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§ 8 Impuls und Impulserhaltung
Aufgaben:
1. Auf einen ruhenden Golfball der Masse m  46g wirkt die Kraft F  24 N genau
0,050 s lang. Welche Geschwindigkeit erreicht er?
v v
v
v
F  t 24 N  0, 050s
F  ma  m
 m  1 0  m  1  v1 

 26 ms
t
t
t
m
0, 046 kg
2.
Welche Kraft muss wirken, um innerhalb einer Zehntelsekunde  t  0,10s  die
Geschwindigkeit eines fliegenden Fußballes der Masse m  450 g um 36 km
zu erhöhen?
h
v
F  ma  m
 ...  45 N
t
3.0 Ein Ball  m  100 g  trifft mit einer Geschwindigkeit von v  1, 2 ms senkrecht auf einer
Wand auf und wird mit demselben Betrag der Geschwindigkeit zurückgeschleudert. Die
Kontaktdauer mit der Wand beträgt 23ms.
3.1 Berechne die mittlere Stoßkraft der Mauer auf den Ball.
v m
0,100kg
F  ma  m
   vn  v v  
 1, 2 ms  1, 2 ms   10N
t t
23 103 s
F  t  m  v  m   vn  vv   ...  0, 24 Ns (Kraftstoß!)
3.2 Welche mittlere Beschleunigung hat der Ball während des Kontakts mit der
Mauer erfahren?
2, 4 ms
v
a Mittel 

 1, 0 102 sm2
3
t 23 10 s
4.0 Eine Raumsonde der Masse 435 kg fliegt mit einer Geschwindigkeit von 8, 4 km
s im
gravitationsfreien Raum. Um eine Begegnung mit einem Kleinplaneten nicht zu verfehlen
muss die Geschwindigkeit der Raumsonde auf 8,1 kms reduziert werden. Das
Steuertriebwerk hat eine Schubkraft von 15 N.
4.1 Berechne die notwendige Brenndauer des Steuertriebwerks.
v v
v v
v
F  ma  m
 m  1 0  t  m  1 0  ...  8,7 103 s
t
t
F
4.2 Ermittle die Verzögerung sowie die Impulsänderung der Raumsonde.
F 15N
F  ma  a  
 3, 4 102 sm2
m 435kg
p  m  v  m   v1  v 0   435kg  8,1 kms  8, 4 kms   1,3 105 Ns
5.
Erklären Sie mit Hilfe der Beziehung F  p warum Metallplatten von Satelliten selbst
von kleinsten Meteoriten durchschlagen werden können.
Diese kleinsten Meteoriten haben zwar eine sehr geringe Masse aber dafür eine hohe
Relativgeschwindigkeit (bis zu 105 kms ) gegenüber dem Satelliten auf den sie auftreffen.
Da p  m  v ist der Impuls des Meteoriten wegen der hohen Geschwindigkeit
ebenfalls sehr groß.
p
Wegen F  lim
 p erhält man punktuell eine sehr große Kraft, dem das Material des
t 0 t
Satelliten nicht stand hält.
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1
6.0 Ein Güterwagen  m1  35 t  rollt einen 2, 0 m hohen Rangierhügel herunter. Oben hatte
er eine Geschwindigkeit von 0, 75 ms . Er trifft unten auf einen anderen Güterwagen
 m2  27 t; v2  0 ms  mit dem er ankuppelt, so dass beide gemeinsam weiterrollen.
Reibungskräfte sowie Energiebeiträge aus der Rotation bleiben unberücksichtigt.
6.1 Mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich beide Güterwagen im angekuppelten Zustand
weiter?
Ev  En

1
2
m1  v02  m1gh  12 m1  v12

v1  v02  2gh
m1v1  m 2 v 2 v2 0 m1v1
m1


 v02  2gh  ...  3, 6 ms
m1  m 2
m1  m 2 m1  m 2
6.2 Berechnen Sie die Impulsänderung, die der 1. Wagen beim Stoßvorgang erfahren hat.
 m1v1

 m1

p  m1  v  m1  u  v1   m1 
 v1   m1v1 
 1 
 m1  m 2

 m1  m 2 
u
 m1v1
m1   m1  m 2 
m  m1  m 2
mm
 m1v1 1
  1 2 v1 
m1  m 2
m1  m 2
m1  m 2
m1m 2
v02  2gh  ...  9, 6 104 Ns
m1  m 2
6.3 Was lässt sich über den Energieerhaltungssatz beim Stoß aussagen? (rechnerische
Überprüfung)

v2  0
E kin,v  12 m1v12  12 m 2 v 22 
1
2
m1v12  12 m1  v 02  2gh  
 ...  6,9 105 J
2
 m1

E kin,n   m1  m 2  u   m1  m 2  
 v 02  2gh  
 m1  m 2

2
m1
1
 v02  2gh   ...  4, 0 105 J
2
m1  m 2
1
2
 E kin,v  E kin,n
2
1
2
 Energieerhaltungssatz gilt nicht!
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2
7.0 Zwei Kugeln hängen wie dargestellt je an einem Faden der Länge l  50 cm . Ihre Massen
verhalten sich wie m1 : m2  1: 2 . Kugel 1 wird unter einem Winkel von   55 ausgelenkt
und dann losgelassen.

m1

m2
v2
v1
7.1 Berechnen Sie die Geschwindigkeit v1 , mit der die Kugel 1 auf die Kugel 2 trifft.

l
lh
h
h
 cos   1    1  cos 
l
l
l
 h  l  1  cos  
1
cos  
lh
h
E vorh.  E nachh.
m1gh  12 m1v12
v1  2gh
1
 v1  2gl 1  cos    ...  2, 0 ms
7.2 Ermitteln Sie rechnerisch die Geschwindigkeit u 2 der Kugel 2 nach dem Stoß, wenn
diese vorher in Ruhe war.
Für den elastischen Stoß gilt:
2m1v1   m2  m1  v2 v2 0 2m1v1
u2 

m1  m2
m1  m2
m2  2m1

2m1v1
 2 v1  ...  1, 4 ms
m1  2m1 3
7.3 Berechnen Sie den Auslenkwinkel  der Kugel 2 nach dem Stoß.
Mit den gerundeten Werten:
E vorh.  E nachh.
2
1
2 m 2 u 2  m 2 gh 2
h2 
cos  
u 22
 ...  9,99 102 m
2g
l  h2
 l  h2 
   arccos 
  ...  37
l
 l 
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3
Exakt:
E vorh.  E nachh.
1
2
m 2 u 22  m 2gh 2
h2 
u 22 94 v12

 ...  9,
2g 2g
l  h 2 l  94 l 1  cos  

 1  94 1  cos    95  94 cos 
l
l
5
4
   arccos  9  9 cos    ...  36
cos  
7.4 Entscheiden Sie, ob die Kugel 1 nach dem Stoß nach links oder nach rechts ausgelenkt
wird. (rechnerische Begründung)
2m2 v2   m1  m2  v1 v2 0  m1  m2  v1 m2 2m1  m1  2m1  v1


  13 v1  ...  0, 68 ms
m1  m2
m1  m2
m1  2m1
Da die Geschwindigkeit negativ ist, wird die Kugel 1 nach links ausgelenkt.
u1 
7.5 Berechnen Sie den Auslenkwinkel  der Kugel 1 nach dem Stoß.
Mit den gerundeten Werten:
E vorh.  E nachh.
2
1
2 m1u1  m1gh1
u12
h1 
 2,36 102 m
2g
cos  
l  h1
 l  h1 
   arccos 
  ...  18
l
 l 
Exakt:
E vorh.  E nachh.
1
2
m1u12  m1gh1
h1 
u12 19 v12 19 2gl 1  cos   1


 9 l 1  cos  
2g 2g
2g
l  h1 l  19 l 1  cos  

 1  19 1  cos    98  19 cos 
l
l
   arccos  89  19 cos    ...  18
cos  
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8.0 Zur Bestimmung der Geschwindigkeit einer
Luftgewehrkugel mit der Masse m1  0,50 g kann
man ein ballistisches Pendel heranziehen. Das Pendel
ist mittels zweier Fäden der Länge l  60 cm
aufgehängt und besteht aus Holz der Masse
m2  650 g . Schießt man mit dem Luftgewehr darauf
so bleibt die Kugel im Holz stecken, das dabei eine
Auslenkung von s  3,6 cm erfährt.
8.1 Berechne die Geschwindigkeit der Luftgewehrkugel
Arbeite mit v  1,9 102 ms weiter 
l
v
m1
m2
Es gilt:
2
s2   l  h   l2
s

l  h  l2  s 2
1
h  l  l2  s 2  ...  1, 08 103 m
Nach dem Stoß gilt der Energiesatz:
E kin  E pot
2
1
2 (m1  m 2 )u  (m1  m 2 )gh
lh
l
s
h
u  2gh  ...  0,146 ms

mit 1 : u  2g l  l2  s 2

 2
Impulserhaltung für den zentralen unelastischen Stoß:
p1,v  p 2,v  p n
m1v1  m 2 v 2  (m1  m 2 )u
m1v1  (m1  m 2 )u
v1 
mit  2  fo lg t :
m1  m 2
u
m1
v1 
da v 2  0


m1  m 2
 2g l  l 2  s 2  ...  1,9 10 2
m1
m
s
8.2 Ermittle näherungsweise die durchschnittliche Kraft, mit der die Kugel auf das Holz
während des Eindringens einwirkt, wenn die Eindringtiefe der Kugel in das Holz
s  4,5 mm beträgt.
Es gilt:
u 2  v12
u 2  v12  2as  a 
2s
2
2
u  v1
F  m1a  m1 
 ...  2, 0 103 N
2s
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8.3 Berechne die Rückstoßkraft des Luftgewehrs, wenn die Masse des Luftgewehrs
m3  3,8 kg , der Lauf des Luftgewehrs 42 cm beträgt und von einer konstanten
Beschleunigung der Kugel ausgegangen werden kann.
Es gilt das 3. Newtonsche Gesetz:
FKugel  FGewehr
FK  FG
m1a K  FG
Aus der 3. Bewegungsgleichung erhält man:
v12  v02  2a K s
aK 
v12
2s
1
 2
Setzt man  2  in 1 ein, so folgt:
FG  m1
v12
 ...  21N
2s
9.0 Die Saturn V-Rakete hat 2890 t Startmasse und 35 MN Startschub.
9.1 Mit welcher Beschleunigung hebt die Rakete ab?
Fres  FSchub  FG
Fres  FSchub  FG
ma res  FSchub  mg
a res 
FSchub
 g  ...  2,3 sm2
m
9.2 Pro Sekunde werden 13.500 kg Treibstoff verbrannt. Wie groß ist die Geschwindigkeit
der austretenden Verbrennungsgase?
v  v 0 v0  0 v G
F t
v
FS  ma  m
m G
 m
 vG  S  ...  2, 6 km
s
t
t
t
m
10. Zeige, dass für die Energieübertragung beim vollkommen unelastischen Stoß  für v2  0 
gilt:
m1
E kin,n 
 E kin,v
m1  m2
2
 m  v  m 2  v 2  v2  0 1
m12  v12
E kin,n   m1  m 2  u   m1  m 2   1 1

m

m


2
2 1
2
m

m
m

m



1
2

1
2
m1
m1
 12
m1v12 
 E kin,v
m1  m 2
m1  m 2
1
2
2
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1
2
6
11.0 Zwei Kugeln mit den beiden Massen m1  m und m2  2m bewegen sich mit gleichem
Geschwindigkeitsbetrag aufeinander zu. Welche Geschwindigkeiten ergeben sich für
die beiden Massen nach dem Zusammenstoß, wenn dieser
11.1 elastisch,
Es gilt: v2  v1 ; m1  m ; m2  2m
u1 
u2 
2m 2 v 2   m1  m 2  v1 2  2m(  v1 )   m  2m  v1

  53 v1
m1  m 2
m  2m
2m1v1   m 2  m1  v 2 2mv1   2m  m  ( v1 ) 1

 3 v1
m1  m 2
m  2m
11.2 unelastisch erfolgt?
Es gilt: v2  v1 ; m1  m ; m2  2m
m  v  m2  v2 m  v1  2m  (v1 )
u 1 1

  13 v1
m1  m2
m  2m
11.3 Wie groß ist im Fall 11.2 der Energieverlust E ?
E  E vorh.  E nachh.  12 m1v12  12 m 2 v 22  12 (m1  m 2 )u 2 
 12 mv12  12  2m( v1 ) 2  12 (m  2m)( 13 v1 ) 2 
 12 mv12  mv12  16 mv12  43 mv12
12.0 Zwei aneinandergekoppelte Fahrzeuge der Masse m1  600 kg und m2  800 kg ruhen
auf einer horizontalen Ebene. Zwischen beiden Fahrzeugen befindet sich eine (nicht
befestigte) um die Länge s  16 cm zusammengedrückte Feder der Federkonstanten
D  40 kN
m . Nach Lösen der Kopplung entspannt sich die Feder.
12.1 Berechnen Sie, welche Geschwindigkeiten v1 und v 2 die beiden Fahrzeuge nach dem
Lösen der Kopplung besitzen?
Impulserhaltungssatz:
0  m1v1  m2 v2  v2  
m1
v1  v2   34 v1
m2
1
Energieerhaltungssatz:
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2 Ds  2 m1v1  2 m 2 v 2  Ds  m1v1  m 2 v 2
1
 Ds 2  m1v12  m 2    34 v1 
 v1 
2
 Ds 2   m1  169 m 2  v12
Ds 2
 ...  0,99 ms
9
m1  16 m 2
 v 2   34 v1  ...  0, 74 ms
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13.0 Ein Hammer der Masse mH  1,00 kg kann sich um das Ende seines Stiels (Masse
vernachlässigbar) reibungsfrei drehen. Der Hammer wird um einen bestimmten Winkel
ausgelenkt und losgelassen. Er trifft im tiefsten Punkt seiner Bewegung zentral und
vollelastisch auf eine Kugel der Masse mK  300 g .
13.1 Berechne die Geschwindigkeit v H , mit der der Hammer die Kugel trifft, wenn diese mit
einer Geschwindigkeit von vK  6,7 ms wegfliegt.
u2 
2m1v1   m 2  m1  v 2 v2 0 2m1v1

m1  m 2
m1  m 2
 v1 
m1  m 2
m  mK
 u2  H
 v K  ...  4,355 ms  4, 4 ms
2m1
2m H
13.2 Ermittle die mittlere Stoßkraft, wenn Hammer und Kugel 0,012 s in Kontakt sind.
2m2 v2   m1  m2  v1 v2 0  m1  m2  v1
u1 

 ...  2,345 ms  2,3 ms
m1  m2
m1  m2
u v
v
F  m1a  m1
 m1 1 1  ...  167,5N  0,17 kN
t
t
13.3 Nach dem Stoß schwingt der Hammer weiter nach rechts bis zum Umkehrpunkt.
Berechne die Höhe dieses Umkehrpunkts über dem tiefsten Punkt.
u2
E vorh.  E nachh.  12 m1u12  m1gh  h  1  ...  28 cm
2g
14.
Ein Mann  mM  70 kg  springt aus einer Höhe von h  80 cm horizontal von einem
ruhenden Boot  mB  90 kg  ins Wasser und landet in einer Entfernung von x  2,0 m
vom Boot. Berechne die Energie, die der Mann beim Sprung aufwenden musste.
Weitere Aufgaben zum Impuls
1.0 Ein Junge wirft einen Tennisball mit der Geschwindigkeit 15 ms senkrecht auf die
Rückwand eines Lastwagens, der mit der Geschwindigkeit 18 km
h vorwärts fährt.
1.1 Welche Geschwindigkeit hat der Ball nach dem Aufprall?
 5, 0 ms 
1.2 Wie viel Prozent seiner Energie verliert der Ball beim Stoß? Wo verbleibt diese Energie?
89% 
(Die Masse des Lastwagens ist sehr viel größer als die des Balles. Also kann die Masse
des Balles im Vergleich zu der des Lastwagens null gesetzt werden.)
2. Die Masse m1 stößt auf die ruhende Masse m 2 . Nach dem Stoß bewegen sich beide
Körper mit entgegengesetzt gleicher Geschwindigkeit auseinander. Was kann man über
das Massenverhältnis der beiden Körper und ihre Geschwindigkeiten nach dem Stoß
aussagen?
 m2  3m1; u1  u 2  12 v1 
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3.
Eine Gewehrkugel trifft kurz nach Verlassen der Mündung mit der Geschwindigkeit
v0  500 ms auf eine senkrecht aufgehängte kleine Stahlplatte (Länge der Aufhängung
l  2,0 m , Plattenmasse M  5,0 kg ) und prallt elastisch zurück. Wie stark (Höhe und
Winkel) schlägt die aufgehängte Platte aus?
 0, 2 m; 26
4.0 Beim U-Bahn-Bau werden zur Abdichtung gegen Grundwasser Eisenschienen
 m  200 kg  senkrecht in den Boden gerammt. In einem speziellen Fall trifft eine Masse
von 280 kg aus einer Höhe von 1,84 m auf eine solche Schiene und treibt sie dabei
2, 0 cm in den Boden. Betrachte den Vorgang als unelastischen Stoß.
4.1 Welche Geschwindigkeit besitzen beide Massen unmittelbar nach dem Stoß?
 3,5 ms 
4.2 Innerhalb der 2, 0 cm werden die beiden Massen auf die Geschwindigkeit 0 ms
abgebremst. Berechne die Verzögerung, die vorhandene Reibungskraft und den
Energieverlust.
 306
m
s2
; 2100 J

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