A 2 2_Ähnlichkeit

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & Lehrer/innenTeam
2. Semester
ARBEITSBLATT 2-2
Ähnlichkeit von Dreiecken
Definition: Zwei Dreiecke ABC und A1B1C1 heißen ähnlich, wenn die einander
entsprechenden Winkel gleich groß sind, d.h. α=α1; β=β1 und γ=γ1.
C1
C
γ1
γ
α
A
β
B
α1
β1
B1
A1
Beispiel: Sehen wir uns nun ein Beispiel für zwei ähnliche Dreiecke an:
Dreieck A: a1 = 5 cm; b1= 4 cm; c1 = 6cm
Dreieck B: a2= 10 cm; b2= 8 cm; c2 = 12 cm
Überprüfen Sie zunächst durch Zeichnung die Ähnlichkeit.
Wenn wir uns nun die Seiten betrachten, so fällt auf, daß jede
Seite des Dreiecks B, genau die doppelte Länge des Dreiecks A
hat. Bei ähnlichen Dreiecken sind die Seiten des einen Dreiecks
immer ein Vielfaches der entsprechenden Seiten des anderen
Dreiecks. Man sagt, die Seiten sind direkt proportional. Der
Proportionalitätsfaktor wäre hier 2.
Den Proportionalitätsfaktor erhalten wir, indem wir die
entsprechenden Seiten dividieren:
a2 b2 c 2
=
=
=2
a1 b1 c1
Satz: Bei zwei ähnlichen Dreiecken sind die Seiten stets direkt proportional.
Strahlensatz: Bei zwei ähnlichen Dreiecken gilt: Die entsprechenden Seiten
des einen Dreiecks verhalten sich stets gleich:
a2 b2 c 2
=
=
(Sprich: a2 verhält sich zu a1 wie b2 zu b1)
a1 b1 c1
1
Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & Lehrer/innenTeam
2. Semester
Beispiel: Sind die gegebenen Dreiecke ABC und A1B1C1 ähnlich?
a= 10 cm, b = 5 cm; c = 7 cm; a1 = 15 cm; b1 = 7,5 cm; c1 = 10,5 cm
Lösung: Wir überprüfen, ob die entsprechenden Seiten proportional sind:
a1 15 3
=
=
a 10 2
b1 7,5 75 3
=
=
=
b
5
50 2
c1 10,5 105 3
=
=
=
c
7
70 2
Wir erhalten bei allen drei Seiten denselben Proportionalitätsfaktor.
Folglich sind die Dreiecke ähnlich.
Beispiel: Sind die gegebenen Dreiecke ABC und A1B1C1 ähnlich?
a = 6 cm; α = 75°; β = 32°; α1 = 75°; β1 =32°
Lösung: Wenn die entsprechenden Winkel in den beiden Dreiecken gleich
sind, so bezeichnet man die beiden Dreiecke als ähnlich:
α = α 1 und β = β 1 . Da man bei jedem Dreieck den dritten Winkel
aus der Winkelsumme berechnen kann, muss auch dieser gleich sein,.
Folglich sind die beiden Dreiecke ähnlich.
Satz: Bei ähnlichen Dreiecken stehen die Umfänge im selben Verhältnis wie
die Seiten:
U1 a1 b1 c1
=
=
=
= k k ∈ℜ
U
a
b
c
Beweis: Da die Dreiecke ähnlich sind gilt: a1 = k ⋅ a b1 = b ⋅ k c1 = c ⋅ k
Es gilt nun U1 = a1 + b1 + c1
Wir setzen nun für a1, b1, c1ein .
U1 = k ⋅ a + k ⋅ b + k ⋅ c
Wir heben k heraus: U1 = k (a + b + c )
Nun berechnen wir den Proportionalitätsfaktor für den Umfang:
U1 k (a + b + c )
=
=k
U
a+b+c
Beispiel: Von einem Dreieck ABC kennt man a= 45 mm; b = 27 mm und c = 33
mm. Ein dazu ähnliches Dreieck A1B1C1 hat c1 = 44 mm. Berechne a1, b1, u1.
Lösung:
Da
wir
c
und
c1
kennen
kennen,
c
44 4
= =k
Proportionalitätsfaktor ermitteln: 1 =
c 33 3
Nun ermitteln wir den Rest:
4
= 60
3
4
b1 = b ⋅ k = 27 ⋅ = 36
3
a1 = a ⋅ k = 45 ⋅
2
können
wir
den
Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & Lehrer/innenTeam
U1 = U ⋅ k = (a + b + c ) ⋅ k = (45 + 27 + 33) ⋅
2. Semester
4
= 140
3
Satz: Für zwei ähnliche Dreiecke mit dem Proportionalitätsfaktor k =
A1  a1 
= 
A a
a1
gilt:
a
2
Wenn also die Seiten das k-fache sind, ist die Fläche das k 2 -fache.
Beweis: Da die Dreiecke ähnlich sind gilt: c1 = c ⋅ k und h1 = h ⋅ k
c1 ⋅ h1
2
2
c ⋅k ⋅h⋅k c ⋅h⋅k
=
Wir setzen für c1 und h1 ein: A1 =
2
2
Die Fläche für das Dreieck A1B1C1 lautet: A1 =
Nun ermitteln wir den Proportionalitätsfaktor:
c ⋅h ⋅k2
A1
c ⋅h⋅k2 2
2
=
=
⋅
= k2
c ⋅h
A
2
c ⋅h
2
Beispiel: Von zwei ähnlichen Dreiecken kennt man b=5 cm und b1 = 15 cm. In
welchem Verhältnis stehen die Flächeninhalte?
a1 15
=
=3
a
5
A
A
Wir wissen: 1 = k 2 ⇒ 1 = 3 2 = 9 . Das zweite Dreieck hat also den 9-fachen
A
A
Lösung: k =
Flächeninhalt des ersten.
Beispiel: Von zwei ähnlichen Dreiecken kennt man: A1 : A = 25 : 4; a = 3cm;b = 4cm .
Berechne die entsprechenden Seiten des zweiten Dreiecks:
Lösung: Wir wissen
A1
25
5
= k 2 . Folglich ist k 2 =
⇒k =
A
4
2
Nun können wir a1 und b1 berechnen:
5
= 7,5
2
5
b1 = b ⋅ k = 4 ⋅ = 10
2
a1 = a ⋅ k = 3 ⋅
Definition: Ist bei zwei ähnlichen Dreiecken der Proportionalitätsfaktor 1, so
nennt man die beiden Dreiecke kongruent (deckungsgleich).
3