0.1 E: Rechenschieber
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0.1
E: Rechenschieber
Rechnen mit Linealen
Um das Grundprinzip eines Rechenschiebers zu verstehen, stellen wir uns zunächst zwei
gegeneinander verschiebbare Lineare vor.
Wir bringen durch Verschiebung die beiden Zahlen d1 und d2 auf den beiden Linealen zur
Deckung:
Lesen wir nun unter d3 auf dem oberen Lineal den Wert d4 ab, so gilt:
d3 − d1 = d4 − d2
oder
d4 = d3 − d1 + d2
Speziell gilt, falls d1 = 0 ist:
d4 = d3 + d2 und d2 = d4 − d3
Sind nun auf beiden Skalen nicht die Werte di selbst abgetragen, sondern Funktionen f 1 ( x )
bzw.. f 2 ( x ), so gilt also
f 2 ( d4 ) − f 2 ( d2 ) = f 1 ( d3 ) − f 1 ( d1 )
oder
d4 = f 2−1 ( f 1 (d3 ) − f 1 (d1 ) + f 2 (d2 ))
Die allgemeine Potenzfunktion
Wir hatten für den natürlichen Logarithmus gesehen:
ln( xy) = ln( x ) + ln(y)
Es ist exp die Umkehrfunktion von ln:
ln(exp( x )) = x
für alle x ∈ R und
exp(ln( x )) = x
für alle x ∈ R>0 .
Insbesondere gilt
exp( x + y) = exp( x ) · exp(y)
Grund: Seien x, y ∈ R beliebig und x = ln( a), y = ln(b). Dann gilt:
exp( x + y) = exp(ln( a) + ln(b)) = exp(ln( ab)) = ab = exp( x ) exp(y)
Definition der allgemeinen Potenzfunktion: Für a > 0 definieren wir:
a x := exp ( x ln( a))
und
x = loga y :⇔ y = a x
Bemerkung: 1) Speziell gilt:
ln( a x ) = ln(exp( x ln( a)) = x ln( a)
2) Zwei Logarithmusfunktionen unterscheiden sich nur durch eine Multiplikative Konstante: Sei y = a x , dann ist
ln(y)
x ln( a)
=
= ln( a)
loga (y)
x
Satz:
loga ( x ) + loga (y) = loga ( xy)
loga ( x y ) = y loga ( x )
Grund: Ist x = az1 und y = az2 , so gilt:
z1 + z2 = loga ( x ) + loga (y)
und
az1 az2 = az1 +z2 also loga ( xy) = z1 + z2
Weiter gilt:
loga ( x y ) = ln( a) · ln( x y ) = y · ln( a) ln( x ) = y loga ( x )
Definition:
ld( x ) := log2 ( x )
log( x ) := log10 ( x )
Beispiel:
x
log( x )
1
2
3
0 0.301
x
10
log( x )
1
x
100
log( x )
2
20
4
6
0.477 0.602 0.699
30
1.301 1.477
200
5
300
40
50
7
500
2.301 2.477 2.602 2.699
9
10
0.778 0.845 0.903 0.954
60
70
1.602 1.699 1.778 1.845
400
8
600
700
80
90
1.903 1.954
800
2.778 2.845 2.903
1
100
2
900
1000
2.954
3
Der logarithmische Rechenschieber
Beim logarithmischen Rechenschieber sind auf beiden Skalen log( x ) aufgetragen (der Abstand vom linken Rand ist D ( x ) := log( x ))
Daher gilt:
log(d3 )−log(d1 )+log(d2 )
d4 = 10
= 10
log
d3 · d2
d1
=
d2 · d3
d1
Speziell mit d1 = 1 (also log(d1 ) = 0):
d4 = 10log(d3 )+log(d2 ) = 10log(d3 ·d2 ) = d3 d2
Logarithmische Rechenschieber können also multiplizieren
und dividieren
log
d4
d3
= log(d2 )
Definition: (Wissenschaftliche Notation von Dezimalzahlen) Jede Zahl x ∈ R≥0 läßt sich
auf eindeutige Weise schreiben als:
x = b0 .b1 b2 b3 . . . · 10k
mit b0 ∈ {1, . . . , 9} und bi ∈ {0, 1, . . . , 9}, also genau einer Ziffer 6= 0 vor dem Komma und
abschließender Verschiebung des Kommas um k Stellen nach rechts.
Anwendung: Seien x = x0 .x1 x2 . . . · 10k1 und y = y0 .y1 y2 . . . · 10k2 . Wir setzen xr := x − x0
und yr := y − yr . Dann ist
xy = ( x0 + xr ) · 10k1 · (y0 + yr ) · 10k2
= ( x0 y0 + x0 yr + y0 xr + xr yr ) · 10k1 +k2
Wegen 1 ≤ x0 , y0 ≤ 9 gilt 1 ≤ x0 y0 ≤ 81 und da zusätzlich 0 ≤ xr , yr ≤ 1 gilt, haben wir
0 ≤ x0 yr , xr y0 ≤ 9 und 0 ≤ xr yr ≤ 1. Insgesamt erhalten wir:
1 · 10k1 +k2 ≤ xy ≤ (81 + 9 + 9 + 1) · 10k1 +k2 = 100 · 10k1 +k2
und hiermit::
k1 + k2 ≤ log(( x0 + xr )(y0 + yr )) + k1 + k2 ≤ 2 + k1 + k2
bzw.
0 ≤ log( x0 .x1 x2 . . . · y0 .y1 y2 . . .) ≤ 2
