Blatt 9 - Institut für Mathematik

Prof. Dr. N. Kistler
Dr. T. Hirscher
Institut für Mathematik
21. Dezember 2016
9. Übungsblatt zur Vorlesung
Höhere Stochastik
Hausübung
Aufgabe 41. Das Intervall
[0,1]
werde auf folgende Weise zufällig in drei Teile
zerlegt: Zunächst wählt man einen auf
[0,1]
gleichverteilten Teilungspunkt
X
und
zerlegt danach das gröÿere Teilintervall erneut durch einen (auf diesem Teilintervall
Y.
gleichverteilten) Teilungspunkt
Es sei
A
das Ereignis, dass sich aus den drei Teilstücken ein Dreieck konstruie-
ren lässt. Geben Sie ein passendes wahrscheinlichkeitstheoretisches Modell an, und
berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
Hinweis: Nach der Turmeigenschaft gilt
A.
E (1A ) = E E [1A | X] .
(10 Punkte)
Im Folgen seien stets
Algebra von
(Ω,A, P)
ein Wahrscheinlichkeitsraum und
F
eine Unter-σ -
A.
Aufgabe 42. Es seien
X, Y ∈ L1 (Ω,A,P)
und
Y
zusätzlich
F -messbar.
Beweisen
Sie folgende Aussagen:
Z
(a)
Z
Y dP ≤
F
(b)
X dP ∀ F ∈ F ⇒ Y ≤ E [X | F].
F
Y ist eine Version von E [X | F]
⇔ E (Y Z) = E (XZ) für alle F -m.b.
Zufallsvariablen
mit
E ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem
E X = E Y sowie
Z
Z
Y dP =
X dP für alle E ∈ E,
(c) Es sei weiter
Gilt
Z
E
so ist
Y
eine Version von
E
E [X | F].
(10 Punkte)
E |XZ| < ∞.
von
F.
Aufgabe 43. Es sei
X ∈ L2 (Ω, A, P).
Die
bedingte Varianz von
X
gegeben
F
ist
deniert durch
var[X | F] := E (X − E [X | F])2 | F .
Zeigen Sie:
(a)
E [X | F] ist die orthogonale Projektion von X auf L2 (Ω, F, P), d.h.
Y ∈ L2 (Ω, F, P) gilt
E (X − Y )2 ≥ E (X − E [X | F])2 = E (var[X | F]).
mit Gleichheit genau dann, wenn
für jedes
Y = E [X | F].
Bemerkung: Daher sind bedingte Erwartungen im
L2 -Sinn
die beste Approxi-
mation bei partieller Information.
(b) Wie für die gewöhnliche Varianz gilt die Rechenregel
var[X | F] = E [X 2 | F] − E [X | F]2 .
(c) Zudem gilt zwischen den beiden folgende Beziehung:
var(X) = E var[X | F] + var E [X | F] .
(d) Für alle Unter-σ -Algebren
F
A gilt: var E [X | F] ≤ var(X).
X gilt die Gleichheit?
von
Unter welcher Voraussetzung an
Y ∈ L2 (Ω, A, P) eine weitere
onskoezienten von X und Y , d.h.
(e) Es bezeichne
Zufallsvariable und
ρ
den Korrelati-
Cov(X,Y )
.
ρ= p
var(X) · var(Y )
Weisen Sie mit Hilfe der
Cauchy-Schwarz-Ungleichung nach, dass dann gilt:
E var[X | Y ] ≤ (1 − ρ2 ) var(X).
(20 Punkte)
Aufgabe 44
Es seien
(Jensensche Ungleichung für bedingte Erwartungswerte).
X ∈ L1 (Ω, A, P) und φ : R → R eine konvexe Funktion mit E |φ(X)| < ∞.
Dann gilt:
φ E[X | F] ≤ E [φ(X) | F].
(a) Beweisen Sie diese Ungleichung, indem Sie die Denition bedingter Erwartungswerte verwenden.
Hinweis: Zu einer konvexen Funktion
menge
A ⊂ R2
φ : R → R gibt es
x ∈ R:
mit der Eigenschaft dass für alle
φ(x) = sup{a + bx | (a,b) ∈ A}.
eine abzählbare Teil-
(b) Zeigen Sie, dass
E [ · | F]
eine (schwache) Kontraktion auf
L1 (Ω,A,P)
(10 Punkte)
Wir wünschen Ihnen fröhliche Weihnachtstage
und einen guten Start ins Jahr 2017!
Abgabe der Hausübungen am 18. Januar 2017 zu Beginn der Übung.
ist.