1.3.3. Logarithmen und Logarithmusfunktionen DEF: Die Gleichung

1.3.3. Logarithmen und Logarithmusfunktionen
DEF: Die Gleichung a = b besitzt für a > 0, a  1, b > 0 genau eine reelle Zahl als Lösung. Man
bezeichnet sie als LOGARITHMUS von b zur Basis a und schreibt x = log a b .
x
 x  loga b  ax  b
Beispiel:
2x = 8  x = 3

log28 = 3
Beachte:
- Logarithmenwerte kann man nur von positiven Zahlen bestimmen, da Potenzen ax für a > 0
stets positiv sind.
- Logarithmieren und Potenzieren heben sich gegenseitig auf.
loga  a x   x und aloga b  b
Von besonderer wissenschaftlicher und praktischer Bedeutung sind die Logarithmusfunktionen
mit den Basen 10 und e sowie auch 2.
Man schreibt verkürzend:
log10 x = lgx dekadischer Logarithmus
log e x = lnx natürlicher Logarithmus
log 2 x = ldx Zweierlogarithmus
DEF: Die LOGARITHMUSFUNKTION x  log a x (a > 0; a  1) ist die Umkehrfunktion der
Exponentialfunktion x  a x . Sie ist nur für positive x-Werte definiert.
Die Funktion f(x) = lg x ist die Spiegelung der Funktion
g(x) = 10x an der Hauptwinkelhalbierenden.
Eigenschaften:
Definitionsbereich
Wertebereich
Monotonie
besondere Punkte
Asymptote
f ( x)  a x
xR
y>0
a > 1:
monoton steigend
0 < a < 1:
monoton fallend
Schnittpunkt mit der y-Achse
bei P (0; 1)
x-Achse
Es gelten die folgenden Logarithmengesetze:
loga  x  y  = loga x + log a y
lg(4,7 105 )  lg4,7  lg105  0,672  5  5,672
x
log a   = log a x - log a y
y
u
ln   lnu  lnv
v 
loga x k = k  loga x
lg(34 )  4  lg3  1,908
log a 1 = 0
log a a = 1
f (x)  log a b
x>0
yR
a > 1:
monoton steigend
0 < a < 1:
monoton fallend
Schnittpunkt mit der x-Achse
bei Q (1; 0)
y-Achse