Oszillographenmessungen im Wechselstromkreis

Praktikum
Grundlagen der Elektrotechnik
Versuch:
Oszillographenmessungen im
Wechselstromkreis
Versuchsanleitung
0.
Allgemeines
Eine sinnvolle Teilnahme am Praktikum ist nur durch eine gute Vorbereitung auf
dem jeweiligen Stoffgebiet möglich. Von den Teilnehmern wird daher eine
intensive Beschäftigung mit der erforderlichen Theorie sowie mit der
Aufgabenstellung bzw. ihrem Zweck vorausgesetzt.
Es gelten die allgemeinen Verhaltensvorschriften der Hochschule, insbesondere
die
• Laborordnung des Fachbereiches Elektrotechnik
und die
• Arbeitsordnung für das Praktikum „Grundlagen der Elektrotechnik“.
08/2011
-1 -
1.
Versuchsziel
Kennen lernen von Messmethoden für Spannungen und Phasenwinkel im
Wechselstromkreis mit Hilfe eines Oszillographen.
2.
Grundlagen
Eine sinusförmige Wechselspannung
u = uˆ sin ( ωt + ϕu )
(1)
ist durch drei Bestimmungsstücke gekennzeichnet:
• Amplitude û oder auch Û ,
• Frequenz f bzw. Kreisfrequenz ω = 2πf =
• Nullphasenwinkel ϕu.
2π
,
T
U(t)
l
U
T/2
ϕU
π/2
π
3π/2
T
t
2π
ωt
l
−U
Abb. 1: Darstellung einer sinusförmigen Spannung
Für Berechnungen im Wechselstromkreis verwendet man die symbolische
Methode, d.h.
• Transformation der Schaltung in die komplexe Ebene,
• Rechnung im Bildbereich,
• Rücktransformation des Ergebnisses in den Zeitbereich
(siehe auch Versuchsanleitung "Komplexe Widerstände"!).
Damit erhält man die Werte für Amplitude und Phasenwinkel der gesuchten
Wechselgröße.
Bei Einsatz eines Oszillographen lassen sich diese Größen durch Messungen
bestimmen.
-2-
2.1. Darstellung einer Wechselspannung
Wird an die x-Platten eines Oszillographen eine sägezahnförmige Kippspannung
ux(t) angelegt, so zeigt das Display die Zeitfunktion der an den y-Platten
angelegten Spannung uy(t). Abb. 2 veranschaulicht die Entstehung des
Oszillographenbildes für
u y = u1 = uˆ sin ( ωt − ϕu )
(2)
und
⎛ t − nT2
⎞
u x = u 2 = U 2m ⎜ 2
− 1⎟ mit nT2 ≤ t ≤ ( n + 1) T2 , n=0, 1, 2...
(3)
T
⎝
⎠
2
unter der Bedingung gleicher Frequenzen (fl =1/T2) und Amplituden ( û 1 = U 2m )
y
u1
û1
0
x
t
−û1
-U2m
U2m
0
u2
T
T2/2
T2
t
Abb.2 : Entstehung des Oszillographenbildes einer sinusförmigen Spannung
Ein Zweikanal-Oszillograph ermöglicht die gleichzeitige Darstellung von zwei
Eingangsgrößen, so dass bei seinem Einsatz die Phasenverschiebung ϕ zwischen
zwei Wechselspannungen uyl und uy2 gleicher Frequenz leicht ermittelt werden
kann.
-3-
u(t)
û1
û1
uy1
π
ϕ
2π
ωt
uy2
− û1
Abb.3 : Phasenverschiebung zweier Wechselspannungen gleicher Frequenz und
Amplitude
2.2. Lissajousfiguren
Lissajousfiguren entstehen beim Anlegen von je einer Wechsel-Messgröße an die
x- und y-Platten eines Oszillographen. Ihre Auswertung stellt eine weitere
Möglichkeit zur Bestimmung des Phasenwinkels zwischen zwei Spannungen u1
und u2 dar. Abb. 4 veranschaulicht das Zustandekommen einer Ellipse aus zwei
phasenverschobenen Spannungen mit gleicher Frequenz f und gleicher Amplitude
û . Wenn gilt
u x = u 2 = uˆ sin ωt
und
u y = u1 = uˆ sin(ωt + ϕ),
(4)
dann lautet die Gleichung der Lissajousellipse
u y − 2u x u y cos ϕ + u x − uˆ 2 sin 2 ϕ = 0
2
2
(5)
Für ux = 0 oder uy = 0 ergibt sich für den Phasenwinkel
u y (u x = 0)
u (u = 0)
= arcsin x y
(6)
uˆ
uˆ
Durch die Drehung des Koordinatensystems um ψ=45° in die Hauptachse der
Ellipse kann man Gleichung (5) umformen in
ϕ = arcsin
ϕ = 2arctan
D1
D2
wodurch die Auswertung des Displays erleichtert wird (Abb. 5).
-4-
(7)
y
û1
0
l 1 sin(ω t + ϕ )
u y = u1 = U
1
1
u1
π/2
π/2
0
x
π
ωt
2π
3π/2
π
û 2
0
u2
π/2
l 2 sin ω t
ux = u2 ( t ) = U
2
π
l1 = U
l2
U
3π/2
ω1 = ω2
2π
ωt
Abb.4 : Entstehung einer Lissajousfigur
u1
D1
uy(0)
ψ
2uˆ
u2
ux(0)
D2
ϕ = 2arctan
2uˆ
Abb.5 : Auswertung des Displays
-5-
D1
D2
2.3. Hausrath-Brücke (Phasenschieber-Brücke)
Die Hausrath-Brücke (Abb. 6) gestattet durch Veränderung des Widerstandes R
die Einstellung eines Phasenwinkels ϕ von Null bis 180° zwischen den
Spannungen uCD und u1.
R
C
C
UR
U CD
R1=R2
U1
D
B
A
R2
R1
U
Abb. 6 : Hausrath-Brücke
Die Brücke wird mit einer Wechselspannung
u = uˆ sin ωt
(8)
gespeist. Nach dem Maschensatz gilt
U R + U CD − U1 = 0.
(9)
Durch Umstellung nach UCD und Einführen der Spannungsteiler
UR
R
U 1
=
und 1 =
U R+ 1
U 2
jω C
(10)
erhält man
U CD 1 − j2 arctan ωCR
= e
.
U
2
-6-
(11)
Mit
1
= R0
ω0C
ergibt sich daraus:
ϕ = 2arctan
R
R0
und
U CD
= 1.
U1
(12)
Legt man die Spannungen UCD und U1 an die y-Eingänge eines ZweikanalOszillographen, so kann man die Phasenverschiebung zwischen beiden
Spannungen als Funktion von R bestimmen.
2.4. Brückenabgleich mit Oszillographen
Stellt man in der komplexen Ebene die Abhängigkeit einer komplexen Größe von
einem Parameter, zum Beispiel der Frequenz, dem Widerstand oder der Kapazität
als Kurvenzug dar, so ergibt sich eine Ortskurve. Gegenüber der Berechnung
eines gesuchten Zusammenhanges bietet seine grafische Ermittlung als Ortskurve
den Vorteil, dass man den Überblick über den Gesamtverlauf bezüglich Betrag
und Phase erhält.
Für die experimentelle Aufnahme der Ortskurve des komplexen Widerstandes Z x
einer RC-Schaltung eignet sich die Grützmacher-Brücke (siehe auch
Versuchsanleitung "Wechselstrombrücken"). Der Abgleich von Betrag Z und
Phase ϕz lässt sich günstig mit einem Zweikanal- Oszillographen ausführen.
-7-
Betragsabgleich
RN = Zx
a
R1
R
y1
c
U
d
y2
R2
ZX
b
Phasenabgleich
a
R1
r
RN = Z x
d′
y1
U
c
y2
d
ZX
R2
b
R1 = R 2
Zx = R N
tan
Abb. 7 : Grützmacher-Brücke
-8-
ϕx U cd′
r
=
=
2 U ac R1
3.
Vorbereitungsaufgaben
3.1.
Stellen Sie für die untenstehende Schaltung dar:
R
UC
ω
ω
= f ( ) und ϕ=f ( )
ω0
ω0
U
C
UC
mit ω0 =
U
1
,
RC
0,01 ≤
ω
≤ 100.
ω0
(Frequenzachse logarithmisch geteilt!)
3.2.
Eine Wechselspannung u1 = uˆ 1 sin(ω1t − 45°) wird an den y-Eingang und
eine Wechselspannung u 2 = uˆ 2 sin ω1t wird an den x-Eingang eines
Oszillographen gelegt. Konstruieren Sie maßstäblich die entstehende
Lissajousfigur für uˆ 1 = uˆ 2 und ω1 =ω2 !
3.3.
Gegeben ist eine Hausrath-Brücke (Abb. 6) mit f =1,6 kHz, C=0,1μF,
R1=R2=100 Ω. Berechnen Sie die Werte für den Widerstand R, wenn
zwischen den Spannungen UCD und UAB = U eine Phasenverschiebung von
ϕ =0°, 45°, 90°, 135° und 180° entstehen soll!
ω
Zeichnen Sie maßstäblich die Ortskurve Z = f( ) für die untenstehende
ω0
Schaltung und kennzeichnen Sie darin die Werte für
ω
1
= 0; 0,2; 0,5; 1; 2; 5; ∞ bei ω0 =
!
ω0
RC
3.4.
C
R
3.5.
Zeichnen Sie für die Schaltung nach Abb. 6 ein maßstäbliches
Zeigerdiagramm der Spannungen mit UAB=10V (Maßstab: 1V 1cm),
R=3 kΩ; ω=l04s-1; C=25nF!
3.6.
Erläutern Sie anhand eines einfachen Blockschaltbildes die Wirkungsweise
eines Zweikanal-Oszillographen!
-9-
4.
Messaufgaben
4.1. Messen Sie an einer RC-Reihenschaltung mit einem ZweikanalOszillographen die Spannung UR am Widerstand R sowie den
Phasenwinkel zur Gesamtspannung U in Abhängigkeit von der Frequenz ω.
UR
ω
ω
1
= f ( ) und ϕ = f ( ) mit ω0 =
dar
U
ω0
ω0
RC
(logarithmisch geteilte Frequenzachse)!
4.1.1. Stellen Sie
4.1.2. Speichern Sie die Displaybilder für U und UR bei ω= ω0; 0,4· ω0 und
2,5· ω0; kennzeichnen Sie jeweils den Phasenwinkel ϕ!
4.2.
Ermitteln Sie mit dem Oszillographen an einer Hausrath-Brücke bei
konstanter Frequenz ω0 den Phasenwinkel ϕ der Diagonalspannung UCD in
Abhängigkeit vom Widerstand R !
R
1
) mit R 0 =
dar
R0
ω0C
(logarithmisch geteilte R/R0-Achse)!
4.2.1. Stellen Sie ϕ = f (
4.2.2. Speichern Sie die Oszillogramme der Spannungen U1 und UCD für ϕ =0°,
90° und 180°; kennzeichnen Sie jeweils die Phasenwinkel ϕ!
4.3.
Bestimmen Sie an einer Hausrath-Brücke den Phasenwinkel zwischen U1
und UCD in Abhängigkeit von R mit Hilfe von Lissajousfiguren
(Schaltung von 4.2. verwenden)!
R
1
) mit R 0 =
dar (logarithmisch geteilte R/RoR0
ω0C
Achse) und vergleichen Sie mit den Ergebnissen von 4.2.1.!
4.3.1. Stellen Sie ϕ = f (
4.3.2. Speichern Sie die Lissajousfiguren für ϕ=0°, 45°, 90° und 180°. Nutzen Sie
dabei die Ergebnisse der Vorbereitungsaufgabe 3.3.!
- 10 -
4.4.
Nehmen Sie mit Hilfe von Lissajousfiguren durch Messung von Strom,
Spannung und Phasenwinkel den komplexen Scheinwiderstand Z des
vorgelegten Zweipols in Abhängigkeit von der Kreisfrequenz ω auf. Die
Messergebnisse sind in der komplexen Z -Ebene als Ortskurve
darzustellen!
Ermitteln Sie rechnerisch den minimalen Winkel ϕZ sowie die zugehörige
Frequenz fmin für den komplexen Widerstand Z der vorliegenden RCSchaltung und vergleichen Sie die Werte mit der aufgenommenen
Ortskurve!
- 11 -