TECHNISCHE UNIVERSIT ¨AT M ¨UNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
P ROF. D R . G ERD F ISCHER , D R . VANESSA K RUMMECK
Lineare Algebra I für Lehramt Gymnasium (Wintersemester 2008/09)
— Aufgabenblatt 1 (16. Oktober 2008) —
— Präsenzaufgaben —
Aufgabe 1. Unendlich viele Primzahlen.
Eine Zahl p ∈ N heißt Primzahl, wenn Folgendes gilt: p ≥ 2 und p hat in N nur die Teiler 1 und p.
Beweisen Sie: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
√
Aufgabe 2. √ 2 ist irrational.
Zeigen Sie: 2 ist irrational.
Anleitung: Nehmen Sie an, es gibt a, b ∈ Z mit b 6= 0 und ( ab )2 = 2. Leiten Sie daraus einen Widerspruch ab.
Aufgabe 3. Dezimalbruchentwicklung rationaler Zahlen.
Wir verwenden folgende Teilung mit Rest:
Zu a, b ∈ Z mit b > 0 gibt es eindeutig bestimmte Zahlen q, r ∈ Z, so dass a = q · b + r mit 0 ≤ r ≤ b − 1.
1.) Bestimmen Sie die Dezimalbruchentwicklungen von
1
7
und
13
99 .
2.) Beweisen Sie, dass für jedes x = ab ∈ Q die Dezimalbruchentwicklung periodisch ist, d.h.
a
= zm . . . z0 , z−1 . . . z−n z−(n+1) . . . z−(n+k)
b
mit zi ∈ {0, 1, . . . 9} und m, n, k ∈ N, k ≥ 1.
3.) Kann man die Periodenlänge k abschätzen, d.h. gibt es ein N ∈ N, so dass immer k < N ?
Aufgabe 4. Rationalität periodischer Dezimalbrüche.
Wir verwenden die geometrische Reihe:
Für jedes x ∈ R mit |x| < 1 gilt
∞
X
xn =
n=0
1
.
1−x
1.) Beweisen Sie, dass für jedes k ∈ N mit k ≥ 1 gilt:
∞
X
(
n=1
1
1 n
1
=
) = k
10k
10 − 1
99
.
| {z. . 9}
k−mal
2.) Beweisen Sie, dass jeder abbrechende Dezimalbruch rational ist, d.h.:
zm . . . z0 , z−1 . . . z−n 0 ∈ Q
3.) Beweisen Sie, dass 0, 9 = 0, 99999 · · · = 1
4.) Berechnen Sie 0, 12 und 3, 412 als rationale Zahlen.
5.) Beweisen Sie, dass für alle m, n, k ∈ N gilt:
a.) 0, z−1 . . . z−k ∈ Q
b.) zm . . . z0 , z−1 . . . z−n z−(n+1) . . . z−(n+k) ∈ Q
für
zi ∈ {0, 1, . . . , 9}