¨Ubung zur Vorlesung Statistik I WS 2014

Übung zur Vorlesung Statistik I
WS 2014-2015
Übungsblatt 8
8. Dezember 2014
Aufgabe 25 (2 Punkte): Seien X und Y zwei unabhängige Zufallsvariablen
mit Erwartungswert 0 und Varianz 1.
Zeigen Sie, dass Z1 = X + Y und Z2 = X − 2Y nicht unabhängig sind.
Lösung: Es gilt
Var(Z1 + Z2 ) = Var(2X − Y ) = 4Var(X) + Var(Y ) = 5
Anderseits gilt Var(Z1 ) = Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) = 2 und Var(Z2 ) =
Var(X) + 4Var(Y ) = 5. Es gilt also Var(Z1 + Z2 ) 6= Var(Z1 ) + Var(Z2 ). Z1 und
Z2 können daher nicht unabhängig sein.
Aufgabe 26 (4 Punkte):
A
Erstellen Sie Stabdiagramme (Argument type=’h’ in plot) der Binomialverteilung für p = 0.3 und n = 10, 100.
B
Bestimmen Sie die Ablehnungsbereiche A10 und A100 für die zweiseitige
Nullhypothese H0 : p = 0.3 (n = 10, 100). Das Signifikanzniveau sei
α = 0.1.
C
Sei p1 = 0.4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine binomialverteilte Zufallsvariable X ∼ B(p1 , n) Werte in den Ablehnungsbereichen
A10 bzw. A100 annimmt?
D
Bestimmen Sie die Ablehnungsbereiche für die einseitige Nullhypothese
H0 : p ≤ 0.3 (n = 10, 100). Das Signifikanzniveau sei α = 0.1.
Lösung:
>
>
>
+
+
+
p <- 0.3
n <- 10
plot(x=0:n,dbinom(0:n,size=n,prob=p),
main="Binomialverteilung mit n=10 und p=0.3",
type="h",
xlab="k", ylab="Wahrscheinlichkeit")
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Binomialverteilung mit n=10 und p=0.3
Wahrscheinlichkeit
A
0
2
4
6
8
10
k
>
>
>
+
+
+
p <- 0.3
n <- 100
plot(x=0:n,dbinom(0:n,size=n,prob=p),
main="Binomialverteilung mit n=100 und p=0.3",
type="h",
xlab="k", ylab="Wahrscheinlichkeit")
0.06
0.04
0.00
0.02
Wahrscheinlichkeit
0.08
Binomialverteilung mit n=100 und p=0.3
0
20
40
60
k
B
Die untere Ablehnungsgrenze für n = 10 ist
>
>
>
>
>
alpha <- 0.1
n <- 10
p <-0.3
A1 <- qbinom(alpha/2,n,p) - 1
A1
[1] 0
Die obere Grenze
>
>
>
>
>
alpha <- 0.1
n <- 10
p <-0.3
A2 <- qbinom(1-alpha/2,n,p) +1
A2
[1] 6
Probe:
80
100
> pbinom(A1,n,p) # P(X<=A1)
[1] 0.02824752
> pbinom(A1+1,n,p) # P(X<=A1+1)
[1] 0.1493083
> 1-pbinom(A2-1,n,p) # P(X>=A2)
[1] 0.04734899
> 1-pbinom(A2-2,n,p) # P(X>=A2-1)
[1] 0.1502683
Der Ablehnungsbereich A10 zerfällt daher in den unteren Bereich A10,u =
{0} und den oberen Bereich A10,o = {6, . . . , 10}.
Für n = 100 gilt ganz entsprechend:
>
>
>
>
>
alpha <- 0.1
n <- 100
p <-0.3
A1 <- qbinom(alpha/2,n,p) - 1
A1
[1] 22
und
>
>
>
>
>
alpha <- 0.1
n <- 100
p <-0.3
A2 <- qbinom(1-alpha/2,n,p) +1
A2
[1] 39
Probe:
> pbinom(A1,n,p) # P(X<=A1)
[1] 0.04786574
> pbinom(A1+1,n,p) # P(X<=A1+1)
[1] 0.07553077
> 1-pbinom(A2-1,n,p) # P(X>=A2)
[1] 0.033979
> 1-pbinom(A2-2,n,p) # P(X>=A2-1)
[1] 0.05304559
Der Ablehnungsbereich A100 zerfällt daher in den unteren Bereich A100,u =
{0, . . . , 22} und den oberen Bereich A100,o = {39, . . . , 100}.
C
Für n = 10 gilt
> pbinom(0,10,0.4) + 1 - pbinom(5,10,0.4)
[1] 0.1722852
Für n = 100 gilt
> pbinom(22,100,0.4) + 1 - pbinom(38,100,0.4)
[1] 0.6179195
D
Hier gibt es nur einen oberen Bereich:
>
>
>
>
>
n <- 10
p <- 0.3
alpha <- 0.1
A <- qbinom(1-alpha,n,p)+1
A # n=10
[1] 6
> n <- 100
> A <- qbinom(1-alpha,n,p)+1
> A # n=100
[1] 37
Aufgabe 27 (4 Punkte): Es soll geprüft werden, ob eine Münze fair ist. Dazu
wird sie n = 1000 mal geworfen. Die Anzahl der Würfe mit Kopf sei k = 450.
A
Formulieren Sie eine geeignete Nullhypothese H0 .
B
Berechnen Sie den P-Wert P für diese Nullhypothese.
C
Auf welchen der Signifikanzniveaus α = 0.1, 0.05, 0.01, 0.001 kann H0
abgelehnt werden?
D
Bestimmen Sie das größte k ≤ 500 für das die H0 auf dem Niveau von
10% abgelehnt werden kann.
Lösung:
A
Faire Münze bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für Kopf bei jedem
Wurf genau p = 0.5 beträgt. Die Nullhypothese ist daher
H0 : p = 0.5.
B
>
>
>
>
>
n
p
k
P
P
<<<<-
1000
0.5
450
2*pbinom(k,n,p)
[1] 0.001730536
C
H0 kann auf α = 0.1, 0.05, 0.01 nicht jedoch auf α = 0.001 abgelehnt
werden.
D
> k <- qbinom(0.05,1000,0.5)-1
> k
[1] 473
Probe:
> 2* pbinom(k,1000,0.5)
[1] 0.09368729
> 2* pbinom(k+1,1000,0.5)
[1] 0.1067495
Aufgabe 28 (6 Punkte): In einer Medikamentenstudie werden zunächst n1 =
10 Patienten in eine Studie eingeschlossen und mit einem neuen Heilmittel
behandelt. Werden von den 10 Patienten nur k1 = 3 oder weniger geheilt, dann
wird die Studie abgebrochen und die einseitige Nullhypothese H0 : p ≤ 0.4
beibehalten. p sei die für alle Patienten gleiche Heilungswahrscheinlichkeit.
Werden mehr als k1 = 3 Patienten geheilt, dann werden weitere n2 = 20
Patienten in die Studie eingeschlossen. Werden schließlich von den insgesamt
n = n1 + n2 = 30 Patienten k = 16 oder mehr Patienten geheilt, dann wird
die Nullhypothese abgelehnt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die H0 verworfen wird, obwohl p =
0.4 gilt (Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art).
Hinweis: Dieses Studiendesign heißt Simon’s Design und wird oft in Studien für Heilmittel mit schweren Nebenwirkungen eingesetzt. Es erlaubt einen
vorzeitigen Abbruch (hier schon nach der Behandlung von nur 10 Patienten).
Dadurch wird erreicht, dass ein wirkungsloses Medikament nur an möglichst
wenig Patienten getestet wird.
Lösung: Die H0 wird verworfen, wenn von den ersten 10 Patienten k1 =
4, . . . , 10 geheilt werden und dann von den zusätzlich 20 Patienten noch mindestens 16 − k1 :
!
20
10
X
X
b(k1 , n1 , p) ∗
b(k2 , n2 , p)
k1 =4
k2 =16−k1
Setzt man in diesem Ausdruck p = 0.4, n1 = 10 und n2 = 20 ein, erhält man
die gesuchte Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art.
> sum(dbinom(4:10,10,0.4)*(1-pbinom(16-(4:10)-1,20,0.4)))
[1] 0.091687
Schicken Sie Ihre Lösung bis spätestens Sonntag, den 14.12.2014 direkt an
Ihre(n) Tutor(in).