinetischen Gastheorie - Atome und Moleküle werden durch Massepunkte repräsentiert, die sich in einer permanenten, ungeordneten Bewegung befinden - Massepunkte bewegen sich auf geradlinigen Bahnen mit gleichförmiger Geschwindigkeit - Stoßvorgänge zwischen einzelnen Teilchen oder mit einer Wand, entsprechen elastischen Stößen - Anziehungskräfte zwischen den Teilchen sind aufgrund der (angenommenen) geringen Dichte vernachlässigbar Kenntnis der mikroskopischen Daten eines Systems, d.h. - Anzahl der im Volumen enthaltenen Teilchen - Teilchenmasse -Geschwindigkeit ⇒ Berechnung der makroskopischen Größen, wie z.B. Druck, Volumen und Temperatur __________________________________________________________________________________________________________ Folie 3 von 18 Thermodynamik Kinetische Gastheorie __________________________________________________________________________________________________________ Impuls und Stoß Elastischer Stoß Körper bewegen Geschwindigkeit sich c, während stoßen sich einer kurzen Berührungsphase mit einer wieder ab und bewegen sich mit gemeinsamen unterschiedlichen Geschwindigkeiten c1’ und c2’ weiter c2 c1 m1 m2 c m1 + m2 c1' c2' m1 m2 Elastischer Stoß __________________________________________________________________________________________________________ Folie 4 von 18 Thermodynamik Kinetische Gastheorie __________________________________________________________________________________________________________ Impulssatz ′ ′ m1 ⋅ c1 + m2 ⋅ c 2 = m1 ⋅ c1 + m 2 ⋅ c 2 ′ ′ m1 ⋅ ⎛⎜ c1 − c1 ⎞⎟ = m2 ⋅ ⎛⎜ c 2 − c 2 ⎞⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Körper erfahren keine bleibenden Verformungen, Summe der Bewegungsenergie vor und nach dem elastischen Stoß bleibt gleich d.h. Ekin = Ekin'. Energiesatz ′2 m1 ⋅ c1 m ⋅c m ⋅c + 2 2 = 1 1 2 2 2 2 2 + m2 ⋅ c 2 2 ′2 Einsetzen in den Impulssatz ergibt die Geschwindigkeiten nach dem elastischen Stoß ′ (m − m2 ) ⋅ c1 + 2 ⋅ m2 ⋅ c 2 c1 = 1 m1 + m2 ′ (m − m2 ) ⋅ c 2 + 2 ⋅ m1 ⋅ c1 c2 = 1 m1 + m2 __________________________________________________________________________________________________________ Folie 5 von 18 Thermodynamik Kinetische Gastheorie __________________________________________________________________________________________________________ Unelastischer Stoß Die am Stoßvorgang beteiligten Körper sind unelastisch ⇒ Verformung an den Berührungsstellen ⇒ Körper bewegen sich mit gemeinsamer Geschwindigkeit c weiter c2 c1 m1 m2 c m1 + m2 Unelastischer Stoß __________________________________________________________________________________________________________ Folie 6 von 18 Thermodynamik Kinetische Gastheorie __________________________________________________________________________________________________________ Geschwindigkeit c nach dem Stoß aus Impuls- und Energiesatz m1 ⋅ c1 + m2 ⋅ c 2 = (m1 + m2 ) ⋅ c c= m1 ⋅ c1 + m2 ⋅ c 2 m1 + m2 Geleistete Verformungsarbeit ΔW ergibt sich aus der Differenz der Bewegungsenergien W1 und W2 vor und nach dem Stoß: m ⋅c m ⋅c W1 = 1 1 + 2 2 2 2 (m1 + m2 ) ⋅ c 2 W2 = 2 2 m1 ⋅ m2 ⋅ (c1 − c 2 ) ΔW = W1 − W2 = 2 ⋅ (m1 + m2 ) 2 2 __________________________________________________________________________________________________________ Folie 7 von 18 Thermodynamik Kinetische Gastheorie __________________________________________________________________________________________________________ Kontrollvolumen Innerhalb des Quaders befinden sich N Gasteilchen mit der Masse mT. Betrachtung eines Teilchens i, 1 ≤ i ≤ N __________________________________________________________________________________________________________ Folie 8 von 18 Thermodynamik Kinetische Gastheorie __________________________________________________________________________________________________________ Impuls I dieses Teilchens beträgt I = mT ⋅ c Beim elastischen Aufprall auf die Wand ändert sich die y-Komponente des Impulses mT ⋅ c y ,i → mT ⋅ (− c y ,i ) d.h. ΔI y ,i = I y ,i (t + Δt ) − I y ,i (t ) = mT ⋅ (− c y ,i ) − mT ⋅ c y ,i = − 2 ⋅ mT ⋅ c y ,i Differenzierung des Impulses nach der Zeit ergibt Kraft auf die Wand F= ΔI y ,i 2 ⋅ mT ∂I ⇒ FT ,i = ⋅ c y ,i = ∂t Δt Δt __________________________________________________________________________________________________________ Folie 9 von 18 Thermodynamik Kinetische Gastheorie __________________________________________________________________________________________________________ Betrag der auf die rechte Wand übertragenen Kraft F ergibt sich aus der Summation der Impulsänderungen aller Gasteilchen ΔN, die im Zeitintervall Δt auf die rechte Wand auftreffen 2 ⋅ mT ΔN F = ∑ Fi = ⋅ ∑ c y ,i Δ t i =1 i =1 ΔN Mit der mittleren Geschwindigkeit F = ΔN ⋅ 2 ⋅ mT ⋅ Δt cy cy 2 der Teilchen in y-Richtung ergibt sich für die Kraft F 2 Im Zeitintervall Δt können nur so viele Teilchen ΔN auf die Wand treffen, die sich im Abstand Δy = cy 2 ⋅ Δt von der Wand befinden, also in der Volumenscheibe ΔV ΔV = Δy ⋅ A = cy 2 ⋅ Δt ⋅ A __________________________________________________________________________________________________________ Folie 10 von 18 Thermodynamik Kinetische Gastheorie __________________________________________________________________________________________________________ Anzahl der Teilchen NΔV in der Volumenscheibe ΔV N ΔV = N N ⋅ ΔV = ⋅ V V cy 2 ⋅ Δt ⋅ A Statistisch bewegen sich im Zeitintervall Δt gleich viele Teile nach rechts, wie nach links ⇒ Anzahl der Teilchen, die sich im Zeitintervall Δt auf die rechte Wand zu bewegen, entspricht der Hälfte der Teilchen, die sich in der Volumenscheibe ΔV befindet 1 1 N ΔN = ⋅ N ΔV = ⋅ ⋅ 2 2 V cy 2 ⋅ Δt ⋅ A Einsetzen von ΔN in die Gleichung für die Druckkraft ergibt F = ΔN ⋅ 2 ⋅ mT ⋅ Δt cy 2 ⇒ F= N 2 ⋅ mT ⋅ c y ⋅ A V __________________________________________________________________________________________________________ Folie 11 von 18 Thermodynamik Kinetische Gastheorie __________________________________________________________________________________________________________ Druck auf die Wandfläche A p= F N 2 = ⋅ mT ⋅ c y A V Bewegung der Teilchen erfolgt mit gleicher Wahrscheinlichkeit in alle Richtungen cx 2 = cy c 2 = cx ⇒ 2 2 = cz + cy 2 2 + cz 2 Definition einer mittleren Geschwindigkeit, die mittlere thermische Geschwindigkeit c= cx 2 + cy 2 + cz 2 mit 1 c y2 = ⋅ c 2 3 __________________________________________________________________________________________________________ Folie 12 von 18 Thermodynamik Kinetische Gastheorie __________________________________________________________________________________________________________ folgt für den Druck 1 N p = ⋅ ⋅ mT ⋅ c 2 3 V ⇒ Druck = Folge von Stoßvorgängen der Gasmoleküle auf die Behälterwand __________________________________________________________________________________________________________ Folie 13 von 18 Thermodynamik Kinetische Gastheorie __________________________________________________________________________________________________________ 5.2 Temperatur als Maß der kinetischen Energie Die Gleichung für den Druck läßt sich auch schreiben als 1 N 2 1 p = ⋅ ⋅ mT ⋅ c 2 ⇒ p ⋅ V = ⋅ N ⋅ ⋅ mT ⋅ c 2 3 V 3 2 mit der mittleren kinetischen Energie eines Teilchen ET = 1 ⋅ mT ⋅ c 2 2 folgt p ⋅V = 2 ⋅ N ⋅ ET 3 __________________________________________________________________________________________________________ Folie 14 von 18 Thermodynamik Kinetische Gastheorie __________________________________________________________________________________________________________ Vergleich mit der thermischen Zustandsgleichung des idealen Gases p ⋅ V = m ⋅ R ⋅ T = N ⋅ mT ⋅ R ⋅ T ⇒ mittlere kinetische Energie eines Gasteilchens ist proportional der thermodynamischen Temperatur T des Gases 3 ET = ⋅ mT ⋅ R ⋅ T 2 Gesamte kinetische Energie aller N Teilchen, die sich im Volumen V befinden berechnet sich mit m = N ⋅ mT zu N 3 E = ⋅ m ⋅ R ⋅T ∑ T 2 i =1 Absolute Temperatur T stellt somit ein Maß für die innere Energie der Gasmasse dar __________________________________________________________________________________________________________ Folie 15 von 18 Thermodynamik Kinetische Gastheorie __________________________________________________________________________________________________________ Ersetzen der Masse m durch das Produkt aus Teilchenanzahl n und Molmasse M m=n⋅M und der stoffspezifischen Gaskonstante R durch die universelle Gaskonstante Rm R= Rm M ergibt gesamte kinetische Energie des Systems N 3 E = ⋅ n ⋅ Rm ⋅ T ∑ T 2 i =1 ⇒ Die kinetische Energie eines Systems ist ausschließlich eine Funktion von Temperatur und Anzahl der Teilchen, jedoch unabhängig von der Teilchenmasse __________________________________________________________________________________________________________ Folie 16 von 18 Thermodynamik Kinetische Gastheorie __________________________________________________________________________________________________________ Ü 5.1: Mittlere thermische Geschwindigkeit eines Luftmoleküls ISA-Standardbedingungen: T = 288.15 [K] (=15°C) RLuft = 287.1 [J/kg⋅K] __________________________________________________________________________________________________________ Folie 17 von 18
