Klasse 5
Werbung
Landesverband Mathematikwettbewerbe Nordrhein-Westfalen e. V. 1. Landeswettbewerb 1994/95 in Essen Aufgaben der Klasse 5/6 1. Aufgabe: Fritz hat geträumt, er bekäme ein Paket voller Gummibärchen, wenn er drei Aufgaben (a), (b), (c) löst. Obwohl es nur ein Traum war, möchte er die Aufgaben doch lösen. In seinem Traum hieß es: Ein Paket enthält 1000 Gummibärchen. Sie sind in 50 Tüten verteilt. Der Inhalt einer Tüte kostet 1,60 DM. Ein Kilogramm Gummibärchen kosten 20 DM. Alle Tüten enthalten die gleiche Anzahl von Gummibärchen. Alle Gummibärchen haben gleiches Gewicht und kosten gleich viel. Die Aufgaben lauten: Wie viel kosten zusammen genommen die Gummibärchen in einem Paket? Wie viel wiegt der Inhalt einer Tüte? Wie viel wiegt ein Gummibärchen? Gib die Lösungen zu (a), (b), (c) an und begründe, wie du sie erhalten hast. 2. Aufgabe: Aus genau vier Stäbchen läßt sich ein Quadrat der Seitenlänge 1 cm legen: Die folgende Figur zeigt, dass man 12 Stäbchen benötigt, um ein Quadrat zu legen, dessen Seitenlängen aus zwei Stäbchen bestehen und das vier der kleinen oben betrachteten Quadrate enthält. (a) Wie viele Stäbchen benötigt man für ein Quadrat, das aus 1.neun, 2.sechzehn dieser kleinen Quadrate besteht? (b) Wie viele Stäbchen genau benötigt man, um mit diesen kleinen Quadraten der Seitenlänge 1 cm ein Quadratgitter auszulegen, das 1 m lang und 1 m breit ist? Beschreibe, wie du an dein Ergebnis gekommen bist. 3. Aufgabe: Vater, Mutter und Sohn einer Familie stellen fest: 1. Multipliziert man die Tageszahl und die Monatszahl des Geburtstages, so erhält man beim Vater 242, bei der Mutter 200, bei der Tochter 6. (Beispiel: Wenn jemand am 30. Juli geboren ist, so erhält man 30× 7 = 210) 2. 2.Addiert man die Tages- und Monatszahl des Geburtstages, so ergibt sich bei Vater, Mutter, Tochter und Sohn das Alter (in Jahren) (Beispiel: Wenn jemand am 30. Juli geboren ist, so ist er 30 + 7 = 37 Jahre alt.) 3. Multipliziert man die vier Altersangaben, so erhält man 59400. a) Wie alt sind die Familienmitglieder? b) Wann haben Vater, Mutter und Tochter Geburtstag? c) Wann könnte der Sohn Geburtstag haben? (Nenne alle Möglichkeiten) Alle Antworten müssen Schritt für Schritt begründet werden. Landesverband Mathematikwettbewerbe Nordrhein-Westfalen e. V. 1. Landeswettbewerb 1994/95 in Essen Aufgaben der Klasse 7/8 1. Aufgabe: Albrecht soll eine natürliche Zahl zwischen 1 und 1 000 000 ermitteln. Dirk, Evelyn und Franziska machen dazu jeweils genau eine wahre und eine falsche Aussage. Dirk: 1. Die gesuchte Zahl hat weniger als drei Dezimalstellen. 2. Zerlegt man die gesuchte Zahl in Primfaktoren, so kommen in dieser Zerlegung genau zwei voneinander verschiedenen Primzahlen vor, jede (mindestens einmal, aber) möglicherweise auch mehrmals. Evelyn: 1. Die gesuchte Zahl ist durch 9 teilbar. 2. Die gesuchte Zahl ist nicht durch 27 teilbar. Franziska: 1. Die gesuchte Zahl lautet 91809 2. Die gesuchte Zahl ist durch 101 teilbar. Zeige, daß durch diese Angaben eine natürliche Zahl eindeutig bestimmt ist, und ermittle diese Zahl. 2. Aufgabe: Man denke sich die Zahlen 1, 2, 3, 4, ... usw. bis 100 derart hintereinander aufgeschrieben, dass eine Zahl z der Form z = 12345678910111213 .... 9899100 entsteht. a) Wie viele Stellen hat z? b) Es sollen 100 Ziffer der Zahl z so gestrichen werden, dass die mit den restlichen Ziffern dargestellt Zahl z‘ möglichst groß ist. Dabei soll die Reihenfolge der in z‘ verbleibenden Ziffern von z nicht geändert werden. Ermittle, welche Ziffern zu streichen sind, und gib die ersten 10 Ziffern der neuen Zahl z‘ an! 3. Aufgabe: Für ein Viereck sei gefordert, dass die Summe der Längen der beiden Diagonalen AC und BD 11 cm beträgt, dass die Seite AB die Länge a= 6 cm und die Seite AD die Länge d =1 cm haben soll. Ermittle eine Länge x und eine Länge y so, dass für den Umfang u jedes Vierecks, das den angegebenen Forderungen genügt, die Ungleichung x u y gilt, wobei das Gleichheitszeichen jeweils genau dann gilt, wenn das Viereck ABCD zu einer Strecke entartet, d. h. , wenn die Punkte A, B, C und D auf ein und derselben Geraden liegen. Hinweis: Im Entartungsfall können auch Punkte zusammenfallen. Landesverband Mathematikwettbewerbe Nordrhein-Westfalen e. V. 1. Landeswettbewerb 1994/95 in Essen Aufgaben der Klasse 9/10 1. Aufgabe: Beweise, dass es keine natürliche Zahl n gibt, für die die Zifferndarstellung der Zahl 9 n 1 auf mehr als eine Null enden würde. 2. Aufgabe: Man ermittle alle diejenigen positiven ganzen Zahlen n, für die jede der sechs Zahlen n, n+2, n+6, n+8, n+12, n+14 eine Primzahl ist. 3. Aufgabe: Jürgen wählt auf einem Zeichenblatt drei Punkte A, B, C so, dass es keine Gerade gibt, auf der alle drei Punkte liegen, und dass die Strecke AB eine andere Länge hat als die Strecke BC . Dann versucht er, einen Punkt X zu konstruieren, der weder auf der durch A und B gelegten Geraden g noch auf der durch B und C gelegten Geraden h liegt und der außerdem die beiden folgenden Bedingungen (1) und (2) erfüllt: (1) Der Punkt X hat von g den gleichen Abstand wie von h (2) Die Strecken AB und BC erscheinen von X aus unter gleichgroßen Winkeln; d. h. der Winkel AXB ist ebenso groß wie der Winkel BXC . Christa behauptet: Es gibt keinen solchen Punkt X; gleichgültig, welche Wahl von A, B, C (mit den eingangs genannten Lagebedingungen) Jürgen getroffen hat. Hat Christa recht? Landesverband Mathematikwettbewerbe Nordrhein-Westfalen e. V. 1. Landeswettbewerb 1994/95 in Essen Aufgaben der Klasse 11/13 1. Aufgabe: Man ermittle die kleinste natürliche Zahl n mit n 2 und der folgenden Eigenschaft: In jeder Menge von n natürlichen Zahlen gibt es mindestens zwei Zahlen, deren Summe oder Differenz durch 7 teilbar ist. 2. Aufgabe: Ermittle alle diejenigen Paare (x;y) reeller Zahlen x, y, die die folgenden Gleichungen erfüllen: sin 4 x y 4 x 2 y 2 4 y 2 4 cos 4 x x 4 x 2 y 2 4 x 2 1 3. Aufgabe: Man ermittle alle diejenigen Funktionen f, die für alle reellen Zahlen definiert sind und für alle reellen x und y den folgenden Bedingungen genügen: f ( x y ) f ( x) f ( y ) f ( x) f ( y ) 2 f ( x y ) f ( x) f ( y ) 2 xy 1 f (1) 2
