WS 08/09

Knobelaufgabe Mathematikwettbewerb WS0809
In dieser Aufgabe geht es um Figuren aus N zusammenhängenden (und gleich großen)
Quadraten. Diese Quadrate sollen jeweils an mindestens einer Seite zusammenkleben. Bei
unseren Figuren sollen die Quadratseiten 1 cm lang sein. Hier ein paar Beispiele für N=7:
erlaubt
Umfang = 16cm; 14 Ecken
Umfang = 14cm; 10 Ecken
Nicht zulassen wollen wir Figuren, bei denen sich zwei Quadrate nur über Eck berühren, wie
zum Beispiel in den folgenden beiden Fällen (N=7 und N=9)
nicht erlaubt
Die Wettbewerbsaufgabe
Sei N=7:
Welche Umfänge können bei diesen Figuren vorkommen?
Wie viele Ecken kann eine Figur haben?
Schwierige Zusatzfrage:
Sei N=1000:
Welche Umfänge können bei diesen Figuren vorkommen?
Wie viele Ecken kann eine Figur haben?
Lösung:
Wir versuchen, die minimalen und maximalen Eckenzahlen Emin und E max so wie die
minimalen und maximalen Umfänge U min und U max anzugeben, wenn man n Quadrate in der
geforderten Weise anordnet:
Minimale und maximale Eckenzahl Emin und E max :
Ab n = 2 kommen durch jedes weitere Quadrat entweder 0 weitere Ecken (in Reihe angelegt)
oder 2 weitere Ecken (ums Eck angelegt) hinzu. Da für n = 2 die Eckenzahl 4 ist, gilt:
Emin = 4
E max = 2n
Alle möglichen auftretenden Eckenzahlen sind somit auch geradzahlig.
Maximaler Umfang U max :
Ab n = 2 kommt durch jedes weitere Quadrat höchstens ein Umfang von 2 Einheiten hinzu. Da
für n = 2 der Umfang 6 ist, gilt:
U max = 2n + 2
Minimaler Umfang U min :
Dieser Fall ist der Schwierigste. Um einen minimalen Umfang zu erhalten, muss das gelegte
Gebilde so „quadratähnlich“ wie möglich sein. Dies führt auf die folgenden Überlegungen:
n=1:
U min = 4
n=2:
U min = 6
n=3:
U min = 8
n=4:
U min =8
n=5:
n=6:
U min =10
U min =10
Dies führt uns auf die folgende Tabelle:
n
U min
1
4
2
6
3,4
8
5,6
10
7,8,9
12
10,11,12
14
13, 14, 15,16
16
17, 18, 19, 20
18
21, 22, 23, 24, 25
20
26, 27, 28, 29, 30
22
31, 32, 33, 34, 35, 36 24
37, 38, 39, 40, 41, 42 26
Bei genauerer Analyse dieser Tabelle erkennt man, dass in jeder zweiten Zeile in der linken
Spalte ganz rechts die Quadratzahlen 1, 4, 9, 16, 25, 36 usw. auftauchen, was nicht
verwunderlich ist, da wir ja „quadratähnliche“ Gebilde anstreben.
In den jeweils anderen Zeilen berechnen sich die Zahlen ganz rechts aus den Produkten:
1*2, 2*3, 3*4, 4*5, 5*6, 6*7, usw.
Somit gilt für die Berechnung des Mindestumfangs die folgende Formel:
U min = 4 q
n liegt zwischen q (q − 1) + 1 und q 2 :
n liegt zwischen q 2 + 1 und q (q + 1) :
U min = 4 q +2
Somit gilt für n=7:
q = 3 ⇒ U min = 12
und für n=1.000:
q = 32 ⇒ U min = 128
Auch bei den Umfängen gilt, dass es eine ungerade Umfangzahl nicht geben kann.
Die korrekte Lösung war also:
n
7
1.000
Emin
4
4
E max
14
2000
U min
12
128
U max
16
2002
Dazwischen können alle geradzahligen Werte angenommen werden; sowohl bei den Ecken als
auch bei den Umfängen.
Gewinner:
Die folgenden Mitspieler hatten richtige Lösungen und erhielten dafür eine Urkunde:
Anastasia Archipov, Dominik Komander, Stefan Kaufmann, Gert Heppeler, Qin Lin,
Christoph Miller, Eric Kubitschek, Evrim Baysal, Philipp Wager, David Engelmann,
Michael Lörcher, Elena Dmytriyeva, Michael Ortmann, Jochen Lindauer, Andreas
Finke, Dimitrij Kozemako, Christian Lang, Tahsin Oruk, Adrijan Varga, Firat Kasmis,
Patrick Wild, Andreas Fabian Kruspel, Niranjani Nagarajahm, Marianne Pop, Jörg
Schenkel, Jan Kubik
Bei der Preisverlosung gewannen:
Elena Dmytriyeva und Dimitrij Kozemako
Sonderpreise für besonders elegante Lösungen gingen an:
Alexander Stief, Michael Unger, Markus Wohlrab, Ruxandra Filip
Allen Gewinnern herzlichen Glückwunsch!
Ich danke meinem Kollegen Axel Stahl für die Aufgabenidee.