Meßtechnik

Messtechnik – Fehler und Fehlerunsicherheiten
2.2 Zufälliger Messfehler
Zufällige Fehler werden hervorgerufen durch nicht direkt
erfassbare und nicht direkt beeinflussbare Änderungen der
Messgröße, der Messsysteme, der Umwelt und durch fehlerhafte
Beobachtungen und Ablesungen. Diese Fehler streuen statistisch
nach Betrag und Vorzeichen und können im einzelnen nicht angegeben
werden.
Die theoretische Grundlage zur Beurteilung und Auswertung
zufälliger Fehler in der Messtechnik bildet die
Wahrscheinlichkeitstheorie.
2.2.1 Mittelwerte
Mittelwerte sind statistische Maßzahlen, die die Lage einer
Verteilung charakterisieren. Je nach Art des Merkmals und der
Daten sind folgende Mittelwerte möglich:
 x Arithmetischer Mittelwert
o Unter dem arithmetischen Mittelwert x von n Zahlen
verstehen wir die Summe der xi dividiert durch die
Anzahl n der Zahlen.
1 n
x   xi
n i 1
Vorteile:
Nachteile:
 Median oder Zentralwert Z
o Zur Bestimmung des empirischen Medianes oder Zentralwert
Z werden die Messwerte der Urliste der Größe nach
geordnet. Ist n eine ungerade Zahl, so ist der
empirische Median der mittelste Zahlenwert der
geordneten Reihe. Im Falle eines ungeraden n wird Z
gleich dem arithmetischen Mittel der beiden in der
Mitte liegenden Werte der geordneten Reihe gesetzt.
Vorteile:
Nachteile:
 Modalwert oder Dichtemittel D
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o Als empirischer Modalwert oder Dichtemittel bezeichnet
man jeden Wert der Messreihe, der in ihr am häufigsten
vorkommt.
Vorteile:
Nachteile:
 Geometrisches Mittel G
o Das geometrische Mittel schließlich ist für
intervallskalierte Daten anzuwenden, die durch
multiplikative Wirkungen entstanden sind oder deren
Verteilung sich als linksschief erweist.
Das geometrische Mittel G der n positiven Zahlen x ist
die n-te Wurzel aus dem Produkt dieser Zahlen.
G  n x1* x2 * x3......... * xn
Vorteile:
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Nachteile:
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2.2.2 Streumasse
Streumasse sind statistische Maßzahlen, die die Variabilität einer
Verteilung charakterisieren.
 Variationsbreite oder Spannweite w
w = xmax – xmin
xmax größter vorkommender Merkmalswert
xmin kleinster vorkommender Merkmalswert
_
 Mittlere Abweichung d
1 n
d   xi  x
n i 1
n = Umfang der Stichprobe
xi= i-ter Merkmalswert
x = arithmetisches Mittel
 Standardabweichung oder mittlere quadratische Abweichung
(10DM Schein)
1 n
xi  x 
s

n  1 i 1
Bei einer genügend hohen Anzahl voneinander unabhängigen
Messungen der gesuchten Messgröße unterliegen die Messwerte
einer Gaußschen Normalverteilung.
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Beispiel für Mittel- und Streumaße
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
MITTELW
ERT
3000
3000
3500
4000
4500
5000
5000
6000
7000
7500
4850
MEDIAN
MITTELW
ERT
75
80
90
90
100
150
185
300
430
47000
4850,00
MEDIAN
Beispiel
234
335
232
225
230
236
227
224
234
243
2420
242
Lösung
Mittelwert
Median
Modalwert
Variation
Mittab
Standard
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MODALW
ERT
3000
3000
3500
4000
4500
5000
5000
6000
7000
7500
3000
VARIATI
ON
3000
3000
3500
4000
4500
5000
5000
6000
7000
7500
4500
7500
3000
MITTELABW
STABW
3000
3000
3500
4000
4500
5000
5000
6000
7000
7500
1250
3000
3000
3500
4000
4500
5000
5000
6000
7000
7500
1582,02
VARIATI
ON
75
80
90
90
100
150
185
300
430
47000
46925
47000
75
MITTELABW
STABW
75
80
90
90
100
150
185
300
430
47000
125,00
MODALW
ERT
75
80
90
90
100
150
185
300
430
47000
90,00
75
80
90
90
100
150
185
300
430
47000
8430,00
75
80
90
90
100
150
185
300
430
47000
14810,45
224
225
227
230
232
234
234
236
243
335
224
225
227
230
232
234
234
236
243
335
18
17
15
12
10
8
8
6
1
93
324
289
225
144
100
64
64
36
1
8649
233
234
188
18,8
9896
1099,56
33,16
3000
3000
3500
4000
4500
5000
5000
6000
7000
7500
4750
242
233
234
11
18,8
33,16
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2.3 Qualitätsregelkarten
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2.4 Stabilität und Fähigkeit von Prozessen
2.5 Korrelation (wird später behandelt)
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