Elektrotechnik II – Teil 2
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- 1/39 - Elektrotechnik II – Teil 2 Prof. Dr.-Ing. Th. Reck Stand SS 2015 Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 2/39 - Inhaltsverzeichnis 1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 3. 3.1. 3.2. 3.3. 4. 4.1. 5. 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 6. 6.1. 6.2. 7. 8. 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6. Magnetische Feldgrößen ....................................................................................... 3 Wirkungen und Ursachen .................................................................................. 3 Feldbilder und Feldlinien .................................................................................. 3 Feldrichtung und Polarität ................................................................................. 4 Intensität des magnetischen Feldes (Induktion, magnetische Flußdichte) ........ 4 Magnetische Feldstärke ..................................................................................... 6 Einheiten der magnetischen Feldgrößen ........................................................... 6 Magnetischer Fluß ............................................................................................. 7 Durchflutungsgesetz .............................................................................................. 9 Magnetische Spannung ..................................................................................... 9 Durchflutung ................................................................................................... 10 Durchflutungsgesetz ........................................................................................ 10 Ohmsches Gesetz des magnetischen Kreises .................................................. 11 Materie im magnetischen Feld ............................................................................ 13 Verhaltensunterschiede der Materie ................................................................ 13 Verhalten des Eisens im Magnetfeld ............................................................... 15 Magnetische Vorgänge im Eisen..................................................................... 17 Kräfte im magnetischen Feld .............................................................................. 18 Kraftwirkung auf stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld ........................ 18 Induktionsgesetz .................................................................................................. 20 Bewegungsspannung ....................................................................................... 20 Transformationsspannung ............................................................................... 20 Flußänderung................................................................................................... 21 Spannungsinduktion ........................................................................................ 21 Spannungsrichtung .......................................................................................... 22 Selbst- und Gegeninduktion ................................................................................ 24 Selbstinduktion................................................................................................ 24 Gegeninduktion ............................................................................................... 25 Energie des magnetischen Feldes ........................................................................ 27 Der Transformator ............................................................................................... 28 Einwindungsmodell......................................................................................... 28 Übersetzungsverhältnis ................................................................................... 30 Impedanz-Transformation ............................................................................... 32 Transformator mit Eisenkern .......................................................................... 34 Transformator-Verluste ................................................................................... 34 Messung der Transformatorkennwerte............................................................ 37 Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 3/39 - Das magnetische Feld 1. Magnetische Feldgrößen 1.1. Wirkungen und Ursachen Bewegte elektrische Ladungen erzeugen magnetische Felder. Auf solchen magnetischen Wirkungen beruhen elektrische Maschinen (Generatoren, Motoren, Transformatoren) und Elektromagnete. Außerdem sind magnetische Erscheinungen ein wesentliches Merkmal der sich im Raum ausbreitenden elektromagnetischen Wellen. Als allg. bekannt wird die von magnetisierten Stahlmagneten (Dauermagneten) ausgehende Kraftwirkung (Anziehung von Eisenteilen) vorausgesetzt. Eine weitere wichtige Wirkung des Magnetfeldes besteht darin, daß unter bestimmten Voraussetzungen (z.B. in bewegten Leitern) elektrische Spannungen erzeugt werden können (Induktion). Alle magnetischen Wirkungen, die in der Nähe von Dauermagneten beobachtet werden, können in gleicher Weise auch von elektrischen Strömen hervorgerufen werden. Die Ursache der magnetischen Erscheinungen ist die Bewegung von Ladungsträgern. Bei Dauermagneten handelt es sich dabei um die Eigenbewegung der Ladungsträger im atomaren Verband (z.B. Elektronenspin). Bei fließenden elektrischen Strömen ist die Ursache die durch eine Spannung angetriebene Bewegung freier Ladungsträger. Im magnetischen Feld werden auf andere bewegte Ladungsträger oder auf ferromagnetische Stoffe Kräfte ausgeübt. 1.2. Feldbilder und Feldlinien Das magnetische Feld besitzt wie die Kraft einen Richtungscharakter, d.h. in jedem Punkt des Raumes existiert eine bestimmte Intensität (Betrag) und eine bestimmte Richtung. Das magnetische Feld ist ein Vektorfeld. Abb.: Feldlinienbilder eines geraden Leiters und einer Windung Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 4/39 - Abb.: Feldlinienbild einer Spule 1.3. Feldrichtung und Polarität Wie häufig bei Richtungsdefinitionen ist ihre Wahl zunächst willkürlich, hat dann allerdings Konsequenzen auf die auf sie aufbauenden weiteren Gesetzmäßigkeiten. So kann die Richtungsfestlegung des Magnetfeldes lediglich historisch erklärt werden durch die Anlehnung an die im Erdmagnetfeld beobachteten Wirkungen. Man kann den Zusammenhang zwischen der festgelegten Feldrichtung und der Richtung des erregenden Stromes wie folgt formulieren: Denkt man sich eine Rechtsschraube in der konventionellen Stromrichtung (positive Ladungsträger !) vorwärts geschraubt, so stimmt die zugehörige Drehrichtung mit der Feldrichtung überein. Oder auch umgekehrt: Beim Vorwärtsdrehen in Feldrichtung entspricht die Drehrichtung der Stromrichtung in der felderzeugenden Spule. Diese Regel wird auch Rechtsschraubenregel oder Korkenzieherregel genannt. Zur Kennzeichnung des Feldes bei Dauermagneten nennt man die Austritts- bzw. Eintrittsfläche des Feldes Pole (Nord- und Südpol). Die magnetischen Feldlinien treten beim Nordpol vom Eisen her in die Luft aus und beim Südpol wieder ein. 1.4. Intensität des magnetischen Feldes (Induktion, magnetische Flußdichte) Genau wie bei der Darstellung des elektrischen Feldes gilt auch hier, daß in den Feldlinienbildern neben der Richtung die Intensität zum Ausdruck gebracht wird, indem der Abstand der Feldlinien umgekehrt proportional der Feldintensität gewählt wird, d.h. die Dichte der Feldlinien ist ein Maß für die Intensität des Feldes. Da man beliebig viele Feldlinien zeichnen kann, ist der Abstand auch hier kein absoluter, sondern nur ein relativer Maßstab. Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 5/39 - Die Größe, mit der die Feldintensität beschrieben wird, die also die im magnetischen Feld möglichen mechanischen Kräfte bzw. zu induzierenden elektrischen Spannungen bestimmt, nennt man magnetische Induktion B oder auch magnetische Flußdichte B. Ihre Definition folgt aus dem Induktionsgesetz, das die Erzeugung elektrischer Spannungen beschreibt. Da die magnetische Induktion einen Betrag und eine Richtung hat, ist sie ein Vektor, d.h. das Induktionsfeld ist auch ein Vektorfeld. Für die magnetische Induktion wird das B Formelzeichen verwendet. Wir betrachten zunächst nur Felder, bei denen im ganzen Feldraum eine gleich große Induktion B auftritt. Solche Felder liegen z.B. in Toroid- oder Kreisringspulen mit konstantem inneren Spulenquerschnitt vor, wenn der Durchmesser der Windungen vergleichsweise klein gegenüber dem Durchmesser der ganzen Spule ist. Abb.: Kreisringspule Es gilt die Proportionalität: Mit B N I/l N: Windungszahl l: mittlere Spulenlänge I: Stromstärke Ein weiterer Einfluß auf die Induktion B ergibt sich wie bei den meisten physikalischen Vorgängen durch den Werkstoff des Feldraumes. Bisher wurde angenommen, daß die Felder in der Luft verlaufen. Insbesondere Eisen übt eine enorm verstärkende Wirkung auf Magnetfelder aus. Solche verstärkenden (bei einigen Materialien auch vermindernde) Wirkung wird über einen Faktor in die Gleichung eingeführt, der als Permeabilität µ bezeichnet wird. Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 6/39 - Es gilt somit: B=µ N I/l Von großer praktischer Bedeutung ist die Erkenntnis, daß für die Erregung eines Magnetfeldes das Produkt N I aus Windungszahl und Stromstärke maßgebend ist, daß also mit kleinen Strömen und großen Windungszahlen gleiche Wirkungen erzielt werden wie mit großen Strömen und kleinen Windungszahlen. Man hat für dieses Produkt, das die Stromsumme angibt, die von dem Feld "umschlungen" wird, bzw. die die geschlossenen Feldlinien durchflutet, eine eigene Größe, die Durchflutung =N I definiert, die in der Einheit A gemessen wird. Durch variieren von Strom und Windungszahl ergibt sich eine Möglichkeit, Magnetspulen an bestimmte Spannungen anzupassen. 1.5. Magnetische Feldstärke Für praktische Berechnungen ist es üblich, den Ausdruck (N I/l) als die das Feld ohne den Materialeinfluß bestimmende Größe anzusehen. Diese die Ursache des Feldes beschreibende Größe wird als magnetische Feldstärke (magnetische Erregung) H bezeichnet. In dem speziellen Fall der Kreisringspule ergibt sich die magnetische Feldstärke: H=N I/l Mit der Annahme, daß die Materialeigenschaften durch die skalare Größe µ beschrieben werden, folgt: B=µ N I/l=µ H Die magnetische Feldstärke muß wie die magnetische Induktion einen Vektorcharakter haben: B H Der Vektor H beschreibt unabhängig von den Materialeigenschaften die Ursache des Feldes (ergibt sich aus Stromstärke, Windungszahl, Abmessungen) und führt mit der Permeabilität multipliziert auf den Vektor B , der die Wirkung des Feldes beschreibt (aus dem sich z.B. die Kräfte auf Eisenteile oder stromdurchflossenen Leiter ergeben). 1.6. Einheiten der magnetischen Feldgrößen Magnetische Feldstärke H: [H] = A/m Die Einheit der magnetischen Induktion B wird über ihre Definition aus der Kraftwirkung auf stromdurchflossene Leiter (F = B I l) oder der Induktionswirkung (u = B l v) abgeleitet: Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 7/39 - V s m2 B T Tesla Mit den Einheiten der beiden Feldvektoren B und H kann auch die Einheit der Permeabilität µ ermittelt werden. Zuvor wird die Permeabilität in zwei Faktoren aufgespalten: r 0 Die relative Permeabilität oder Permeabilitätszahl r ist ein reiner Zahlenfaktor, der das Verhältnis der Permeabilität eines bestimmten Stoffes (Luft, Eisen, u.a.) zu der des Vakuums angibt. Für Vakuum ist r 1. Für das Feldmedium Luft gilt r 1, 0000004, so daß bei Feldern in der Luft praktisch immer r 1 gesetzt werden kann. Die magnetische Feldkonstante 0 ist dann die Permeabilität des Vakuums: 0 Die magnetische Feldkonstante 1.7. 0 4 10 7 Vs Am ist eine Naturkonstante. Magnetischer Fluß Die resultierende Wirkung des magnetischen Feldes hängt außer von der Intensität (B) auch von der Größe der Fläche A ab, die an der Wirkung beteiligt ist. Auch diese Fläche hat einen Richtungscharakter, so daß sie ebenfalls durch einen Vektor beschrieben werden muß, der mit A bezeichnet sei. dA B dA Abb.: Flächenelement Für das skalare Vektorprodukt aus Induktions- und Flächenvektor wird eine neue Größe eingeführt, die als magnetischer Fluß bezeichnet wird: B A B A cos Der magnetische Fluß kann nach dieser Gleichung nur berechnet werden, wenn die Induktion B über die Fläche A konstant ist. Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 8/39 - Einheit: [ ] = Vs = Wb = Weber Bei inhomogenen Feldern denkt man sich die von der Induktion durchsetzte Fläche in so kleine Flächenelemente dA zerlegt, daß die Induktion als konstant angenommen werden kann. Der durch jedes dieser Flächendifferentiale gehende Flußanteil d wird wie folgt bestimmt: d B dA Der die gesamte Fläche A durchsetzende Fluß ist dann gleich der Summe (Integral) der Skalarprodukte d über die gesamte Fläche: B dA A Dieses Flächenintegral der magnetischen Induktion ist die allgemeine Definition des Flusses. Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 9/39 - 2. Durchflutungsgesetz 2.1. Magnetische Spannung Das magnetische Feld in der Kreisspule kann als konstant angenommen werden. Dort wird die Durchflutung N I als Produkt H l berechnet: N I= H l In inhomogenen Feldern gilt diese Beziehung nicht mehr, da sich die Feldstärke längs einer Feldlinie ändern kann. Um auch hier das Produkt aus Feldstärke und Feldlinienlänge bilden zu können, denkt man sich die betreffende Linie in einzelne Abschnitte l1, l2, l3 usw. aufgeteilt, längs deren die Feldstärke jeweils annähernd als konstant zu H1, H2, H3 usw. angesehen werden kann. l2 l1 l3 H 2 1 V12 Abb.: Inhomogener Feldteil An die Stelle von H l tritt nun eine Summe einzelner Produkte: H l H1 l1 H2 l2 ... Hn ln n Hi li i 1 Für das Skalarprodukt aus magnetischer Feldstärke und Wegvektor wurde die Größe magnetische Spannung V eingeführt. Die allgemeine Definitionsgleichung der magnetischen Spannung z.B. zwischen den Punkten 1 und 2 ist also das Wegintegral der magnetischen Feldstärke: 2 V12 H dl 1 Die magnetische Spannung V ist eine skalare Größe. Ihre Einheit ist Ampere (A). Da dieser skalaren Größe ähnlich wie der elektrischen Spannung eine Richtungscharakteristik zukommt, wird sie durch einen Zählpfeil dargestellt, der in die Richtung des Integrationsvektors dl angetragen wird. Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 10/39 - 2.2. Durchflutung Das Produkt N I , das die Stromsumme angibt, die vom magnetischen Feld umschlungen wird bzw. die die geschlossenen Feldlinien durchflutet, wird als Durchflutung definiert: =N I Nicht immer stellt sich die Durchflutung in einer so konzentrierten und leicht erfaßbaren Art dar wie bei einer Spule. Unabhängig von der Art und der räumlichen Verteilung der elektrischen Strömung gilt allgemein, daß für die Erzeugung eines magnetischen Feldes die gesamte mit ihm verkettete elektrische Strömung maßgebend ist. Man muß also alle Ströme addieren: I Als Einheit der Durchflutung erhält man das Ampere (A). 2.3. Durchflutungsgesetz Das Durchflutungsgesetz stellt die allgemeine Formulierung für den Zusammenhang zwischen der Stärke magnetischer Felder und dem erzeugenden Strom dar. Für Kreisringspulen gilt H l = N I. Allgemeine Gültigkeit für beliebige Felder erlangt diese Gleichung, wenn H l durch das Wegintegral entlang einer geschlossenen Linie gebildet wird und das Produkt N I durch die Durchflutung ersetzt wird, in der alle Ströme addiert werden, die von dieser Linie umfaßt werden. Man bezeichnet Linienintegrale entlang einer geschlossenen Kontur als Umlaufintegrale. Das Umlaufintegral wird hier auch magnetische Umlaufspannung V0 genannt: V0 H dl Diese Gleichung wird als Durchflutungsgesetz bezeichnet und gilt für homogene und inhomogene Felder in Räumen beliebiger - auch inhomogener - Materialien. Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 11/39 - Beispiel: Durchflutung der Fläche, die vom Integrationsweg L eingeschlossen wird: = I1 + I2 - I3 + I4 I1 I2 I3 I4 L Abb.: Durchflutung 2.4. Ohmsches Gesetz des magnetischen Kreises Die Durchflutung ist die Ursache für das Enstehen des magnetischen Feldes. Häufig besteht die Aufgabe, die zur Erzeugung eines magnetischen Flusses erforderliche Durchflutung zu ermitteln. Für ein Magnetfeld mit überall (praktisch) gleich großer Induktion B und Feldstärke H ergibt sich der Fluß: N I A l B A A l Als neue Größe wird der magnetische Leitwert eingeführt. Daneben ist als reziproke Größe der magnetische Widerstand gebräuchlich: RM Einheiten: 1 l l A r o A [ ] = Vs / A = H = Henry [RM] = A / Vs = 1 / H In Analogie zum Ohmschen Gesetz gilt für das magnetische Feld: = = / RM Wenn der magnetische Kreis aus mehreren hintereinander liegenden Abschnitten mit den magnetischen Leitwerten 1, 2 usw. besteht, so ergibt sich: =( Elektrotechnik 1I 1 + 2 + ...) Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 12/39 - Der magnetische Leitwert bzw. Widerstand ist häufig nicht konstant, sondern von der Durchflutung bzw. vom Fluß abhängig, was besonders bei magnetischen Kreisen mit Eisen in hohem Maße der Fall ist. Die Analogie kann auch auf die zwei Kirchhoffschen Gesetze ausgedehnt werden. Entsprechend dem Knotensatz gilt bei einer Flußverzweigung, daß der Gesamtfluß gleich der Summe der Teilflüsse ist. Für magnetische Spannungen gilt, daß die Summe von in Reihe liegenden Teilspannungen gleich der Gesamtspannung ist. Feld Ursache Wirkung elektrisch Spannung QuellenU spannung U0 Strom I Widerstand R Leitwert G Leitfähigkeit magnetisch Spannung V Fluß Widerstand RM Leitwert Permeabilität Durchflutung Verbindende Größen Abb.: Analoge Größen des elektrischen Strömungsfeldes und des magnetischen Feldes Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 13/39 - 3. Materie im magnetischen Feld 3.1. Verhaltensunterschiede der Materie In materiellen Körpern bildet sich das Magnetfeld anders aus als im Vakuum. Da die alleinige Ursache des Magnetfeldes bewegte Ladungen sind, müssen in der Materie Ladungsbewegungen stattfinden, die ein Magnetfeld erregen. Für die makroskopische Beschreibung des Feldes kann auf die Erklärung der recht komplizierten mikroskopischen Vorgänge verzichtet werden. Es genügt die einfache Modellvorstellung, daß sich im Innern der Materie mikroskopische (elementare) Kreisströme (Elementarströme) ausbilden, die jeweils ein zu ihrer Kreisbahn senkrecht stehendes Elementarfeld dB erregen. Die Elektronen innerhalb der Atome durchlaufen geschlossene Bahnen und rotieren um ihre Achse (Elektronenspin). Jede derartige Bewegung kann als ein elementarer Kreisstrom (elektrischer Ringstrom) und damit als magnetischer Dipol aufgefaßt werden. Da aber selbst diese grobe Modellvorstellung als Grundlage einer quantitativen Berechnung zu kompliziert ist, begnügt man sich damit, die Elementarerregung über die Permeabilitätszahl r in die Rechnung einzuführen. Abb.: Elementarerregung (magnetischer Elementardipol) Hinsichtlich ihres magnetischen Verhaltens kann die Materie aus der für die Praxis interessierenden makroskopischen Sicht in drei Gruppen unterteilt werden. Grundlage dieser Betrachtung ist die beschriebene Modellvorstellung. Die erregten Elementarfelder sind im unmagnetisierten Zustand so unregelmäßig orientiert, daß kein resultierendes Feld nach außen in Erscheinung tritt. In magnetisch nicht neutralen Stoffen orientieren sich die Elementarströme unter Einwirkung eines äußeren Feldes in eine Richtung, d.h. es bildet sich eine innere Erregung aus, die ein zusätzliches inneres Feld erregt, das sich dem äußeren überlagert. Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 14/39 - Diamagnetische Stoffe In den diamagnetischen Stoffen wirken die inneren Erregungen dem äußeren Feld entgegen (Induktionsgesetz) und schwächen dieses ( r 1). Die bekannten diamagnetischen Stoffe bilden aber nur ein äußerst geringes Gegenfeld aus. Die Permeabilitätzahl r hat unabhängig von B bzw. H einen konstanten Wert. Permeabilitätszahl r einiger diamagnetischer Stoffe: 1 1 1 1 Wismut Silber Kupfer Wasser 160 10 6 25 10 6 10 10 6 9 10 6 Paramagnetische Stoffe Paramagnetische Stoffe zeigen ähnlich wie die diamagnetischen nur eine äußerst schwache, allerdings hier verstärkende Wirkung auf das äußere Feld ( r 1) durch Ausrichtung der magnetischen Dipole. Auch in paramagnetischen Stoffen tritt eine (jedoch geringere) diamagnetische Wirkung auf. Die Permeabilitätszahl r hat unabhängig von B bzw. H einen konstanten Wert. Permeabilitätszahl Luft Aluminium Platin Palladium r einiger paramagnetischer Stoffe: 1 1 1 1 0, 4 10 6 22 10 6 300 10 6 780 10 6 Ferromagnetische Stoffe In ferromagnetischen Stoffen (z.B. Eisen) treten sehr große verstärkende innere Erregungen auf ( r ...105). Die verstärkende Wirkung ist hier aber abhängig von der Induktion innerhalb des Stoffes r f ( B) . Außerdem fallen die einmal durch ein äußeres Feld in eine bestimmte Richtung orientierten Dipole nach Verschwinden des äußeren Feldes nicht vollständig wieder in ihre regellose Ausgangslage zurück, d.h. es bleibt ein der Materie eigenes Feld zurück. Je nachdem, in welcher Stärke das Eigenfeld bestehen bleibt, unterscheidet man weichmagnetische Stoffe und hartmagnetische Stoffe (Dauermagnete). Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 15/39 - 3.2. Verhalten des Eisens im Magnetfeld Die auffallenden Kennzeichen ferromagnetischer Materie sind die - sehr große verstärkende Wirkung auf das resultierende Magnetfeld und - die Abhängigkeit dieser Wirkung von der Größe der Induktion. Der Zusammenhang zwischen Induktion und Feldstärke (Permeabilitätszahl) wird bestimmt durch - die auftretende Induktion bzw. Feldstärke, - die Eisensorte und durch - die Vorgeschichte des Eisens (Magnetisierungszustand) Anstatt die Permeabilität in Abhängigkeit von der magnetischen Feldstärke aufzutragen, ist es üblicher, den Zusammenhang zwischen Induktion B und Feldstärke H in Kurvenform anzugeben, denn diese Abhängigkeit ist für technische Rechnungen zweckmäßiger. Die Permeabilitätszahl r kann nach B r 0 H aus der Kurve berechnet werden. Hystereseschleife Abb.: Hystereseschleifen (magnetisch hart (1) und magnetisch weich (2), Neukurve (3), Koerzitivfeldstärke Hc, Remanenzinduktion Br) Wird z.B. in den Innenraum der Kreisringspule ein Eisenkern eingebaut bzw. die Spule auf einen solchen Eisenring gewickelt und speist man diese mit einem veränderlichen Erregerstrom I, so ergeben sich für die Abhängigkeit der Induktion B von der Feldstärke (H = N I / l) Kurven der dargestellten Art. Zunächst fällt an derartigen experimentell ermittelten Kurven auf, daß die Funktion B = f(H) keineswegs linear ist. Außerdem sind die Induktionen in Eisen bei gleichen Feldstärken bemerkenswert größer als in Luft, was gleichbedeutend mit der erwähnten größeren Permeabilitätszahl des Eisens ist. Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 16/39 - Die sog. Neukurve (3) wird aufgenommen, wenn das Eisen vor dem Versuch unmagnetisch war, wenn also bei I = 0 und magnetischer Feldstärke H = 0 auch die Induktion den Wert B = 0 hatte. Die Magnetisierung wird bei einer bestimmten Feldstärke bzw. Induktion abgebrochen (Sättigung). Verringert man nun Strom bzw. Feldstärke, so hat die Induktion nicht denselben Verlauf wie bei der Aufwärts-Magnetisierung. Wird dann in negativer Richtung bis zur Sättigung und schließlich wieder in positiver Richtung magnetisiert, so ergibt sich die Schleife 1. Der entsprechende Verlauf bei einer anderen Eisensorte ist mit der Schleife 2 dargestellt. Bei der Magnetisierung von Eisen gehört also zu bestimmten Feldstärken H keinesfalls immer dieselbe Induktion B. Die Abhängigkeit der Induktion B von der Feldstärke H wird außer von der Eisensorte auch von dem Maximalwert der eingestellten Magnetisierung (Feldstärke) bestimmt. Man bezeichnet die dargestellten zyklischen Verläufe als Hystereseschleifen. Eisensorten mit schmaler Hystereseschleife (2) nennt man magnetisch weich, solche mit breiter Schleife (1) hart, da sie sich nur mit größerem Aufwand ummagnetisieren lassen. Gekennzeichnet ist die Breite der Schleifen insbesondere durch die Koerzitivfeldstärke Hc bei der Induktion B = 0 und die Remanenzinduktion Br, die beim Abschalten des erregenden Stromes verbleibende Induktion. Kommutierungskurve Bei relativ schmalen Hystereseschleifen, wie sie z.B. für Eisen gelten, das für Wechselstrommagnetisierung geeignet ist, wird den Rechnungen im allgemeinen nicht die vollständige Hystereseschleife, sondern eine mittlere Kommutierungskurve zugrunde gelegt. Diese Kommutierungs- oder Magnetisierungskurve ist die Verbindungslinie aller Umkehrpunkte der bis zu unterschiedlichen maximalen Induktionen aufgenommenen Hystereseschleifen. Abb.: Kommutierungskurve K Sowohl für die Hystereseschleifen als auch für die Kommutierungskurven sind bisher keine physikalisch begründete Gleichungen bekannt. Man kann zwar mathematische Näherungsfunktionen angeben, die aber nur für beschränkte Bereiche brauchbar und/oder mathematisch kompliziert sind. Das "Sättigungsknie" liegt bei den meisten Eisensorten zwischen 1,0 T und 1,5 T. Im darüber liegenden Bereich erfordert eine Vergrößerung der Induktion eine unverhältnismäßig große Steigerung der Feldstärke und damit der Durchflutung. Induktionen von etwa 1,5 T werden daher nur selten überschritten. Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 17/39 - 3.3. Magnetische Vorgänge im Eisen Bei Eisen tritt eine enorme Verstärkung der äußeren Erregerströme und damit der Induktion ein. Diese Verstärkung ist aber abhängig von der auftretenden Induktion, d.h. der Zusammenhang zwischen Feldstärke H und Induktion B ist nichtlinear. Die Funktion B = f(H) flacht nach anfänglichem steilen Anstieg stark ab und nähert sich dabei asymptotisch einer Tangente der Steigung (dB/dH) = µ0. Man bezeichnet diesen Verlauf als Sättigung des Eisens. In den dia- wie auch paramagnetischen Stoffen sind die einzelnen Elementarerregungen völlig unregelmäßig orientiert, was einem magnetisch neutralen Zustand gleichkommt. Dagegen sind bei den ferromagnetischen Stoffen die einzelnen Elementarerregungen bereits gebietsweise in eine jedem Gebiet eigene gemeinsame Richtung orientiert. Es stellen die größenordnungsmäßig 106 Atom- oder Molekülgruppen jedes solchen Weißschen Bezirkes einen gesättigten Elementarmagneten dar, solange die Temperatur unterhalb von ca. 770°C (Curie-Temperatur) liegt (oberhalb von ca. 770°C verliert Eisen seine ferromagnetischen Eigenschaften). Gesättigt bedeutet, daß nahezu alle Elementarerregungen in gleicher Richtung orientiert sind, d.h. bei weiter ansteigender äußerer Erregung kann die Induktion nur proportional dieser äußeren Erregung ansteigen; eine Verstärkung durch die unterstützende Umorientierung innerer Erregungen findet nicht mehr statt. Im unmagnetischen Zustand des Eisens liegen alle Elementarmagnete (Weißschen Bezirke) ungeordnet, so daß sich deren Wirkungen aufheben, wie durch die Pfeile in den Weißschen Bezirken der Abbildung dargestellt ist. H H Abb.: Weißsche Bezirke Schon bei kleiner äußerer Magnetisierung beginnt eine allmähliche Änderung des vorher unmagnetischen Zustands. Jene Weißschen Bezirke, deren Magnetisierungs-richtungen mit der äußeren Feldrichtung nur einen relativ kleinen (spitzen) Winkel bilden, wachsen dann bei kleiner Magnetisierung auf Kosten derjenigen Bezirke, bei denen dieser Winkel groß ist, die also eine Gegenkomponente zur äußeren Feldrichtung haben. Es tritt eine Wandverschiebung zwischen den Bezirken auf. Dieser Magnetisierungsbereich entspricht dem untersten, zunächst langsam ansteigenden Teil der Neukurve. Wird das äußere Feld nun stärker, so beginnen die magnetischen Richtungen ganzer Bezirke sprunghaft in jene Orientierungen der Kristalle umzuspringen, die einen möglichst kleinen Winkel mit der äußeren Feldrichtung ergeben (sog. BarkhausenSprünge). Dieser Bereich liegt im steilen Verlauf der Neukurve. Bei noch weiter steigender Erregung drehen sich die einzelnen Bezirke schließlich im Sättigungsgebiet stetig in die Feldrichtung ein, so daß dann bei extrem großen Magnetisierungen sämtliche Elementarmagnete in der Richtung des äußeren Feldes liegen. Es ist Sättigung erreicht, und ein weiteres Ansteigen der Induktion B erfolgt nur noch entsprechend der Zunahmne des äußeren Feldes. Die Magnetisierungslinie steigt jetzt geradlinig mit einer nur sehr geringen Steigung an. Bei abnehmender Magnetisierung erweist sich die letzte Magnetisierungsphase des allmählichen Eindrehens als reversibel. Das Zurückklappen der Bezirke in ungeordnete Richtungen bei weiter abnehmendem äußeren Feld erfolgt aber auch bei völlig verschwindender Erregung nur unvollständig, so daß das Eisen magnetisch bleibt (Remanenzinduktion Br bei H = 0). Es bedarf erst einer Gegenmagnetisierung von der Größe der Koerzitivfeldstärke Hc, um im ganzen eine der Induktion B = 0 entsprechende Lage aller Weißschen Bezirke zu erhalten. Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 18/39 - 4. Kräfte im magnetischen Feld 4.1. Kraftwirkung auf stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld Bei der Spannungsinduktion in bewegten Leitern wird später erläutert, daß sich die induzierte elektrische Feldstärke auch als Kraft auf die mit dem Leiter durch das Magnetfeld bewegten Ladungsträger deuten läßt (Lorentzkraft). Daraus kann gefolgert werden, daß auf jede Ladung Q, die sich mit der Geschwindigkeit v durch ein Magnetfeld der Induktion B bewegt, die Kraft: F Q E Q v B ausgeübt wird. Nach den Regeln der Vektorrechnung steht diese Kraft F senkrecht auf der Fläche, die aus den Vektoren der Geschwindigkeit v und der Induktion B gebildet wird, und wirkt in Richtung der axialen Bewegung einer Rechtsschraube, die mit dem Geschwindig keitsvektor v auf kürzestem Wege in den Vektor B gedreht wird. Ihr Betrag ist mit dem Winkel F = Q v B sin zwischen den Vektoren v und B . v Q B F Abb.: Richtungszuordnung Diese Gleichung für die Kraftwirkung auf bewegte Ladungen ist geeignet, wenn Ladungen und ihre Geschwindigkeiten gegeben sind, z.B. bei der Bestimmung der Laufbahnen frei im Raum beweglicher Ladungen. Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 19/39 - Meist wird dagegen die Kraftwirkung auf stromdurchflossene Leiter gesucht. Dazu wird ein vom Strom I durchflossener Leiter betrachtet. In einem Element dieses Leiters der Länge dl befindet sich die Ladungsmenge dQ, die sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, wobei der Zusammenhang dQ v = I dl gilt, wenn der Vektor dl in der Längsachse des Leiters in Richtung des Stromes I liegt. Damit folgt für die Kraft, die auf das vom Strom I durchflossene Leiterelement dl wirkt: I dl xB dF I F dF v l dl B dQ=(I dl)/v Abb.: Stromdurchflossenes Leiterelement Die resultierende Kraft, die an einem Leiter beliebiger Länge und Lage angreift, ergibt sich durch Integration der Teilkräfte dF über die ganze Leiterlänge l: F dl xB I l Für beliebig geformte Leiter in inhomogenen Feldern ist die Auswertung des Integrals nicht einfach, da sowohl die Induktion B wie auch das Wegelement dl Ortsfunktionen sind. Praktisch treten aber recht häufig einfache Leiterformen in homogenen Feldern auf, für die das Integral in eine Multiplikation überführt werden kann. Z.B. ergibt sich die Kraft auf einen geraden Leiter der Länge l im homogenen Feld der Induktion B : F I l xB d.h. an dem Leiter greift eine Kraft F = Q v B sin an, die senkrecht auf der Fläche gebildet aus Leiter l (in Richtung des Stromes I) und Induktion B steht. Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 20/39 - 5. Induktionsgesetz 5.1. Bewegungsspannung In der Abbildung ist ein homogenes Feld durch senkrecht nach oben gezeichnete Pfeile angedeutet. In diesem Feld möge sich eine Windung befinden, die in zwei Positionen 1 und 2 dargestellt ist. Die Lage 1 ist so gewählt, daß ein größtmöglicher Teil des magnetischen Feldes durch die Windungsfläche hindurchgeht, während in der Lage 2 kein Feld durch die Windungsfläche verläuft. In beiden gezeichneten, aber auch beliebigen anderen Ruhelagen wird keine Spannung erzeugt. Ein angeschlossener Spannungsmesser zeigt aber sofort einen Ausschlag, wenn die Windung bewegt, z.B. von der Lage 1 in die Lage 2 gedreht, wird, also ihre Stellung zur Feldrichtung zeitlich ändert. Man kann feststellen, daß bei Drehung einer Windung und damit ganz allgemein bei Bewegung eines Leiters im magnetischen Feld eine elektrische Spannung erzeugt (induziert) wird. Abb.: Drehung einer Windung im Magnetfeld 5.2. Transformationsspannung Es läßt sich weiter feststellen, daß es auch möglich ist, Spannungen ohne Bewegung in einer Windung zu erzeugen. Denkt man sich z.B. eine Windung in der Position 1 ruhend, so wird ein angeschlossener Spannungsmesser keinen Ausschlag zeigen, solange sich die Intensität des magnetischen Feldes nicht ändert. Ist hingegen das magnetische Feld (Induktion und Fluß) zeitlich nicht konstant, d.h. ändert sich der mit der Windung verkettete Fluß, dann zeigt der Spannungsmesser einen Ausschlag, ähnlich wie bei der Drehung der Windung im konstanten Feld. Auch in diesem Fall spricht man von einer induzierten Spannung. Bringt man die Windung in eine beliebige Stellung 3, so stellt man fest, daß bei Änderung des magnetischen Feldes eine Spannung induziert wird, die kleiner als in der Position 1 ist. Im Grenzfall der Position 2 wird keine Spannung mehr induziert. Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 21/39 - 5.3. Flußänderung Die Spannungsinduktion kann in beiden Fällen (Bewegungs- und Transformationsspannung) infolge einer einzigen Ursache erklärt werden, nämlich der zeitlichen Änderung des mit der Windung verketteten magnetischen Flusses. Der verkettete Fluß hängt von der Induktion B, der Windungsfläche A und dem Winkel zwischen der Windungsfläche und dem Induktionsvektor ab und ergibt sich aus: B A B A cos Die für die Spannungsinduktion maßgebliche Änderungsgeschwindigkeit des Flusses kann gegeben sein durch - die Änderungsgeschwindigkeit des Winkels (t), also der Winkelgeschwindigkeit d (t)/dt oder/und - die Änderungsgeschwindigkeit dB(t)/dt der sich zeitlich ändernden Induktion B(t). Wichtig für die Richtung der induzierten Spannung ist die Beachtung der durch den Zählpfeil angegebenen Richtung des magnetischen Flusses . Der Flächenvektor A ist in Richtung des Induktionsvektors B anzutragen, so daß sich der Fluß positiv ergibt für den in Richtung des Induktionsvektors B liegenden Zählpfeil . 5.4. Spannungsinduktion Ändert sich der Fluß während eines Zeitabschnitts dt um d (t), so ist die induzierte Quellenspannung: u0 = d (t) / dt Diese Gleichung ist das Induktionsgesetz für die induzierte Spannung, die auf einem geschlossenen Umlauf um den sich zeitlich ändernden Fluß (t) entsteht. (t), d (t)/dt > 0 1 i dl E(t) u12 (t) R u0 u0 2 i(t) t Abb.: Richtungszuordnung Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 22/39 - Die induzierte Spannung umschließt den induzierenden Fluß; sie ist daher eine Umlaufspannung. Der zur elektrischen Spannung gehörende Vektor E (t ) der elektrischen Feldstärke besteht damit auch um den magnetischen Fluß (t) herum. Da sich die Umlaufspannung u0 bzw. das Linienintegral der elektrischen Feldstärke E (t ) über den geschlossenen Weg um (t) erstreckt, kann das Induktionsgesetz analog zum Umlaufintegral im Durchflutungsgesetz in vollständiger Form geschrieben werden: u0 E dl d (t ) dt Induktionsgesetz und Durchflutungsgesetz sind die beiden wichtigsten Gesetze, die die Verknüpfung von elektrischen und magnetischen Feldern beschreiben. Für N Windungen einer Spule, die mit demselben Fluß Quellenspannung der Spule: (t) verkettet sind, gilt für die u0 = N d (t) / dt 5.5. Spannungsrichtung Die in der Abbildung eingetragenen Zählpfeilrichtungen gelten allgemein, d.h. es sind rechtswindig um den Zählpfeil dessich zeitlich ändernden Flusses (t) die von diesem induzierte elektrische Feldstärke E (t ) bzw. deren Umlaufintegral u0 anzutragen. Eine Überprüfung erfolgt mit dem Lentzschen Gesetz. Dazu denkt man sich die Leiterschleife um eine verschwindend kleine Länge 0 geöffnet, so daß an den Klemmen 1 und 2 die Klemmenspannung u12 gemessen und ein Widerstand R angeschlossen werden kann. Infolge der Klemmenspannung u12, die nach dem Maschensatz gleich der induzierten Quellenspannung u0 ist, wird in der Schleife ein Strom i in der eingezeichneten Richtung fließen: i = (1/R) u12 = (1/R) d (t) / dt Wird nun der Fluß (t) zeitlich größer (wie in der Abbildung), so ist (d (t)/dt) positiv und damit auch der Strom i, der dann in der eingezeichneten Richtung fließt. Dieser Strom erregt nun seinerseits ein magnetisches Feld, dessen Induktionslinien ihn rechtswendig umschließen. Es entsteht ein zusätzlicher magnetischer Fluß i(t), dessen Zählpfeil entgegengesetzt dem von (t) weist. Dies entspricht dem Lentzschen Gesetz, wonach eine Wirkung (hier Strom) immer so gerichtet ist, daß sie ihrer Ursache (hier Fluß) entgegen wirkt. Für praktische Rechnungen muß die zeitliche Änderung des Flusses bekannt sein, da nur über das Vorzeichen des Differentialquotienten (d (t)/dt) zusammen mit dem eingetragenen Zählpfeil für die Quellenspannung u0 die tatsächlich eingeprägte Richtung von Spannung bzw. Strom bestimmt werden kann. Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 23/39 - Beispiel: Durch die Anordnung der Eisenteile in einem Gleichstromgenerator wird ein Feld erzeugt, das in jeder Windung einen angenähert trapezförmigen Flußverlauf (t) bewirkt. Es sind Größe und Verlauf der in einer Windung induzierten Spannung zu ermitteln, wenn der Scheitelwert des Flusses s = 10 mVs und die angegebenen Zeiten t1 = 5 ms und t2 = 40 ms betragen. (t) u0(t) S uo,s t t1 t2 Abb.: Flußverlauf und Quellenspannung In den Zeiten konstanten Flusses wird keine Spannung erzeugt, da hier die Flußänderung d (t)/dt = 0 ist. Im Zeitraum t1 bis t2 ändert sich der Fluß linear, so daß man anstelle des Differentialquotienten den Differenzenquotienten / t verwenden kann. Da sich der Fluß während der Zeit t = t2 - t1 um = 2 s ändert, ist die induzierte Spannung: u0,S Elektrotechnik 1I d (t ) dt t 2 t2 S t1 20mVs 35ms 0, 572V Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 24/39 - 6. Selbst- und Gegeninduktion 6.1. Selbstinduktion i (t) L u Abb.: Selbstinduktion Man betrachtet eine von einem Wechselstrom i durchflossene Ringspule mit der Windungszahl N. Ändert man den eingespeisten Strom i, so ändert sich der vom Strom erzeugte magnetische Fluß (t). Hierdurch kommt es zu einer Spannungsinduktion in der Spule. Man bezeichnet diesen Vorgang als Selbstindunktion. Die Selbstinduktionsspannung u liegt an der Spule an: u = N d (t)/dt Enthält die Spule kein ferromagnetisches Material, d.h.µr ist konstant, so gilt bei der Ringspule die Proportionalität: (t) = B(t) A = µ H(t) A = µ (N i/l) A Die Selbstinduktionsspannung kann damit wie folgt angegeben werden: N2 u A di l dt L di dt Die Konstante L wird als Induktivität bezeichnet. Die Induktivität stellt eine charakteristische Größe von Spulen dar. Sie ist abhängig von der Windungszahl, der Geometrie und von Materialeigenschaften. Einheit: [L] = Vs/A = H = Henry Die Selbstinduktionsspannung u ist bei steigendem Strom positiv. Das bedeutet, daß die Spannung eine Zunahme des Stromes zu verhindern sucht. Bei abnehmenden Strom ändert die Spannung ihre Polarität. Jetzt wirkt sie einer Abnahme des Stromes entgegen. Die Selbstinduktionsspannung ist stets so gerichtet, daß sie eine Stromänderung zu vermeiden sucht (Lentzsche Regel). Bei zeitlich konstantem Strom tritt keine Selbstinduktionsspannung auf. Enthält die Spule ferromagnetisches Material, so ist die Permeabilität µ nicht konstant und zu ersetzen durch die differentielle Permeabilität µd = dB/dH: L Elektrotechnik 1I N2 A d l Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 25/39 - Eigenschaften von Eisenspulen: - Eisenspulen haben bei gleicher Größe und gleicher Windungszahl gegenüber anderen Spulen i.d.R. eine um mehrere Zehnerpotenzen größere Induktivität. - Die Induktivität ist nicht konstant und vom Spulenstrom abhängig. Bei Sättigung kann die Induktivität gegenüber dem ungesättigten Zustand um mehrere Zehnerpotenzen abnehmen. 6.2. Gegeninduktion Befindet sich in der Nähe einer stromdurchflossenen Spule 1 eine zweite Spule 2, so verläuft ein Teil des von der Spule 1 erzeugten magnetischen Flusses auch durch die Spule 2. Man bezeichnet die Spulen als magnetisch gekoppelt. Ändert sich in der Spule 1 der Strom, so tritt nicht nur in Spule 1 eine Selbstinduktionsspannung auf, sondern es wird auch in Spule 2 eine Spannung induziert. Die Spannung bezeichnet man als Gegeninduktionsspannung, den Vorgang selbst als Gegeninduktion. i1 u2 (t) N2 N1 Abb.: Gegeninduktion Auf einem Ringkern aus nicht ferromagnetischem Material seien zwei Spulen aufgebracht. Der vom Strom i1 erzeugte magnetische Fluß (t) verlaufe vollständig durch beide Spulen (ideale Kopplung). Ändert sich der Strom i1, so ändert sich entsprechend der Fluß Spule 2 eine Spannung u2 induziert: u2 = N2 d (t)/dt (t), und es wird in Es gilt bei der Ringspule die Proportionalität: (t) = B(t) A = µ H(t) A = µ (N1 i1/l) A Die Gegeninduktionsspannung kann damit wie folgt angegeben werden: u2 N1 N 2 A di1 l dt M12 di1 dt Die Konstante M12 wird als Gegeninduktivität bezeichnet. Die Gegeninduktivität ist abhängig von der Windungszahl, der Geometrie und von Materialeigenschaften. Sie ist eine zwei magnetisch gekoppelten Spulen zugeordnete Größe. Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 26/39 - Einheit: [M12] = Vs/A = H = Henry Nimmt man an, daß in Spule 2 ein zeitlich veränderlicher Strom i2 fließt, so gilt für die Gegeninduktionsspannung entsprechend: u1 Dabei gilt: N 2 N1 A di2 l dt M 21 di2 dt M21 = M12 = M Beispiel: Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der an der Induktivität L = 100 mH liegenden Spannung. Es gilt allgemein: u = L di/dt a) Zeitbereich 0 < t < 8 ms: u = 0,1 H 100 mA / 8 ms = 1,25 V b) Zeitbereich 8 ms < t < 12 ms: u = 0,1 H (-100 mA) / 4 ms = -2,5 V i/mA u/V 3 100 i L u t/ms 4 -100 -3 Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 27/39 - 7. Energie des magnetischen Feldes Zum Aufbau eines Magnetfeldes ist stets eine bestimmte Energie notwendig, die im Feld gespeichert wird. Zur Bestimmung dieser Energie betrachtet man eine Ringspule, die mit einer Spannungsquelle verbunden wird. Der Widerstand der Spule sei vernachlässigbar. Abb.: Energie des Magnetfelds Nach Schließen des Schalters S wird der Spule innerhalb einer Zeit dt bei anliegender Spannung u und fließendem Strom i die Energie dW = u i dt zugeführt und im Magnetfeld gespeichert. Es gilt das Induktionsgesetz: u = N d (t)/dt = N A dB(t)/dt Weiterhin gilt nach dem Durchflutungsgesetz: i = (H(t) l) / N Einsetzen: dW = A l H(t) dB Beim Aufbau des in der Spule vorhandenen Magnetfeldes steigt die Flußdichte von B=0 auf einen bestimmten Wert Bx an. Daraus folgt die gesamte im Magnetfeld gespeicherte Energie: Bx W Bx A l H dB V 0 H dB 0 Dabei ist V das vom Magnetfeld erfüllte Volumen. Die Energiedichte beträgt demnach: Bx W w H dB V 0 Das Ergebnis ist allgemein gültig. Besteht der Spulenkern aus ferromagnetischem Material, so kann die Energiedichte als Fläche zwischen Magnetisierungskennlinie und Ordinate dargestellt werden. Besteht der Kern nicht aus ferromagnetischem Material, so ist die Permeabilität konstant: B Bx2 1 x 1 w B dB H x Bx 2 2 0 Ist die Induktivität L der Spule bekannt, so folgt mit u = L di/dt: dW = L di/dt i dt = L i di Beim Aufbau des Magnetfeldes steigt der Strom von i = 0 auf i = I: I 1 W L i di L I2 2 0 Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 28/39 - 8. Der Transformator 8.1. Einwindungsmodell Eine der wichtigsten technischen Anwendungen der Gegeninduktivität ist der Transformator, der zum Herauf- oder Heruntertransformieren von Spannungen und Strömen, als Trenntransformator zur galvanischen Trennung, in der Nachrichtentechnik als Übertrager für die breitbandige Anpassung und in der Meßtechnik als Wandler zum Verringern von Meßspannungen und Meßströmen verwendet wird. Er dient sowohl in der Energietechnik (Übertragung großer Leistungen) als auch in der Nachrichtentechnik (Übertragung von Informationen). Beim Volltransformator sind mindestens zwei Wicklungen vorhanden, die von einem gemeinsamen magnetischen Feld durchsetzt sind. Die primäre Wicklung 1 stellt die Eingangsseite des Transformators dar, der die Energie zugeführt wird. Die sekundäre Wicklung 2 ist die Ausgangsseite, der Energie entnommen werden kann. Der Spartransformator weist für die Primär- und Sekundärseite einen gemeinsamen Wicklungsteil auf, d.h. er kann als induktiver Spannungsteiler angesehen werden. Abb.: Schaltzeichen des Transformators Die grundsätzliche Funktionsweise Einwindungsmodell erläutert werden. des Transformator soll an einem Abb.: Einwindungsmodell Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 29/39 - Denkt man sich in R1 und R2 die Widerstände der beiden Windungen konzentriert, so fließt bei Anlegen der Spannung u1 der Strom i1, der den Fluß 1 erzeugt. Eine Änderung des Flusses 1 erzeugt in der Windung 1 eine Selbstinduktionsspannung uS1, die über die Selbstinduktivität L1 erfaßt wird: u S1 di1 dt L1 Der Fluß 1 verkettet die Windungen 1 und 2 miteinander und erzeugt in der Windung 2 eine Gegeninduktionsspannung ug2, die mit der Gegeninduktivität M12 beschrieben werden kann: di1 u g 2 M 12 dt Bei offenem Kreis 2 entsteht dadurch an den Klemmen die Spannung u2 = ug2. Die Windung 2 wirkt nicht auf die Windung 1 zurück. Belastet man die Windung 2, so fließt der Strom i2 (Windung 2 arbeitet als Generator), der seinerseits einen Fluß 2 erzeugt. Der Fluß 2 erzeugt in der Windung 2 eine Selbstinduktionsspannung uS2, deren Größe mit di2 u S 2 L2 dt angegeben werden kann. Der Fluß 2 durchdringt außerdem die Windung 1. Diese Rückwirkung kann über die Gegeninduktivität M21 beschrieben werden: u g1 M 21 di2 dt Damit kann zur Beschreibung der gegenseitigen Verkettung der beiden Windungen über die Flüsse mit Hilfe des Maschensatzes das folgende Gleichungssystem aufgestellt werden: di di2 u1 i1 R1 L1 1 M 21 0 dt dt u2 i 2 R2 L2 di2 dt M 12 di1 dt 0 Aufgelöst nach u1 und u2 ergeben sich die Transformatorgleichungen: Elektrotechnik 1I u1 i1 R1 L1 u2 i 2 R2 L2 di1 dt di2 dt M 21 M 12 di2 dt di1 dt Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 30/39 - Betrachtet man harmonische Größen und nimmt den stationären Zustand an, so ergibt sich bei Einführung komplexer Größen: U1 = I1 R1 + j L1 I1 - j M21 I2 U2 = -I2 R2 - j L2 I2 + j M12 I1 Aus Symmetriegründen folgt: M21 = M12 = M Um die Transformatorgleichungen als Ersatzschaltbild mit konzentierten Bauelementen darstellen zu können, wird der Ausdruck (j M I1 - j M I1) bzw. (j M I2 - j M I2) addiert. Daraus folgt: U1 = I1 R1 + I1 j (L1 – M) + j M (I1 – I2) U2 = -I2 R2 - I2 j (L2 – M) + j M (I1 – I2) 8.2. Übersetzungsverhältnis Man muß noch berücksichtigen, daß im allgemeinen Fall die Primärspule aus N1 und die Sekundärspule aus N2 Windungen besteht. Um das aufgestellte Gleichungssystem des Einwindungsmodells weiter verwenden zu können, muß ein Maßstabsfaktor ü definiert werden, der sich aus einer Überlegung ableiten läßt, bei der zwei Spulen über einen Eisenkreis mit verkoppelt sind. Abb.: Magnetische Kopplung Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 31/39 - Die Spulen haben die Windungszahlen N1 und N2. Nach dem Induktionsgesetz ergibt sich, falls der Fluß vollständig im Eisen verläuft: 1 N1 u1 dt u2 N2 d dt N2 u1 u2 N1 N2 ü U1 U2 1 u1 N1 Mit dem Maßstabsfaktor ü (Übersetzungsverhältnis) kann die sekundäre Spannung U2 auf die Primärseite bezogen werden: U2‘ = ü U2 Das Einwindungsmodell kann mit den bezogenen Größen weiter verwendet werden. Für die Ströme gilt eine ähnliche Überlegung. Ohne sekundäre Belastung ergibt sich die Durchflutung 1 im Eisen mit zu: lm Rm 0 1 Am Damit gilt auch: i1 = 0 Wird die Sekundärseite mit RL belastet, so fließt ein Strom i2, der eine Durchflutung 2 = N2 i2 im Eisenkern erzeugen würde, wenn nicht in der Primärspule ein Strom i1 zu fließen beginnt, bzw. eine Durchflutung 1 erzeugt wird, welche 2 kompensiert. Aus energetischen Gründen folgt: 1- 2=0 N1 i1 – N2 i2 = 0 bzw. i1 i2 N2 N1 1 ü I1 I2 D.h. der Strom I2 kann mit dem Maßstabsfaktor 1/ü auf die Primärseite abgebildet werden: I2‘ = I2 / ü Spannungen werden zur größeren Windungszahl hinauftransformiert, Ströme im gleichen Verhältnis herabtransformiert. Da voraussetzungsgemäß im idealen Transformator keine Verluste auftreten, wird wegen des Gesetzes von der Erhaltung der Energie die primär aufgenommene Energie auf der der Sekundärseite wieder abgegeben (P1 = P2). Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 32/39 - 8.3. Impedanz-Transformation Abb.: Impedanz-Transformation In der sekundären Impedanz Z2 wird die Scheinleistung S2 umgesetzt. Entsprechend muß auf der Primärseite die Scheinleistung S1 = S2 zugeführt werden: ' Z 1 I 12 S1 Z ' 2 Z 2 I 12 I 22 Z2 I 12 S2 Z 2 I 22 ü2 Z 2 Es gilt demnach: R2' ü 2 R2 L'2 ü 2 L2 M' ü M Die dritte Beziehung ergibt sich aus: L1 N 12 Rm L2 N 22 Rm M Elektrotechnik 1I N1 N 2 Rm L1 L2 N 12 N 22 Rm2 L1 L'2 N 12 N 22 2 ü Rm2 M2 M M 2 ü2 L1 L2 ü M L1 L'2 M' Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 33/39 - Mit diesen Beziehungen können alle sekundären Größen der Spule 2 auf die Primärseite der Spule 1 bezogen werden, und das Einwindungsmodell ist weiter anwendbar: U1 = I1 R1 + I1 j (L1 – M‘) + j M‘ (I1 – I‘2) U‘2 = -I‘2 R‘2 – I‘2 j (L‘2 – M‘) + j M‘ (I1 – I‘2) Die Ausdrücke (L1 – M‘) bzw. (L‘2 – M‘) werden wie folgt umgeformt und der Kopplungsfaktor k eingeführt. Der Kopplungsfaktor k ist definiert als das Verhältnis von Hauptfluß zu Gesamtfluß ( Gesamtfluß = Hauptfluß + Streufluß). L1 M ' N1 N1 N 2 k N R 2 m 1 M ü L1 L1 – M‘ = L1 (1 – k) = LS1 L'2 M' L2 N12 N 22 ü Mit Rm1 N12 L1 Rm 2 2 L1 N 12 k Rm1 L1 primäre Streuinduktivität N1 N1 N 2 k N R 2 m 2 M ü N12 Rm 2 N 12 k Rm 2 N 22 folgt: L2 L‘2 – M‘ = L1 (1 – k) = L’S2 sekundäre Streuinduktivität Eingesetzt in die Transformatorgleichungen ergibt sich: U1 = I1 (R1 + j Ls1) + j M‘ (I1 – I‘2) U‘2 = -I‘2 (R‘2 + j L‘s2) + j M‘ (I1 – I‘2) Daraus kann ein Ersatzschaltbild mit konzentrierten Bauelementen gebildet werden. Abb.: T-Ersatzschaltbild des Luft-Transformators Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 34/39 - Für einen idealen Transformator, wie er für Übersetzungsverhältnisses ü vorausgesetzt wurde, gilt: die Bestimmung des R1 = R‘2 = 0 k = 1 LS1 = L‘S2 = 0 Rm = 0 M‘ = ü (N1 N2)/Rm Das Ersatzschaltbild kann um einem idealen Transformator ergänzt werden, so daß sowohl das Übersetzungsverhältnis wie auch die Potentialtrennung berücksichtigt sind. 8.4. Transformator mit Eisenkern Bisher wurde davon ausgegangen, daß entweder der Transformator eine Kopplung über den Luftraum besitzt oder bei einer Kopplung der Primär- und Sekundärspule über einen Eisenkern gilt. Bei einem realen Transformator mit Eisenkreis sind diese Annahmen nicht zutreffend. Bei diesem ist mit einer endlichen Permeabilität zu rechnen, so daß im Ersatzschaltbild des realen Transformators mit Eisenkern gilt: R1 0 R‘2 0 k 1 Rm 0 LS1 M 0, L‘S2 0 LS1 0 bzw. L‘S2 0 bedeutet, daß ein Teil der Feldlinien nur mit der Primär- oder Sekundärspule verkettet ist. Damit kann auch für den realen Transformator mit Eisenkern das obige Ersatzschaltbild verwendet werden. 8.5. Transformator-Verluste In den Wicklungen eines Transformators entstehen Stromwärmeverluste. Diese werden durch die Widerstände R1 und R‘2 symbolisiert: R1: R‘2: Stromwärmeverluste: Kupferverlustwiderstand der Primärseite Kupferverlustwiderstand der Sekundärseite PCu I12 R1 I 2'2 R2' Der im Eisenkern vorhandene Wechselfluß magnetisiert den Kern periodisch um. Bei jeder Ummagnetisierung wird die Hystereseschleife einmal durchlaufen. Es treten somit Ummagnetisierungsverluste PHys auf, deren Größe der Fläche der Hystereschleife und der Frequenz proportional ist: PHys = k1 f Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 35/39 - Nimmt man an, daß der Eisenkern aus homogenen Material besteht, so werden in ihm durch den Wechselfluß Wirbelströme induziert. PWir 2 I Wir RWir iWir uWir RWir ˆ sin t Mit iWir PWir 1 d RWir dt 1 ˆ RWir ˆ 2 fo lg t : cos t 2 2 RWir Bˆ 2 A 2 2 RWir 2 k2 B 2 f 2 Im Gegensatz zu den Hystereseverlusten, die durch die Art des verwendeten Materials bestimmt werden, können die Wirbelstromverluste durch eine geeignete Geometrie beeinflußt werden. Verkleinert man den Querschnitt A, der vom Fluß durchsetzt wird, so verringern sich die Wirbelstromverluste quadratisch. Man baut daher Transformatoren aus dünnen Blechen, die gegeneinander isoliert sind und kann durch die Wahl der Blechstärke die Wirbelstromverluste in weiten Grenzen beeinflussen. Die Hysterese- und Wirbelstromverluste ergeben zusammen die Eisenverluste: PFe PHys PWir k1 f k2 f 2 B2 Während die Eisenverluste nur von der Frequenz und der Größe der Flußdichte im Kern abhängen, sind die Stromwärmeverluste lastabhängig. Die Eisenverluste PFe werden im Ersatzschaltbild des Transformators durch einen Parallelwiderstand RFe zur Gegeninduktivität M‘ berücksichtigt. Damit ergibt sich das vereinfachte Ersatzschaltbild des Transformators mit Eisenkern. Abb.: Ersatzschaltbild des Transformators mit Eisenkern Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 36/39 - Für dieses Ersatzschaltbild läßt sich das folgende Zeigerdiagramm angeben. Abb.: Zeigerdiagramm Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 37/39 - 8.6. Messung der Transformatorkennwerte Beim technischen Einsatz von Transformatoren besteht häufig die Aufgabe, die Kennwert des Ersatzschaltbildes eines gegebenen Transformators zu bestimmen. Zur Lösung dieser Aufgabe sind der Leerlauf- und Kurzschlußversuch üblich. Leerlaufversuch (Ausgangsklemmen unbelastet, I2 = 0) Abb.: Meßschaltung Mit I2 = 0 bzw. I‘2 = 0 ergibt sich das Ersatzschaltbild für den Leerlaufversuch. Abb.: Ersatzschaltbild für den Leerlaufversuch Bei Transformatoren gilt meistens in guter Näherung für den Leerlauf U1L = U‘2L, d.h. die Spannungsabfälle an R1 und LS1 können vernachlässigt werden: Z 1L U 1L I 1L RFe j RFe j M' M' Die Leerlaufspannung U1L muß auf den Nennwert U1N eingestellt werden, da RFe und M‘ von der Größe der Eingangsspannung abhängen. Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 38/39 - Aus den Beziehungen Z 1L L U 1L I 1L U 1L I 1L arccos PW 1L U 1L I 1L e j L können RFe und M‘ berechnet werden, wenn U1L, I1L und PW1L durch Messung bestimmt werden. Der Leerlaufstrom I1L besteht nur aus dem Magnetisierungsstrom IM und dem Eisenverluststrom IFe: I1L = IM + IFe Kurzschlußversuch (Ausgangsklemmen kurzgeschlossen, U2 = 0) Abb.: Meßschaltung Mit U2 = 0 bzw. U‘2 = 0 ergibt sich das Ersatzschaltbild für den Kurzschlußversuch: Abb.: Ersatzschaltbild für den Kurzschlußversuch Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck - 39/39 - Bei Transformatoren können meistens IFe und IM gegenüber I‘2K vernachlässigt (RFe>>R‘2 und M‘>>L’S2) und I1K gleich dem Nennstrom I1N eingestellt werden: I1K = I‘2K Es gilt: Z 1K U 1K I 1K ( R1 R2' ) U 1K I 1K U 1K I 1K e arccos PW 1K U 1K I 1LK j LS 1 L'S 2 Aus der Versuchsschaltung ergibt sich: Z 1K K j K Als Kurzschlußspannung U1K wird die Spannung bezeichnet, die primärseitig an einen Transformator angelegt werden muß, um auf der Primärseite - bei sekündärem Kurzschluß - den Nennstrom I1N einzustellen. Elektrotechnik 1I Prof. Dr.-Ing. Th. Reck
