schr. RP

advertisement
BG/BRG Kufstein
Schriftliche Reifeprüfung
Klasse 8D
Mathematik
Mag. Armin Schützinger
Haupttermin 2010/2011
Schriftliche Reifeprüfung
aus Mathematik
 a) Beweise den Kosinussatz b²
= a² + c² – 2·a·c·cos() im spitzwinkligen Dreieck!
Verwende eine brauchbare Skizze!
b) Um den Abstand zweier unzugänglicher Punkte A und B zu ermitteln wurden folgende
Winkel zu einer 100 m langen Standlinie s = CD gemessen:
 = CAD = 25,7°
 = BAC = 28,3°
 = CBA = 43,1°
 = DBC = 29,6°
Fertige eine maßstäbliche Skizze an und ermittle ausgehend von deiner gemessenen
Länge einen ungefähren Wert für den Abstand der Punkte A und B!
Berechne den Abstand der Punkte A und B!
 a) Interpretiere die folgende Grafik!
http://www.weltbevoelkerung.de/info-service/grafiken_bev-entwicklung.shtml?navanchor=1010041 [08.08.2010]
Welcher mathematische Zusammenhang besteht zwischen den beiden abgebildeten
Datenmengen? Nach welchem Wachstumsmodell entwickelt sich die Weltbevölkerung?
Begründe!
b) Ermittle mittels Regression ausgehend von den gegebenen Bevölkerungszahlen der
Jahre 1802 bis 1999 ein eigenes Wachstumsmodell! Wie groß ist aufgrund der gegebenen
Daten die maximal mögliche Weltbevölkerung? Wie viele Menschen würden nach deinem
Wachstumsmodell im Jahr 2050 auf der Erde leben? Wann würden 10 Milliarden
Menschen auf der Erde leben?
Punkteverteilung:
48
≥
Sehr gut
Aufg. 1: 10 P.
≥
44
>
Aufg. 2: 14 P. (10+4)
Gut
≥
38
>
Aufg. 3: 14 P. (4+5+5)
Befriedigend
≥
29
Aufg. 4: 10 P. (6+4)
>
Genügend
insgesamt 48 Punkte möglich
≥
23
> Nicht genügend ≥
0
BG/BRG Kufstein
Schriftliche Reifeprüfung

Klasse 8D
Mathematik
Mag. Armin Schützinger
Haupttermin 2010/2011
a) Aus fünf jeweils 20
cm
breiten
Brettern
soll
wie in der nebenstehenden
Zeichnung
eine
Rinne
gebaut
werden.
mittlere
Brett
liegt
die
beiden
waagrecht,
anschließenden
sind
unter
Das
Bretter
demselben
Winkel  zur Waagrechten
geneigt, die beiden äußeren Bretter sind unter demselben Winkel  zur Waagrechten
geneigt. Wie müssen die Winkel  und  gewählt werden, damit die Rinne möglichst
große Querschnittfläche hat, und wie groß ist diese Fläche?
b) Begründe mit den dir zur Verfügung stehenden Mitteln, warum die von dir gefundene
Lösung maximale Querschnittfläche liefert!

Ein Jahrmarktsbudenbesitzer veranstaltet folgendes Glücksspiel.
Ein Spieler dreht drei Mal hintereinander an einem Glücksrad, bei
dem ein 120° großer Sektor rot bemalt ist. Die Teilnahme am Spiel
kostet 5 €. Bleibt das Glücksrad ein Mal im roten Bereich stehen,
bekommt der Spieler 10 € ausbezahlt, er gewinnt also 5 €. Bleibt
das Glücksrad zwei Mal im roten Sektor stehen, erhält er 20 €
ausbezahlt, er hat also 15 € gewonnen. Erdreht er nie oder alle drei
Mal den roten Bereich, gewinnt er nichts, sondern verliert seine 5 €.
a) Mit welchem durchschnittlichen Gewinn bzw. Verlust muss ein
Spieler rechnen?
b) Der Erwartungswert des Spielers ändert sich in Abhängigkeit von
der Größe des roten Sektors. Stelle den Zusammenhang zwischen
Gewinn/Verlust des Spielers und dem Winkel dieses Sektors
graphisch dar!
c) Wie groß müsste der rote Sektor gewählt werden, damit das
Spiel fair wird?
d) Wie groß müsste der rote Sektor gewählt werden, damit der durchschnittliche Gewinn
eines Spielers möglichst groß wird?
Punkteverteilung:
48
≥
Sehr gut
Aufg. 1: 10 P.
≥
44
>
Aufg. 2: 14 P. (10+4)
Gut
≥
38
>
Aufg. 3: 14 P. (4+5+5)
Befriedigend
≥
29
Aufg. 4: 10 P. (6+4)
>
Genügend
insgesamt 48 Punkte möglich
≥
23
> Nicht genügend ≥
0
BG/BRG Kufstein
Schriftliche Reifeprüfung
Lösung
Klasse 8D
Mathematik
Mag. Armin Schützinger
Haupttermin 2010/2011
:
a) (ohne Verwendung des TI Voyage)
b²
=
h²
+
x² =
= a² – y² +
x² =
= a² – y² +
(c–y)² =
y
 cos()
a
b
= a² – y² + c² – 2·c·y + y² =
b²
= a²
+ c² – 2·c·y =
= a²
+ c² – 2·c·a·cos()
a
h

A
x
= a² + c² – 2·a·c·cos()
B
y
c
b) (graphisch)
Maßstäbliche Zeichnung mit beliebiger Länge dZ:
z.B. dZ = 6 cm
Man erhält:
sZ  3,75 cm
D

dz
sz
=
d=
d
s
dz s
sz
6 cm  100 m
3,75 cm
=
= 160 m
s
a
(rechnerisch mit Verwendung des TI Voyage)
TI
100  s
100
TI
25,7  
25.7
TI
28,3  
28.3
TI
43,1  
43.1
C

b

TI
29,6  
TI
180 –  –   
108.6
TI
––
53.3
b
sin()
TI
TI
29.6
A
d
sin()
=
dsin()
sin()
a
sin(  )


b
=
dsin(  )
sin()
.720929·d
d
sin()
a
1.19081·d
TI
a² + b² – 2·a·b·cos() = s²
.390635·d² = 10000
TI
solve(ans(1),d)
d = 159.998 or d = -159.998
Die Entfernung von A nach B beträgt 160 m.

B
BG/BRG Kufstein
Schriftliche Reifeprüfung
Lösung
Klasse 8D
Mathematik
Mag. Armin Schützinger
Haupttermin 2010/2011
:
a) (ohne Verwendung des TI Voyage)
orange Daten: Weltbevölkerung in absoluten Zahlen zu verschiedenen Zeitpunkten
graue Daten: Zunahme der Weltbevölkerung innerhalb von zehn Jahren in absoluten
Zahlen. Die Skala rechts gilt nur für die grauen Daten.
Zusammenhang: Die grauen Daten entsprechen der Zunahme/Änderung der orangen
Daten, also der ersten Ableitung der orangen Daten.
Der höchste Punkt der grauen Statistik entspricht dem Zeitpunkt, als die Weltbevölkerung am stärksten wuchs, also dem Wendepunkt der orangen Funktion.
Logistisches Wachstum, denn:
Die Zunahme ist anfangs annähernd proportional zur bestehenden Weltbevölkerung,
später zu einem noch vorhandenen Sättigungsmanko.
Andere Wachstumsmodelle treffen nicht zu:
lineares Wachstum
exponentielles Wachstum
P
P
beschränktes Wachstum
P
P(t)
P(t)
P(t)
t
t
t
b) (mit Verwendung des TI Voyage)
Data-Matrix-Editor
Data
1
2
3
4
5
6
c1
1804
1927
1960
1974
1987
1999
c2
1
2
3
4
5
6

F5 Calc
Calculation Type …
x…
y…
Store RegEQ to …

Logistic
c1
c2
y1(x)
Ergebnis:
y=
a=
b=
c=
d=
Home:
TI
y1(∞)
18.6211
TI
y1(2050)
11.8589
TI
solve(y1(x)=10,x)
x = 2034.2
Auf der Erde könnten maximal 18,62 Mrd. Menschen leben.
2050 würde die Weltbevölkerung 11,86 Mrd. Menschen betragen.
Die 10 Mrd.-Grenze würde 2034 überschritten.
STAT VARS
a/(1+b∙e^(c∙x))+d
17.638706
1.102023E24
-.027236
.98235
BG/BRG Kufstein
Schriftliche Reifeprüfung
Lösung
Klasse 8D
Mathematik
Mag. Armin Schützinger
Haupttermin 2010/2011
:
a)
F1 =
20  20  2a
2
g =
= (20 + a) 400  a
F2 =
20  2a  20  2a  2b
2
20
F2
2
h =

20 + 2a
b
= (20 + 2a + b) 400  b2
20
F1
a
(20 + a) 400  a2 + (20 + 2a +
b) 400  b2  f(a,b)

TI
(f(a,b)) = 0  gl1
a

TI
(f(a,b)) = 0  gl2
b
TI
solve(gl2,a)
TI
solve(gl1,b)ans(1)  16.1803
TI
ans(2)ans(1)
TI
cos1 5 
TI
TI
g

mit Verwendung des TI Voyage:
TI
h
Done
400  a2 –
a(a20)
2
400a
+ 2 400  b2 = 0
400  b2 –
a=
b(b2(a10))
400b2
=0
(b2  10b  200)
b
 5  1  6.18034
a = 5  5  1  16.1803
b = 5
  5  1/ 20
cos 5   5  1 / 20 
f(5  5  1 ,5  5  1)
36
1
72
1538.84
Die mittleren Bretter müssen unter 36°, die äußeren unter 72° zur Waagrechten geneigt
sein. Die maximale Querschnittsfläche beträgt ungefähr 1539 cm².
b) mit Verwendung des TI Voyage:
Im 3D-Modus des TI Voyage kann man Funktionen in 2 Variablen analysieren.
TI
f(a,b)a=x and b=y
(x + 20) 400  x2 + (2x + y + 20) 400  y2
ans(1)  z1(x,y)
Window-Einstellungen:
Done
Für a = x und b = y sind nur Werte zwischen 0 und 20 sinnvoll.
Für F = z werden Werte bis maximal 1600 angenommen.
Im Auf- und Kreuzriss kann man mit Hilfe der Trace-Funktion die Koordinaten des höchsten Punktes ungefähr ablesen. Diese stimmen mit den berechneten Werten überein.
TI
Aufriss:
Window-Einstellungen
Graph
Kreuzriss:
Window-Einstellungen
Graph
BG/BRG Kufstein
Schriftliche Reifeprüfung
Lösung
Klasse 8D
Mathematik
Mag. Armin Schützinger
Haupttermin 2010/2011
:
(mit Verwendung des TI Voyage)
3-stufiges Experiment mit gleich bleibenden Wahrscheinlichkeiten  Binomialverteilung
n=3
k
Gewinn
P(R=k)
3
 
0
 
·p ·(1-p) = 1 – 3p + 3p2 – p3
0
3
0
-5
1
5
3
  ·p1·(1-p)2
1 
 
= 3p – 6p2 + 3p3
2
15
3
  ·p2·(1-p)1
2 
 
= 3p2 – 3p3
3
-5
3
  ·p3·(1-p)0
3
 
= p3
TI
-5(1–3p+3p2–p3)+5(3p–6p2+3p3)+15(3p2–3p3)–5p3  ew(p)
TI
ew(p)
Done
-30p³+30p–5
a)
p=
TI
120
360
=
1
3
ew(1/3)
3.889
Ein Spieler gewinnt durchschnittlich 3,89 €.
EW
[€]
b)
p
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0

0
36
72
108
144
180
216
252
288
324
360
ew(p)
-5,00
-2,03
0,76
3,19
5,08
6,25
6,52
5,71
3,64
0,13
-5,00
5
EW()
90
180
0,5
270
360
0,5
[°]
p
-5
c)
TI
solve(ew(p)=0,p)
p=0.903 or p=0.172 (or p=-1.075)
 = 360°·0,903 = 325,08°
 = 360°·0,172 = 61,82°
Das Spiel wäre dann fair, wenn der Sektor 61,8° oder 325,1° groß wäre.
d)
TI
d(ew(p),p)  ews(p)
TI
solve(ews(p)=0,p)
TI
ew(0.577)
Done
p=0.577 (or p=-0.577)
6.547
 = 360°·0,577 = 207,85°
Bei einem 207,85° großen Sektor hätte der Spieler durchschnittlich einen maximalen
Gewinn von 6,55 € zu erwarten.
Herunterladen