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2013-12-02
Klausur 2
Kurs 12Ph1e
Physik
Lösung
1
In den luftleeren Raum zwischen den Platten eines mit der
Kondensatorspannung U C =80V geladenen
Plattenkondensators (oben +, unten -) treten parallel zu den
Plattenflächen geladene Teilchen unterschiedlicher
Geschwindigkeit ein (siehe Skizze). Die Kondensatorplatten
haben den Abstand d =5cm .
Teilchen, die den Raum auf gerader Bahn durchfliegen, treffen nach Verlassen des Raums
auf ein Zählgerät. Damit wenigstens einige Teilchen gerade Bahnen haben, wird ein
Magnetfeld der Stärke B=0,1 mT erzeugt, dessen Feldlinien senkrecht zur Bahn der
Teilchen und senkrecht zu den elektrischen Feldlinien verlaufen (angedeutet durch die
beiden Kreise in der Skizze).
1.1 Geben Sie mit den Symbolen
an, wie die magnetischen Feldlinien verlaufen
müssen bei a) positiv geladenen Teilchen, b) negativ geladenen Teilchen.
a)
b)
In beiden Fällen gleiche Richtung, da auch das elektrische Feld gleich bleibt.
1.2 Zeigen Sie, dass die Teilchengeschwindigkeit der Teilchen, die im Messgerät registriert
werden, unabhängig von der Art der Teilchen und der Ladung der Teilchen ist und
berechnen Sie diese Geschwindigkeit.
Zwischen den Kondensatorplatten wirkt die elektrische Kraft F E =Q⋅E und die magnetische
Lorentzkraft F B =Q⋅v⋅B . Die Kräfte sind entgegengesetzt gerichtet und haben gleichen Betrag
E
(damit die Teilchen gerade fliegen): F E =F B → Q⋅E=Q⋅v⋅B → E=v⋅B → v =
B
Die Teilchengeschwindigkeit der Teilchen, die auf gerader Linie fliegen, ist also durch die
elektrische Feldstärke und die magnetische Flussdichte gegeben. Da die Ladung und die Masse
und andere Eigenschaften der fliegendenTeilchen nicht in der Formel vorkommen, hängt die
Teilchengeschwindigkeit nicht von der Art der Teilchen ab.
U
E
U
80 V
7m
Mit E=
gilt: v = =
=
=1,6⋅10
.
d
B d⋅B 0,05 m⋅0,1⋅10−3 T
s
1.3 Während der Messung gelangt ein Gas in den Raum zwischen den Kondensatorplatten,
das durch die geladenen Teilchen leicht zum Leuchten angeregt werden kann.
Geben Sie mit Begründung an, ob sich das a) auf die Geschwindigkeit der registrierten
Teilchen, b) auf die Menge (Intensität) der registrierten Teilchen auswirkt und was sich
an der Geschwindigkeit und der Zählrate der registrierten Teilchen ggf. ändert.
a) und b): Die Teilchen, die auf Grund der Werte von E und B den Kondensator geradlinig und
waagrecht durchqueren würden, werden durch das Anregen der Atome abgebremst und können
nun wegen der verminderten Geschwindigkeit nicht mehr weiter geradlinig fliegen. Sie werden also
auch nicht mehr registriert. Teilchen mit niedrigeren Geschwindigkeiten werden von Anfang an
abgelenkt und können das Zählrohr nicht erreichen. Werden sie durch Anregen der Atome
abgebremst, so werden sie noch mehr abgelenkt und kommen nicht am Zählgerät an.
Zu schnelle Teilchen werden von Anfang an abgelenkt. Durch das Anregen der Atome werden sie
langsamer und können, wenn sie zufällig die oben berechnete Geschwindigkeit v erlangen, den
Kondensator geradlinig durchfliegen. Sie haben dabei aber sicher eine falsche Richtung, sodass
sie auch nicht registriert werden. Die Folge ist, dass bis auf Ausnahmen keine Teilchen mehr
registriert werden.
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2
Elektronen treten aus einer Glühwendel aus
und werden mit der Spannung UB auf die
6 m
Geschwindigkeit v =8,4⋅10
beschleunigt.
s
Anschließend durchlaufen Sie einen mit einem
Gas gefüllten Raumbereich.
Dort können die Elektronen die Gasatome mit der Energie 20 eV zum Leuchten anregen.
Nach dem Verlassen des gasgefüllten Raums treten die Elektronen in ein Kondensatorfeld
ein (siehe nicht maßstabsgerechte Skizze), in dem sie zur positiven Platte hin abgelenkt
werden. Je nachdem, wie oft sie ein Gasatom angeregt haben, werden sie an einer ganz
bestimmten Stelle auf die obere Kondensatorplatte treffen.
Abstand der Kondensatorplatten: d =10 cm , Spannung am Kondensator: U C =100V .
2.1 Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Beschleunigungsspannung UB etwa den Wert
U B=200 V besitzt.
Die Elektronen werden im elektrischen Feld auf Grund der potentiellen Energie E Pot =e⋅U B
beschleunigt und besitzen beim Austritt aus der Beschleunigungszone die kinetische Energie
1
2
E Kin = ⋅m⋅v . Durch Gleichsetzen dieser Energien erhält man die gesuchte Spannung:
2
2
−31
6m
9,1⋅10
kg⋅
8,4⋅10
s
1
m⋅v 2
e⋅U B= ⋅m⋅v 2 → U B =
=
=200,655 V ≈200V
−19
2
2⋅e
2⋅1,6⋅10 C
(
)
Denkt man sich ein Koordinatensystem wie gestrichelt in die Skizze eingetragen, so kann
UC
⋅x 2 beschreiben.
man die Bahn der Elektronen durch die Gleichung y =
4⋅d⋅U B
Die x-Achse liegt genau in der Mitte zwischen den Kondensatorplatten.
1
2
2.2 Leiten Sie die Gleichung ausgehend von den Gleichungen x=v 0⋅t und y = ⋅a⋅t her.
2
x
1 x2
→ y = ⋅a⋅ 2
v0
2 v0
Die Beschleunigung kann mit Hilfe der Newtonschen Bewegungsgleichung durch die Kraft im
elektrischen Feld ersetzt werden:
F
e⋅E
1 e⋅E x 2
E=
→ F =e⋅E ; F =m⋅a → e⋅E=m⋅a → a=
→ y= ⋅
⋅
e
m
2 m v 02
Zunächst wird der Parameter t eliminiert: x=v 0⋅t → t=
Für die elektrische Feldstärke gilt im homogenen Feld E=
Mit der Formel in 2.1 gilt e⋅U B= 1⋅m⋅v 20 → v 02=
2
2
UC
1 e⋅U C x
→ y= ⋅
⋅ 2.
d
2 m⋅d v 0
2
2⋅e⋅U B
1 e⋅UC
x
→ y= ⋅
⋅
m
2 m⋅d
2⋅e⋅U B
m
→
2
UC
1 e⋅U C m⋅x
y= ⋅
⋅
=
⋅x 2 q.e.d.
2 m⋅d 2⋅e⋅U B 4⋅d⋅U B
2.3 Berechnen Sie den x-Wert der Stelle auf der Kondensatorplatte, an der die Elektronen
auftreffen, die kein Atom zum Leuchten angeregt haben.
Für y wird die Hälfte des Plattenabstandes d gewählt. Dann ergibt sich mit den gegebenen Größen
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√
2
√
UC
2⋅d ⋅U B
2⋅U B
d
2⋅200 V
=
⋅x 2 → x 2=
→ x =d⋅
=0,1 m⋅
=0,1⋅√ 4m≈0,2 m=20 cm
2 4⋅d⋅U B
UC
UC
100 V
2.4 Geben Sie mit Begründung an, ob die x-Werte für die Stellen, an denen Elektronen
auftreffen, die mehrmals ein Atom zum Leuchten angeregt haben, kleiner oder größer
sein müssen als der x-Wert, der unter 2.3 zu berechnen ist.
Setzt man statt UB wieder die Geschwindigkeit v0 ein, so ergibt sich für x
2
√ √
2
√
m⋅v 0
2⋅U B
m⋅v 0
1
d 2⋅m
e⋅U B= ⋅m⋅v 20 → U B =
→ x =d⋅
=d⋅
=
⋅v
2
2⋅e
UC
e⋅U C
e⋅U C 0
x ist also proportional zu v0. Das folgt übrigens auch schon viel einfacher aus der gegebenen
Gleichung x=v 0⋅t .
Begründung: Die Ablenkung in y-Richtung ist unabhängig von der Beschleunigunsspannung UB.
Die Zeit, die benötigt wird, um zur Platte zu gelangen, ist deshalb immer gleich groß. t ist also in
der Gleichung x=v 0⋅t eine Konstante, also gilt x~v0.
Da durch das Anregen von Atomen die Energie und damit die Geschwindigkeit der Elektronen
abnimmt, ist es so, als wären sie mit geringerer Spannung beschleunigt worden und der Auftreffort
auf der Platte wird sich zu kleineren x-Werten hin verschieben.
2.5 Geben Sie mit Begründung eine Formel an, mit der man den x-Wert für den Ort
berechnen kann, an dem die Elektronen auftreffen, die n-mal ein Atom zum Leuchten
angeregt haben.
Das n-malige Anregen von Atomen wirkt sich durch einen Energieverlust von n⋅20eV aus.
Es ist also so, als ob die Elektronen mit U B−n⋅20 V beschleunigt worden wären.
Setzt man das in die oben entwickelte Gleichung ein, erhält man die gewünschte Formel:
2⋅(U B −n⋅20 V )
x n =d⋅
UC
√
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3
Mit einem Spektrometer wird das folgende Cadmium-Spektrum und das dazugehörige
Intensitätsdiagramm (siehe Seite 4) aufgezeichnet:
3.1 Markieren Sie im Cadmium-Energieniveauschema auf Seite 5 eindeutig die Übergänge
zu den beobachteten Linien.
3.2 Berechnen Sie zu dem Übergang mit λ=326,1nm (rechts unten im Termschema) die
Übergangsenergie in den Einheiten Joule und eV.
Mit E=h⋅f und c=f⋅λ → f =
E=
c
gilt
λ
h⋅c 6,6⋅10−34⋅3⋅10 8
6,1⋅10−19
−19
=
J =6,1⋅10 J =
eV =3,8 eV
−9
λ
326,1⋅10
1,6⋅10−19
3.3 Bestimmen Sie die Wellenlänge zu dem Übergang, der durch einen Pfeil
gekennzeichnet ist (Energien an der linken Achse ablesen und abgelesene Werte
dokumentieren).
Die Energien der Niveaus liegen bei etwa 2,3 eV und 5,2 eV, zum Übergang gehört also die
Energie (5,2−2,3)eV =2,9 eV =2,9⋅1,6⋅10−19 J =4,6⋅10−19 J .
h⋅c
h⋅c 6,6⋅10−34⋅3⋅108
−7
Für die Wellenlänge gilt E=
→ λ=
=
m=4,3⋅10 m=430 nm
−19
λ
E
4,6⋅10
3.4 Es gibt Übergänge, die das Spektrometer eigentlich anzeigen müsste, weil sie im
sichtbaren Bereich liegen, die aber von so geringer Intensität sind, dass das Gerät sie
nicht registriert hat. Kennzeichnen Sie mindestens 3 dieser durch einen schrägen Strich
markierten Übergänge im Termschema.
Das sichtbare Licht umfasst den Wellenlängenbereich von 380 nm bis 780 nm. Dazu gehören die
Energien von 1,6 eV bis 3,3 eV. Linien aus diesem Bereich sind rot gekennzeichnet.
3.5 Begründen Sie durch Rechnung, dass im Bereich oberhalb von -1eV keine Übergänge
im sichtbaren Bereich stattfinden können.
Zur maximalen Energie 1 eV gehört eine Wellenlänge im Infrarot-Bereich:
h⋅c 6,6⋅10−34⋅3⋅108
−6
λ=
=
m=1,2⋅10 m=1200 nm . Alle anderen Linien sind noch langwelliger.
−19
E
1⋅1,6⋅10
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?
Termschema Cadmium (Auszug)
Energien in eV
Wellenlängen in nm
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Seite 5/7
4
Mit dem Modell des linearen Potentialtopfes kann man näherungsweise
die Abmessungen des Wasserstoffatoms berechnen.
Im 3. Quantenzustand besitzt das Elektron die Bindungsenergie
E=−1,51 eV .
Berechnen Sie die Länge L des Potentialtopfes und damit den
Durchmesser des H-Atoms im Anregungszustand n=3.
Für n=3 passen 3 halbe Wellenlängen in den Potentialtopf der Breite L.
3
h
Damit gilt L= ⋅λ . Mit der de Broglie-Wellenlänge λ= , dem Impuls
2
p
1
2
p=m⋅v und der Energie E= ⋅m⋅v des Elektrons gilt dann:
2
1
m 2⋅v 2
p2
h
3
h
2
E= ⋅m⋅v =
=
→ p= √ 2⋅m⋅E → λ=
→ L= ⋅
→
2
2⋅m 2⋅m
2 √ 2⋅m⋅E
√ 2⋅m⋅E
L=
5
3⋅6,6⋅10−34
−9
m≈1,5⋅10 m=1,5 nm
−31
−19
2⋅√ 2⋅9,1⋅10 ⋅1,51⋅1,6⋅10
Den Wert der Planckschen Konstante h kann man mit Hilfe der Grenzwellenlänge in
Röntgenspektren bestimmen.
Kα
Kβ
5.1 Leiten Sie unter Verwendung der Beziehung λ=2⋅d⋅sinβ die Formel h=
2⋅d⋅e
⋅U⋅sinβ
c
her, in der d den Netzebenenabstand des benutzten NaCl-Kristalls,
U die Beschleunigungsspannung der Röntgenröhre und
β den Winkel für die Grenzwellenlänge angibt.
Die Elektronen werden in der Röntgenröhre mit der Energie E=e⋅U beschleunigt. Wird die
gesamte Energie beim Abbremsen der Elektronen in Licht umgesetzt, hat das Licht die Energie
h⋅c
h⋅c
e⋅U⋅λ
E=h⋅f =
mit minimalem λ. Da die Energien gleich sind, gilt e⋅U=
.
→ h=
λ
λ
c
Setzt man nun noch die gegebene Gleichung λ=2⋅d⋅sinβ ein, so ergibt sich
e⋅U⋅2⋅d⋅sinβ 2⋅d⋅e
h=
=
⋅U⋅sinβ
c
c
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5.2 Berechnen Sie unter Berücksichtigung aller 5 Spektren den Wert für h.
Der verwendete NaCl-Kristall besitzt den Netzebenenabstand d =2,82⋅10−10 m .
Die Beschleunigungsspannungen haben die Werte 25000 V, 27500 V, 30000 V,
32500 V und 35000 V.
Das Spektrum für die größte Beschleunigungsspannung hat den Beginn beim kleinsten Winkel β.
Damit ergibt sich mit aus dem Messgraph abgelesenen Winkeln folgende Messtabelle:
Die h-Werte wurden mit Hilfe der Formel in 5.1 berechnet. Der Mittelwert von 6,5⋅10−34 Js ist eine
gute Näherung zum Literaturwert 6,6⋅10−34 Js .
5.3 Begründen Sie, warum die sichtbaren Kα- und Kβ-Linien für alle
Beschleunigungsspannungen immer bei gleichen Winkeln zu finden sind.
Ordnen Sie die Bezeichnungen Kα und Kβ den beiden Peaks mit Begründung zu.
Für die Anregung der Molybdän-Atome benötigt man unabhängig von der
Beschleunigungsspannung immer dieselbe Energie. Steht diese Energie zur Verfügung, können
die Atome angeregt werden. Die Kα-Linie wird durch den Übergang vom Niveau 2 zum Niveau 1
erzeugt, die Kβ-Linie beim Übergang vom Niveau 3 zum Niveau 1. Die entsprechenden Energien
sind immer gleich, d. h. die Peaks der Linien müssen auch immer bei denselben Winkeln
auftreten. Da der Übergang vom 3. zum 1. Niveau energiereicher ist als der Übergang vom 2. zum
1. Niveau, liegt die Kβ-Linie weiter links, bei kleineren Wellenlängen bzw. kleineren Winkeln.
Viel Erfolg bei der Bearbeitung der Aufgaben!
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