Elektrotechnik II – Teil 2

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Elektrotechnik II – Teil 2
Prof. Dr.-Ing. Th. Reck
Stand SS 2015
Elektrotechnik 1I
Prof. Dr.-Ing. Th. Reck
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Inhaltsverzeichnis
1.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
2.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
3.
3.1.
3.2.
3.3.
4.
4.1.
5.
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
6.
6.1.
6.2.
7.
8.
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
8.6.
Magnetische Feldgrößen ....................................................................................... 3
Wirkungen und Ursachen .................................................................................. 3
Feldbilder und Feldlinien .................................................................................. 3
Feldrichtung und Polarität ................................................................................. 4
Intensität des magnetischen Feldes (Induktion, magnetische Flußdichte) ........ 4
Magnetische Feldstärke ..................................................................................... 6
Einheiten der magnetischen Feldgrößen ........................................................... 6
Magnetischer Fluß ............................................................................................. 7
Durchflutungsgesetz .............................................................................................. 9
Magnetische Spannung ..................................................................................... 9
Durchflutung ................................................................................................... 10
Durchflutungsgesetz ........................................................................................ 10
Ohmsches Gesetz des magnetischen Kreises .................................................. 11
Materie im magnetischen Feld ............................................................................ 13
Verhaltensunterschiede der Materie ................................................................ 13
Verhalten des Eisens im Magnetfeld ............................................................... 15
Magnetische Vorgänge im Eisen..................................................................... 17
Kräfte im magnetischen Feld .............................................................................. 18
Kraftwirkung auf stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld ........................ 18
Induktionsgesetz .................................................................................................. 20
Bewegungsspannung ....................................................................................... 20
Transformationsspannung ............................................................................... 20
Flußänderung................................................................................................... 21
Spannungsinduktion ........................................................................................ 21
Spannungsrichtung .......................................................................................... 22
Selbst- und Gegeninduktion ................................................................................ 24
Selbstinduktion................................................................................................ 24
Gegeninduktion ............................................................................................... 25
Energie des magnetischen Feldes ........................................................................ 27
Der Transformator ............................................................................................... 28
Einwindungsmodell......................................................................................... 28
Übersetzungsverhältnis ................................................................................... 30
Impedanz-Transformation ............................................................................... 32
Transformator mit Eisenkern .......................................................................... 34
Transformator-Verluste ................................................................................... 34
Messung der Transformatorkennwerte............................................................ 37
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Das magnetische Feld
1.
Magnetische Feldgrößen
1.1.
Wirkungen und Ursachen
Bewegte elektrische Ladungen erzeugen magnetische Felder. Auf solchen magnetischen Wirkungen beruhen elektrische Maschinen (Generatoren, Motoren, Transformatoren) und Elektromagnete. Außerdem sind magnetische Erscheinungen ein wesentliches Merkmal der sich im Raum ausbreitenden elektromagnetischen Wellen. Als allg.
bekannt wird die von magnetisierten Stahlmagneten (Dauermagneten) ausgehende
Kraftwirkung (Anziehung von Eisenteilen) vorausgesetzt. Eine weitere wichtige
Wirkung des Magnetfeldes besteht darin, daß unter bestimmten Voraussetzungen (z.B.
in bewegten Leitern) elektrische Spannungen erzeugt werden können (Induktion).
Alle magnetischen Wirkungen, die in der Nähe von Dauermagneten beobachtet werden,
können in gleicher Weise auch von elektrischen Strömen hervorgerufen werden. Die
Ursache der magnetischen Erscheinungen ist die Bewegung von Ladungsträgern. Bei
Dauermagneten handelt es sich dabei um die Eigenbewegung der Ladungsträger im
atomaren Verband (z.B. Elektronenspin). Bei fließenden elektrischen Strömen ist die
Ursache die durch eine Spannung angetriebene Bewegung freier Ladungsträger.
Im magnetischen Feld werden auf andere bewegte Ladungsträger oder auf ferromagnetische Stoffe Kräfte ausgeübt.
1.2.
Feldbilder und Feldlinien
Das magnetische Feld besitzt wie die Kraft einen Richtungscharakter, d.h. in jedem
Punkt des Raumes existiert eine bestimmte Intensität (Betrag) und eine bestimmte
Richtung. Das magnetische Feld ist ein Vektorfeld.
Abb.: Feldlinienbilder eines geraden Leiters und einer Windung
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Abb.: Feldlinienbild einer Spule
1.3.
Feldrichtung und Polarität
Wie häufig bei Richtungsdefinitionen ist ihre Wahl zunächst willkürlich, hat dann allerdings Konsequenzen auf die auf sie aufbauenden weiteren Gesetzmäßigkeiten. So kann
die Richtungsfestlegung des Magnetfeldes lediglich historisch erklärt werden durch die
Anlehnung an die im Erdmagnetfeld beobachteten Wirkungen.
Man kann den Zusammenhang zwischen der festgelegten Feldrichtung und der Richtung
des erregenden Stromes wie folgt formulieren:
Denkt man sich eine Rechtsschraube in der konventionellen Stromrichtung (positive
Ladungsträger !) vorwärts geschraubt, so stimmt die zugehörige Drehrichtung mit der
Feldrichtung überein.
Oder auch umgekehrt:
Beim Vorwärtsdrehen in Feldrichtung entspricht die Drehrichtung der Stromrichtung in
der felderzeugenden Spule.
Diese Regel wird auch Rechtsschraubenregel oder Korkenzieherregel genannt.
Zur Kennzeichnung des Feldes bei Dauermagneten nennt man die Austritts- bzw.
Eintrittsfläche des Feldes Pole (Nord- und Südpol). Die magnetischen Feldlinien treten
beim Nordpol vom Eisen her in die Luft aus und beim Südpol wieder ein.
1.4.
Intensität des magnetischen Feldes (Induktion, magnetische Flußdichte)
Genau wie bei der Darstellung des elektrischen Feldes gilt auch hier, daß in den Feldlinienbildern neben der Richtung die Intensität zum Ausdruck gebracht wird, indem der
Abstand der Feldlinien umgekehrt proportional der Feldintensität gewählt wird, d.h. die
Dichte der Feldlinien ist ein Maß für die Intensität des Feldes. Da man beliebig viele
Feldlinien zeichnen kann, ist der Abstand auch hier kein absoluter, sondern nur ein
relativer Maßstab.
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Die Größe, mit der die Feldintensität beschrieben wird, die also die im magnetischen
Feld möglichen mechanischen Kräfte bzw. zu induzierenden elektrischen Spannungen
bestimmt, nennt man magnetische Induktion B oder auch magnetische Flußdichte B.
Ihre Definition folgt aus dem Induktionsgesetz, das die Erzeugung elektrischer Spannungen beschreibt.
Da die magnetische Induktion einen Betrag und eine Richtung hat, ist sie ein Vektor,
d.h. das Induktionsfeld
ist auch ein Vektorfeld. Für die magnetische Induktion wird das

B
Formelzeichen verwendet.
Wir betrachten zunächst nur Felder, bei denen im ganzen Feldraum eine gleich große
Induktion B auftritt. Solche Felder liegen z.B. in Toroid- oder Kreisringspulen mit
konstantem inneren Spulenquerschnitt vor, wenn der Durchmesser der Windungen
vergleichsweise klein gegenüber dem Durchmesser der ganzen Spule ist.
Abb.: Kreisringspule
Es gilt die Proportionalität:
Mit
B
N I/l
N: Windungszahl
l: mittlere Spulenlänge
I: Stromstärke
Ein weiterer Einfluß auf die Induktion B ergibt sich wie bei den meisten physikalischen
Vorgängen durch den Werkstoff des Feldraumes. Bisher wurde angenommen, daß die
Felder in der Luft verlaufen. Insbesondere Eisen übt eine enorm verstärkende Wirkung
auf Magnetfelder aus. Solche verstärkenden (bei einigen Materialien auch vermindernde) Wirkung wird über einen Faktor in die Gleichung eingeführt, der als Permeabilität µ
bezeichnet wird.
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Es gilt somit:
B=µ N I/l
Von großer praktischer Bedeutung ist die Erkenntnis, daß für die Erregung eines Magnetfeldes das Produkt N I aus Windungszahl und Stromstärke maßgebend ist, daß also
mit kleinen Strömen und großen Windungszahlen gleiche Wirkungen erzielt werden wie
mit großen Strömen und kleinen Windungszahlen.
Man hat für dieses Produkt, das die Stromsumme angibt, die von dem Feld "umschlungen" wird, bzw. die die geschlossenen Feldlinien durchflutet, eine eigene Größe, die
Durchflutung
=N I
definiert, die in der Einheit A gemessen wird.
Durch variieren von Strom und Windungszahl ergibt sich eine Möglichkeit, Magnetspulen an bestimmte Spannungen anzupassen.
1.5.
Magnetische Feldstärke
Für praktische Berechnungen ist es üblich, den Ausdruck (N I/l) als die das Feld ohne
den Materialeinfluß bestimmende Größe anzusehen. Diese die Ursache des Feldes
beschreibende Größe wird als magnetische Feldstärke (magnetische Erregung) H
bezeichnet.
In dem speziellen Fall der Kreisringspule ergibt sich die magnetische Feldstärke:
H=N I/l
Mit der Annahme, daß die Materialeigenschaften durch die skalare Größe µ beschrieben werden, folgt:
B=µ N I/l=µ H
Die magnetische Feldstärke muß wie die magnetische Induktion einen Vektorcharakter
haben:


B
H

Der Vektor H beschreibt unabhängig von den Materialeigenschaften die Ursache des
Feldes (ergibt sich aus Stromstärke, Windungszahl,
Abmessungen) und führt mit der

Permeabilität multipliziert auf den Vektor B , der die Wirkung des Feldes beschreibt
(aus dem sich z.B. die Kräfte auf Eisenteile oder stromdurchflossenen Leiter ergeben).
1.6.
Einheiten der magnetischen Feldgrößen
Magnetische Feldstärke H:
[H] = A/m
Die Einheit der magnetischen Induktion B wird über ihre Definition aus der Kraftwirkung auf stromdurchflossene Leiter (F = B I l) oder der Induktionswirkung (u = B l v)
abgeleitet:
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V s
m2
B
T
Tesla


Mit den Einheiten der beiden Feldvektoren B und H kann auch die Einheit der Permeabilität µ ermittelt werden. Zuvor wird die Permeabilität in zwei Faktoren aufgespalten:
r
0
Die relative Permeabilität oder Permeabilitätszahl r ist ein reiner Zahlenfaktor, der das
Verhältnis der Permeabilität eines bestimmten Stoffes (Luft, Eisen, u.a.) zu der des
Vakuums angibt. Für Vakuum ist r 1. Für das Feldmedium Luft gilt r 1, 0000004,
so daß bei Feldern in der Luft praktisch immer r 1 gesetzt werden kann.
Die magnetische Feldkonstante
0
ist dann die Permeabilität des Vakuums:
0
Die magnetische Feldkonstante
1.7.
0
4
10
7
Vs
Am
ist eine Naturkonstante.
Magnetischer Fluß
Die resultierende Wirkung des magnetischen Feldes hängt außer von der Intensität (B)
auch von der Größe der Fläche A ab, die an der Wirkung beteiligt ist. Auch diese Fläche
hat einen Richtungscharakter,
so daß sie ebenfalls durch einen Vektor beschrieben

werden muß, der mit A bezeichnet sei.
dA
B
dA
Abb.: Flächenelement
Für das skalare Vektorprodukt aus Induktions- und Flächenvektor wird eine neue Größe
eingeführt, die als magnetischer Fluß bezeichnet wird:
 
B A
B A cos
Der magnetische Fluß kann nach dieser Gleichung nur berechnet werden, wenn die
Induktion B über die Fläche A konstant ist.
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Einheit:
[ ] = Vs = Wb = Weber
Bei inhomogenen Feldern denkt man sich die von der Induktion durchsetzte Fläche in so
kleine Flächenelemente dA zerlegt, daß die Induktion als konstant angenommen werden
kann. Der durch jedes dieser Flächendifferentiale gehende Flußanteil d wird wie folgt
bestimmt:
 
d
B dA

Der die gesamte Fläche A durchsetzende Fluß ist dann gleich der Summe (Integral)
der Skalarprodukte d über die gesamte Fläche:
 
B dA
A
Dieses Flächenintegral der magnetischen Induktion ist die allgemeine Definition des
Flusses.
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2.
Durchflutungsgesetz
2.1.
Magnetische Spannung
Das magnetische Feld in der Kreisspule kann
 als konstant angenommen werden. Dort
wird die Durchflutung N I als Produkt H l berechnet:
 
N I= H l
In inhomogenen Feldern gilt diese Beziehung nicht mehr, da sich die Feldstärke längs
einer Feldlinie ändern kann. Um auch hier das Produkt aus Feldstärke und Feldlinienlänge
   bilden zu können, denkt man sich die betreffende Linie in einzelne Abschnitte
l1, l2, l3 usw. aufgeteilt, längs deren die Feldstärke jeweils annähernd als konstant zu
H1, H2, H3 usw. angesehen werden kann.
l2
l1
l3
H
2
1
V12
Abb.: Inhomogener Feldteil
 
An die Stelle von H l tritt nun eine Summe einzelner Produkte:
 
H l
 
H1 l1
 
 
H2 l2 ... Hn ln
n
 
Hi li
i 1
Für das Skalarprodukt aus magnetischer Feldstärke und Wegvektor wurde die Größe
magnetische Spannung V eingeführt. Die allgemeine Definitionsgleichung der magnetischen Spannung z.B. zwischen den Punkten 1 und 2 ist also das Wegintegral der
magnetischen Feldstärke:
2 

V12
H dl
1
Die magnetische Spannung V ist eine skalare Größe. Ihre Einheit ist Ampere (A). Da
dieser skalaren Größe ähnlich wie der elektrischen Spannung eine Richtungscharakteristik zukommt, wird
 sie durch einen Zählpfeil dargestellt, der in die Richtung des
Integrationsvektors dl angetragen wird.
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2.2.
Durchflutung
Das Produkt N I , das die Stromsumme angibt, die vom magnetischen Feld umschlungen wird bzw. die die geschlossenen Feldlinien durchflutet, wird als Durchflutung
definiert:
=N I
Nicht immer stellt sich die Durchflutung in einer so konzentrierten und leicht erfaßbaren Art dar wie bei einer Spule. Unabhängig von der Art und der räumlichen Verteilung der elektrischen Strömung gilt allgemein, daß für die Erzeugung eines magnetischen Feldes die gesamte mit ihm verkettete elektrische Strömung maßgebend ist. Man
muß also alle Ströme addieren:
I
Als Einheit der Durchflutung erhält man das Ampere (A).
2.3.
Durchflutungsgesetz
Das Durchflutungsgesetz stellt die allgemeine Formulierung für den Zusammenhang
zwischen der Stärke magnetischer Felder und dem erzeugenden Strom dar. Für Kreisringspulen gilt H l = N I. Allgemeine Gültigkeit für beliebige Felder erlangt diese
Gleichung, wenn H l durch das Wegintegral entlang einer geschlossenen Linie gebildet
wird und das Produkt N I durch die Durchflutung ersetzt wird, in der alle Ströme addiert
werden, die von dieser Linie umfaßt werden. Man bezeichnet Linienintegrale entlang
einer geschlossenen Kontur als Umlaufintegrale. Das Umlaufintegral wird hier auch
magnetische Umlaufspannung V0 genannt:
V0
 
H dl
Diese Gleichung wird als Durchflutungsgesetz bezeichnet und gilt für homogene und
inhomogene Felder in Räumen beliebiger - auch inhomogener - Materialien.
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Beispiel:
Durchflutung der Fläche, die vom Integrationsweg L eingeschlossen
wird:
= I1 + I2 - I3 + I4
I1
I2
I3
I4
L
Abb.: Durchflutung
2.4.
Ohmsches Gesetz des magnetischen Kreises
Die Durchflutung
ist die Ursache für das Enstehen des magnetischen Feldes.
Häufig besteht die Aufgabe, die zur Erzeugung eines magnetischen Flusses erforderliche Durchflutung zu ermitteln. Für ein Magnetfeld mit überall (praktisch) gleich
großer Induktion B und Feldstärke H ergibt sich der Fluß:
N I
A
l
B A
A
l
Als neue Größe wird der magnetische Leitwert eingeführt. Daneben ist als reziproke
Größe der magnetische Widerstand gebräuchlich:
RM
Einheiten:
1
l
l
A
r
o
A
[ ] = Vs / A = H = Henry
[RM] = A / Vs = 1 / H
In Analogie zum Ohmschen Gesetz gilt für das magnetische Feld:
=
=
/ RM
Wenn der magnetische Kreis aus mehreren hintereinander liegenden Abschnitten mit
den magnetischen Leitwerten 1, 2 usw. besteht, so ergibt sich:
=(
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+
2
+ ...)
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Der magnetische Leitwert bzw. Widerstand ist häufig nicht konstant, sondern von der
Durchflutung bzw. vom Fluß abhängig, was besonders bei magnetischen Kreisen mit
Eisen in hohem Maße der Fall ist.
Die Analogie kann auch auf die zwei Kirchhoffschen Gesetze ausgedehnt werden. Entsprechend dem Knotensatz gilt bei einer Flußverzweigung, daß der Gesamtfluß gleich
der Summe der Teilflüsse ist. Für magnetische Spannungen gilt, daß die Summe von in
Reihe liegenden Teilspannungen gleich der Gesamtspannung ist.
Feld
Ursache
Wirkung
elektrisch
Spannung
QuellenU
spannung U0
Strom
I
Widerstand
R
Leitwert
G
Leitfähigkeit
magnetisch
Spannung
V
Fluß
Widerstand
RM
Leitwert
Permeabilität
Durchflutung
Verbindende Größen
Abb.: Analoge Größen des elektrischen Strömungsfeldes und des magnetischen Feldes
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3.
Materie im magnetischen Feld
3.1.
Verhaltensunterschiede der Materie
In materiellen Körpern bildet sich das Magnetfeld anders aus als im Vakuum. Da die
alleinige Ursache des Magnetfeldes bewegte Ladungen sind, müssen in der Materie
Ladungsbewegungen stattfinden, die ein Magnetfeld erregen.
Für die makroskopische Beschreibung des Feldes kann auf die Erklärung der recht komplizierten mikroskopischen Vorgänge verzichtet werden. Es genügt die einfache Modellvorstellung, daß sich im Innern der Materie mikroskopische (elementare) Kreisströme
(Elementarströme)
 ausbilden, die jeweils ein zu ihrer Kreisbahn senkrecht stehendes
Elementarfeld dB erregen. Die Elektronen innerhalb der Atome durchlaufen geschlossene Bahnen und rotieren um ihre Achse (Elektronenspin). Jede derartige Bewegung
kann als ein elementarer Kreisstrom (elektrischer Ringstrom) und damit als
magnetischer Dipol aufgefaßt werden.
Da aber selbst diese grobe Modellvorstellung als Grundlage einer quantitativen Berechnung zu kompliziert ist, begnügt man sich damit, die Elementarerregung über die Permeabilitätszahl r in die Rechnung einzuführen.
Abb.: Elementarerregung (magnetischer Elementardipol)
Hinsichtlich ihres magnetischen Verhaltens kann die Materie aus der für die Praxis
interessierenden makroskopischen Sicht in drei Gruppen unterteilt werden. Grundlage
dieser Betrachtung ist die beschriebene Modellvorstellung. Die erregten Elementarfelder sind im unmagnetisierten Zustand so unregelmäßig orientiert, daß kein resultierendes Feld nach außen in Erscheinung tritt. In magnetisch nicht neutralen Stoffen
orientieren sich die Elementarströme unter Einwirkung eines äußeren Feldes in eine
Richtung, d.h. es bildet sich eine innere Erregung aus, die ein zusätzliches inneres Feld
erregt, das sich dem äußeren überlagert.
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Diamagnetische Stoffe
In den diamagnetischen Stoffen wirken die inneren Erregungen dem äußeren Feld
entgegen (Induktionsgesetz) und schwächen dieses ( r 1). Die bekannten diamagnetischen Stoffe bilden aber nur ein äußerst geringes Gegenfeld aus. Die Permeabilitätzahl r hat unabhängig von B bzw. H einen konstanten Wert.
Permeabilitätszahl
r
einiger diamagnetischer Stoffe:
1
1
1
1
Wismut
Silber
Kupfer
Wasser
160 10 6
25 10 6
10 10 6
9 10 6
Paramagnetische Stoffe
Paramagnetische Stoffe zeigen ähnlich wie die diamagnetischen nur eine äußerst
schwache, allerdings hier verstärkende Wirkung auf das äußere Feld ( r 1) durch
Ausrichtung der magnetischen Dipole. Auch in paramagnetischen Stoffen tritt eine
(jedoch geringere) diamagnetische Wirkung auf. Die Permeabilitätszahl r hat
unabhängig von B bzw. H einen konstanten Wert.
Permeabilitätszahl
Luft
Aluminium
Platin
Palladium
r
einiger paramagnetischer Stoffe:
1
1
1
1
0, 4 10 6
22 10 6
300 10 6
780 10 6
Ferromagnetische Stoffe
In ferromagnetischen Stoffen (z.B. Eisen) treten sehr große verstärkende innere Erregungen auf ( r ...105). Die verstärkende Wirkung ist hier aber abhängig von der
Induktion innerhalb des Stoffes r f ( B) . Außerdem fallen die einmal durch ein
äußeres Feld in eine bestimmte Richtung orientierten Dipole nach Verschwinden des
äußeren Feldes nicht vollständig wieder in ihre regellose Ausgangslage zurück, d.h. es
bleibt ein der Materie eigenes Feld zurück. Je nachdem, in welcher Stärke das Eigenfeld
bestehen bleibt, unterscheidet man weichmagnetische Stoffe und hartmagnetische Stoffe
(Dauermagnete).
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3.2.
Verhalten des Eisens im Magnetfeld
Die auffallenden Kennzeichen ferromagnetischer Materie sind die
- sehr große verstärkende Wirkung auf das resultierende Magnetfeld und
- die Abhängigkeit dieser Wirkung von der Größe der Induktion.
Der Zusammenhang zwischen Induktion und Feldstärke (Permeabilitätszahl) wird
bestimmt durch
- die auftretende Induktion bzw. Feldstärke,
- die Eisensorte und durch
- die Vorgeschichte des Eisens (Magnetisierungszustand)
Anstatt die Permeabilität in Abhängigkeit von der magnetischen Feldstärke aufzutragen,
ist es üblicher, den Zusammenhang zwischen Induktion B und Feldstärke H in Kurvenform anzugeben, denn diese Abhängigkeit ist für technische Rechnungen zweckmäßiger. Die Permeabilitätszahl r kann nach B
r
0 H aus der Kurve berechnet
werden.
Hystereseschleife
Abb.: Hystereseschleifen (magnetisch hart (1) und magnetisch weich (2), Neukurve (3),
Koerzitivfeldstärke Hc, Remanenzinduktion Br)
Wird z.B. in den Innenraum der Kreisringspule ein Eisenkern eingebaut bzw. die Spule
auf einen solchen Eisenring gewickelt und speist man diese mit einem veränderlichen
Erregerstrom I, so ergeben sich für die Abhängigkeit der Induktion B von der Feldstärke
(H = N I / l) Kurven der dargestellten Art. Zunächst fällt an derartigen experimentell
ermittelten Kurven auf, daß die Funktion B = f(H) keineswegs linear ist. Außerdem sind
die Induktionen in Eisen bei gleichen Feldstärken bemerkenswert größer als in Luft, was
gleichbedeutend mit der erwähnten größeren Permeabilitätszahl des Eisens ist.
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Die sog. Neukurve (3) wird aufgenommen, wenn das Eisen vor dem Versuch unmagnetisch war, wenn also bei I = 0 und magnetischer Feldstärke H = 0 auch die Induktion
den Wert B = 0 hatte. Die Magnetisierung wird bei einer bestimmten Feldstärke bzw.
Induktion abgebrochen (Sättigung). Verringert man nun Strom bzw. Feldstärke, so hat
die Induktion nicht denselben Verlauf wie bei der Aufwärts-Magnetisierung. Wird dann
in negativer Richtung bis zur Sättigung und schließlich wieder in positiver Richtung
magnetisiert, so ergibt sich die Schleife 1. Der entsprechende Verlauf bei einer anderen
Eisensorte ist mit der Schleife 2 dargestellt.
Bei der Magnetisierung von Eisen gehört also zu bestimmten Feldstärken H keinesfalls
immer dieselbe Induktion B. Die Abhängigkeit der Induktion B von der Feldstärke H
wird außer von der Eisensorte auch von dem Maximalwert der eingestellten Magnetisierung (Feldstärke) bestimmt. Man bezeichnet die dargestellten zyklischen Verläufe als
Hystereseschleifen. Eisensorten mit schmaler Hystereseschleife (2) nennt man magnetisch weich, solche mit breiter Schleife (1) hart, da sie sich nur mit größerem Aufwand
ummagnetisieren lassen. Gekennzeichnet ist die Breite der Schleifen insbesondere durch
die Koerzitivfeldstärke Hc bei der Induktion B = 0 und die Remanenzinduktion Br, die
beim Abschalten des erregenden Stromes verbleibende Induktion.
Kommutierungskurve
Bei relativ schmalen Hystereseschleifen, wie sie z.B. für Eisen gelten, das für Wechselstrommagnetisierung geeignet ist, wird den Rechnungen im allgemeinen nicht die vollständige Hystereseschleife, sondern eine mittlere Kommutierungskurve zugrunde gelegt. Diese Kommutierungs- oder Magnetisierungskurve ist die Verbindungslinie aller
Umkehrpunkte der bis zu unterschiedlichen maximalen Induktionen aufgenommenen
Hystereseschleifen.
Abb.: Kommutierungskurve K
Sowohl für die Hystereseschleifen als auch für die Kommutierungskurven sind bisher
keine physikalisch begründete Gleichungen bekannt. Man kann zwar mathematische
Näherungsfunktionen angeben, die aber nur für beschränkte Bereiche brauchbar
und/oder mathematisch kompliziert sind. Das "Sättigungsknie" liegt bei den meisten
Eisensorten zwischen 1,0 T und 1,5 T. Im darüber liegenden Bereich erfordert eine
Vergrößerung der Induktion eine unverhältnismäßig große Steigerung der Feldstärke
und damit der Durchflutung. Induktionen von etwa 1,5 T werden daher nur selten
überschritten.
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3.3. Magnetische Vorgänge im Eisen
Bei Eisen tritt eine enorme Verstärkung der äußeren Erregerströme und damit der
Induktion ein. Diese Verstärkung ist aber abhängig von der auftretenden Induktion, d.h.
der Zusammenhang zwischen Feldstärke H und Induktion B ist nichtlinear. Die
Funktion B = f(H) flacht nach anfänglichem steilen Anstieg stark ab und nähert sich
dabei asymptotisch einer Tangente der Steigung (dB/dH) = µ0. Man bezeichnet diesen
Verlauf als Sättigung des Eisens.
In den dia- wie auch paramagnetischen Stoffen sind die einzelnen Elementarerregungen
völlig unregelmäßig orientiert, was einem magnetisch neutralen Zustand gleichkommt.
Dagegen sind bei den ferromagnetischen Stoffen die einzelnen Elementarerregungen
bereits gebietsweise in eine jedem Gebiet eigene gemeinsame Richtung orientiert. Es
stellen die größenordnungsmäßig 106 Atom- oder Molekülgruppen jedes solchen
Weißschen Bezirkes einen gesättigten Elementarmagneten dar, solange die Temperatur
unterhalb von ca. 770°C (Curie-Temperatur) liegt (oberhalb von ca. 770°C verliert
Eisen seine ferromagnetischen Eigenschaften). Gesättigt bedeutet, daß nahezu alle
Elementarerregungen in gleicher Richtung orientiert sind, d.h. bei weiter ansteigender
äußerer Erregung kann die Induktion nur proportional dieser äußeren Erregung ansteigen; eine Verstärkung durch die unterstützende Umorientierung innerer Erregungen
findet nicht mehr statt. Im unmagnetischen Zustand des Eisens liegen alle Elementarmagnete (Weißschen Bezirke) ungeordnet, so daß sich deren Wirkungen aufheben, wie
durch die Pfeile in den Weißschen Bezirken der Abbildung dargestellt ist.
H
H
Abb.: Weißsche Bezirke
Schon bei kleiner äußerer Magnetisierung beginnt eine allmähliche Änderung des vorher
unmagnetischen Zustands. Jene Weißschen Bezirke, deren Magnetisierungs-richtungen
mit der äußeren Feldrichtung nur einen relativ kleinen (spitzen) Winkel bilden, wachsen
dann bei kleiner Magnetisierung auf Kosten derjenigen Bezirke, bei denen dieser
Winkel groß ist, die also eine Gegenkomponente zur äußeren Feldrichtung haben. Es
tritt eine Wandverschiebung zwischen den Bezirken auf. Dieser Magnetisierungsbereich entspricht dem untersten, zunächst langsam ansteigenden Teil der Neukurve. Wird das äußere Feld nun stärker, so beginnen die magnetischen Richtungen
ganzer Bezirke sprunghaft in jene Orientierungen der Kristalle umzuspringen, die einen
möglichst kleinen Winkel mit der äußeren Feldrichtung ergeben (sog. BarkhausenSprünge). Dieser Bereich liegt im steilen Verlauf der Neukurve. Bei noch weiter steigender Erregung drehen sich die einzelnen Bezirke schließlich im Sättigungsgebiet
stetig in die Feldrichtung ein, so daß dann bei extrem großen Magnetisierungen sämtliche Elementarmagnete in der Richtung des äußeren Feldes liegen. Es ist Sättigung
erreicht, und ein weiteres Ansteigen der Induktion B erfolgt nur noch entsprechend der
Zunahmne des äußeren Feldes. Die Magnetisierungslinie steigt jetzt geradlinig mit einer
nur sehr geringen Steigung an.
Bei abnehmender Magnetisierung erweist sich die letzte Magnetisierungsphase des
allmählichen Eindrehens als reversibel. Das Zurückklappen der Bezirke in ungeordnete
Richtungen bei weiter abnehmendem äußeren Feld erfolgt aber auch bei völlig verschwindender Erregung nur unvollständig, so daß das Eisen magnetisch bleibt (Remanenzinduktion Br bei H = 0). Es bedarf erst einer Gegenmagnetisierung von der Größe
der Koerzitivfeldstärke Hc, um im ganzen eine der Induktion B = 0 entsprechende Lage
aller Weißschen Bezirke zu erhalten.
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4.
Kräfte im magnetischen Feld
4.1.
Kraftwirkung auf stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld
Bei der Spannungsinduktion in bewegten Leitern wird später erläutert, daß sich die
induzierte elektrische Feldstärke auch als Kraft auf die mit dem Leiter durch das
Magnetfeld bewegten Ladungsträger deuten läßt (Lorentzkraft). Daraus kann gefolgert

werden, daß auf jede Ladung
Q, die sich mit der Geschwindigkeit v durch ein

Magnetfeld der Induktion B bewegt, die Kraft:

F

Q E
 
Q v B
ausgeübt wird.

Nach den Regeln der Vektorrechnung steht diese Kraft F senkrecht
auf der Fläche, die


aus den Vektoren der Geschwindigkeit v und der Induktion B gebildet wird, und wirkt
in Richtung der axialen Bewegung einer Rechtsschraube,
die mit dem Geschwindig

keitsvektor v auf kürzestem Wege in den Vektor B gedreht wird.
Ihr Betrag ist
mit dem Winkel
F = Q v B sin


zwischen den Vektoren v und B .
v
Q
B
F
Abb.: Richtungszuordnung
Diese Gleichung für die Kraftwirkung auf bewegte Ladungen ist geeignet, wenn
Ladungen und ihre Geschwindigkeiten gegeben sind, z.B. bei der Bestimmung der
Laufbahnen frei im Raum beweglicher Ladungen.
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- 19/39 -
Meist wird dagegen die Kraftwirkung auf stromdurchflossene Leiter gesucht. Dazu wird
ein vom Strom I durchflossener Leiter betrachtet. In einem Element dieses Leiters der

Länge dl befindet sich die Ladungsmenge dQ, die sich mit der Geschwindigkeit v
bewegt, wobei der Zusammenhang


dQ v = I dl
gilt,

wenn der Vektor dl in der Längsachse des Leiters in Richtung des Stromes I liegt.

Damit folgt für die Kraft, die auf das vom Strom I durchflossene Leiterelement dl
wirkt:
 
I dl xB

dF
I
F
dF
v
l
dl
B
dQ=(I dl)/v
Abb.: Stromdurchflossenes Leiterelement
Die resultierende Kraft, die an einem Leiter beliebiger Länge und Lage angreift, ergibt
sich durch Integration der Teilkräfte dF über die ganze Leiterlänge l:

F
 
dl xB
I
l
Für beliebig geformte Leiter in inhomogenen
Feldern ist die Auswertung
 des Integrals

nicht einfach, da sowohl die Induktion B wie auch das Wegelement dl Ortsfunktionen
sind.
Praktisch treten aber recht häufig einfache Leiterformen in homogenen Feldern auf, für
die das Integral in eine Multiplikation
 überführt werden kann. Z.B. ergibt sich die Kraft
auf einen geraden Leiter der Länge l im homogenen Feld der Induktion B :

F
 
I l xB
d.h. an dem Leiter greift
eine Kraft F = Q v B sin an, die senkrecht
auf der Fläche


gebildet aus Leiter l (in Richtung des Stromes I) und Induktion B steht.
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- 20/39 -
5.
Induktionsgesetz
5.1.
Bewegungsspannung
In der Abbildung ist ein homogenes Feld durch senkrecht nach oben gezeichnete Pfeile
angedeutet. In diesem Feld möge sich eine Windung befinden, die in zwei Positionen 1
und 2 dargestellt ist. Die Lage 1 ist so gewählt, daß ein größtmöglicher Teil des magnetischen Feldes durch die Windungsfläche hindurchgeht, während in der Lage 2 kein Feld
durch die Windungsfläche verläuft. In beiden gezeichneten, aber auch beliebigen
anderen Ruhelagen wird keine Spannung erzeugt. Ein angeschlossener Spannungsmesser zeigt aber sofort einen Ausschlag, wenn die Windung bewegt, z.B. von der Lage
1 in die Lage 2 gedreht, wird, also ihre Stellung zur Feldrichtung zeitlich ändert. Man
kann feststellen, daß bei Drehung einer Windung und damit ganz allgemein bei Bewegung eines Leiters im magnetischen Feld eine elektrische Spannung erzeugt (induziert) wird.
Abb.: Drehung einer Windung im Magnetfeld
5.2.
Transformationsspannung
Es läßt sich weiter feststellen, daß es auch möglich ist, Spannungen ohne Bewegung in
einer Windung zu erzeugen. Denkt man sich z.B. eine Windung in der Position 1
ruhend, so wird ein angeschlossener Spannungsmesser keinen Ausschlag zeigen,
solange sich die Intensität des magnetischen Feldes nicht ändert. Ist hingegen das
magnetische Feld (Induktion und Fluß) zeitlich nicht konstant, d.h. ändert sich der mit
der Windung verkettete Fluß, dann zeigt der Spannungsmesser einen Ausschlag, ähnlich
wie bei der Drehung der Windung im konstanten Feld. Auch in diesem Fall spricht man
von einer induzierten Spannung.
Bringt man die Windung in eine beliebige Stellung 3, so stellt man fest, daß bei
Änderung des magnetischen Feldes eine Spannung induziert wird, die kleiner als in der
Position 1 ist. Im Grenzfall der Position 2 wird keine Spannung mehr induziert.
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- 21/39 -
5.3.
Flußänderung
Die Spannungsinduktion kann in beiden Fällen (Bewegungs- und Transformationsspannung) infolge einer einzigen Ursache erklärt werden, nämlich der zeitlichen
Änderung des mit der Windung verketteten magnetischen Flusses. Der verkettete Fluß
hängt von der Induktion B, der Windungsfläche A und dem Winkel zwischen der
Windungsfläche und dem Induktionsvektor ab und ergibt sich aus:
 
B A
B A cos
Die für die Spannungsinduktion maßgebliche Änderungsgeschwindigkeit des Flusses
kann gegeben sein durch
- die Änderungsgeschwindigkeit des Winkels (t), also der Winkelgeschwindigkeit
d (t)/dt
oder/und
- die Änderungsgeschwindigkeit dB(t)/dt der sich zeitlich ändernden Induktion B(t).
Wichtig für die Richtung der induzierten Spannung ist die Beachtung der durch den
Zählpfeil angegebenen Richtung des magnetischen Flusses . Der Flächenvektor A ist
in Richtung des Induktionsvektors B anzutragen,
so daß sich der Fluß positiv ergibt

für den in Richtung des Induktionsvektors B liegenden Zählpfeil .
5.4.
Spannungsinduktion
Ändert sich der Fluß während eines Zeitabschnitts dt um d (t), so ist die induzierte
Quellenspannung:
u0 = d (t) / dt
Diese Gleichung ist das Induktionsgesetz für die induzierte Spannung, die auf einem
geschlossenen Umlauf um den sich zeitlich ändernden Fluß (t) entsteht.
(t), d (t)/dt > 0
1 i
dl
E(t)
u12
(t)
R
u0
u0
2
i(t)
t
Abb.: Richtungszuordnung
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- 22/39 -
Die induzierte Spannung umschließt den induzierenden Fluß; sie ist
 daher eine Umlaufspannung. Der zur elektrischen Spannung gehörende Vektor E (t ) der elektrischen
Feldstärke besteht damit auch um den magnetischen Fluß (t) herum. Da sich die
Umlaufspannung u0 bzw. das Linienintegral der elektrischen Feldstärke E (t ) über den
geschlossenen Weg um (t) erstreckt, kann das Induktionsgesetz analog zum Umlaufintegral im Durchflutungsgesetz in vollständiger Form geschrieben werden:
u0
 
E dl
d (t )
dt
Induktionsgesetz und Durchflutungsgesetz sind die beiden wichtigsten Gesetze, die die
Verknüpfung von elektrischen und magnetischen Feldern beschreiben.
Für N Windungen einer Spule, die mit demselben Fluß
Quellenspannung der Spule:
(t) verkettet sind, gilt für die
u0 = N d (t) / dt
5.5.
Spannungsrichtung
Die in der Abbildung eingetragenen Zählpfeilrichtungen gelten allgemein, d.h. es sind
rechtswindig um den Zählpfeil dessich zeitlich ändernden Flusses (t) die von diesem
induzierte elektrische Feldstärke E (t ) bzw. deren Umlaufintegral u0 anzutragen. Eine
Überprüfung erfolgt mit dem Lentzschen Gesetz.
Dazu denkt man sich die Leiterschleife um eine verschwindend kleine Länge
0
geöffnet, so daß an den Klemmen 1 und 2 die Klemmenspannung u12 gemessen und ein
Widerstand R angeschlossen werden kann. Infolge der Klemmenspannung u12, die nach
dem Maschensatz gleich der induzierten Quellenspannung u0 ist, wird in der Schleife
ein Strom i in der eingezeichneten Richtung fließen:
i = (1/R) u12 = (1/R) d (t) / dt
Wird nun der Fluß (t) zeitlich größer (wie in der Abbildung), so ist (d (t)/dt) positiv
und damit auch der Strom i, der dann in der eingezeichneten Richtung fließt. Dieser
Strom erregt nun seinerseits ein magnetisches Feld, dessen Induktionslinien ihn rechtswendig umschließen. Es entsteht ein zusätzlicher magnetischer Fluß i(t), dessen Zählpfeil entgegengesetzt dem von (t) weist. Dies entspricht dem Lentzschen Gesetz,
wonach eine Wirkung (hier Strom) immer so gerichtet ist, daß sie ihrer Ursache (hier
Fluß) entgegen wirkt.
Für praktische Rechnungen muß die zeitliche Änderung des Flusses bekannt sein, da nur
über das Vorzeichen des Differentialquotienten (d (t)/dt) zusammen mit dem eingetragenen Zählpfeil für die Quellenspannung u0 die tatsächlich eingeprägte Richtung von
Spannung bzw. Strom bestimmt werden kann.
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- 23/39 -
Beispiel:
Durch die Anordnung der Eisenteile in einem Gleichstromgenerator wird ein Feld
erzeugt, das in jeder Windung einen angenähert trapezförmigen Flußverlauf (t)
bewirkt. Es sind Größe und Verlauf der in einer Windung induzierten Spannung zu
ermitteln, wenn der Scheitelwert des Flusses s = 10 mVs und die angegebenen Zeiten
t1 = 5 ms und t2 = 40 ms betragen.
(t) u0(t)
S
uo,s
t
t1
t2
Abb.: Flußverlauf und Quellenspannung
In den Zeiten konstanten Flusses wird keine Spannung erzeugt, da hier die Flußänderung d (t)/dt = 0 ist. Im Zeitraum t1 bis t2 ändert sich der Fluß linear, so daß man
anstelle des Differentialquotienten den Differenzenquotienten
/ t verwenden kann.
Da sich der Fluß während der Zeit t = t2 - t1 um
= 2 s ändert, ist die induzierte
Spannung:
u0,S
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d (t )
dt
t
2
t2
S
t1
20mVs
35ms
0, 572V
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- 24/39 -
6.
Selbst- und Gegeninduktion
6.1.
Selbstinduktion
i
(t)
L
u
Abb.: Selbstinduktion
Man betrachtet eine von einem Wechselstrom i durchflossene Ringspule mit der
Windungszahl N. Ändert man den eingespeisten Strom i, so ändert sich der vom Strom
erzeugte magnetische Fluß (t). Hierdurch kommt es zu einer Spannungsinduktion in
der Spule. Man bezeichnet diesen Vorgang als Selbstindunktion. Die Selbstinduktionsspannung u liegt an der Spule an:
u = N d (t)/dt
Enthält die Spule kein ferromagnetisches Material, d.h.µr ist konstant, so gilt bei der
Ringspule die Proportionalität:
(t) = B(t) A = µ H(t) A = µ (N i/l) A
Die Selbstinduktionsspannung kann damit wie folgt angegeben werden:
N2
u
A di
l dt
L
di
dt
Die Konstante L wird als Induktivität bezeichnet. Die Induktivität stellt eine charakteristische Größe von Spulen dar. Sie ist abhängig von der Windungszahl, der Geometrie und von Materialeigenschaften.
Einheit:
[L] = Vs/A = H = Henry
Die Selbstinduktionsspannung u ist bei steigendem Strom positiv. Das bedeutet, daß die
Spannung eine Zunahme des Stromes zu verhindern sucht. Bei abnehmenden Strom
ändert die Spannung ihre Polarität. Jetzt wirkt sie einer Abnahme des Stromes entgegen.
Die Selbstinduktionsspannung ist stets so gerichtet, daß sie eine Stromänderung zu
vermeiden sucht (Lentzsche Regel). Bei zeitlich konstantem Strom tritt keine Selbstinduktionsspannung auf.
Enthält die Spule ferromagnetisches Material, so ist die Permeabilität µ nicht konstant
und zu ersetzen durch die differentielle Permeabilität µd = dB/dH:
L
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N2
A
d
l
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- 25/39 -
Eigenschaften von Eisenspulen:
- Eisenspulen haben bei gleicher Größe und gleicher Windungszahl gegenüber anderen
Spulen i.d.R. eine um mehrere Zehnerpotenzen größere Induktivität.
- Die Induktivität ist nicht konstant und vom Spulenstrom abhängig. Bei Sättigung kann
die Induktivität gegenüber dem ungesättigten Zustand um mehrere Zehnerpotenzen
abnehmen.
6.2.
Gegeninduktion
Befindet sich in der Nähe einer stromdurchflossenen Spule 1 eine zweite Spule 2, so
verläuft ein Teil des von der Spule 1 erzeugten magnetischen Flusses auch durch die
Spule 2. Man bezeichnet die Spulen als magnetisch gekoppelt. Ändert sich in der Spule
1 der Strom, so tritt nicht nur in Spule 1 eine Selbstinduktionsspannung auf, sondern es
wird auch in Spule 2 eine Spannung induziert. Die Spannung bezeichnet man als
Gegeninduktionsspannung, den Vorgang selbst als Gegeninduktion.
i1
u2
(t)
N2
N1
Abb.: Gegeninduktion
Auf einem Ringkern aus nicht ferromagnetischem Material seien zwei Spulen aufgebracht. Der vom Strom i1 erzeugte magnetische Fluß (t) verlaufe vollständig durch
beide Spulen (ideale Kopplung).
Ändert sich der Strom i1, so ändert sich entsprechend der Fluß
Spule 2 eine Spannung u2 induziert:
u2 = N2 d (t)/dt
(t), und es wird in
Es gilt bei der Ringspule die Proportionalität:
(t) = B(t) A = µ H(t) A = µ (N1 i1/l) A
Die Gegeninduktionsspannung kann damit wie folgt angegeben werden:
u2
N1 N 2
A di1
l dt
M12
di1
dt
Die Konstante M12 wird als Gegeninduktivität bezeichnet. Die Gegeninduktivität ist
abhängig von der Windungszahl, der Geometrie und von Materialeigenschaften. Sie ist
eine zwei magnetisch gekoppelten Spulen zugeordnete Größe.
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- 26/39 -
Einheit:
[M12] = Vs/A = H = Henry
Nimmt man an, daß in Spule 2 ein zeitlich veränderlicher Strom i2 fließt, so gilt für die
Gegeninduktionsspannung entsprechend:
u1
Dabei gilt:
N 2 N1
A di2
l dt
M 21
di2
dt
M21 = M12 = M
Beispiel:
Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der an der Induktivität L = 100 mH liegenden
Spannung.
Es gilt allgemein:
u = L di/dt
a) Zeitbereich 0 < t < 8 ms:
u = 0,1 H 100 mA / 8 ms = 1,25 V
b) Zeitbereich 8 ms < t < 12 ms:
u = 0,1 H (-100 mA) / 4 ms = -2,5 V
i/mA u/V
3
100
i
L
u
t/ms
4
-100
-3
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- 27/39 -
7.
Energie des magnetischen Feldes
Zum Aufbau eines Magnetfeldes ist stets eine bestimmte Energie notwendig, die im
Feld gespeichert wird. Zur Bestimmung dieser Energie betrachtet man eine Ringspule,
die mit einer Spannungsquelle verbunden wird. Der Widerstand der Spule sei vernachlässigbar.
Abb.: Energie des Magnetfelds
Nach Schließen des Schalters S wird der Spule innerhalb einer Zeit dt bei anliegender
Spannung u und fließendem Strom i die Energie
dW = u i dt
zugeführt und im Magnetfeld gespeichert.
Es gilt das Induktionsgesetz:
u = N d (t)/dt = N A dB(t)/dt
Weiterhin gilt nach dem Durchflutungsgesetz:
i = (H(t) l) / N
Einsetzen:
dW = A l H(t) dB
Beim Aufbau des in der Spule vorhandenen Magnetfeldes steigt die Flußdichte von B=0
auf einen bestimmten Wert Bx an. Daraus folgt die gesamte im Magnetfeld gespeicherte
Energie:
Bx
W
Bx
A l H dB V
0
H dB
0
Dabei ist V das vom Magnetfeld erfüllte Volumen. Die Energiedichte beträgt demnach:
Bx
W
w
H dB
V
0
Das Ergebnis ist allgemein gültig.
Besteht der Spulenkern aus ferromagnetischem Material, so kann die Energiedichte als
Fläche zwischen Magnetisierungskennlinie und Ordinate dargestellt werden.
Besteht der Kern nicht aus ferromagnetischem Material, so ist die Permeabilität
konstant:
B
Bx2
1 x
1
w
B dB
H x Bx
2
2
0
Ist die Induktivität L der Spule bekannt, so folgt mit u = L di/dt:
dW = L di/dt i dt = L i di
Beim Aufbau des Magnetfeldes steigt der Strom von i = 0 auf i = I:
I
1
W L i di
L I2
2
0
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- 28/39 -
8.
Der Transformator
8.1. Einwindungsmodell
Eine der wichtigsten technischen Anwendungen der Gegeninduktivität ist der
Transformator, der zum Herauf- oder Heruntertransformieren von Spannungen und
Strömen, als Trenntransformator zur galvanischen Trennung, in der Nachrichtentechnik
als Übertrager für die breitbandige Anpassung und in der Meßtechnik als Wandler zum
Verringern von Meßspannungen und Meßströmen verwendet wird. Er dient sowohl in
der Energietechnik (Übertragung großer Leistungen) als auch in der Nachrichtentechnik
(Übertragung von Informationen). Beim Volltransformator sind mindestens zwei
Wicklungen vorhanden, die von einem gemeinsamen magnetischen Feld durchsetzt
sind. Die primäre Wicklung 1 stellt die Eingangsseite des Transformators dar, der die
Energie zugeführt wird. Die sekundäre Wicklung 2 ist die Ausgangsseite, der Energie
entnommen werden kann. Der Spartransformator weist für die Primär- und
Sekundärseite einen gemeinsamen Wicklungsteil auf, d.h. er kann als induktiver
Spannungsteiler angesehen werden.
Abb.: Schaltzeichen des Transformators
Die grundsätzliche Funktionsweise
Einwindungsmodell erläutert werden.
des
Transformator
soll
an
einem
Abb.: Einwindungsmodell
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- 29/39 -
Denkt man sich in R1 und R2 die Widerstände der beiden Windungen konzentriert, so
fließt bei Anlegen der Spannung u1 der Strom i1, der den Fluß 1 erzeugt. Eine
Änderung des Flusses 1 erzeugt in der Windung 1 eine Selbstinduktionsspannung uS1,
die über die Selbstinduktivität L1 erfaßt wird:
u S1
di1
dt
L1
Der Fluß 1 verkettet die Windungen 1 und 2 miteinander und erzeugt in der Windung 2
eine Gegeninduktionsspannung ug2, die mit der Gegeninduktivität M12 beschrieben
werden kann:
di1
u g 2 M 12
dt
Bei offenem Kreis 2 entsteht dadurch an den Klemmen die Spannung u2 = ug2. Die
Windung 2 wirkt nicht auf die Windung 1 zurück. Belastet man die Windung 2, so fließt
der Strom i2 (Windung 2 arbeitet als Generator), der seinerseits einen Fluß 2 erzeugt.
Der Fluß 2 erzeugt in der Windung 2 eine Selbstinduktionsspannung uS2, deren Größe
mit
di2
u S 2 L2
dt
angegeben werden kann. Der Fluß 2 durchdringt außerdem die Windung 1. Diese
Rückwirkung kann über die Gegeninduktivität M21 beschrieben werden:
u g1
M 21
di2
dt
Damit kann zur Beschreibung der gegenseitigen Verkettung der beiden Windungen über
die Flüsse mit Hilfe des Maschensatzes das folgende Gleichungssystem aufgestellt
werden:
di
di2
u1 i1 R1 L1 1 M 21
0
dt
dt
u2
i 2 R2
L2
di2
dt
M 12
di1
dt
0
Aufgelöst nach u1 und u2 ergeben sich die Transformatorgleichungen:
Elektrotechnik 1I
u1
i1 R1
L1
u2
i 2 R2
L2
di1
dt
di2
dt
M 21
M 12
di2
dt
di1
dt
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- 30/39 -
Betrachtet man harmonische Größen und nimmt den stationären Zustand an, so ergibt
sich bei Einführung komplexer Größen:
U1 = I1 R1 + j L1 I1 - j M21 I2
U2 = -I2 R2 - j L2 I2 + j M12 I1
Aus Symmetriegründen folgt:
M21 = M12 = M
Um die Transformatorgleichungen als Ersatzschaltbild mit konzentierten Bauelementen
darstellen zu können, wird der Ausdruck
(j M I1 - j M I1)
bzw.
(j M I2 - j M I2)
addiert.
Daraus folgt:
U1 = I1 R1 + I1 j (L1 – M) + j M (I1 – I2)
U2 = -I2 R2 - I2 j (L2 – M) + j M (I1 – I2)
8.2.
Übersetzungsverhältnis
Man muß noch berücksichtigen, daß im allgemeinen Fall die Primärspule aus N1 und die
Sekundärspule aus N2 Windungen besteht. Um das aufgestellte Gleichungssystem des
Einwindungsmodells weiter verwenden zu können, muß ein Maßstabsfaktor ü definiert
werden, der sich aus einer Überlegung ableiten läßt, bei der zwei Spulen über einen
Eisenkreis mit
verkoppelt sind.
Abb.: Magnetische Kopplung
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- 31/39 -
Die Spulen haben die Windungszahlen N1 und N2. Nach dem Induktionsgesetz ergibt
sich, falls der Fluß vollständig im Eisen verläuft:
1
N1
u1 dt
u2
N2
d
dt
N2
u1
u2
N1
N2
ü
U1
U2
1
u1
N1
Mit dem Maßstabsfaktor ü (Übersetzungsverhältnis) kann die sekundäre Spannung U2
auf die Primärseite bezogen werden:
U2‘ = ü U2
Das Einwindungsmodell kann mit den bezogenen Größen weiter verwendet werden. Für
die Ströme gilt eine ähnliche Überlegung. Ohne sekundäre Belastung ergibt sich die
Durchflutung 1 im Eisen mit
zu:
lm
Rm
0
1
Am
Damit gilt auch:
i1 = 0
Wird die Sekundärseite mit RL belastet, so fließt ein Strom i2, der eine Durchflutung
2
= N2 i2
im Eisenkern erzeugen würde, wenn nicht in der Primärspule ein Strom i1 zu fließen
beginnt, bzw. eine Durchflutung 1 erzeugt wird, welche 2 kompensiert. Aus
energetischen Gründen folgt:
1- 2=0
N1 i1 – N2 i2 = 0
bzw.
i1
i2
N2
N1
1
ü
I1
I2
D.h. der Strom I2 kann mit dem Maßstabsfaktor 1/ü auf die Primärseite abgebildet
werden:
I2‘ = I2 / ü
Spannungen werden zur größeren Windungszahl hinauftransformiert, Ströme im
gleichen Verhältnis herabtransformiert. Da voraussetzungsgemäß im idealen
Transformator keine Verluste auftreten, wird wegen des Gesetzes von der Erhaltung der
Energie die primär aufgenommene Energie auf der der Sekundärseite wieder abgegeben
(P1 = P2).
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- 32/39 -
8.3.
Impedanz-Transformation
Abb.: Impedanz-Transformation
In der sekundären Impedanz Z2 wird die Scheinleistung S2 umgesetzt. Entsprechend
muß auf der Primärseite die Scheinleistung S1 = S2 zugeführt werden:
'
Z 1 I 12
S1
Z
'
2
Z 2 I 12
I 22
Z2
I 12
S2
Z 2 I 22
ü2 Z 2
Es gilt demnach:
R2'
ü 2 R2
L'2
ü 2 L2
M'
ü M
Die dritte Beziehung ergibt sich aus:
L1
N 12
Rm
L2
N 22
Rm
M
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N1 N 2
Rm
L1 L2
N 12 N 22
Rm2
L1 L'2
N 12 N 22 2
ü
Rm2
M2
M
M 2 ü2
L1 L2
ü M
L1 L'2
M'
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- 33/39 -
Mit diesen Beziehungen können alle sekundären Größen der Spule 2 auf die Primärseite
der Spule 1 bezogen werden, und das Einwindungsmodell ist weiter anwendbar:
U1 = I1 R1 + I1 j (L1 – M‘) + j M‘ (I1 – I‘2)
U‘2 = -I‘2 R‘2 – I‘2 j (L‘2 – M‘) + j M‘ (I1 – I‘2)
Die Ausdrücke (L1 – M‘) bzw. (L‘2 – M‘) werden wie folgt umgeformt und der
Kopplungsfaktor k eingeführt. Der Kopplungsfaktor k ist definiert als das Verhältnis
von Hauptfluß zu Gesamtfluß ( Gesamtfluß = Hauptfluß + Streufluß).
L1
M
'
N1 N1 N 2
k
N
R
2
m
1
 


M
ü
L1
L1 – M‘ = L1 (1 – k) = LS1
L'2
M'
L2
N12
N 22

ü
Mit Rm1
N12
L1
Rm 2
2
L1
N 12
k
Rm1

L1
primäre Streuinduktivität
N1 N1 N 2
k
N
R
2
m
2
 


M
ü
N12
Rm 2
N 12
k
Rm 2
N 22
folgt:
L2
L‘2 – M‘ = L1 (1 – k) = L’S2
sekundäre Streuinduktivität
Eingesetzt in die Transformatorgleichungen ergibt sich:
U1 = I1 (R1 + j Ls1) + j M‘ (I1 – I‘2)
U‘2 = -I‘2 (R‘2 + j L‘s2) + j M‘ (I1 – I‘2)
Daraus kann ein Ersatzschaltbild mit konzentrierten Bauelementen gebildet werden.
Abb.: T-Ersatzschaltbild des Luft-Transformators
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- 34/39 -
Für einen idealen Transformator, wie er für
Übersetzungsverhältnisses ü vorausgesetzt wurde, gilt:
die
Bestimmung
des
R1 = R‘2 = 0
k = 1  LS1 = L‘S2 = 0
Rm = 0  M‘ = ü (N1 N2)/Rm
Das Ersatzschaltbild kann um einem idealen Transformator ergänzt werden, so daß
sowohl das Übersetzungsverhältnis wie auch die Potentialtrennung berücksichtigt sind.
8.4.
Transformator mit Eisenkern
Bisher wurde davon ausgegangen, daß entweder der Transformator eine Kopplung über
den Luftraum besitzt oder bei einer Kopplung der Primär- und Sekundärspule über einen
Eisenkern
gilt. Bei einem realen Transformator mit Eisenkreis sind diese
Annahmen nicht zutreffend. Bei diesem ist mit einer endlichen Permeabilität
zu
rechnen, so daß im Ersatzschaltbild des realen Transformators mit Eisenkern gilt:
R1 0
R‘2 0
k 1 
Rm 0 
LS1
M
0, L‘S2
0
LS1 0 bzw. L‘S2 0 bedeutet, daß ein Teil der Feldlinien nur mit der Primär- oder
Sekundärspule verkettet ist. Damit kann auch für den realen Transformator mit
Eisenkern das obige Ersatzschaltbild verwendet werden.
8.5.
Transformator-Verluste
In den Wicklungen eines Transformators entstehen Stromwärmeverluste. Diese werden
durch die Widerstände R1 und R‘2 symbolisiert:
R1:
R‘2:
Stromwärmeverluste:
Kupferverlustwiderstand der Primärseite
Kupferverlustwiderstand der Sekundärseite
PCu
I12 R1
I 2'2 R2'
Der im Eisenkern vorhandene Wechselfluß magnetisiert den Kern periodisch um. Bei
jeder Ummagnetisierung wird die Hystereseschleife einmal durchlaufen. Es treten somit
Ummagnetisierungsverluste PHys auf, deren Größe der Fläche der Hystereschleife und
der Frequenz proportional ist:
PHys = k1 f
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- 35/39 -
Nimmt man an, daß der Eisenkern aus homogenen Material besteht, so werden in ihm
durch den Wechselfluß Wirbelströme induziert.
PWir
2
I Wir
RWir
iWir
uWir
RWir
ˆ sin t
Mit
iWir
PWir
1 d
RWir dt
1 ˆ
RWir
ˆ
2
fo lg t :
cos t
2
2 RWir
Bˆ 2 A 2
2 RWir
2
k2 B 2 f
2
Im Gegensatz zu den Hystereseverlusten, die durch die Art des verwendeten Materials
bestimmt werden, können die Wirbelstromverluste durch eine geeignete Geometrie
beeinflußt werden. Verkleinert man den Querschnitt A, der vom Fluß durchsetzt wird,
so verringern sich die Wirbelstromverluste quadratisch. Man baut daher
Transformatoren aus dünnen Blechen, die gegeneinander isoliert sind und kann durch
die Wahl der Blechstärke die Wirbelstromverluste in weiten Grenzen beeinflussen.
Die Hysterese- und Wirbelstromverluste ergeben zusammen die Eisenverluste:
PFe
PHys
PWir
k1 f
k2 f
2
B2
Während die Eisenverluste nur von der Frequenz und der Größe der Flußdichte im Kern
abhängen, sind die Stromwärmeverluste lastabhängig.
Die Eisenverluste PFe werden im Ersatzschaltbild des Transformators durch einen
Parallelwiderstand RFe zur Gegeninduktivität M‘ berücksichtigt. Damit ergibt sich das
vereinfachte Ersatzschaltbild des Transformators mit Eisenkern.
Abb.: Ersatzschaltbild des Transformators mit Eisenkern
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Für dieses Ersatzschaltbild läßt sich das folgende Zeigerdiagramm angeben.
Abb.: Zeigerdiagramm
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8.6.
Messung der Transformatorkennwerte
Beim technischen Einsatz von Transformatoren besteht häufig die Aufgabe, die
Kennwert des Ersatzschaltbildes eines gegebenen Transformators zu bestimmen. Zur
Lösung dieser Aufgabe sind der Leerlauf- und Kurzschlußversuch üblich.
Leerlaufversuch (Ausgangsklemmen unbelastet, I2 = 0)
Abb.: Meßschaltung
Mit I2 = 0 bzw. I‘2 = 0 ergibt sich das Ersatzschaltbild für den Leerlaufversuch.
Abb.: Ersatzschaltbild für den Leerlaufversuch
Bei Transformatoren gilt meistens in guter Näherung für den Leerlauf U1L = U‘2L,
d.h. die Spannungsabfälle an R1 und LS1 können vernachlässigt werden:
Z 1L
U 1L
I 1L
RFe j
RFe j
M'
M'
Die Leerlaufspannung U1L muß auf den Nennwert U1N eingestellt werden, da RFe und
M‘ von der Größe der Eingangsspannung abhängen.
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Aus den Beziehungen
Z 1L
L
U 1L
I 1L
U 1L
I 1L
arccos
PW 1L
U 1L I 1L
e
j L
können RFe und M‘ berechnet werden, wenn U1L, I1L und PW1L durch Messung bestimmt
werden. Der Leerlaufstrom I1L besteht nur aus dem Magnetisierungsstrom IM und dem
Eisenverluststrom IFe:
I1L = IM + IFe
Kurzschlußversuch (Ausgangsklemmen kurzgeschlossen, U2 = 0)
Abb.: Meßschaltung
Mit U2 = 0 bzw. U‘2 = 0 ergibt sich das Ersatzschaltbild für den Kurzschlußversuch:
Abb.: Ersatzschaltbild für den Kurzschlußversuch
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Bei Transformatoren können meistens IFe und IM gegenüber I‘2K vernachlässigt
(RFe>>R‘2 und M‘>>L’S2) und I1K gleich dem Nennstrom I1N eingestellt werden:
I1K = I‘2K
Es gilt:
Z 1K
U 1K
I 1K
( R1
R2' )
U 1K
I 1K
U 1K
I 1K
e
arccos
PW 1K
U 1K I 1LK
j
LS 1
L'S 2
Aus der Versuchsschaltung ergibt sich:
Z 1K
K
j K
Als Kurzschlußspannung U1K wird die Spannung bezeichnet, die primärseitig an einen
Transformator angelegt werden muß, um auf der Primärseite - bei sekündärem
Kurzschluß - den Nennstrom I1N einzustellen.
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