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Zusatz Formelsammlung Technische Mechanik Stefan Rickli, [email protected] APPENDIX Bei einer Torsion: 1 Mechanik allgemein π = −π·π 1.1 Planare Bewegungen D: Direktionsmoment (siehe 1.3.1) / Federkonstante G: Schubmodul (siehe S.Error! Bookmark not defined.) 1.1.1 Impuls πβ = ππ£β [π] = Ns 1.1.2 Kraft 1.2.4 Trägheitsmoment ≅ Masse β πβ πΉβ = maββ = = πβΜ β π‘ 1.1.3 Trägheitskraft kgm [πΉ] = N = 2 s D’Alembertsche Trägheitskraft: πΉ = ππ ⇔ πΉ − ππ = 0 ⇒ πΉ − πΉπ = 0 1.2 Drehbewegungen 1.2.1 Winkel Massenträgheitsmoment, Inertialmoment, Moment of inertia; Widerstand eines starren Körpers gegenüber einer Änderung seiner Rotationsbewegung um eine gegebene Achse. βββ = πΌπ π ββΜ [πΌ] = kg m2 vergl. πΉβ = ππβ Allgemeine Definition: πΌ= ππ ππ = πΜ , π = = πΜ ππ‘ ππ‘ πΌ = ∫ πβ⊥2 π(πβ) ππ π 1.2.2 Drehimpuls ≅ Impuls, Energie πβ⊥ : der zur Rotationsachse π ββ (Winkelgeschwindigkeit) senkrechte Anteil von πβ (also quasi Abstand zur Achse). π(πβ): ortsabhängige Dichte. Bei konstanter Dichte kann diese auch vor das Integral gezogen werden. Angular Momentum; Drall, Impulsmoment, Schwung der Drehung Einige Trägheitsmomente: Ο: Drehwinkel, ω: Winkelgeschwindigkeit, α: Winkelbeschleunigung Dünner Stab, Drehachse in der Mitte: πΌ = Drehimpuls eines Massepunktes: πΏββ = πβ × πβ 1 [πΏ] = Nms 1 πβ2 12 2 Dünner Stab, Drehachse am Ende: πΌ = πβ 3 1 Massiver Zylinder, Drehachse längs: πΌ = ππ 2 2 πβ: Ortsvektor des Massepunktes p: Impuls des Massepunktes πβ = ππ£β L ist in trivialen Fällen parallel zu Drehachse. Vollkugel: πΌ ≅ ππ 2 Rotation eines starren Körpers um eine Symmetrieachse: Bezugsachsenwechsel: Satz von Steiner: 2 5 2 Hohlkugel mit Wandstärke π βͺ π : πΌ = ππ 2 3 πΌ2 = πΌ1 + ππ 2 πΏββ = πΌπ ββ = πΌπ ββΜ I: Trägheitsmoment des st. Körpers ω: Kreisfrequenz der Drehung wobei d den Abstand der neuen zur alten parallelen, Bezugsachse bezeichnet. Massepunktwechsel: 1.3 Objekte πΏββ′ = πΏββ + πβ × πβ 1.3.1 Drehmoment eines verdrehten Vollkörpers πβ: Vektor vom alten zum neuen Massepunkt πβ: Impuls des neuen Massepunkts π= allgemein evtl. mit Hohlraum: 1.2.3 Drehmoment ≅ Kraft Torque; π = 2π Änderungsrate des Drehimpulses β πΏββ βββ = rβ × πΉβ = π = πΏββΜ β π‘ π ππΊπ 4 2 πΏ πΊπ π 3 ∫ π ππ πΏ π G: Schubmodul, θ: Drehwinkel, L: Länge, R/ρ: Radius [π] = Nm L: Drehimpuls Bei Drehung um eine feste Achse: βββ = πΏββΜ = πΌπ π ββΜ = πΌπΌβ π ββΜ = πΌβ = Winkelbeschleunigung zuletzt gespeichert: 08.04.2017 05:47:00, Version 4 1.3.2 Feder πΈπ΄ πΉπΉ = − ( ) ⋅ Δβ = −ππ₯ β FF = -FN FF also mit den Konstanten: π= πΈπ΄ πΉ = , β β π₯ = Δβ FN 1/4 Zusatz Formelsammlung Technische Mechanik Ersatzfederkonstante bei mehreren Federn: Parallelschaltung: πtot = ∑ ππ π Serienschaltung: 1 1 =∑ πtot ππ π Potenzielle Energie einer Feder 1 πΈπππ‘ = ππ₯ 2 2 Stefan Rickli, [email protected] Vorgehen bei ebener Kinematik: 1. Welche SK sind miteinander verbunden, welche unabhängig? 2. Markiere alle SK (verwende Farben, Schraffuren, etc) 3. Zeichne alle möglichen Geschwindigkeiten ein und deren Wirkungslinien. Vergiss nicht: Scharniere sind zwingendermassen ein Momentazentrum und Rollen können sich nur auf einer Linie hin- und herbewegen. 4. Finde die Kreuzungen der Senkrechten zur Geschwindigkeit bzw. bestimme die Momentanzentren der jeweiligen SK. 5. Bestimme die Richtungen und Beträge der Geschwindigkeiten (Verwende: Hände für die Drehrichtung, SdpG und auch π£π = π ⋅ ππ ) 4 Kräfte und Momente Lagerkräfte / -reaktionen bestimmen: ο· SK / Fachwerk als Ganzes freischneiden und KB / MB formulieren. 2 Diverses Kleinwinkelapproximation: cos π₯ ≅ 1 sin π₯ ≅ tan βπ₯ gut für ≅π₯ β β π₯ für kleine Winkel x. 3 Kinematik: ο· ο· ο· ο· sobald zwei Geschwindigkeiten eines SK bekannt sind, ist dessen Bewegungszustand eindeutig bekannt. o Es lässt sich die Kinemate bestimmen. {π£ βββββ, ββ} π΅ π die Geschwindigkeit eines Punktes, der zwei SK durch ein kugeliges Gelenk miteinander verbindet, gilt für beide SK. Das heisst, man kann die Starrkörperformel auf diesen Punkt jeweils von beiden SK aus berechnen und gleichsetzen. o Vorsicht mit den Einheiten! π£ π£ =π⋅β⇔ π = β SdpG: o funktioniert sowohl im 2D- als auch im 3DFall o βββββ π£π ⋅ ββββββ π΄π΅ = βββββ π£π ⋅ ββββββ π΄π΅ Momentanzentren: o im 3D lassen sich Momentanzentren nur bei festen Kugelgelenken direkt bestimmen. Deren SK können dann nur Rotationen ausführen. o im 2D befindet sich das MZ eines SK im Schnittpunkt der Senkrechten zu den Geschwindigkeiten der Punkte auf dem SK. zuletzt gespeichert: 08.04.2017 05:47:00, Version 4 Statisch äquivalente Kräfte finden: Resultierende und Moment müssen in einem beliebigen Punkt verschwinden. D.h. es muss gelten βββββββ πΉππ΄ = π ββ Angriffspunkt der statisch äquivalenten Kraft: Man greift zum Momentengleichgewicht: ββββββ ππ = (πβββπ − ββββ) ππ × ββββ πΉπ , wobei P irgendein Punkt auf dem Starrkörper sein kann und ββββ ππ ist der unbekannte Ortsvektor des Angriffspunktes (Verbindungsvektor!). Statisch äquivalentes Moment finden: ββββββ ππ = ββββββββ πππ΄ Der Angriffspunkt muss hier P sein. 5 Leistung und Stabkraft Stabkraft in Fachwerk bestimmen / PdvL in Fachwerk: 1. Stab entfernen, durch Zugkraft ersetzen 2. einem SK eine möglichst geschickte Rotation verpassen 3. alle Geschwindigkeiten an den Kraftangriffspunkten bestimmen 4. Leistungen aufsummieren, gleich Null setzen a. ein an einem SK angreifendes Moment einfach mit dessen Winkelgeschwindigkeit multiplizieren b. Vorzeichen ergeben sich durch die Skalarprodukte von Geschwindigkeit mit Kraft (π ⋅ π ⋅ cos π , πβ ⋅ πββ) Wenn Lagerkräfte bereits duch vorherige Berechnungen bekannt sind, vereinfacht sich die Berechnung mit dem PdvL eventuell wesentlich, weil ein weniger SK involvierender Bewegungszustand gewählt werden kann. 2/4 Zusatz Formelsammlung Technische Mechanik Stefan Rickli, [email protected] 6 Dynamik Dynamik Vorgehen: 1. Bestimme jene Körper mit Masse, von welchen die Dynamik beschrieben werden muss 2. Führe geeignete Koordinaten ein, welche die Bewegung der Körper eindeutig beschreibt 3. Schneide die Körper, falls nötig, an den relevanten Stellen frei 4. Stelle die dynamischen Gleichungen auf: ππ₯Μ = β― , πΌπΜ = β― 5. Falls der Freiheitsgrad des Systems kleiner als die Anzahl der eingeführten Koordinaten ist: finde Bindungsgleichungen an den Verbindungsstellen (kinematische Relationen). 6. Eliminiere Kräfte vom Freischnitt (z.B. Federkräfte – auf richtiges Vorzeichen in DGL aufpassen) 7. Zusammenfassen der DGL 8. Aufstellen der Anfangsbedingungen 9. Lösen der DGL 8 Bindungskräfte 7 Diverses Hinweise: ο· ο· ο· ο· ο· ο· Rolle ideal rau: nur T / Fhaft einführen, aber keine Bedingung an μ. kinematische Relationen: Zusammenhänge zwischen allen fix verhängten Koordinatensystemen und deren Variablen Flaschenzug: lässt sich mit Momentenbedingungen rasch abhandeln. Relevant sind nur ausgewählte Komponentenbedingungen, z.B. jene beim Verbundstück Wenn zwei Punkte desselben SK die gleiche Geschwindigkeitsrichtung haben, so muss gelten: o die Beträge sind gleich (SdpG) o der momentane Bewegungszustand dieses SK ist eine Translation Statisch bestimmt: nicht mehr Variablen wie Gleichungen Kinematisch unbestimmt: zulässige Bewegung möglich zuletzt gespeichert: 08.04.2017 05:47:00, Version 4 3/4 Zusatz Formelsammlung Technische Mechanik Stefan Rickli, [email protected] 9 Schwerpunkte Schwerpunkt berechnen: ππ = βββ 1 ∑ ππ ⋅ ββββ ππ π ππ‘ππ‘ π Gesamtschwerpunkt ist Umkehrwert der Gesamtmasse mal (Summe der nach Teilmasse gewichteten Schwerpunkte der geometrisch einfacheren Teilkonstrukte) Manchmal lohnt es sich auch, zu einem grossen, einfachen Objekt den Schwerpunkt eines anderen abzuziehen. zuletzt gespeichert: 08.04.2017 05:47:00, Version 4 4/4
