Aufgaben

Kostentheorie
Schreibweise auf diesem Blatt: K…Gesamtkosten, k…Stückkosten (Durchschnittskosten)
GE … Geldeinheiten, ME …Mengeneinheiten
3,4 A,B Variable Kosten, Stückkosten, Grenzkosten
Die Kosten bei der Herstellung eines Produkts können durch die folgende Funktion dargestellt
werden:
K = 100 + 10x, K in GE, x in ME
Die Kapazitätsgrenze des Unternehmens liegt bei 20 ME.
a) Stellen Sie unter Beachtung einer geeigneten Definitionsmenge die Funktionen der Fixkosten, der
variablen Kosten und der Gesamtkosten graphisch dar.
b) Stellen Sie in einer weiteren Graphik im Intervall [0,100] die Funktionen der fixen Stückkosten, der
variablen Stückkosten und der gesamten Stückkosten dar
c)Berechnen Sie die Grenzkostenfunktion und interpretieren Sie das Ergebnis.
(Teile aus www.bilbuch.de – etwas verändert)
Lösung
a) Graphische Darstellung: D = [0,20]
b) Graphische Darstellung: D = [0,100]
c) K‘(x) = 10
Die Grenzkosten sind konstant. d.h., dass bei Erhöhung der Produktionsmenge um 1 ME die Kosten
um ca. 10 GE steigen.
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3,4 A,B Fixkosten und variable Kosten
In einem Unternehmen entstehen in einer Herstellungsperiode eines Produktes Fixkosten von
€ 10.000. Pro Einheit werden 2 kg eines Rohstoffes verbraucht, welcher pro kg € 1,50 an Kosten
verursacht. Fertigungslöhne fallen in Höhe von € 2,00 pro Stück an. Die Kapazitätsgrenze liegt bei
20 000 ME pro Periode.
a) Erstellen Sie die Gleichung der linearen Kostenfunktion.
b) Berechnen Sie die Gesamtkosten bei einer Ausbringungsmenge von 20 000 ME.
c)Berechnen Sie die variablen Gesamtkosten, die fixen Stückkosten und die gesamten Stückkosten
bei einer Ausbringungsmenge von 15 000 ME.
d) Stellen Sie die Funktionen der variablen, der fixen und der gesamten Stückkosten graphisch dar.
e) Berechnen Sie die Grenzkostenfunktion und interpretieren Sie das Ergebnis.
(Teile aus www.bilbuch.de – etwas verändert)
Lösung:
a) Pro Outputeinheit fallen 2 ∙ 1,5 = 3 € an Materialkosten und 2 € an Fertigungslöhnen an, die
variablen Stückkosten betragen also insgesamt 5 €. Bei 10.000 € Fixkosten lautet also die
Kostenfunktion:
K = 10 000 + 5x
b) Um die Gesamtkosten zu berechnen, setzt man in die Kostenfunktion für die unabhängige
Variable x den Wert 20.000 ein und errechnet daraus die abhängige Variable K:
K = 10 000 + 5 ∙ 20 000 = 110 000
c) Variable Gesamtkosten: Kv = kv ∙ x = 5 ∙ 15 000 = 75 000
d)
e) K‘(x) = 5
Die Grenzkosten sind konstant. d.h., dass bei Erhöhung der Produktionsmenge um 1 ME die Kosten
um 5 GE steigen.
4 B,C Betriebsoptimum und Preisuntergrenze
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Die Kostenfunktion bei der Herstellung eines Produktes ist bekannt:
K(x) = 0,05x³ - 0,3x² + 5x + 30,
K in GE, x in ME
a) Berechnen Sie die Kostenkehre
b) Zeichnen Sie die Stückkostenfunktion und
c) Entnehmen Sie der Grafik den ungefähren Wert für das Betriebsoptimum sowie die langfristige
Preisuntergrenze.
Lösung:
a) K‘(x) = 0,15x² - 0,6x + 5
K‘‘(x) = 0,3x – 0,6 = 0  x = 2 ME … Kostenkehre
b) Stückkostenfunktion = 0,05x² -0,3x + 5 + 30/x
Grafische Darstellung:
Betriebsoptimum = 7,86 ME, Langfristige Preisuntergrenze : 9,55 GE/ME
Ableseungenauigkeiten werden toleriert.
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3,4 A,B Grenzkosten und Stückkosten
Die Kostenfunktion bei der Herstellung eines Produktes ist bekannt:
K(x) = 0,1x³ - 0,6x² + 10x + 60,
K in GE, x in ME
a) Stellen Sie die Gleichungen der Grenzkostenfunktion und der Stückkostenfunktion auf
b) Zeichnen Sie beide Funktionen in ein Koordinatensystem und interpretieren Sie den Schnittpunkt
beider Kurven.
Lösung
a)
Grenzkosten:
K‘(x) = 0,3x² -1,2x + 10
Stückkosten:
k(x) = K/x = 0,1x² -0,6x + 10 +60/x
b)
Der Schnittpunkt der Grenzkosten und der Stückkosten entspricht dem Betriebsoptimum = Minimum
der Stückkosten bei ca. 8 ME, die Stückkosten bzw Grenzkosten betragen in diesem Fall ungefähr
19 GE/ME.
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3, 4 A,B,C Kiesgrube
In der folgenden Tabelle ist angegeben, welche gesamten Kosten beim Kiesabbau in Abhängigkeit
von dem abgebauten Kiesvolumen (in m³) anfallen:
x…Volumen/m³
K …Kosten in €
0
900
80
1160
145
1420
195
1680
230
1940
250
2200
a) Erstellen Sie aus den angegebenen Werten eine passende Kostenfunktion mit einem Polynom 3.
Grades.
b) Berechnen Sie die Grenzkostenfunktion und interpretieren Sie den Wert der Grenzkosten beim
Abbau von 150 m³.
c) Berechnen Sie die Kostenkehre.
d) Zeichnen Sie die Durchschnittskostenfunktion und lesen Sie das Betriebsoptimum und die
minimalen Kosten pro m³ ungefähr ab.
Lösung:
a) Regression ( hier mit EXCEL)
b) K‘(x) = 2,7∙10-4 x² - 0,0402x + 4,4635
K‘(150) = 4,5085
Beim Abbau von 150 m3 Kies würde bei einer Erhöhung des Abbauvolumens von 1 m3 die
Kostenänderung ca. 4,55 € betragen.
c) K‘‘(x) = 0,00054x-0,0402 = 0  x = 74,44
Die Kosten beginnen ab einem Abbauvolumen, das größer als 74,44 m³ ist, progressiv zu steigen.
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d)
Das Betriebsoptimum beträgt
217, 28 m3.
Die minimalen Kosten / m³ betragen ca.
8,5 €.
Ableseungenauigkeiten werden
toleriert.
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