2.4 Dynamik starrer Körper

Physik I
Mechanik und Thermodynamik
Physik I – Mechanik und Thermodynamik
1 Einführung:
1.1 Was ist Physik ?
1.2 Experiment - Modell - Theorie
1.3 Geschichte der Physik
1.4 Physik und andere Wissenschaften
1.5 Maßsysteme
1.6 Messfehler und Messgenauigkeit
2 Mechanik:
2.1 Mechanik eines Massenpunktes
2.2 Systeme von Massenpunkten
2.3 Bewegte Bezugssysteme
2.4 Dynamik starrer Körper
2.5 Deformierbare Medien
2.6 Strömende Flüssigkeiten und Gase
2.7 Schwingungen
2.8 Wellen
3 Thermodynamik:
3.1 Kinetische Gastheorie
3.2 Wärme
3.3 Wärmetransport
3.4 Hauptsätze der Thermodynamik
3.5 Reale Gase und Flüssigkeiten
Physik I – Mechanik und Thermodynamik
2 Mechanik:
2.1 Mechanik eines Massenpunktes
2.2 Systeme von Massenpunkten
2.3 Bewegte Bezugssysteme
2.4 Dynamik starrer Körper
2.5 Deformierbare Medien
2.6 Strömende Flüssigkeiten und Gase
2.7 Schwingungen
2.8 Wellen
1
2 Mechanik
2
2.4
Dynamik starrer Körper
• ein ausgedehnter starrer Körper ist durch eine kontinuierliche
Massenverteilung charakterisiert, die sich über sein Volumen erstreckt
• für die Beschreibung der Bewegung dieses Körpers im Raum (Translation)
im Sinne eines Massenpunktes lässt sich diese Masse auf den Schwerpunkt
zurückführen
• der Ort des Schwerpunktes rSchwerpunkt ergibt sich aus der Integration über
das Volumen des Körpers mit der Gesamtmasse M zu

1
rSchwerpunkt 
M

Volumen

1
r dm 
M

Volumen
 
r  (r )dV
2 Mechanik
2.4
Dynamik starrer Körper
2.4.1 Translation und Rotation
• ein ausgedehnter Körper kann nicht nur verschoben werden, sondern er besitzt
auch die Möglichkeit zu rotieren
• man unterscheidet feste Achsen und freie Achsen
• bei festen Achsen ist die Rotationsachse durch ein mechanisches Lager
festgelegt
• bei einer freien Achse betrachtet man den Körper isoliert im Raum
• die Bewegung des Körpers lässt sich i.a. als Überlagerung einer gradlinigen
Bewegung (Translation) und einer Rotation darstellen
• in einem Bezugssystem, das sich mit dem Schwerpunkt mit bewegt, geht die
Achse der Rotation immer durch den Schwerpunkt
• jedem Punkt des Körpers kann eine Geschwindigkeit vi zugeschrieben werden,
die sich aus der Schwerpunktsgeschwindigkeit vs und der Bahngeschwindigkeit
bzgl. des Schwerpunktes zusammensetzt
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2 Mechanik
2.4
Dynamik starrer Körper
2.4.2 Drehmoment und Drehimpuls
• an einem Körper greift an einem Punkt eine Kraft F an
• falls diese Kraft nicht am Schwerpunkt angreift, erzeugt sie eine beschleunigte
Translation und Rotation des Körpers
• das Drehmoment auf einen Körper im Schwerefeld der Erde lässt sich auch
ausnutzen, um den Massenschwerpunkt experimentell zu bestimmen
4
5
• in einem abgeschlossenen System müssen sich die Drehmomente
untereinander aufheben
• liegt der Körper auf, wie zum Beispiel bei einer Balkenwaage, so müssen sich
die angreifenden Drehmomente in der Summe aufheben
• analog zum Impuls kann man der Rotation eines Körpers auch einen Drehimpuls
zuordnen
• das einzelnen Volumenelement besitzt einen Drehimpuls bezüglich der
Rotationsachse
2 Mechanik
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2.4
Dynamik starrer Körper
2.4.3 Trägheitsmoment
• den Ausdruck
bezeichnet man als Trägheitsmoment
• das Trägheitsmoment bezieht sich immer auf eine gegebene Rotationsachse
• wie bei einem System von Massenpunkten gilt auch für den Drehimpuls bei
starren Körpern die Drehimpulserhaltung
• betrachten wir den allgemeinen Fall eines Körpers, der um eine Achse B rotiert
M
• man erhält schließlich den Steiner‘schen Satz
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Trägheitsmomente verschiedener Körper :
Dünne Scheibe
Hohlzylinder
Vollzylinder
Kugel
Dünner Stab
IS 
1
ML2
12
2 Mechanik
2.4
Dynamik starrer Körper
2.4.4 Rotationsenergie
• neben dem Drehimpuls lässt sich auch die kinetische Energie für einen
rotierenden Körper definieren
• diese ist gegeben durch die Geschwindigkeiten aller Massenelemente
• für ein einzelnes Massenelement Dmi gilt
• und damit die Rotationsenergie
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2 Mechanik
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2.4
Dynamik starrer Körper
2.4.5 Rotation um eine feste Achse
• wird auf einen Körper ein Drehmoment ausgeübt, so ändert sich dessen
Drehimpuls
• die Änderung des Drehimpulses vom Massenelement Dmi mit der Zeit ist gleich
dem angreifenden Drehmoment
• Integration der Kraftgleichung (Drehmomentgleichung!)
t
• für einen rollenden Zylinder erhält man
liefert
2 Mechanik
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2.4
Dynamik starrer Körper
2.4.6 Rotation um eine freie Achse
• im folgenden wollen wir einen vollkommen freien Körper betrachten, der
zunächst um eine beliebige Achse mit w rotiert
• dabei muss der Drehimpuls L nicht immer in dieselbe Richtung zeigen wie w
Trägheitstensor
~
I
• in einem Koordinatensystem, dass sich an den Hauptträgheitsachsen des
Körpers orientiert, ergibt sich die Rotationsenergie und der Drehimpuls
2 Mechanik
2.4
Dynamik starrer Körper
2.4.7 Kreisel
• gegeben sei ein Kreisel, der an seinem unteren Ende unterstützt wird
• wird dieser Kreisel um einen Winkel a aus seiner senkrechten Lage ausgelenkt,
so wirkt auf seinen Schwerpunkt ein Drehmoment
• das Drehmoment führt zu einer Änderung des Drehimpulses
• da dieses Drehmoment immer senkrecht zum Drehimpuls wirkt, ändert sich die
Richtung von L, aber nicht dessen Betrag
• es entsteht eine Präzessionsbewegung
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Präzession der Erde
Kräftefreier Kreisel