1 Die Häufigkeitsverteilung des zu versteuernden Einkommens von Steuerpflichtigen X eines Finanzamtes ist für das Jahr 2005 in folgendem Histogramm dargestellt. Außer den in die Säulen eingetragenen relativen Klassenhäufigkeiten ist zusätzlich bekannt, dass der Median der Verteilung xmed = 20 Tsd.€ beträgt. Welchen Wert hat die Klassenobergrenze g? A: 10 F: 25 B: 14 G: 28 C: 19 H: 31 D: 21 I: 33 E: 23 K: 40 Welchen Wert hat die relative Häufigkeitsdichte h? L: 0,001 S: 0,03 M: 0,002 T: 0,035 N: 0,01 W: 0,04 P: 0,02 X: 0,045 R: 0,025 Y: 0,05 2 Für zwei metrisch skalierte Merkmale X und Y liegen N Zahlenpaare (xi, yi); i = 1, ..., N; vor. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? A: Hat der Betrag des Pearson'schen Korrelationskoeffizienten den Wert 1, dann liegen alle Zahlenpaare (xi , yi) exakt auf einer Geraden. B: Falls alle Zahlenpaare (xi, yi) exakt auf einer Geraden liegen, dann hat der Betrag des Pearson'schen Korrelationskoeffizienten den Wert 1. C: Hat der Betrag des Spearman'schen Rangkorrelationskoeffizienten den Wert 1, dann liegen alle Zahlenpaare (xi ,yi) exakt auf einer Geraden. D: Falls alle Zahlenpaare (xi ,yi) exakt auf einer Geraden liegen, dann hat der Betrag des Spearman'schen Korrelationskoeffizienten den Wert 1. 3 An der geraden Hauptstraße einer Fabrik liegen 4 Werkshallen W1 bis W4. Es soll ein neues Zentrallager gebaut werden, das täglich von allen 100 Arbeitern aufgesucht wird. Es wird vorgeschlagen, die Summe der zurückgelegten Wegstrecken zu minimieren. Wo ist das Zentrallager zu errichten? von A: 1 F: 12 D: 10 I: 16,5 B: 3,5 G: 13 C: 9 H: 14 allen Arbeitern E: 11 K: 20 Nach einem alternativen Vorschlag soll das Lager so positioniert werden, dass die Summe der Quadrate der von allen Arbeitern zurückgelegten Wegstrecken minimal ist. Wo liegt in diesem Fall das Zentrallager? L: 1 S: 12 M: 3,5 T: 13 N: 9 V: 14 P: 10 W: 16,5 R: 11 X: 20 4 Gegeben seien folgende Altersangaben über die fünf Bewohner einer Seniorenresidenz: Person i 1 2 3 4 5 Alter xi [Jahre] 83 87 96 99 100 Für die Summe der Quadrate der Abweichungen der Alterswerte xi von 5 ihrem arithmetischen Mittel μx gilt: x i x i 1 2 230 . Welchen Wert hat die Varianz der xi? A: 40 B: 42 C: 46 D: 48 E: 50 Zu den fünf Bewohnern kommt noch ein 93-Jähriger hinzu. Welche Veränderungen der Altersverteilung der Bewohner treten dadurch ein? F: Das arithmetische Mittel sinkt. H: Die Varianz sinkt. K: Die Spannweite sinkt. G: Das arithmetische Mittel steigt. I: Die Varianz steigt. L: Die Spannweite bleibt gleich. 5 Der Paasche Preisindex (Basis 2001) einer Volkswirtschaft habe sich wie folgt entwickelt: Jahr 2001 2002 2003 2004 2005 Index 100 120 123 125 150 Ein Unternehmen habe folgende Umsätze erzielt: Jahr 2001 2002 2003 2004 2005 Umsatz 1000 1500 2000 3500 4500 Der in Bezug auf das Basisjahr preisbereinigte Umsatz des Jahres 2005 beträgt in diesem Fall: A: 4500 B: 3750 C: 3659 D: 3600 E: 3000 Ein geeigneter Index, um die Mengenänderung von 2001 nach 2005 zu erfassen, hat dann folgenden Wert: F: 150 G: 200 H: 250 I: 300 K: 350 Die berechnete Mengenänderung entspricht dem Mengenindex nach L: Paasche. M: Laspeyres. 6 Für die Handelsvolumina von Aktien an einer Börse soll die „Saisonalität“ des Freitags im Vergleich zu anderen Werktagen untersucht werden. Die Handelsvolumina und die zugehörigen Trendwerte als gleitende Durchschnitte zur Gliederzahl 5 sind für 4 Freitage eines Monats gegeben: Freitag 1 2 3 4 Handelsvolumen 1000 1200 1100 1300 Trend 1500 1400 1500 1400 Für die Zeitreihenkomponenten gilt das additive Modell. Welche Aussage zur demnach ermittelten Saisonkomponente trifft zu? A: Sie ist identisch für alle 4 Freitage. B: Sie unterscheidet sich für die 4 Freitage. Die ermittelte Saisonkomponente für den zweiten Freitag beträgt: C: 100 D: 100 E: 200 F: 200 G: 300 H: 300 7 Für den Energiemarkt liegen folgende Daten bezüglich der Jahresgewinne (in Mio. €) der drei Unternehmen U1, U2 und U3 vor: Jahr Unternehmen 2005 2006 U1 1.000 1.000 U2 4.000 3.000 U3 5.000 6.000 Summe 10.000 10.000 Welche der folgenden Aussagen über die Entwicklung der Konzentration von 2005 nach 2006 ist richtig? Die relative Konzentration Die absolute Konzentration A: steigt. D: steigt. B: fällt. E: fällt. C: bleibt konstant. F: bleibt konstant. 8 Gegeben sind folgende Datenpaare (xi , yi) für Alter [Jahre] und Preis [1000Euro] von fünf Gebrauchtwagen: 1 2 3 4 5 xi 7 5 6 4 3 yi 3 7 5 9 11 Weiterhin ist bekannt: 5 2 xi x i 1 10 und 5 yi y i1 2 40 . Bestimmen Sie die Ausgleichsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate. Welchen Wert haben Steigung und Achsenabschnitt? A: Steigung = 2 C: Steigung = 3 E: Achsenabschnitt = 17 B: Steigung = +2 D: Steigung = +3 F: Achsenabschnitt = 15 Welchen Wert nimmt die Ausgleichsgerade für x = 8 an? G: 5 H: 3 I: 1 K: 1 L: 3 M: 5 9 Bei einem Zufallsexperiment werden die beiden Ereignisse U und V betrachtet. Für diese gilt: W( U V ) = 0,8 ; W(U V ) = 0,9 ; W( U V ) = 0,4 . Welchen Wert besitzt W( U V ) ? A: 0,1 F: 0,6 B: 0,2 G: 0,7 C: 0,3 H: 0,8 D: 0,4 I: 0,9 E: 0,5 10 Ein Hersteller liefert Zweierpackungen eines Produktes. Für jede Packung mit mindestens einem fehlerhaften Stück muss er den Kaufpreis zurückerstatten. Die Herstellung einer Zweierpackung kostet 2,00 Euro. Die Wahrscheinlichkeit für die Produktion eines fehlerfreien Stücks beträgt 0,90. Welchen Preis muss der Hersteller verlangen, um einen erwarteten Gewinn pro Zweierpackung von 0,43 Euro zu erzielen? A: 2,25 G: 5,00 B: 2,50 H: 5,50 C: 3,00 I: 6,00 D: 3,50 K: 6,50 E: 4,00 L: 7,00 11 F: 4,50 M: 7,50 In einer Grundgesamtheit von N Einkommensbeziehern sei das arithmetische Mittel und 2 > 0 die Varianz der Einkommenswerte. Für eine Stichprobe vom Umfang n sei das Stichprobenmittel der Einkommen beim - Ziehen mit Zurücklegen mit X m(n) - Ziehen ohne Zurücklegen mit X O(n) bezeichnet. Welche der folgenden Aussagen ist für n = N richtig? A: E X m(N) = C: X m(N) = E: var X m(N) = 0 B: E X O(N) = D: X O(N) = F: var X O(N) = 0 12 In einer Schublade liegen 5 braune und 4 blaue Strümpfe. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei zufällig (ohne Zurücklegen) herausgezogene Strümpfe von gleicher Farbe sind? A: C: (5/9)(4/8) = 5/18 1/5 +1/4 = 9/20 5 4 2 2 E: 9 2 B: (5/9)(4/8) + (4/8)(5/9) = 5/9 D: (5/9)(4/8) + (4/9)(3/8) = 4/9 7 9 2 F: 2 9 9 2 7 13 In einer Goldmine streut der Goldgehalt des Golderzes um den Erwartungswert 3,0 g/to mit der Standardabweichung 1 g/to. In der Mine kann pro Tag Gold aus 100 to Erz gewonnen werden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit beträgt dann die Tagesausbeute höchstens 295 g? A: 0,0062 F: 0,6915 14 F(x) B: 0,0228 G: 0,8413 C: 0,0668 H: 0,9332 D: 0,1587 I: 0,9772 E: 0,3085 K: 0,9938 Eine diskrete Zufallsvariable X besitze die Verteilungsfunktion F(x): 0, falls x 1 1/ 3, falls 1 x 1 2 / 3, falls 1 x 3 1, falls 3x Welche der folgenden Aussagen ist richtig? A: W( X < 2 ) = 2/3 D: W( X < 3 ) = 2/3 G: W( X 3 ) = 1/3 B: W( X = 2 ) = 0 E: W( X 3 ) = 2/3 H: W( X > 3 ) = 0 C: W( X 2 ) = 2/3 F: W( X 3 ) = 1 I: W( X 3 ) = 2/3 15 Die Zufallsvariable X sei binomialverteilt mit EX = 2 und var X = 1. Welchen Wert besitzt W( X = 4 )? A: 1/16 G : 7/16 16 B: 2/16 H: 8/16 C: 3/16 I: 9/16 D: 4/16 K: 10/16 E: 5/16 L: 11/16 F: 6/16 M: 12/16 Die Zufallsvariable X besitze folgende Wahrscheinlichkeitstabelle: xi 1 2 3 W( X = xi ) 0,25 0,50 0,25 1 Welche der nachstehenden Aussagen gilt dann? A: B: C: D: E( X 2 ) = EX 2 E( X 2 )2 = ( EX 2 )2 E X2 = ( E X )2 E( 1 / X ) = 1/ EX E: F: G: H: var X = E( X 2 )2 var( X 2 ) = var X 2 var( X 2 ) = var X var( X 2 ) = E( X 2 )2 17 Welche der folgenden Aussagen über eine stetige Zufallsvariable X ist richtig? A: B: C: D: E: Die Werte der Dichtefunktion liegen im Intervall [ 0 ; 1 ]. Die Werte der Verteilungsfunktion liegen im Intervall [ 0 ; 1 ]. Für jede reelle Zahl x0 gilt : W( X = x0 ) = 0. Für jede reelle Zahl x0 ist das Ereignis { X = x0 } unmöglich. Es gibt reelle Zahlen x0 , die mit positiver Wahrscheinlichkeit angenommen werden. F: Der Funktionswert der Dichte stellt für jede reelle Zahl x0 eine Wahrscheinlichkeit dar. G: Der Funktionswert der Verteilungsfunktion stellt für jede reelle Zahl x0 eine Wahrscheinlichkeit dar. 18 Ein Lebensmittelhersteller füllt Nüsse in Beutel ab. Das Füllgewicht G eines Beutels sei normalverteilt mit Erwartungswert = 200 g und Standardabweichung = 2 g. Wie groß muss der Stichprobenumfang n gewählt werden, damit für das Stichprobenmittel G gilt: W ( G 0,5 g) = 0,9876 ? A: 36 F: 121 L: 256 19 B: 49 G: 144 M: 289 C: 64 H: 169 N: 324 D: 81 I: 196 P: 361 E: 100 K: 225 R: 400 U und V seien zwei Ereignisse mit W(U) > 0 und W(V) > 0. Welche der folgenden Aussagen sind dann richtig? Sind U und V unabhängig, dann gilt: A: B: C: D: U und V sind unvereinbar. U und V sind nicht disjunkt. W( U V ) = W( U ) W( V ) W( U V ) = 0 Sind U und V unvereinbar, dann gilt: E: F: G: H: U und V sind unabhängig. U und V sind abhängig. W( U V ) = W( U ) W( V ) W( U V ) = 0 20 (X1, X2, ... , Xn ) sei eine Stichprobe aus der Bernoulli-Verteilung mit Parameter . X sei das Stichprobenmittel. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? A: E Xi = D: E X = B: E Xi2 = C: E Xi2 = 2 n F: E( Xi ) = n E: E X = n i 1 n G: var( Xi ) = n(1 ) i 1 n H: var( Xi ) = (1 ) / n i 1 21 Eine Multiple-Choice-Klausur besteht aus 64 Aufgaben mit jeweils fünf vorgegebenen Antworten, von denen stets genau eine richtig ist. Wenn ein Teilnehmer signifikant (Signifikanzniveau 5,48%) mehr Aufgaben löst, als man bei zufälligem Raten erwarten kann, dann besteht er die Klausur. Wie groß ist die zum Bestehen der Klausur nötige Mindestanzahl richtig gelöster Aufgaben. A: 16 E: 20 B: 17 F: 21 C: 18 G: 22 D: 19 H: 23 22 Der Anteil der Abiturienten eines Jahrgangs, die unmittelbar nach dem Abitur ein Studium aufnehmen wollen, soll durch den entsprechenden Stichprobenanteil in einer Zufallsstichprobe geschätzt werden. Dabei kann angenommen werden, dass 30% ist. Wie groß muss dann beim Sicherheitsgrad 0,9974 der Stichprobenumfang mindestens gewählt werden, damit der gesuchte Anteil bis auf 3 Prozentpunkte genau geschätzt werden kann? A: 1600 E: 2700 B: 1800 F: 3000 C: 2100 G: 3300 D: 2400 H: 3600 23 Für die Abhängigkeit der Konsumausgaben C vom Einkommen y eines Haushaltes werde das einfache lineare Regressionsmodell C = 0 +1y + U unterstellt. Welche der folgenden Aussagen über das Modell ist richtig? A: Das Einkommen wird im Modell als Zufallsvariable vorausgesetzt. B: Weil y eine Zufallsvariable ist, ist auch C ein Zufallsvariable. C: Bei einem Einkommen y errechnen sich die Konsumausgaben aus 0 +1y + U . D: Bei einem Einkommen y werden Konsumausgaben in Höhe von 0 +1y erwartet. E: Bei Erhöhung des Einkommens um 100 steigen die Konsumausgaben um 100 1. F: Bei Erhöhung des Einkommens um 100 ist eine Steigerung der Konsumausgaben um 100 1 zu erwarten. 24 Für das einfache lineare Regressionsmodell Y = 0 + 1x + U wurde aufgrund der nachstehenden Daten die Ausgleichsgerade y(x) = 3 + 0,8x ermittelt. i xi yi 1 2 5 2 4 6 3 5 7 4 6 7 5 8 10 Welcher Schätzwert ergibt sich anhand der Formeln der Formelsammlung für die Varianz von U? A: 0,20 G: 1,20 B: 0,024 H: 1,50 C: 0,30 I: 1,80 D: 0,40 K: 2,00 E: 0,60 L: 2,40 F: 1,00 M: 3,00 25 Eine Warentest-Zeitschrift untersuchte auf Stichprobenbasis Haushaltsgeräte einer bestimmten Produktionsserie. Nach Abschluss der Untersuchungen wurden folgende Resultate veröffentlicht: Beobachteter Anteil defekter Stücke: 0,2 Konfidenzintervall zum Sicherheitsgrad 0,9544 für die Gesamtzahl defekter Stücke in der Produktionsserie: [ 32 000 ; 48 000 ]. Wie groß war der Umfang der Produktionsserie? A: 100 000 D: 300 000 B: 200 000 E: 400 000 C: 250 000 F: 500 000 Wie groß war der Stichprobenumfang? G: 100 L: 900 H: 225 M: 1225 I: 400 N: 1600 K: 625 26 Die Nullhypothese „Die durchschnittliche Studiendauer in einer Fachrichtung beträgt 12 Semester“ soll zum Signifikanzniveau 3,58% getestet werden. Aus einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 81 errechnete man zum Sicherheitsgrad 96,42% für die durchschnittliche Studiendauer das Konfidenzintervall [ 11,50 ; 12,20 ]. Welche Aussage über den zugehörigen Test ist richtig? A: Der Wert der normierten Prüfgröße ist anhand der obigen Angaben nicht bestimmbar. B: C: D: E: F: Der Ablehnungsbereich ist ( ; 2,1 ) ( 2,1 ; ) . Die normierte Prüfgröße fällt nicht in den Ablehnungsbereich. Die Nullhypothese wird verworfen. Das Stichprobenmittel ist verträglich mit der Nullhypothese. Das Stichprobenmittel weicht signifikant vom hypothetischen Wert ab. 27 Durch einfache Zufallsauswahl ohne Zurücklegen aus den Angestellten einer Branche soll das Durchschnittsgehalt anhand des Stichprobenmittels X geschätzt werden. Welche der folgenden Eigenschaften trifft auf X zu? X ist eine erwartungstreue Schätzfunktion für . Bei Vollerhebung gilt var X = 0. Bei Vollerhebung gilt X = . Nur bei Vollerhebung kann X mit übereinstimmen. var X ist umso kleiner, je größer der Stichprobenumfang ist. var X ist umso kleiner, je kleiner die Streuung der Gehälter in der Branche ist. G: var X ist umso kleiner, je kleiner die Streuung der Gehälter in der Stichprobe ist. A: B: C: D: E: F: 28 Die Nullhypothese H0 : 0 soll anhand einer Stichprobe vom Umfang n > 50 mit Hilfe des Stichprobenanteils P zum Signifikanzniveau getestet werden. Wie lautet die Entscheidungsregel zu diesem Test? Die Nullhypothese wird abgelehnt , falls A: P > 0 + z 0 (1 0 ) / n B: P > 0 z 0 (1 0 ) / n C: P < 0 + z 0 (1 0 ) / n D: P < 0 z 0 (1 0 ) / n E: P > 0 + z P (1 P) / n F: P > 0 z P (1 P) / n G: P < 0 + z P (1 P) / n H: P < 0 z P (1 P) / n 29 Für eine ( ; ) – normalverteilte Zufallsvariable mit und unbekannt soll anhand des Stichprobenmittels X und der Stichprobenstandardabweichung S aus einer Stichprobe vom Umfang n ein Konfidenzintervall für zum Sicherheitsgrad 1 ermittelt werden. Welche Aussage über das Konfidenzintervall für ist richtig? A: Die Lage des Konfidenzintervalls ist zufallsabhängig. B: Die Länge des Konfidenzintervalls ist zufallsabhängig. Der Mittelpunkt des realisierten Konfidenzintervalls ist C: D: X . Die Länge des realisierten Konfidenzintervalls hängt in direkter Form ab von E: F: X G: H: S I: n . 30 Auf dem Gesamtexperiment „Gleichzeitiges Werfen von drei fairen Spielwürfeln“ definiert man die Zufallsvariable X = „Absolute Häufigkeit für die Ausprägung 6“. Das Gesamtexperiment soll 216 mal durchgeführt werden und anhand der dabei registrierten Beobachtungen die Nullhypothese H0 : „ X ist binomialverteilt mit Parametern n = 3 und = 1/6 “ getestet werden. Bei den 216 Durchführungen beobachtet man die folgende Häufigkeitstabelle: Ausprägung xi beobachtete Häufigkeit 0 100 1 100 2 10 3 6 Summe 216 Welchen Wert besitzt die Prüfgröße des 2-Anpassungstests? A: 3,00 F: 18,25 B: 3,20 G: 27,20 C: 3,80 H: 28,80 D: 4,80 E: 12,50 I: 31,20 K: 40,00 31 Die Nullhypothese H0 : = 0 soll zum Signifikanzniveau = 5% getestet werden. Welche der folgenden Aussagen über die Bedeutung von ist richtig? Vor der Testdurchführung ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese H0 : = 0 A: verworfen wird B: verworfen wird, wenn = 0 ist. C: nicht verworfen wird. D: nicht verworfen wird, wenn = 0 ist. E: gilt. F: nicht gilt. Nach der Testdurchführung ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Testentscheidung G: richtig ist H: falsch ist. 32 In einer Stadt erscheinen die beiden Zeitungen „Morgenpost“ und „Abendblatt“. Um zum Signifikanzniveau 10% die Vermutung nachzuweisen, dass das „Abonnieren von Morgenpost“ und das „Abonnieren von Abendblatt“ abhängige Merkmale sind, werden in der Stadt 100 Haushalte zufällig ausgewählt. Dabei ergab sich folgende Kontingenztabelle: Abonnieren Abonnieren von Abendblatt von Morgenpost JA NEIN Summe JA 14 26 40 NEIN 36 24 60 Summe 50 50 100 Aus der Tabelle errechnet sich die mittlere quadratische Kontingenz zu K2 = 0,06. Welche der folgenden Aussagen über den Chi-QuadratUnabhängigkeitstest zum Signifikanzniveau 10% ist richtig? A: Die Voraussetzungen zur Anwendbarkeit des Tests sind erfüllt. Der Ablehnungsbereich zum Signifikanzniveau 10% ist gegeben durch B: ( 2,706 ; ) C: ( 3,841 ; ) D: (9,488 ; ) E: ( 11,070 ; ) Die Prüfgröße hat den Wert F: 0,06 G: 6 H: 0,12 I: 12 Die Testentscheidung zum Signifikanzniveau 10% lautet: K: Die Unabhängigkeit der beiden Merkmale ist nachgewiesen. L: Die Abhängigkeit der beiden Merkmale ist nachgewiesen. M: Die Unabhängigkeit der beiden Merkmale ist widerlegt. N: Die Abhängigkeit der beiden Merkmale ist widerlegt.