Aufgaben der Klasse 5

Landesverband Mathematikwettbewerbe NRW e. V.
6. Landeswettbewerb 2000 in Siegen
3. Runde der 39. Mathematikolympiade
Aufgaben der Klasse 6
Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar in logisch und grammatisch
einwandfreien Sätzen dargestellt werden. Zur Lösungsgewinnung herangezogene Aussagen sind zu beweisen. Nur wenn eine
so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsgemeinschaften bekannt ist, genügt es ohne
Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzuführen.
1. Aufgabe:
Die Abbildung 1 zeigt ein regelmäßiges Sechseck ABCDEF. (Alle sechs Seiten des Sechsecks sind gleich lang, und
die inneren Winkel sind untereinander gleich.)
a) Das Sechseck soll in sechs Teile gleicher Form und gleicher Größe zerlegt werden. Skizziere zwei verschiedene
Möglichkeiten der Zerlegung, die sich nicht durch Drehung ineinander überführen lassen.
b) In dem Sechseck der Abbildung 1 lassen sich Dreiecke finden, deren Eckpunkte auch Eckpunkte des Sechsecks
sind. Welche verschiedenen Formen solcher Dreiecke gibt es? Gib jeweils ein Beispiel durch Nennung der
Eckpunkte an!
c) Bestimme, welchen Flächenteil diese Dreiecke jeweils von der Fläche des Sechsecks einnehmen! Erläutere die
Lösung an Hand einer Skizze.
d) In dem Sechseck liegt das Zwölfeck AGBHCIDJEKFL, wie die Abbildung 2 zeigt. (Alle zwölf Seiten des
Zwölfecks sind gleich lang, und jeweils die äußeren und die inneren Winkel sind untereinander gleich.) Welchen
Anteil der Fläche des Sechsecks ABCDEF bedeckt dieses Zwölfeck ? Erläutere die Lösung an Hand einer Skizze.
2. Aufgabe:
In einem Kaugummiautomaten befinden sich 71 gleich aussehende Kaugummis. Es gibt darunter vier verschiedene
Geschmacksrichtungen: Zitrone, Pfefferminz, Erdbeere und Apfel. In dem Automaten sind doppelt so viele
Zitronenkaugummis wie Pfefferminzkaugummis, ein Erdbeerkaugummi weniger als Pfefferminzkaugummis und sechs
Apfelkaugummis weniger als Zitronenkaugummis.
a) Wie viele Kaugummis gibt es von jeder Sorte ? Finde die Zahlen und begründe deine Antwort !
In einem anderen Automaten befinden sich 96 Kaugummis, davon sind 6 Zitrone, 17 Pfefferminz, 30 Erdbeere und 43
Apfel. Beantworte die folgenden Fragen mit Begründung.
b)
c)
d)
Wie viele der 96 Kaugummis muss man aus diesem Automaten entnehmen, um mindestens zwei von gleicher
Geschmacksrichtung zu erhalten ?
Wie viele Kaugummis muss man aus dem Automaten entnehmen, wenn man Kaugummis von mindestens zwei
Geschmacksrichtungen haben möchte ?
Wie viele Kaugummis muss man aus dem Automaten entnehmen, um mindestens eines mit
Pfefferminzgeschmack zu erhalten?
Landesverband Mathematikwettbewerbe NRW e. V.
Seite 2/2
3. Aufgabe:
Jens hat ein merkwürdiges mathematisches Gedächtnis. Als sein Freund ihm seine neue sechsstellige Telefonnummer
mitgeteilt hat, kann er sich später an folgendes erinnern:
(1) Genau fünf der sechs Ziffern sind Primzahlen.
(2) Die erste und die zweite Ziffer sind gleich, sonst ist keine Ziffer einer anderen gleich.
(3) Die Quersumme der Telefonnummer ist 24.
(4) Die Telefonnummer ist durch 5 teilbar.
Wie viele Telefonnummern muß Jens höchstens ausprobieren ?