C1 Die Befragung der 5 Teilnehmer eines Statistikseminars nac

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1
Die Häufigkeitsverteilung des zu versteuernden Einkommens von
Steuerpflichtigen X eines Finanzamtes ist für das Jahr 2005 in
folgendem Histogramm dargestellt.
Außer den in die Säulen eingetragenen relativen Klassenhäufigkeiten ist
zusätzlich bekannt, dass der Median der Verteilung xmed = 20 Tsd.€
beträgt.
Welchen Wert hat die Klassenobergrenze g?
A: 10
F: 25
B: 14
G: 28
C: 19
H: 31
D: 21
I: 33
E: 23
K: 40
Welchen Wert hat die relative Häufigkeitsdichte h?
L: 0,001
S: 0,03
M: 0,002
T: 0,035
N: 0,01
W: 0,04
P: 0,02
X: 0,045
R: 0,025
Y: 0,05
2
Für zwei metrisch skalierte Merkmale X und Y liegen N
Zahlenpaare (xi, yi); i = 1, ..., N; vor. Welche der folgenden Aussagen ist
richtig?
A: Hat der Betrag des Pearson'schen Korrelationskoeffizienten den
Wert 1, dann liegen alle Zahlenpaare (xi , yi) exakt auf einer Geraden.
B: Falls alle Zahlenpaare (xi, yi) exakt auf einer Geraden liegen, dann hat
der Betrag des Pearson'schen Korrelationskoeffizienten den Wert 1.
C: Hat der Betrag des Spearman'schen Rangkorrelationskoeffizienten
den Wert 1, dann liegen alle Zahlenpaare (xi ,yi) exakt auf einer
Geraden.
D: Falls alle Zahlenpaare (xi ,yi) exakt auf einer Geraden liegen, dann hat
der Betrag des Spearman'schen Korrelationskoeffizienten den Wert 1.
3
An der geraden Hauptstraße einer Fabrik liegen 4 Werkshallen W1
bis W4. Es soll ein neues Zentrallager gebaut werden, das täglich von
allen 100 Arbeitern aufgesucht wird.
Es wird vorgeschlagen, die Summe der
zurückgelegten Wegstrecken zu minimieren.
Wo ist das Zentrallager zu errichten?
von
A: 1
F: 12
D: 10
I: 16,5
B: 3,5
G: 13
C: 9
H: 14
allen
Arbeitern
E: 11
K: 20
Nach einem alternativen Vorschlag soll das Lager so positioniert werden,
dass die Summe der Quadrate der von allen Arbeitern zurückgelegten
Wegstrecken minimal ist.
Wo liegt in diesem Fall das Zentrallager?
L: 1
S: 12
M: 3,5
T: 13
N: 9
V: 14
P: 10
W: 16,5
R: 11
X: 20
4
Gegeben seien folgende Altersangaben über die fünf Bewohner
einer Seniorenresidenz:
Person i
1
2
3
4
5
Alter xi [Jahre]
83
87
96
99
100
Für die Summe der Quadrate der Abweichungen der Alterswerte xi von
5

ihrem arithmetischen Mittel μx gilt:  x  
i
x
i 1

2
 230 .
Welchen Wert hat die Varianz der xi?
A: 40
B: 42
C: 46
D: 48
E: 50
Zu den fünf Bewohnern kommt noch ein 93-Jähriger hinzu. Welche
Veränderungen der Altersverteilung der Bewohner treten dadurch ein?
F: Das arithmetische Mittel sinkt.
H: Die Varianz sinkt.
K: Die Spannweite sinkt.
G: Das arithmetische Mittel steigt.
I: Die Varianz steigt.
L: Die Spannweite bleibt gleich.
5
Der Paasche Preisindex (Basis 2001) einer Volkswirtschaft habe
sich wie folgt entwickelt:
Jahr
2001
2002
2003
2004
2005
Index
100
120
123
125
150
Ein Unternehmen habe folgende Umsätze erzielt:
Jahr
2001
2002
2003
2004
2005
Umsatz 1000
1500
2000
3500
4500
Der in Bezug auf das Basisjahr preisbereinigte Umsatz des Jahres 2005
beträgt in diesem Fall:
A: 4500
B: 3750
C: 3659
D: 3600
E: 3000
Ein geeigneter Index, um die Mengenänderung von 2001 nach 2005 zu
erfassen, hat dann folgenden Wert:
F: 150
G: 200
H: 250
I: 300
K: 350
Die berechnete Mengenänderung entspricht dem Mengenindex nach
L: Paasche.
M: Laspeyres.
6
Für die Handelsvolumina von Aktien an einer Börse soll die
„Saisonalität“
des Freitags im Vergleich zu anderen Werktagen
untersucht werden. Die Handelsvolumina und die zugehörigen
Trendwerte als gleitende Durchschnitte zur Gliederzahl 5 sind für 4
Freitage eines Monats gegeben:
Freitag
1
2
3
4
Handelsvolumen
1000
1200
1100
1300
Trend
1500
1400
1500
1400
Für die Zeitreihenkomponenten gilt das additive Modell.
Welche Aussage zur demnach ermittelten Saisonkomponente trifft zu?
A: Sie ist identisch für alle 4 Freitage.
B: Sie unterscheidet sich für die 4 Freitage.
Die ermittelte Saisonkomponente für den zweiten Freitag beträgt:
C: 100
D: 100
E: 200
F: 200
G: 300
H: 300
7
Für den Energiemarkt liegen folgende Daten bezüglich der
Jahresgewinne (in Mio. €) der drei Unternehmen U1, U2 und U3 vor:
Jahr
Unternehmen
2005
2006
U1
1.000
1.000
U2
4.000
3.000
U3
5.000
6.000
Summe
10.000
10.000
Welche der folgenden Aussagen über die Entwicklung der Konzentration
von 2005 nach 2006 ist richtig?
Die relative Konzentration
Die absolute Konzentration
A: steigt.
D: steigt.
B: fällt.
E: fällt.
C: bleibt konstant.
F: bleibt konstant.
8
Gegeben sind folgende Datenpaare (xi , yi) für Alter [Jahre] und
Preis [1000Euro] von fünf Gebrauchtwagen:
1
2
3
4
5
xi
7
5
6
4
3
yi
3
7
5
9
11
Weiterhin ist bekannt:
5
2

 xi   x
i 1

 10 und
5

 yi   y
i1

2
 40 .
Bestimmen Sie die Ausgleichsgerade nach der Methode der kleinsten
Quadrate.
Welchen Wert haben Steigung und Achsenabschnitt?
A: Steigung = 2
C: Steigung = 3
E: Achsenabschnitt = 17
B: Steigung = +2
D: Steigung = +3
F: Achsenabschnitt = 15
Welchen Wert nimmt die Ausgleichsgerade für x = 8 an?
G: 5
H: 3
I: 1
K: 1
L: 3
M: 5
9
Bei einem Zufallsexperiment werden die beiden Ereignisse U und V
betrachtet. Für diese gilt:
W( U  V ) = 0,8 ; W(U  V ) = 0,9 ; W( U  V ) = 0,4 .
Welchen Wert besitzt W( U  V ) ?
A: 0,1
F: 0,6
B: 0,2
G: 0,7
C: 0,3
H: 0,8
D: 0,4
I: 0,9
E: 0,5
10
Ein Hersteller liefert Zweierpackungen eines Produktes.
Für jede Packung mit mindestens einem fehlerhaften Stück muss er den
Kaufpreis zurückerstatten.
Die Herstellung einer Zweierpackung kostet 2,00 Euro.
Die Wahrscheinlichkeit für die Produktion eines fehlerfreien Stücks
beträgt 0,90.
Welchen Preis muss der Hersteller verlangen, um einen erwarteten
Gewinn pro Zweierpackung von 0,43 Euro zu erzielen?
A: 2,25
G: 5,00
B: 2,50
H: 5,50
C: 3,00
I: 6,00
D: 3,50
K: 6,50
E: 4,00
L: 7,00
11
F: 4,50
M: 7,50
In einer Grundgesamtheit von N Einkommensbeziehern sei 
das arithmetische Mittel und 2 > 0 die Varianz der Einkommenswerte.
Für eine Stichprobe vom Umfang n sei das Stichprobenmittel der
Einkommen beim
- Ziehen mit Zurücklegen mit X m(n)
- Ziehen ohne Zurücklegen mit X O(n)
bezeichnet.
Welche der folgenden Aussagen ist für n = N richtig?
A: E X m(N) = 
C:
X m(N) = 
E: var X m(N) = 0
B: E X O(N) = 
D:
X O(N) = 
F: var X O(N) = 0
12
In einer Schublade liegen 5 braune und 4 blaue Strümpfe.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei zufällig (ohne
Zurücklegen) herausgezogene Strümpfe von gleicher Farbe sind?
A:
C:
(5/9)(4/8) = 5/18
1/5 +1/4 = 9/20
5 4
2   2
   
E:
9
2
 
B: (5/9)(4/8) + (4/8)(5/9) = 5/9
D: (5/9)(4/8) + (4/9)(3/8) = 4/9
7
9 2
F:        
 2  9   9 
2
7
13
In einer Goldmine streut der Goldgehalt des Golderzes um den
Erwartungswert 3,0 g/to mit der Standardabweichung 1 g/to.
In der Mine kann pro Tag Gold aus 100 to Erz gewonnen werden.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit beträgt dann die Tagesausbeute
höchstens 295 g?
A: 0,0062
F: 0,6915
14



F(x)  


B: 0,0228
G: 0,8413
C: 0,0668
H: 0,9332
D: 0,1587
I: 0,9772
E: 0,3085
K: 0,9938
Eine diskrete Zufallsvariable X besitze die Verteilungsfunktion F(x):
0, falls
x  1
1/ 3, falls  1  x  1
2 / 3, falls  1  x  3
1, falls
3x
Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
A: W( X < 2 ) = 2/3
D: W( X < 3 ) = 2/3
G: W( X  3 ) = 1/3
B: W( X = 2 ) = 0
E: W( X  3 ) = 2/3
H: W( X > 3 ) = 0
C: W( X  2 ) = 2/3
F: W( X  3 ) = 1
I: W( X  3 ) = 2/3
15
Die Zufallsvariable X sei binomialverteilt mit EX = 2 und var X = 1.
Welchen Wert besitzt W( X = 4 )?
A: 1/16
G : 7/16
16
B: 2/16
H: 8/16
C: 3/16
I: 9/16
D: 4/16
K: 10/16
E: 5/16
L: 11/16
F: 6/16
M: 12/16
Die Zufallsvariable X besitze folgende Wahrscheinlichkeitstabelle:
xi
1
2
3

W( X = xi ) 0,25
0,50
0,25
1
Welche der nachstehenden Aussagen gilt dann?
A:
B:
C:
D:
E( X  2 ) = EX  2
E( X  2 )2 = ( EX  2 )2
E X2 = ( E X )2
E( 1 / X ) = 1/ EX
E:
F:
G:
H:
var X = E( X  2 )2
var( X  2 ) = var X  2
var( X  2 ) = var X
var( X  2 ) = E( X  2 )2
17
Welche der folgenden Aussagen über eine stetige
Zufallsvariable X ist richtig?
A:
B:
C:
D:
E:
Die Werte der Dichtefunktion liegen im Intervall [ 0 ; 1 ].
Die Werte der Verteilungsfunktion liegen im Intervall [ 0 ; 1 ].
Für jede reelle Zahl x0 gilt : W( X = x0 ) = 0.
Für jede reelle Zahl x0 ist das Ereignis { X = x0 } unmöglich.
Es gibt reelle Zahlen x0 , die mit positiver Wahrscheinlichkeit
angenommen werden.
F: Der Funktionswert der Dichte stellt für jede reelle Zahl x0
eine Wahrscheinlichkeit dar.
G: Der Funktionswert der Verteilungsfunktion stellt für jede
reelle Zahl x0 eine Wahrscheinlichkeit dar.
18
Ein Lebensmittelhersteller füllt Nüsse in Beutel ab.
Das Füllgewicht G eines Beutels sei normalverteilt mit Erwartungswert
 = 200 g und Standardabweichung  = 2 g.
Wie groß muss der Stichprobenumfang n gewählt werden, damit für
das Stichprobenmittel G gilt: W (  G     0,5 g) = 0,9876 ?
A: 36
F: 121
L: 256
19
B: 49
G: 144
M: 289
C: 64
H: 169
N: 324
D: 81
I: 196
P: 361
E: 100
K: 225
R: 400
U und V seien zwei Ereignisse mit W(U) > 0 und W(V) > 0.
Welche der folgenden Aussagen sind dann richtig?
Sind U und V unabhängig, dann gilt:
A:
B:
C:
D:
U und V sind unvereinbar.
U und V sind nicht disjunkt.
W( U  V ) = W( U ) W( V )
W( U  V ) = 0
Sind U und V unvereinbar, dann gilt:
E:
F:
G:
H:
U und V sind unabhängig.
U und V sind abhängig.
W( U  V ) = W( U ) W( V )
W( U  V ) = 0
20
(X1, X2, ... , Xn ) sei eine Stichprobe aus der Bernoulli-Verteilung
mit Parameter . X sei das Stichprobenmittel.
Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
A: E Xi = 
D: E X = 
B: E Xi2 = 
C: E Xi2 = 2
n
F: E(  Xi ) = n
E: E X = n
i 1
n
G: var(  Xi ) = n(1  )
i 1
n
H: var(  Xi ) = (1  ) / n
i 1
21
Eine Multiple-Choice-Klausur besteht aus 64 Aufgaben mit jeweils
fünf vorgegebenen Antworten, von denen stets genau eine richtig ist.
Wenn ein Teilnehmer signifikant (Signifikanzniveau 5,48%) mehr
Aufgaben löst, als man bei zufälligem Raten erwarten kann, dann
besteht er die Klausur.
Wie groß ist die zum Bestehen der Klausur nötige Mindestanzahl richtig
gelöster Aufgaben.
A: 16
E: 20
B: 17
F: 21
C: 18
G: 22
D: 19
H: 23
22
Der Anteil  der Abiturienten eines Jahrgangs, die unmittelbar
nach dem Abitur ein Studium aufnehmen wollen, soll durch den
entsprechenden Stichprobenanteil in einer Zufallsstichprobe geschätzt
werden. Dabei kann angenommen werden, dass   30% ist.
Wie groß muss dann beim Sicherheitsgrad 0,9974 der
Stichprobenumfang mindestens gewählt werden, damit der gesuchte
Anteil bis auf  3 Prozentpunkte genau geschätzt werden kann?
A: 1600
E: 2700
B: 1800
F: 3000
C: 2100
G: 3300
D: 2400
H: 3600
23
Für die Abhängigkeit der Konsumausgaben C vom Einkommen y
eines Haushaltes werde das einfache lineare Regressionsmodell
C = 0 +1y + U
unterstellt.
Welche der folgenden Aussagen über das Modell ist richtig?
A: Das Einkommen wird im Modell als Zufallsvariable vorausgesetzt.
B: Weil y eine Zufallsvariable ist, ist auch C ein Zufallsvariable.
C: Bei einem Einkommen y errechnen sich die Konsumausgaben aus
0 +1y + U .
D: Bei einem Einkommen y werden Konsumausgaben in Höhe von
0 +1y erwartet.
E: Bei Erhöhung des Einkommens um 100 steigen die
Konsumausgaben um 100 1.
F: Bei Erhöhung des Einkommens um 100 ist eine Steigerung der
Konsumausgaben um 100 1 zu erwarten.
24
Für das einfache lineare Regressionsmodell
Y = 0 + 1x + U
wurde aufgrund der nachstehenden Daten die Ausgleichsgerade
y(x) = 3 + 0,8x ermittelt.
i
xi
yi
1
2
5
2
4
6
3
5
7
4
6
7
5
8
10
Welcher Schätzwert ergibt sich anhand der Formeln der
Formelsammlung für die Varianz von U?
A: 0,20
G: 1,20
B: 0,024
H: 1,50
C: 0,30
I: 1,80
D: 0,40
K: 2,00
E: 0,60
L: 2,40
F: 1,00
M: 3,00
25
Eine Warentest-Zeitschrift untersuchte auf Stichprobenbasis
Haushaltsgeräte einer bestimmten Produktionsserie. Nach Abschluss
der Untersuchungen wurden folgende Resultate veröffentlicht:
Beobachteter Anteil defekter Stücke: 0,2
Konfidenzintervall zum Sicherheitsgrad 0,9544 für die Gesamtzahl
defekter Stücke in der Produktionsserie: [ 32 000 ; 48 000 ].
Wie groß war der Umfang der Produktionsserie?
A: 100 000
D: 300 000
B: 200 000
E: 400 000
C: 250 000
F: 500 000
Wie groß war der Stichprobenumfang?
G: 100
L: 900
H: 225
M: 1225
I: 400
N: 1600
K: 625
26
Die Nullhypothese „Die durchschnittliche Studiendauer in einer
Fachrichtung beträgt 12 Semester“ soll zum Signifikanzniveau 3,58%
getestet werden.
Aus einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 81 errechnete man zum
Sicherheitsgrad 96,42% für die durchschnittliche Studiendauer das
Konfidenzintervall [ 11,50 ; 12,20 ].
Welche Aussage über den zugehörigen Test ist richtig?
A: Der Wert der normierten Prüfgröße ist anhand der obigen Angaben
nicht bestimmbar.
B:
C:
D:
E:
F:
Der Ablehnungsbereich ist (  ;  2,1 )  ( 2,1 ;  ) .
Die normierte Prüfgröße fällt nicht in den Ablehnungsbereich.
Die Nullhypothese wird verworfen.
Das Stichprobenmittel ist verträglich mit der Nullhypothese.
Das Stichprobenmittel weicht signifikant vom hypothetischen Wert ab.
27
Durch einfache Zufallsauswahl ohne Zurücklegen aus den
Angestellten einer Branche soll das Durchschnittsgehalt  anhand des
Stichprobenmittels X geschätzt werden.
Welche der folgenden Eigenschaften trifft auf X zu?
X ist eine erwartungstreue Schätzfunktion für .
Bei Vollerhebung gilt var X = 0.
Bei Vollerhebung gilt X = .
Nur bei Vollerhebung kann X mit  übereinstimmen.
var X ist umso kleiner, je größer der Stichprobenumfang ist.
var X ist umso kleiner, je kleiner die Streuung der Gehälter in der
Branche ist.
G: var X ist umso kleiner, je kleiner die Streuung der Gehälter in der
Stichprobe ist.
A:
B:
C:
D:
E:
F:
28
Die Nullhypothese H0 :   0 soll anhand einer Stichprobe vom
Umfang n > 50 mit Hilfe des Stichprobenanteils P zum
Signifikanzniveau  getestet werden.
Wie lautet die Entscheidungsregel zu diesem Test?
Die Nullhypothese wird abgelehnt , falls
A: P > 0 + z 0  (1  0 ) / n
B: P > 0  z 0  (1  0 ) / n
C: P < 0 + z 0  (1  0 ) / n
D: P < 0  z 0  (1  0 ) / n
E: P > 0 + z P  (1  P) / n
F: P > 0  z P  (1  P) / n
G: P < 0 + z P  (1  P) / n
H: P < 0  z P  (1  P) / n
29
Für eine (  ;  ) – normalverteilte Zufallsvariable mit  und 
unbekannt soll anhand des Stichprobenmittels X und der
Stichprobenstandardabweichung S aus einer Stichprobe vom Umfang
n ein Konfidenzintervall für  zum Sicherheitsgrad 1   ermittelt
werden.
Welche Aussage über das Konfidenzintervall für  ist richtig?
A: Die Lage des Konfidenzintervalls ist zufallsabhängig.
B: Die Länge des Konfidenzintervalls ist zufallsabhängig.
Der Mittelpunkt des realisierten Konfidenzintervalls ist
C: 
D: X .
Die Länge des realisierten Konfidenzintervalls hängt in direkter
Form ab von
E: 
F: X
G: 
H: S
I: n .
30
Auf dem Gesamtexperiment „Gleichzeitiges Werfen von drei
fairen Spielwürfeln“ definiert man die Zufallsvariable
X = „Absolute Häufigkeit für die Ausprägung 6“.
Das Gesamtexperiment soll 216 mal durchgeführt werden und anhand
der dabei registrierten Beobachtungen die Nullhypothese
H0 : „ X ist binomialverteilt mit Parametern n = 3 und  = 1/6 “
getestet werden.
Bei den 216 Durchführungen beobachtet man die folgende
Häufigkeitstabelle:
Ausprägung xi
beobachtete Häufigkeit
0
100
1
100
2
10
3
6
Summe
216
Welchen Wert besitzt die Prüfgröße des 2-Anpassungstests?
A: 3,00
F: 18,25
B: 3,20
G: 27,20
C: 3,80
H: 28,80
D: 4,80 E: 12,50
I: 31,20 K: 40,00
31
Die Nullhypothese H0 :  = 0 soll zum Signifikanzniveau  = 5%
getestet werden.
Welche der folgenden Aussagen über die Bedeutung von  ist richtig?
Vor der Testdurchführung ist  die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass die Nullhypothese H0 :  = 0
A: verworfen wird
B: verworfen wird, wenn  = 0 ist.
C: nicht verworfen wird.
D: nicht verworfen wird, wenn  = 0 ist.
E: gilt.
F: nicht gilt.
Nach der Testdurchführung ist  die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass die Testentscheidung
G: richtig ist
H: falsch ist.
32
In einer Stadt erscheinen die beiden Zeitungen „Morgenpost“ und
„Abendblatt“. Um zum Signifikanzniveau 10% die Vermutung nachzuweisen,
dass das „Abonnieren von Morgenpost“ und das „Abonnieren von
Abendblatt“ abhängige Merkmale sind, werden in der Stadt 100 Haushalte
zufällig ausgewählt. Dabei ergab sich folgende Kontingenztabelle:
Abonnieren
Abonnieren von Abendblatt
von Morgenpost
JA
NEIN
Summe
JA
14
26
40
NEIN
36
24
60
Summe
50
50
100
Aus der Tabelle errechnet sich die mittlere quadratische Kontingenz zu
K2 = 0,06.
Welche der folgenden Aussagen über den Chi-QuadratUnabhängigkeitstest zum Signifikanzniveau 10% ist richtig?
A: Die Voraussetzungen zur Anwendbarkeit des Tests sind erfüllt.
Der Ablehnungsbereich zum Signifikanzniveau 10% ist gegeben durch
B: ( 2,706 ;  ) C: ( 3,841 ;  )
D: (9,488 ;  ) E: ( 11,070 ;  )
Die Prüfgröße hat den Wert
F: 0,06
G: 6
H: 0,12
I: 12
Die Testentscheidung zum Signifikanzniveau 10% lautet:
K: Die Unabhängigkeit der beiden Merkmale ist nachgewiesen.
L: Die Abhängigkeit der beiden Merkmale ist nachgewiesen.
M: Die Unabhängigkeit der beiden Merkmale ist widerlegt.
N: Die Abhängigkeit der beiden Merkmale ist widerlegt.
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