KOSTEN-UND PREISTHEORIE
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KOSTEN- UND PREISTHEORIE Fixkosten, variable Kosten und Grenzkosten Jedes Unternehmen hat einerseits Fixkosten (Kf, sind immer gleich und hängen nicht von der Anzahl der produzierten Waren ab, z.B. Miete, Personal,…) und variable Kosten (Kv, hängen von der Anzahl ab, z.B. Material- oder Transportkosten). Fixkosten fallen selbst dann an, wenn nichts produziert wird. Die Gesamtkosten K setzen sich also aus beiden Kosten zusammen, deshalb gilt: K = Kv + Kf Beispiel für eine Kostenfunktion: K(x) = 2x³ - 55x² + 555x + 13500 Die Ableitung der Kostenfunktion wird als Grenzkostenfunktion bezeichnet. Diese Funktion stellt die zusätzlichen Kosten dar, wenn eine Mengeneinheit mehr produziert wird. Grenzkostenkosten: K‘(x) Kostenverlauf und Kostenkehre Die Kostenkurve eines Betriebes kann auf drei Varianten verlaufen, nämlich entweder linear, progressiv oder degressiv. Linear (Graph ist eine Gerade) bedeutet, dass die Kosten gleichmäßig zur produzierten Menge (=proportional) ansteigen. Doppelt so viele Waren = doppelt so viele Kosten. Progressiv bedeutet, dass die Kosten verhältnismäßig schneller als die Stückzahl ansteigen. Der Graph wird immer steiler. Doppelt so viele Waren könnten auch 3-mal so viele Kosten bedeuten. Degressiv bedeutet, dass die Kosten verhältnismäßig langsamer als die Stückzahl ansteigen. Dies kann z.B. durch einen Mengenrabatt durch Zulieferer entstehen. Doppelt so viele Waren könnten auch nur 1,5-mal so viele Kosten bedeuten. In der Praxis ergibt sich meist ein gemischter Kostenverlauf. Der Übergang zwischen degressiven und progressiven Kostenverlauf wird als Kostenkehre bezeichnet und ist der Wendepunkt der Kostenfunktion. Kostenkehre: K’’(x) = 0 Ing. Philipp Hofer, BEd. BEd. Kosten- und Preistheorie Stückkostenfunktion, Betriebsoptimum, Betriebsminimum und Preisuntergrenzen Die Stückkosten (= durchschnittliche Kosten) geben an, wie viel ein einziges Stück in der Produktion kostet. Man berechnet sie, indem man die gesamten Kosten einfach durch die Anzahl x dividiert. Die Stückkosten bleiben bei einem linearen Verlauf immer gleich, bei einem progressiven oder degressiven Verlauf verändern sie sich. Für ein Unternehmen sind diese Stückkosten vor allem für die Festlegung eines Endpreises eines Produktes interessant. ̅ (x) = Stückkosten: 𝜥 𝑲(𝒙) 𝒙 ̅ v(x) = Variable Stückkosten: 𝜥 𝑲𝒗(𝒙) 𝒙 Als Betriebsoptimum (xopt) wird das Minimum der Stückkostenfunktion bezeichnet, das bedeutet, dass die Stückkosten dort am geringsten sind. Minimum bedeutet rechnerisch den Tiefpunkt zu finden, also die erste Ableitung 0 zu setzen. Man berechnet dadurch die Anzahl, bei der die Kosten am geringsten sind. Betrachtet man nur den variablen Anteil, spricht man statt vom Betriebsoptimum nun vom Betriebsminimum. ̅ ′(x) = 0 Betriebsoptimum: 𝜥 ̅ v‘(x) = 0 Betriebsminimum: 𝜥 Zusätzlich kommen im Kapitel der Kostenrechnung auch die Begriffe „langfristige Preisuntergrenze“ und „kurzfristige Preisuntergrenze“ vor. Als langfristige Preisuntergrenze werden die Stückkosten des Betriebsoptimums bezeichnet. Bei der kurzfristigen Preisuntergrenze berechnet man nicht den Stückpreis der minimalen Stückkosten sondern konzentriert sich nur auf den variablen Anteil dieser. Man berechnet also den Stückpreis der variablen Stückkosten (des Betriebsminimums). ̅ (xopt) Langfristige Preisuntergrenze: PLPU = 𝜥 ̅ v(xmin) Kurzfristige Preisuntergrenze: PKPU = 𝜥 Also geben Betriebsoptimum und Betriebsminimum die Anzahl der Waren an, den dazugehörigen Preis geben die lang- und kurzfristigen Preisuntergrenzen an. Gewinn-, Erlösfunktion und Deckungskosten Der Erlös gibt an, wie viel Geld man für das Verkaufen des Produktes einnimmt. Man geht davon aus, dass der Preis pro verkauftem Produkt immer konstant bleibt. In der Realität kann sich jedoch auch der Verkaufspreis ändern, z.B. wenn jemand viele Waren kauft (Neun +Eins gratis). Hierbei müsste dann die Formel angegeben sein. Wenn man aber davon ausgeht, dass der Preis immer unverändert bleibt, kann man immer die gleiche Formel aufstellen. Um die Einnahmen zu berechnen, multipliziert man einfach den Verkaufspreis mit der verkauften Menge, das ergibt sich die folgende Formel. Erlösfunktion: E(x) = x*p(x) Ing. Philipp Hofer, BEd. BEd. Kosten- und Preistheorie Wenn man die Kosten, die für die Produktion anfallen, vom Erlös abzieht, bleibt der Gewinn übrig. Gewinnfunktion: G(x) = E(x) – K(x) Erhält man für die Gewinnfunktion bei einer bestimmten Stückzahl einen positiven Wert, so spricht man von Gewinn, bei einem negativen Wert von Verlust. Kommt hingegen genau 0 heraus, so hat man weder Gewinn noch Verlust, man arbeitet also genau kostendeckend. Diesen Punkt (unter dem man einen Verlust und ab dem man einen Gewinn macht) wird auch als Break-Even-Point oder Gewinngrenze bezeichnet. Den maximalen Gewinn (Hochpunkt) errechnet man, wenn man die erste Ableitung der Gewinnfunktion Null setzt. Genauso verhält es sich mit dem maximalen Erlös. Break-Even-Point: G(x) = 0 Anzahl der Waren für maximalen Gewinn: G‘(x) = 0 Maximaler Gewinn: Anzahl der Waren für maximalen Gewinn in Gewinnfunktion einsetzen Anzahl der Waren für maximalen Erlös: E‘(x) = 0 Maximaler Erlös: Anzahl der Waren für maximalen Erlös in Erlösfunktion einsetzen Als Courtnot‘scher Punkt (nach dem Wirtschaftsmathematiker Antoine August Courtnot) wird der Punkt des maximalen Gewinns bezeichnet (x-Wert = Anzahl der Waren, y-Wert = maximaler Gewinn). Betrachtet man nur den variablen Anteil der Produktionskosten und zieht nur diesen von der Erlösfunktion ab, so spricht man statt Gewinn nun vom „Deckungsbeitrag“. Oft wird diese Berechnung herangezogen, da die Fixkosten auch noch anderen Produkten zugeordnet werden können und man somit vorab sieht, ob man Kostendeckend arbeitet. Deckungskosten: D(x) = E(x) – Kv(x) Preiselastizität Unter der Preiselastizität der Nachfrage (oder kurz Elastizität) versteht man das Verhältnis zwischen relativer Nachfrageänderung und relativer Preisänderung. Wenn ein Produkt morgen nur noch halb so teuer wäre wie heute und es hätte zur Folge, dass dadurch die Nachfrage auf mehr als das Doppelte steigen würde, so spricht man von einer elastischen Nachfrage. Würde durch die Preissenkung die Nachfrage kaum steigen, so liegt eine unelastische Nachfrage vor. Rechnerisch bestimmt man die Elastizität, mit der folgenden Formel. Preiselastizität: EN = 𝑴𝟐−𝑴𝟏 𝑴𝟏 : 𝑷𝟐−𝑷𝟏 𝑷𝟏 Ist also die Preiselastizität größer als 1, spricht man von einer elastischen Nachfrage, ist sie kleiner als 1, spricht man von einer unelastischen Nachfrage. Bei einer Preiselastizität von genau 1 ist sie weder elastisch noch unelastisch, hier würde man gleich viel einnehmen, denn man senkt zwar den Preis, dadurch steigt die Nachfrage, aber eben nicht verhältnismäßig hoch oder niedrig, sondern genau proportional. Bei einer Preiselastizität der Nachfrage (Wert größer als 1) würde man mehr einnehmen, da zwar der Preis gesenkt wird, aber die Nachfrage überproportional stark steigt, bei einer Preisunelastizität würde man weniger einnehmen da durch die Preissenkung die Nachfrage zwar steigt, aber eben unterproportional. Ing. Philipp Hofer, BEd. BEd. Kosten- und Preistheorie Formeln zusammengefasst Gesamtkosten: K = Kf + Kv Grenzkostenkosten: K‘(x) Kostenkehre: K’’(x) = 0 ̅ (x) = Stückkosten: 𝛫 𝑲(𝒙) ̅ v(x) = Variable Stückkosten: 𝛫 𝒙 𝐾𝑣(𝑥) 𝑥 ̅ ′(x) = 0 Betriebsoptimum: 𝛫 ̅ v‘(x) = 0 Betriebsminimum: 𝛫 ̅ (xopt) Langfristige Preisuntergrenze: PLPU = 𝛫 ̅ v(xmin) Kurzfristige Preisuntergr.: PKPU = 𝛫 Erlösfunktion: E(x) = x*p(x) Anzahl für maximalen Erlös: E‘(x) = 0 Maximaler Erlös: Anzahl der Waren für maximalen Erlös in Erlösfunktion einsetzen Gewinnfunktion: G(x) = E(x) – K(x) Deckungskosten: D(x) = E(x) – Kv(x) Anzahl für maximalen Gewinn: G‘(x) = 0 Maximaler Gewinn: Anzahl der Waren für maximalen Gewinn in Gewinnfunktion einsetzen Preiselastizität: EN = 𝑀2−𝑀1 𝑀1 : 𝑃2−𝑃1 𝑃1 Beispiel Angabe: Kostenfunktion: K(x) = 2x³ - 55x² + 555x + 13500, Verkaufspreis: 1200€ Anteil Fixkosten: Kf(x) = 13500 Anteil variable Kosten: Kv(x) = 2x³ - 55x² + 555x Grenzkostenfunktion: K‘(x) = 6x² - 110x + 555 Zweite Ableitung (braucht man für Kostenkehre) K‘‘(x) = 12x - 110 Kostenkehre: K‘‘(x) = 0 => 12x – 110 = 0 => x = 9,167 ̅ (x) = Stückkostenfunktion: 𝛫 2x³ − 55x² + 555x + 13500 𝑥 ̅ v(x) = Variable Stückkostenfunktion: 𝛫 = 2x² - 55x + 555 + 2x³ − 55x² + 555x 𝑥 13500 𝑥 = 2x² - 55x + 555 Gesamtkosten bei bspw. 15 Stück: 2*15³ - 55*15² + 555*15 + 13500 = 16200€ ̅ (x) = 2*15² - 55*15 + 555 + Stückkosten bei bspw. 15 Stück: 𝛫 13500 15 = 1080€ ̅ v(x) = 2*15² - 55*15 + 555 = 180€ Variable Stückkosten bei bspw. 15 Stück: 𝛫 ̅ ′(x) = 4x - 55 Ableitung der Stückkostenfunktion: 𝛫 13500 𝑥² ̅ v‘(x) = 4x – 55 Ableitung der variablen Stückkostenfunktion: 𝛫 Betriebsoptimum: 0 = 4x - 55 - 13500 𝑥² => x = 21,23 => Stück für minimale Stückkosten Betriebsminimum: 0 = 4x – 55 => x = 13,75 Ing. Philipp Hofer, BEd. BEd. Kosten- und Preistheorie Langfrist. Preisuntergrenze: PLPU = 2*21,23² - 55*21,23 + 555 + 13500 21,23 = 924,67 => minimale Stückkosten Kurzfrist. Preisuntergrenze: PKPU =2*13,75² - 55*13,75 + 555 = 176, 875 => minimale var. Stückkosten Erlösfunktion: E(x) = x*1200 Gewinnfunktion: G(x) = 1200x – [2x³ - 55x² + 555x + 13500] = -2x³ + 55x² + 645x – 13500 Deckungskosten: D(x) = 1200x – [2x³ - 55x² + 555x] = -2x³ + 55x² + 645x Ableitung der Gewinnfunktion: G‘(x) = -6x² + 110x + 645 Anzahl Waren für maximalen Gewinn: 0 = -6x² + 110x + 645 => x1 = -4,67 Stück; x2 = 23,1 Stück (es gibt nicht -4,67 Stück => 23,1 Stück) Maximaler Gewinn: Gmax = -2*(23,1)³ + 55*(23,1)² + 645*(23,1) – 13500= 6096 Kostenfunktion Erlösfunktion Kostenkehre Fixkosten Break-EvenPoint Gewinnfunktion Gewinnbereich Beispiel Preiselastizität Von einem Produkt (Preis von 10 Euro) werden 2000 Stück nachgefragt. Bei einer Preissenkung auf 9 Euro werden 2100 Stück nachgefragt. (M1 = 2000, M2 = 2100, P1 = 10, P2 = 9) 𝑀2−𝑀1 𝑃2−𝑃1 2100−2000 9−10 EN = 𝑀1 : 𝑃1 => EN = : 10 => EN = -0,5 => unelastische Preiselastizität der 2000 Nachfrage, wenn der Preis gesenkt wird, steigt zwar die Nachfrage, aber zu wenig, um in Summe mehr einzunehmen. Ing. Philipp Hofer, BEd. BEd. Kosten- und Preistheorie
