mathbu.ch 8 Aufgabensammlung 5 Kopfgeometrie 1. Welches der
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mathbu.ch 8 Aufgabensammlung 5 Kopfgeometrie 1. Welches der Objekte A bis D entspricht dem vorgegebenen? Die Vorgabe entspricht Objekt A. 2. Welches der Objekte A bis D entspricht dem vorgegebenen? Die Vorgabe entspricht Objekt D. 3. Welches der Objekte A bis D entspricht dem vorgegebenen? Die Vorgabe entspricht Objekt C. (Auch D könnte der Vorgabe entsprechen: Eine hier dargestellte Rechtecksfläche ist in der Vorgabe nicht einsehbar.) 4. Welches der Vierecke A bis D ist – wie im Schrägbild gezeichnet – aus dem Würfel geschnitten? Die Ecken des Vierecks sind entweder Würfelecken oder Kantenmitten des Würfels. Viereck C. Die Schnittfigur ist ein gleichschenkliges Trapez und die parallelen Seiten stehen im Längenverhältnis 1:2. 5. Welche Spezialität hat das Dreieck UVW, wenn seine Ecken Kantenmitten eines regelmässigen Tetraeders sind? Das Dreieck ist gleichschenklig und rechtwinklig. UW und WV sind je halb so lang wie eine Tetraederkante, UW ist parallel zu EB und WV parallel zu AC. EB und AC sind gegenüberliegende Tetraederkanten, stehen also senkrecht aufeinander. Somit stehen auch WU und WV senkrecht zueinander. 6. Welche Spezialität hat das Viereck TUVW, wenn seine Ecken Kantenmitten eines regelmässigen Tetraeders sind? Das Viereck ist ein Quadrat, denn alle Seiten sind gleich lang (halbe Tetraederkantenlänge) und WV und TU sind parallel zu AC, WT und VW parallel zu EB. EB und AC sind gegenüberliegende Tetraederkanten, stehen also senkrecht aufeinander. Somit stehen auch WT und VU senkrecht zu WV beziehungsweise TU. 7. Beschreibe, welche Spezialitäten das Viereck UWVR hat. Seine Ecken sind Tetraeder-Kantenmitten. Das Viereck ist ein räumliches (nicht ebenes) Viereck. Alle Seiten sind gleich lang (halbe Tetraeder-Kantenlänge), die Diagonale RW ist gleich lang wie eine Vierecksseite. Die Winkel RUW und RVW sind je 600, die beiden andern je 900 (Parallelität der Schenkel zu gegenüberliegenden Tetraederkanten). 8. Welche Bilder A bis D zeigen das gleiche Objekt? C und D. 9. Wie viele verschiedene Körper mit gleich langen Kanten gibt es mit … A … fünf Ecken? B … sechs Ecken? A Mit fünf Ecken gibt es: Doppel-Tetraeder mit Flächen aus gleichseitigen Dreiecken. Pyramide aus gleichseitigen Dreiecken als Seitenflächen und einem Quadrat als Standfläche. B Mit sechs Ecken gibt es: Dreier-Prisma mit neun Kanten, drei Quadraten und zwei gleichseitigen Dreiecken. Reguläres Oktaeder Fünfer-Pyramide mit regelmässigem Fünfeck als Standfläche und regelmässigen Dreiecken als Seitenflächen. Lösungen 1 Bezirksschule Aarau mathbu.ch 8 Aufgabensammlung 5 Kopfgeometrie 10. Es gibt eine Fünfer-Doppelpyramide über einem regelmässigen Fünfeck, welche durch zehn gleich grosse, gleichschenklige Dreiecke begrenzt wird. A Wie viele Ecken, wie viele Kanten hat sie? B Begründe, weshalb die gleichschenkligen Dreiecke auch gleichseitig sein können. A Der Körper hat 15 Kanten und 7 Ecken. B Das regelmässige Fünfeck lässt sich in fünf identische, gleichschenklige Dreiecke zerlegen. Zieht man den gemeinsamen Punkt senkrecht in den Raum hinaus, werden die Winkel an der Spitze von 720 umso kleiner, je weiter die Pyramidenspitze von der Fünfecks-Ebene weg liegt. Somit müssen auch 600 als Winkel an der Spitze vorkommen, dann sind alle Dreiecke gleichseitig. Lösungen 2 Bezirksschule Aarau
