Zusammenhang - Zentrum für Angewandte Informatik der Universität

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Graphentheorie
Zusammenhang
Rainer Schrader
Zentrum für Angewandte Informatik Köln
13. November 2007
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Zusammenhang
Zusammenhang
Wir betrachten eine Variante des Durchmusterns, die den Zusammenhang
eines Graphen testet
Gliederung
(0)
(1)
(2)
(3)
(4)
• Zusammenhangstest
• Zusammenhang und Schnittkanten
• Wälder und Bäume
• minimal aufspannende Bäume
• Der Satz von Menger
• 2-zusammenhängende Graphen
• Kreise und Schnitte
setze E 0 = E , F = ∅
wähle e ∈ E 0 und setze F = F ∪ {e}, E 0 = E 0 r {e}
wähle e ∈ E 0 , die mit mindestens einem Knoten in V (F ) inzidiert
setze F = F ∪ {e}, E 0 = E 0 r {e}
wiederhole (2)–(3), bis E 0 keine solche Kante mehr enthält
Satz 1
Der obige Algorithmus hält genau dann mit E = F und V = V (F ), wenn
G zusammenhängend ist.
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Zusammenhang
Zusammenhang
Beweis:
Dieser einfache Algorithmus folgt dem einfachen Prinzip der
Dekomposition
• die erzeugten Teilgraphen (V (F ), F ) sind zusammenhängend
• daher ist G zusammenhängend, wenn der Algorithmus mit
Ohren-
(1) wähle Basisgraph (Knoten, Kante, Weg, Kreis)
E = F und V = V (F ) hält,
(2) füge „Ohren“ zu dem bisher konstruierten Graph hinzu (etwa Kanten,
Wege, die mit den bisher konstruierten Knoten inzidieren)
• sei umgekehrt G zusammenhängend und |V | ≥ 2
• nach Schritt (1) existiert ein Knoten u ∈ V (F )
• in unserem Algorithmus sind sowohl der Basisgraph als auch die Ohren
• da G zusammenhängend ist, existiert zu jedem beliebigen Knoten
Kanten
v ∈ V ein Weg u = v1 , v2 , . . . , vk = v in G
• das Vorgehen ist im Allgemeinen nicht eindeutig
• da v1 ∈ V (F ), muss die Kante v1 v2 im Schritt (2) zu F hinzugefügt
worden sein
• wir werden für einige strukturelle Eigenschaften zeigen, dass sie eine
charakteristische Ohrendekomposition haben
• ebenso die Kanten (v2 , v3 ), . . . , (vk −1 , vk ), d.h. v ∈ V (F )
• somit V = V (F ), und wegen Schritt (2) gilt dann auch F = E .
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Zusammenhang
Zusammenhang
Als Folgerung ergibt sich:
Gliederung
Korollar 2
• Zusammenhangstest
• Zusammenhang und Schnittkanten
• Wälder und Bäume
• minimal aufspannende Bäume
Jeder zusammenhängende Graph mit n Knoten hat mindestens
n − 1 Kanten.
Beweis:
• der Basisgraph besteht aus einer Kante und zwei Knoten
• Der Satz von Menger
• 2-zusammenhängende Graphen
• Kreise und Schnitte
• in jedem Schritt (2) wird eine Kante und höchstens ein neuer Knoten
hinzugefügt
• somit gilt stets |F | ≥ |V (F )| − 1.
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Zusammenhang
Zusammenhang
Eine Kante e heißt Schnittkante, falls G r e mehr Zusammenhangskomponenten hat als G (genauer: eine mehr)
Beweis:
Wir können o.B.d.A. annehmen, dass G zusammenhängend ist.
Satz 3
(i) e ist Schnittkante ⇒
Für eine Kante e ∈ E sind folgende Aussagen äquivalent:
(ii) für zwei Knoten u, v ∈ V liegt e auf jedem (u, v )-Weg:
(i) e ist Schnittkante,
• seien u und v zwei Knoten aus verschiedenen
(ii) es existieren Knoten u, v ∈ V , so dass e auf jedem (u, v )-Weg liegt,
Zusammenhangskomponenten von G r e
(iii) e liegt in keinem Kreis von G,
• dann existiert kein (u, v )-Weg in G r e und jeder (u, v )-Weg in
G muss e enthalten
(iv) in jeder Ohrendekomposition ist genau ein Endknoten von e in V (F ),
wenn e zu F hinzugefügt wird.
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Zusammenhang
Zusammenhang
(ii) für zwei Knoten u, v ∈ V liegt e auf jedem (u, v )-Weg ⇒
(iii) e liegt in keinem Kreis von G:
⇒
(iii)
e liegt in keinem Kreis von G
(iv)
in jeder Ohrendekomposition ist genau ein Endknoten von e in V (F ),
wenn e zu F hinzugefügt wird.
• sei W ein (u, v )-Weg, der e enthält
• angenommen es existiert eine Ohren-Dekomposition von G, in der
• angenommen e liegt auf einem Kreis C
beide Endknoten konstruiert worden sind, bevor e zu F hinzugefügt
wird
• wir ersetzen in W e durch C r e
• dann existiert ein Weg W in G r e, der die Endknoten von e verbindet
• dadurch erhalten wir einen (u, v )-Pfad P
• der Pfad P enthält einen (u, v )-Weg W 0 , der e nicht enthält
• W ∪ {e} ist dann ein Kreis
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Zusammenhang
(iv)
in jeder Ohrendekomposition ist genau ein Endknoten von e in V (F ),
• zur Erinnerung:
⇒
wenn e zu F hinzugefügt wird
(i)
Zusammenhang
• für W ⊆ V ist der induzierte Schnitt die Kantenmenge
e ist Schnittkante
E (W , V r W ) = {(x , y ) : x ∈ W , y ∈
/ W}
• ein Schnitt heißt minimal, wenn er nicht leer ist und per Inklusion
• ist e keine Schnittkante, so ist G r e zusammenhängend
minimal ist,
• betrachte eine beliebige Ohren-Dekomposition von G r e
• d.h. er enthält keine keine echte, nichtleere Teilmenge, die selbst wieder
• füge am Schluss e hinzu
ein Schnitt ist
• nach Satz 1 liefert dies eine Ohren-Dekomposition von G
• (ein minimaler Schnitt wird oft auch als Kozyklus bezeichnet)
• in ihr sind beide Endknoten von e bereits vor Hinzufügen von
• insbesondere ist jede Schnittkante {e} ein minimaler Schnitt
e konstruiert worden
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Zusammenhang
Zusammenhang
Lemma 4
Beispiel:
1
Sei G zusammenhängend und E (W , V r W ) ein nichtleerer Schnitt.
E (W , V r W ) ist minimal ⇐⇒ die Graphen G(W ) und G(V r W ) sind
zusammenhängend.
4
2
Beweis:
6
• sei E (W , V r W ) ein minimaler Schnitt
• angenommen G(W ) hat k ≥ 2 Komponenten Gi = (Wi , Ei ),
5
i = 1, . . . , k
3
W1
W2
W3
W
• sei W = {1, 2, 3}
• der von W induzierte Schnitt ist nicht minimal,
V−W
• denn {6} und {4, 5} induzieren Schnitte, die in dem von
W induzierten enthalten sind
• da G zusammenhängend ist, ist jedes Gi mit G r Wi durch
mindestens eine Kante verbunden
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Zusammenhang
Zusammenhang
Lemma 5
W1
W2
W3
W
Jeder nichtleere Schnitt eines zusammenhängenden Graphen ist disjunkte
Vereinigung von minimalen Schnitten.
V−W
Beweis:
• sei E (W , V r W ) ein nichtleerer Schnitt
• dann sind die Mengen E (Wi , V r Wi ) nichtleere Schnitte, die in
E (W , V r W ) echt enthalten sind
• seien Gi = (Wi , Ei ), i = 1, . . . , k die Zusammenhangskomponenten
von G(W )
• seien umgekehrt G(W ) und G(V r W ) zusammenhängend und sei
E (W , V r W ) 6= ∅,
W1
W3
W2
W
• dann kann die Entfernung einer echten Teilmenge von
E (W , V r W ) den Graphen G nicht unzusammenhängend machen
V−W
• damit ist E (W , V r W ) minimaler Schnitt.
• offensichtlich sind die Schnitte E (Wi , V r Wi ) paarweise kantendisjunkt
• weiter ist E (W , V r W ) =
Sk
i =1
E (Wi , V r Wi )
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Zusammenhang
W1
W2
W
V
V
k
Zusammenhang
W
Gliederung
V1
2
• es ist E (W , V r W ) =
l
Sk
i =1
V-W
• Zusammenhangstest
• Zusammenhang und Schnittkanten
• Wälder und Bäume
• minimal aufspannende Bäume
E (Wi , V r Wi )
• ist V r W zusammenhängend, so auch V r Wi für alle i
• Der Satz von Menger
• 2-zusammenhängende Graphen
• Kreise und Schnitte
• nach Lemma 4 sind dann die E (Wi , V r Wi ) minimale Schnitte
• andernfalls seien V1 , . . . , V` die Komponenten von V r W
• betrachte die von W ∪ Vi induzierten Graphen
• per Induktion ist E (W , Vi ) disjunkte Vereinigung von minimalen
Schnitten
• da E (W , V ) =
S`
i =1
E (W , Vi ), folgt die Behauptung.
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Zusammenhang
Zusammenhang
Lemma 6
Die Endknoten längster Wege in einem Baum haben Grad eins.
• wir betrachten jetzt Graphen, in denen jede Kante Schnittkante ist
Beweis:
• äquivalent dazu ist, dass der Graph keine Kreise enthält
• sei W ein Weg maximaler Länge, u ein Endknoten von W und
v der Nachbar von u auf W
• ein Graph ohne Kreise heißt Wald
• angenommen u hat einen weiteren Nachbarn w
• ein zusammenhängender Wald ist ein Baum
• wenn w nicht auf W liegt, so ist W , w oder w , W ein längerer Weg
• ein Blatt in einem Wald ist ein Knoten vom Grad eins
als W
• falls w auf W liegt, so induzieren der Weg von w nach u und die
• Bäume haben immer mindestens zwei Blätter:
Kante (w , u) einen Kreis.
Diese einfache Beobachtung führt uns zu den folgenden Charakterisierungen
von Bäumen:
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Zusammenhang
Zusammenhang
Satz 7
Sei G = (V , E ). Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
Beweis:
(i) G ist zusammenhängend und hat n − 1 Kanten,
(i) G ist zusammenhängend und hat n − 1 Kanten ⇒
(ii) G ist kreisfrei und hat n − 1 Kanten,
(ii) G ist kreisfrei und hat n − 1 Kanten:
(iii) G ist zusammenhängend und kreisfrei,
(iv) G ist zusammenhängend und jede Kante von G ist Schnittkante,
• angenommen G hat einen Kreis C
(v) je zwei Knoten sind durch genau einen Weg verbunden,
• dann kann nach Satz 3 keine Kante e ∈ C Schnittkante sein
(vi) G ist kreisfrei und das Hinzufügen einer Kante mit Endknoten in
G erzeugt genau einen Kreis,
• d.h. für alle e ∈ C ist G r e zusammenhängend, hat n Knoten und
n − 2 Kanten, im Widerspruch zu Korollar 2.
(vii) G ist bipartit, je zwei Knoten sind durch genau einen kürzesten Weg
verbunden,
(viii) G besitzt die folgenden Ohrendekomposition:
(a) der Basisgraph ist eine Kante e ∈ E , die nicht Schleife ist,
(b) die Ohren sind Kanten e = (u, v ) ∈ E mit u ∈ V (F ),
v ∈ V r V (F ).
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Zusammenhang
Zusammenhang
(ii) G ist kreisfrei und hat n − 1 Kanten ⇒
(iii) G ist zusammenhängend und kreisfrei ⇒
(iii) G ist kreisfrei und zusammenhängend:
(iv) G ist zusammenhängend und jede Kante von G ist Schnittkante
• folgt aus Satz 3.
• Induktion über |V |
• die Aussage ist richtig für n = 2
(iv) G ist zusammenhängend und jede Kante von G ist Schnittkante ⇒
• sei G ein kreisfreier Graph mit n + 1 Knoten und n Kanten
(v) je zwei Knoten sind durch genau einen Weg verbunden
• dann ist G ein Wald und enthält nach Lemma 6 einen Knoten v vom
• da G zusammenhängend ist, sind je zwei Knoten durch einen Weg
Grad eins
verbunden
• G r v hat n Knoten, n − 1 Kanten und ist kreisfrei
• angenommen zwei Knoten sind durch zwei Wege verbunden
• nach Induktionsannahme ist G r v zusammenhängend und damit
auch G.
• diese beiden Wege enthalten dann einen Kreis
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Zusammenhang
(v)
(vi)
Zusammenhang
je zwei Knoten sind durch genau einen Weg verbunden ⇒
(vi)
G ist kreisfrei, für (u, v ) ∈
/ E enthält G + (u, v ) genau einen Kreis ⇒
G ist kreisfrei und das Hinzufügen einer Kante mit Endknoten in G
(viii)
G besitzt eine Ohrendekomposition mit einer Kante e ∈ E als Basisgraph,
Kanten e = (u, v ) ∈ E mit u ∈ V (F ), v ∈ V r V (F ) als Ohren
erzeugt genau einen Kreis:
• G ist kreisfrei, da sonst zwei Knoten durch 2 Wege verbunden wären
• für (u, v ) ∈
/ E enthält G + (u, v ) genau einen Kreis
• das Hinzufügen einer Kante e kann somit auch nur genau einen Kreis
• d.h. G enthält einen (u, v )-Weg und ist damit zusammenhängend
erzeugen:
• der Algorithmus erzeugt einen zusammenhängenden Untergraphen
G 0 = (V (F ), F )
• seien C1 und C2 zwei Kreise
• sei e ∈ C1 ∩ C2
`
´
• dann existiert ein Kreis C ⊆ C1 ∪ C2 r e
• damit enthält G einen Kreis
• da G zusammenhängend ist, ist G 0 aufspannend, d.h. es gilt
V (F ) = V
• angenommen am Ende des Algorithmus existiert eine Kante
(u, v ) ∈ E r F
• da G 0 = (V , F ) zusammenhängend ist, existiert in G 0 ein (u, v )-Weg
• damit existiert in G 0 + (u, v ) ⊆ G ein Kreis
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Zusammenhang
(viii)
(i)
Zusammenhang
G besitzt eine Ohrendekomposition mit einer Kante e ∈ E als Basisgraph,
(v)
Kanten e = (u, v ) ∈ E mit u ∈ V (F ), v ∈ V r V (F ) als Ohren ⇒
(vi)
G ist zusammenhängend und hat n − 1 Kanten
je zwei Knoten sind durch genau eine Weg verbunden und
G ist kreisfrei und das Hinzufügen einer Kante mit Endknoten in G
erzeugt genau einen Kreis ⇒
(vii)
• der Algorithmus erzeugt in jedem Schritt zusammenhängende Graphen
G ist bipartit, je zwei Knoten sind durch genau einen kürzesten Weg
verbunden
(V (F ), F ) mit |F | = |V (F )| − 1
• da G kreisfrei ist, ist G bipartit (Lemma 1.7)
• da am Ende V (F ) = V und F = E gilt, ist G zusammenhängend
und hat n − 1 Kanten
• da G genau einen (u, v )-Weg enthält, existiert auch genau ein
kürzester (u, v )-Weg
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Zusammenhang
Zusammenhang
(vii) G ist bipartit, zwischen je zwei Knoten existiert genau ein kürzester Weg ⇒
(iii) G ist zusammenhängend und kreisfrei
Korollar 8
Ein Graph ist genau dann zusammenhängend, wenn er einen
aufspannenden Baum enthält.
• da die Wege existieren, ist G zusammenhängend
Beweis:
• angenommen G enthält einen Kreis
• sei C ein Kreis kürzester Länge
• sei T ein aufspannender Baum eines Graphen G
• da G bipartit ist, hat C gerade Länge, C = [v1 , . . . , v2k ]
• da T zusammenhängend ist, ist auch der Obergraph
G zusammenhängend
• die (v1 , vk +1 )-Wege W1 = v1 , v2 , . . . , vk +1 und
• sei umgekehrt G zusammenhängend
W2 = v1 , v2k , . . . , vk +1 haben beide die Länge k
• dann enthält G einen minimal zusammenhängenden Teilgraphen T ,
• nach Voraussetzung existiert dann ein kürzerer (v1 , vk +1 )-Weg
bei dem jede Kante Schnittkante ist
v1 = w1 , w2 , . . . , wj = vk +1 mit j ≤ k
• nach Satz 7 (iv) ist T ein Baum.
• dann enthält aber v1 , v2 , . . . , vk +1 , wj −1 , wj −2 , . . . , w2 einen Kreis, der
kürzer als C ist.
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Zusammenhang
Zusammenhang
Ein Wald F ⊆ G heißt maximal, wenn für jede Komponente G 0 von G der
Teilgraph F ∩ G 0 ein aufspannender Baum ist.
• die aufspannenden Bäume in einem zusammenhängenden Graphen
Beispiel:
• sie erinnert an die Eigenschaften linear unabhängiger Vektoren
haben sehr viel Struktur
• jede Kante eines aufspannenden Baums kann durch eine geeignete
Die blauen Kanten bilden
einen aufspannenden,
nicht-maximalen Wald.
Kante eines anderen aufspannenden Baumes ersetzt werden:
Korollar 10
Seien T , T 0 zwei aufspannende Bäume eines zusammenhängenden
Graphen. Dann existiert zu jedem e ∈ E (T ) r E (T 0 ) ein
e 0 ∈ E (T 0 ) r E (T ), so dass T r e ∪ e 0 wieder ein aufspannender Baum ist.
Korollar 9
Seien G ein Graph mit k Komponenten und F ⊆ G. F ist genau dann ein
maximaler Wald, wenn F k Komponenten und n − k Kanten hat.
Beweis: folgt aus Satz 7 und Korollar 8.
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Zusammenhang
Zusammenhang
Korollar 11
Beweis:
Seien T , T 0 zwei aufspannende Bäume eines zusammenhängenden
Graphen. Zu jedem e 0 ∈ E (T 0 ) r E (T ) existiert dann ein
e ∈ E (T ) r E (T 0 ), so dass T ∪ e 0 r e wieder ein aufspannender Baum ist.
• nach Satz 7 ist e Schnittkante von T
• damit zerfällt der Graph (V , E (T ) r e) in zwei
Zusammenhangskomponenten U und W
Beweis:
• da T 0 ein aufspannender Baum ist, existiert in T 0 ein Weg, der die
• nach Satz 7 enthält T ∪ e 0 genau einen Kreis
Endknoten von e verbindet
• die Kanten dieses Kreises können nicht alle in E (T 0 ) liegen, da
• dieser Weg enthält mindestens eine Kante e 0 , die U mit W verbindet
T 0 kreisfrei ist
• per Konstruktion ist e 0 ∈ E (T 0 ) r E (T ) und T r e ∪ e 0 ist wieder ein
• dieser Kreis enthält somit mindestens eine Kante e ∈ E (T ) r E (T 0 ).
aufspannender Baum.
• wenn wir e entfernen, erhalten wir wieder einen kreisfreien und
zusammenhängenden Graphen
Umgekehrt können wir auch beliebige „fremde“ Kanten in einen Baum zwin-
• nach Satz 7 ist also T ∪ e 0 r e wieder ein aufspannender Baum.
gen:
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Zusammenhang
Zusammenhang
• die Struktureigenschaften aufspannender Bäume ermöglichen es,
Bäume mit möglichst geringem Gewicht zu bestimmen
Gliederung
• sei dazu G = (V , E ) ein zusammenhängender Graph
• Zusammenhangstest
• Zusammenhang und Schnittkanten
• Wälder und Bäume
• minimal aufspannende Bäume
• auf den Kanten seien Gewichte c(e) gegeben
• wir suchen einen aufspannenden Baum T = (V , F ) von G, so dass
c(T ) =
• Der Satz von Menger
• 2-zusammenhängende Graphen
X
c(e)
e∈F
minimal ist unter allen aufspannenden Bäumen
• Kreise und Schnitte
• wir können dieses Problem mit einer der Variante der
Ohren-Dekomposition lösen:
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Zusammenhang
Zusammenhang
Algorithmus von Prim
Algorithmus von Kruskal
(1) wähle v ∈ V beliebig und setzte U = {v }, T = ∅
(2) wähle eine minimal-gewichtete Kante e = (u, v ) ∈ E mit
u ∈ U, v ∈ V r U
(3) setze U = U ∪ v und T = T ∪ e
(4) wiederhole (2)–(3) so lange, bis keine solche Kante mehr existiert
(1) Setze F = ∅
(2) for i = 1 to |V | − 1 do
(3)
wähle eine minimal-gewichtete Kante e ∈ E r F ,
die keinen Kreis in F schließt.
(4)
setze F = F ∪ e, E = E r e
end do
• wir zeigen nicht die Korrektheit dieses Verfahrens
• und betrachten eine zweites Verfahren
Satz 12
Der Algorithmus von Kruskal berechnet einen minimalen aufspannenden
Baum.
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Zusammenhang
Zusammenhang
Beweis:
• Kruskals Algorithmus lässt sich mit geeigneten Datenstrukturen so
• offensichtlich bildet der erzeugte Teilgraph T = (V , F ) einen
implementieren, dass er eine Laufzeit von O(m log m) = O(m log n) hat
aufspannenden Baum
• wir beenden damit den Abschnitt über Bäume und wenden uns wieder
• angenommen T hat nicht minimales Gewicht
Fragen des Zusammenhangs zu
• sei T 0 ein minimal-aufspannender Baum mit |E (T 0 ) ∩ E (T )| maximal
• betrachte eine minimal-gewichtete Kante e 0 ∈ E (T 0 ) r E (T )
• nach Korollar 11 existiert eine Kante e ∈ E (T ) r E (T 0 ), so dass
S = T 0 ∪ e r e 0 ein aufspannender Baum ist
• da der Algorithmus die Kante e der Kante e 0 vorgezogen hat, gilt
c(e) ≤ c(e 0 )
und somit
c(S) ≤ c(T 0 )
• dann ist S ein minimal-aufspannender Baum, der mehr Kanten mit
T gemeinsam hat als T 0 .
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Zusammenhang
Zusammenhang
• seien s, t ∈ V zwei beliebige Knoten in einem (gerichteten) Graphen
• wieviele Kanten bzw. Knoten müssen mindestens entfernt werden, um
Gliederung
alle Wege von s nach t zu zerstören ?
• Zusammenhangstest
• Zusammenhang und Schnittkanten
• Wälder und Bäume
• minimal aufspannende Bäume
• für den Fall gerichteter Graphen und Kanten kennen wir die Antwort
schon
• die Frage ist äquivalent zu einem Fluss-Problem mit Kantenkapazität 1.
• Der Satz von Menger
• 2-zusammenhängende Graphen
• Kreise und Schnitte
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Zusammenhang
Zusammenhang
• zwei (s, t )-Wege heißen knotendisjunkt, wenn sie keine anderen
• sei G = (V , A) ein gerichteter Graph und s, t ∈ V
Knoten als s und t gemeinsam haben
• eine Teilmenge S ⊆ V trennt s und t , falls G(V r S) keinen
• wir wollen eine maximale Anzahl kantendisjunkter (s, t )-Wege
gerichteten (s, t )-Weg enthält
konstruieren
• eine Teilmenge X ⊆ A von Kanten trennt s und t , falls in
G(V , A r X ) kein gerichteter (s, t )-Weg existiert
Korollar 14 (Menger, Knoten, gerichtet)
Sei G = (V , A) ein zusammenhängender, gerichteter Graph und s, t zwei
nichtbenachbarte Knoten. Die maximale Anzahl von knotendisjunkten
Korollar 13 (Menger, Kanten, gerichtet)
(s, t )-Wegen ist gleich der kleinsten Anzahl von Knoten, die s und
t trennen.
In einem zusammenhängenden, gerichteten Graphen ist die maximale
Anzahl von kantendisjunkten (s, t )-Wegen gleich der kleinsten Anzahl von
Kanten, die s und t trennen.
Beweis:
• wir erzeugen einen zweiten gerichteten Graphen G 0
Wir stellen die gleiche Frage jetzt für Knotenmengen:
• dazu ersetzen wir jeden Knoten in u ∈ V r {s, t } durch eine gerichtete
Kante (u1 , u2 ) wie folgt:
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Zusammenhang
Zusammenhang
Analoge Ergebnisse gelten in ungerichteten Graphen:
u
u
u
1
Korollar 15 (Menger, Kanten, ungerichtet)
2
In einem zusammenhängenden ungerichteten Graphen ist die maximale
Anzahl von kantendisjunkten (s, t )-Wegen gleich der kleinsten Anzahl von
Kanten, die s und t trennen.
• knotendisjunkte (s, t )-Wege in G entsprechen kantendisjunkten
Wegen in G 0
• sei A(S, T ) ein minimaler Kantenschnitt in G 0
Beweis:
• angenommen beide Knotenkopien u1 und u2 liegen in S
• wir konstruieren einen gerichteten Graphen G 0 = (V , A), indem wir
jede Kante in E durch ein Paar antiparalleler Kanten in A ersetzen
• ist |A(u2 , T )| ≥ 1, so können wir u2 nach T verschieben, ohne den
Schnitt zu erhöhen
• offensichtlich bilden kantendisjunkte Wege in G Wege in G 0 , die keine
gerichteten Kanten und keine antiparallelen Kanten gemeinsam haben
• also ist |A(u2 , T )| = 0 und u2 trägt nicht zum Schnittwert bei
• damit bilden die Knoten u ∈ V für die u1 ∈ S und u2 ∈ T oder
|A(u2 , T )| = 0 einen Knotenschnitt in G, dessen Kardinalität mit dem
minimalen Kantenschnitt in G 0 übereinstimmt
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Zusammenhang
Zusammenhang
• umgekehrt können wir gerichtete kantendisjunkte Wege, die
Entsprechend gilt der Satz von Menger für ungerichtete Graphen und Knoten:
antiparallele Kanten gemeinsam haben wie folgt „entkreuzen“:
Korollar 16 (Menger, Knoten, ungerichtet)
Sei G = (V , E ) ein zusammenhängender ungerichteter Graph und
s, t zwei nichtbenachbarte Knoten. Die maximale Anzahl von
knotendisjunkten (s, t )-Wegen ist gleich der kleinsten Anzahl von Knoten,
die s und t trennen.
Beweis:
• weiter wird ein minimaler Kantenschnitt A(S, T ) in G 0 durch die
• wie vorher konstruieren wir den gerichteten Graphen G 0 = (V , A),
Menge von Kanten definiert, die von S nach T führen.
indem wir jede Kante in E durch ein Paar antiparalleler Kanten in
A ersetzen
• damit enthält der Schnitt höchstens eine der beiden antiparallelen
Kanten und definiert somit einen ungerichteten Schnitt in G gleicher
Kardinalität.
• dann entsprechen knotendisjunkte Wege in G 0 knotendisjunkten Wege
in G und trennende Knotenmengen in G 0 trennenden Knotenmengen
in G.
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Zusammenhang
Zusammenhang
Sei G = (V , E ) ein ungerichteter Graph
Sei G = (V , E ) ein ungerichteter Graph
• sei G k -, aber nicht (k + 1)-zusammenhängend
• für u, v ∈ V bezeichne
• dann ist κG = k die Zusammenhangszahl oder der
• λG (u, v ) die Anzahl der knotendisjunkten (u, v )-Wege
Zusammenhang von G
• κG (u, v ) die Größe einer kleinsten (u, v )-trennenden
Knotenmenge
• damit gilt:
• die Entfernung von k − 1 Knoten zerstört den Zusammenhang nicht
• G heißt k -zusammenhängend, wenn mindestens k Knoten entfernt
werden müssen, um den Graph unzusammenhängend zu machen
• es gibt eine k -elementige Teilmenge S von Knoten, so dass G r S
unzusammenhängend ist
Zur Beachtung:
• weiter ist
κG = min{κG (u, v ) : (u, v ) ∈
/ E }.
• für einen k -zusammenhängenden Graphen gilt:
• er ist auch (k − 1)-zusammenhängend
• er kann auch (k + 1)-zusammenhängend sein
• entsprechend ist λG durch das größte k gegeben, so dass je zwei
Knoten durch mindestens k knotendisjunkte Wege verbunden sind
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Zusammenhang
Zusammenhang
Sei G = (V , E ) ein ungerichteter Graph
Als Zusammenfassung der bisherigen Resultate folgt dann der eigentliche:
• G heißt k -kantenzusammenhängend, falls jeder Schnitt
E (W , V r W ), der den Graph unzusammenhängend macht,
mindestens k Kanten enthält
Korollar 17 (Satz von Menger)
Sei G ein gerichteter oder ungerichteter Graph. Dann gilt:
• wieder gilt für einen k -kantenzusammenhängenden Graphen:
(i) der Zusammenhang von G ist das größte k , so dass zu je zwei
Knoten u, v mindestens k knotendisjunkte (u, v )-Wege existieren
• er ist auch (k − 1)-kantenzusammenhängend
• er kann auch (k + 1)-kantenzusammenhängend sein
(ii) der Kantenzusammenhang ist das größte k , so dass zu je zwei Knoten
u, v mindestens k kantendisjunkte (u, v )-Wege existieren.
• der Kanten-Zusammenhang ist das größte k , so dass
G k -kantenzusammenhängend ist
• die zugehörigen Größen werden mit λ0 bzw. κ0 bezeichnet
• für gerichtete Graphen ist der Zusammenhang die kleinste Anzahl von
Kanten bzw. Knoten, deren Entfernung den Graphen nicht stark
zusammenhängend macht
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Zusammenhang
Zusammenhang
Beweis:
(ii) folgt unmittelbar aus den Korollaren 13 und 15
Gliederung
(i) für (u, v ) ∈
/ E bzw. (u, v ) ∈
/ A gilt nach den Korollaren 14 und 16,
dass λG (u, v ) = κG (u, v ).
• Zusammenhangstest
• Zusammenhang und Schnittkanten
• Wälder und Bäume
• minimal aufspannende Bäume
• ist (u, v ) ∈ E bzw. (u, v ) ∈ A, so betrachte G 0 = G − (u, v )
• in G 0 folgt aus den Korollaren 14 und 16:
λG (u, v ) = λG 0 (u, v ) + 1
• Der Satz von Menger
• 2-zusammenhängende Graphen
• Kreise und Schnitte
= κG 0 (u, v ) + 1
≥ κG 0 + 1
≥ κG ,
• die letzte Ungleichung folgt, da die Zusammenhangszahl nicht um mehr
als eins fallen kann, wenn eine Kante entfernt wird.
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Zusammenhang
Zusammenhang
Lemma 18
• wir wollen zeigen, dass jeder 2-zusammenhängende Graph eine
Sei G ein k -zusammenhängender Graph und G 0 der Graph, der dadurch
entsteht, dass wir einen neuen Knoten x hinzufügen, den wir mit mindestens
k Knoten von G verbinden. Dann ist G 0 ebenfalls k -zusammenhängend.
spezielle Ohrendekomposition hat
• zur Vorbereitung betrachten wir zwei Operationen, die den
2-Zusammenhang erhalten
S
S
G
G
x
x
G
x
Beweis:
• sei S eine trennende Menge in G 0
• liegt x ∈ S, so ist S r x trennende Menge in G und somit |S| ≥ k + 1
• ist x ∈
/ S, aber N (x ) ⊆ S, so folgt |S| ≥ k
• andernfalls ist S auch trennende Menge in G und daher |S| ≥ k .
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Zusammenhang
Zusammenhang
• wir wissen bereits, dass in einem 2-zusammenhängenden Graphen je
• sei umgekehrt G 2-zusammenhängend
zwei Knoten auf einem Kreis liegen
• betrachte zwei Kanten (u, v ), (x , y ) ∈ E
• als Folgerung ergibt sich, dass diese Aussage auch für je zwei Kanten
• füge zwei neue Knoten a, b hinzu mit N (a) = {u, v }, N (b) = {x , y }
gilt:
v
Korollar 19
y
b
a
Ein Graph ist genau dann 2-zusammenhängend, wenn d (v ) ≥ 2 für alle
Knoten v ∈ V und je zwei Kanten auf einem gemeinsamen Kreis liegen.
u
x
• der neue Graph G 0 ist nach Lemma 18 wieder 2-zusammenhängend
Beweis:
• betrachte zwei Knoten u, v ∈ V
• daher liegen die Knoten a, b auf einem gemeinsamen Kreis in G 0
• da beide Knoten Grad mindestens 2 haben, existieren Kanten
• da a und b genau zwei Nachbarn haben, enthält dieser Kreis die
(u, x ), (v , y ) ∈ E
Knoten {u, v , x , y }, aber nicht die Kanten (u, v ), (x , y )
• nach Voraussetzung liegen beide Kanten auf einem gemeinsamen
• wenn wir die Pfade u, a, v und x , b, y durch die Kanten
Kreis und damit auch die beiden Knoten u und v
(u, v ), (x , y ) ersetzen, erhalten wir den gesuchten Kreis in G.
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Zusammenhang
Zusammenhang
• Als zweite Operation betrachten wir eine Unterteilung einer Kante
Satz 21
(u, v ), bei der wir die Kante durch einen Pfad (u, w , v ) der Länge 2
ersetzen.
Ein Graph G ist genau dann 2-zusammenhängend, wenn er folgende
Ohrenkomposition besitzt:
• starte mit einem Kreis
Lemma 20
• auf dem bereits konstruierten Graphen wähle iterativ zwei Knoten
Sei G eine 2-zusammenhängender Graph und G 0 der Graph, der durch
Unterteilung einer Kante entsteht. Dann ist auch G 0 2-zusammenhängend.
u 6= v und füge einen (u, v )-Weg hinzu
W2
Beweis:
W
W
• Man macht sich leicht klar, dass in G 0 wieder je zwei Kanten auf einem
1
gemeinsamen Kreis liegen.
3
W4
Damit können wir eine Ohren(de)komposition für 2-zusammenhängende Graphen formulieren:
C
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Zusammenhang
Zusammenhang
W2
W
1
W
• sei umgekehrt G 2-zusammenhängend
3
• wähle einen beliebigen Kreis C ⊆ G als Startkreis
W4
• angenommen wir haben bereits einen Teilgraph Gi ⊆ G durch
Hinzufügen von Ohren aufgebaut
C
• falls E (Gi ) 6= E (G), so wähle eine Kante (u, v ) ∈ E (G) r E (Gi ) und
Beweis:
eine Kante (x , y ) ∈ E (Gi )
• sei G ein Graph mit Ohrendekomposition C, W1 , . . . , Wk
• nach Lemma 19 liegen beide auf einem gemeinsamen Kreis von G
• wir zeigen induktiv, dass die dabei entstehenden Graphen
• sei W der Weg, der in diesem Kreis enthalten ist und die Kante
2-zusammenhängend sind:
(u, v ) sowie genau zwei Knoten von Gi enthält
• dies gilt sicherlich für den Startkreis C
• wenn wir zu einem 2-zusammenhängenden Graphen eine Kante
hinzufügen, so bleibt er offensichtlich 2-zusammenhängend
• dieser Weg ist das gesuchte nächste Ohr.
• nach Lemma 20 gilt dies auch, wenn wir die Kante unterteilen,
d.h. einen Weg hinzufügen.
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Zusammenhang
Zusammenhang
• ein ähnliches Resultat gilt für den 2-Kantenzusammenhang
• hierzu müssen wir zusätzlich fordern, dass der neue Weg mit nur einem
Gliederung
Knoten im alten Graph inzidiert
• Zusammenhangstest
• Zusammenhang und Schnittkanten
• Wälder und Bäume
• Wälder und Bäume
• im Kapitel über planare Graphen werden wir eine Dekomposition von
3-zusammenhängenden Graphen betrachten
• ebenfalls dort spielen Kreise und Schnitte eine wichtige Rolle
• wir werden daher als nächstes die Beziehung zwischen ihnen
• Der Satz von Menger
• 2-zusammenhängende Graphen
untersuchen
• Kreise und Schnitte
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Zusammenhang
Zusammenhang
• dieses Ergebnis lässt sich auch so formulieren:
Lemma 22
• die Inzidenzvektoren von Kreisen und Schnitten stehen im Vektorraum
Sei C ein Kreis und B ein inklusionsminimaler Schnitt eines Graphen G.
Dann ist |E (C) ∩ B| gerade.
über F2 senkrecht aufeinander
• wir kommen auf ein ähnliches Resultat zurück
Beweis:
• o.B.d.A. sei G zusammenhängend
Satz 23
• sei B = E (W , V r W ) ein inklusionsminimaler Schnitt
Sei G = (V , E ) ein zusammenhängender Graph und e ∈ E . Färbe die
Kanten in E r e beliebig mit den Farben rot und gelb. Dann gilt genau eine
der folgenden Aussagen:
• nach Lemma 4 zerfällt G r B in zwei Komponenten G(W ) und
G(V r W )
(i) G enthält einen Kreis aus roten Kanten und e
• sei C = (v1 , v2 , . . . , vk ) ein Kreis mit E (C) ∩ B 6= ∅
(ii) G enthält einen inklusionsminimalen Schnitt aus gelben Kanten und e
• sei o.B.d.A. v1 ∈ W , vk ∈ V r W und (vk v1 ) ∈ E (C) ∩ B
• dann ist P = v1 , . . . , vk ein (v1 , vk )-Pfad, der W mit V r W verbindet
• E (P ) ∩ B muss dann ungerade sein und somit |E (C) ∩ B| gerade.
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Zusammenhang
Zusammenhang
Beweis:
Wir übertragen die Ergebnisse über Kreise und Schnitte auf gerichtete Graphen:
• angenommen (i) und (ii) gelten
• dann enthält G einen Kreis C und einen inklusionsminimalen Schnitt
B mit C ∩ B = {e}
• wir betrachten zuerst den zugrunde liegenden ungerichteten Graphen
zu Lemma 22
• sei G = (V , A) ein gerichteter Graph und G 0 der zugrunde liegende
• sei e = (u, v ) und (ii) gelte nicht
ungerichtete Graph
• dann sind u und v in G r {E g ∪ e} verbunden, wobei E g die
• ein Kreis von G ist ein Kreis in G 0
Menge der gelben Kanten ist
• ein (minimaler) Schnitt ist ein (minimaler) Schnitt in G’
• damit existiert ein roter (u, v )-Weg, der zusammen mit e den Kreis
• Schnitte A(W , V r W ) in G zerfallen in G 0 in zwei Teilmengen
bildet.
A+ (W , V r W ) und A− (W , V r W )
Auf den engen Zusammenhang zwischen Kreisen und Schnitten werden wir
• analog zu Lemma 5 gilt, dass jeder Schnitt eines gerichteten Graphen
im Kapitel über planare Graphen zurückkommen.
Vereinigung von kantendisjunkten inklusionsminimalen Schnitten ist
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Zusammenhang
Zusammenhang
Beweis:
Lemma 24 (Lemma von Minty)
• (i) und (ii) können nicht gleichzeitig gelten:
Sei G = (V , A) ein gerichteter Graph und e ∈ A
• sei C ein solcher rot/schwarzer Kreis
• färbe die Kante e schwarz
• färbe alle anderen Kanten beliebig in den Farben rot, grün und schwarz.
Dann gilt genau eine der folgenden Aussagen:
(i) es existiert ein Kreis aus roten und schwarzen Kanten, der e enthält
und in dem alle schwarze Kanten die gleiche Richtung haben,
V\W
e
W
• sei A(W , V r W ) ein grün/schwarzer Schnitt mit e ∈ A− (W , V r W )
(ii) es existiert ein minimaler Schnitt aus grünen und schwarzen Kanten,
der e enthält und in dem alle schwarzen Kanten die gleiche Richtung
haben.
• A(W , V r W ) muss entweder eine rote Kreiskante enthalten oder eine
schwarze Kreiskante in A+ (W , V r W )
• sei e = (u, v )
• wir markieren die Knoten in folgender Weise:
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Zusammenhang
Zusammenhang
• markiere Knoten v
a) u ist markiert:
• ist Knoten x markiert und y nicht, so markiere y , falls
• eine schwarze Kante (x , y ) existiert, oder
• eine rote Kante (x , y ) oder (y , x ) existiert.
• per Induktion zeigt man:
• im zugrunde liegenden ungerichteten Graphen gibt es zu jedem
markierten Knoten z einen (v , z )-Weg v = z0 , z1 , . . . , zk = z mit
e
V\W
(zi −1 , zi ) ∈ E , schwarz
(zi −1 , z ) ∈ E , rot
r
=⇒
=⇒
s
(zi −1 , zi ) ∈ A
(zi −1 , zi ) ∈ A oder (zi , zi −1 ) ∈ A
s
W
• der (v , u)-Weg zusammen mit e bildet einen rot/schwarzen Kreis, in
dem alle schwarzen Kanten gleichgerichtet sind
r
v
• d.h. es gilt (i)
• nach Beendigung des Verfahrens unterscheiden wir 2 Fälle:
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Zusammenhang
Zusammenhang
b) u ist nicht markiert:
• sei G = (V , A) ein gerichteter Graph
• sei W ⊆ V die Menge der markierten Knoten
• ein Kreis in G heißt gerichteter Kreis, wenn alle Kanten
• per Konstruktion enthält A(W , V r W ) die Kante e und nur schwarze
gleichgerichtet sind
Kanten, die nach W hineingehen, oder grüne Kanten
• ein Schnitt heißt gerichteter Schnitt, wenn alle Kanten gleichgerichtet
sind, d.h. A+ (W , V r W ) = ∅ oder A− (W , V r W ) = ∅
• (in der Literatur werden gerichtete Kreise auch als circuit und
gerichtete Schnitte als cocircuit bezeichnet)
W
e
Korollar 25
In einem gerichteten Graphen liegt jede Kante entweder in einem gerichteten
Kreis oder einem gerichteten Schnitt, aber nicht in beiden.
• dann existiert auch ein minimaler Schnitt mit diesen Eigenschaften
Beweis:
• d.h. es gilt (ii).
folgt aus Lemma 24, indem alle Kanten schwarz gefärbt werden.
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Zusammenhang
Zusammenhang
Lemma 26
Korollar 27
Sei G = (V , A) ein gerichteter Graph und s ∈ V . Dann gibt es
(s, v )-Wege für alle v ∈ V genau dann, wenn A+ (S, V r S) 6= ∅ für alle
S V mit s ∈ S.
Für einen gerichteten Graphen G = (V , A) sind die folgenden Aussagen
äquivalent:
(i) G ist stark zusammenhängend,
(ii) G enthält keinen gerichteten Schnitt A− (W , V r W ),
Beweis:
• sei S die Menge der Knoten, die von s aus auf einem gerichteten
(iii) G ist zusammenhängend und jede Kante liegt in einem gerichteten
Kreis.
Weg erreicht werden können
• dann ist S 6= V ⇐⇒ A+ (S, V r S) = ∅.
Beweis:
• (i) ⇒ (ii) folgt aus Lemma 26
• (ii) ⇒ (iii) ergibt sich Korollar 25
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Zusammenhang
Zusammenhang
(i) G ist stark zusammenhängend,
• im nächsten Kapitel werden wir Graphen untersuchen, die so in der
(ii) G enthält keinen gerichteten Schnitt A− (W , V r W ),
Ebene dargestellt werden können, dass sich keine zwei Kanten
schneiden
(iii) G ist zusammenhängend und jede Kante liegt in einem gerichteten
Kreis.
• im Vorgriff auf dieses Kapitel ordnen wir Kreisen und Schnitten Größen
der linearen Algebra zu
Beweis:
• sei G = (V , A) ein gerichteter Graph mit A = {a1 , . . . , am }
• (iii) ⇒ (i): sei s ∈ V ein beliebiger Knoten
• jeder Kreis C ⊆ A von G zerfällt in zwei Teilmengen C + und
C − (wobei wir vorher eine beliebige Orientierung gewählt haben)
• angenommen zu einem v ∈ V existiert kein (s, v )-Weg
• wir können dann C einen Vektor ζ(C) ∈ Rm wie folgt zuordnen:
• nach Lemma 26 existiert ein gerichteter Schnitt S mit s ∈ S und
+
A (S, V r S) = ∅
8
<
0,
1,
ζi (C) =
:
−1,
• da G einfach zusammenhängend ist, folgt A(S, V r S) 6= ∅
• eine Kante e ∈ A− (S, V r S) kann aber auf keinem gerichteten Kreis
falls i ∈
/ C+ ∪ C−
falls i ∈ C +
falls i ∈ C −
liegen, da keine Kante diesen Schnitt wieder verlässt.
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Zusammenhang
Zusammenhang
• analog für Schnitte und minimale Schnitte E (W , V r W ):
8
<
0,
1,
ζi (W ) =
:
−1,
Lemma 28
Sei G = (V , A) ein gerichteter Graph. Dann stehen die ζ-Vektoren über
F2 von Kreisen und Schnitten senkrecht aufeinander.
falls i ∈
/ A(W , V r W )
falls i ∈ A+ (W , V r W )
falls i ∈ A− (W , V r W )
Beweis:
• beide Vektoren sind sicherlich bis auf das Vorzeichen eindeutig definiert
• das Skalarprodukt ändert sich nicht, wenn wir eine Kante umorientieren
• in jedem Fall sind aber die Vekorräume, die von den Kreis- bzw.
• wir können somit annehmen, dass der von einer Menge W induzierte
Schnittvektoren erzeugt werden, eindeutig definiert
Schnitt ein gerichteter Schnitt ist
• jeder Kreis, der W berührt, muss aus W genau so oft herausführen,
wie er hineinführt.
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Zusammenhang
Zusammenhang
• sei K eine Menge von Kreisen
Satz 29
• K heißt Kreisbasis, falls gilt:
Sei G = (V , A) ein gerichteter Graph und T ein maximaler Wald im
zugrunde liegenden ungerichteten Graphen. Dann bilden die
|A r A(T )| Kreise, die durch Hinzufügen der fehlenden Kanten entstehen,
eine Kreisbasis und die |A(T )| Schnittkanten eine Schnittbasis.
• ihre ζ-Vektoren sind linear unabängig
• sie spannen den von allen ζ-Vektoren erzeugten Raum auf
Beweis:
• entsprechend sei S eine Menge von minimalen Schnitten
• die Kreise sind linear unabhängig, da sie sich mindestens um eine
• S heißt Schnittbasis , falls gilt:
Kante unterscheiden
• ihre ζ-Vektoren sind linear unabängig
• das gleiche gilt für die Schnitte
• sie spannen den von allen Schnitten erzeugten Raum auf
• da die insgesamt |A| ζ-Vektoren nach Lemma 28 orthogonal sind,
sind sie maximal linear unabhängig und bilden damit eine Basis.
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