ET2 Buch-Fragen ausgearbeitet

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Ausgearbeitete Fragen aus
„Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik“
Band sowie Auflage 2 von Adalbert Prechtl.
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Kapitel 15: Magnetische Erscheinungen
(15.1)
Was verstehen Sie unter dem Begriff „Magnetismus“ im traditionellen Sinn?
Darunter versteht man, dass gewisse Metalle wie etwa Eisen, Kobalt und Nickel von Magnetit
stark angezogen werden. Diese Stoffe nennt man ferromagnetische Stoffe. Magnetit ist ein
natürlicher Dauermagnet, der durch Lagerung im Erdmagnetfeld entstanden ist.
(15.2)
Welche Erfindungen ermöglichte eine systematische Untersuchung der Beziehung
zwischen Elektrizität und Magnetismus? Welche für den Magnetismus wichtige
Beobachtung machte rsted um 1820?
Die Erfindung von elektrochemischen Elementen am Anfang des 19. Jahrhunderts ermöglichte
eine Untersuchung zwischen Elektrizität und Magnetismus. Vor deren Erfindung gab es keine
Hinweise auf etwaige Verbindungen. Mit der Erfindung elektrochemischer Elemente war die
Erzeugung
von
stationären
elektrischen
Strömen
möglich.
Im Jahr 1820 machte rsted die Beobachtung, dass eine Kompassnadel durch einen
Stromdurchflossenen Draht aus ihrer natürlichen Lage in eine Richtung senkrecht zum Draht
abgelenkt wird.
(15.3)
Wie erklärte Ampere den Magnetismus von Körpern (Elementarstromhypothese)?
Kann man die Ampereschen Elementarströme direkt messen? Warum?
Die Elementarstromhypothese ist ein stark vereinfachtes Modell für Dauermagnete. Sie besagt
dass ein magnetisierbarer Körper aus vielen kleinen Teilchen besteht, von denen jedes einen
unveränderlichen Strom in Umfangsrichtung trägt, und damit wie ein kleiner Magnet wirkt. Im
Normalfall wären die Elementarmagnete ungeordnet, und ihre Wirkung bliebe unbemerkt. Würde
der Körper nun in ein Feld eines Dauermagneten oder in das einer stromdurchflossenen Spule
(äquivalent) gebracht, so richten sich die Elementarmagnete ähnlich einer Kompassnadel aus.
Dadurch entsteht eine regelmäßige Anordnung von Elementarströmen, die nach außen einem
entlang des Umfangs fließenden Strom gleichkommen. Somit erzeugen Sie selbst ein
magnetisches Feld. Die elementarströme sind fiktiv, und können daher nicht gemessen werden.
(15.4)
Was bedeutet remanenter, was permanenter Magnetismus?
Wird ein magnetisierbarer Körper in ein Magnetfeld gebracht, so „richten sich die
Elementarmagnete aus“ und erzeugen selbst ein magnetisches Feld (siehe Kapitel 15, Frage 3).
Nach dem Entfernen des magnetisierbaren Körpers aus dem Magnetfeld stellt sich nicht wieder
der total ungeordnete Zustand der Elementarmagnete ein. Es bleibt ein Restmagnetismus
bestehen, der „remanente“ Magnetismus. Wenn der remanente Magnetismus relativ groß und
beständig ist, so spricht man von Dauermagneten, bzw. permanenten Magnetismus.
(15.5)
Was besagen die qualitativen Regeln von Ampere?
Gleichsinnig parallele Ströme ziehen sich an, gegensinnig parallele Ströme stoßen sich ab und
gekreuzte Ströme versuchen sich gleichsinnig parallel zu stellen.
(15.6)
In welchen Schritten verstehen wir heute die Ampere-Regeln der Wechselwirkung
zwischen parallelen Linienströmen?
Wir verstehen die Ampere-Regeln der Wechselwirkung zwischen parallelen Linienströmen heute
in 2 Schritten:
1) Jeder stromdurchflossene Leiter umgibt sich mit einem magnetischen Feld, das sich durch
die Angabe des Vektors ⃗ der magnetischen Flussdichte an jedem Ort durch ein Vektorfeld
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charakterisieren
lasst.
Linienstrom der Stärke :
⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ bezeichnet dabei die Umfangsrichtung (rechtswendig) und
den Abstand zum Leiter.
2) Jedes stromdurchflossene Element eines Leiters Erfährt im magnetischen Feld eine Kraft ,
und zwar senkrecht zur Richtung des magnetischen Feldes und zur lokalen Stromrichtung.
Annahme: Ein Linienleiter führt den Strom I1 und ein anderer Strom I2 erzeugt im Feldpunkt
P die magnetische Flussdichte
⃗⃗⃗⃗
die kraft ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ , dann greift an dem kurzen Leiterstück der läng „ “ um den Punkt P
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
(15.7)
Wie berechnen Sie die längenbezogene Kraft zwischen 2 geraden, parallelen
Linienströmen im leeren Raum?
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
(15.8)
Wie lautet der Ausdruck für die vollständige Lorentz-Kraft an einer bewegten
Punktladung?
⃗
⃗
(15.9)
Wie ist die elektrische Feldstärke beim Übergang zwischen Inertialsystemen
nichtrelativistisch zu transformieren? Was bedeutet hier „nichtrelativistisch“?
⃗
⃗
Grund:
Man befindet sich in einem Laborsystem und beobachtet ein mit
geladenes Teilchen mit der
Geschwindigkeit gegenüber dem Laborsystem. Das Teilchen befindet sich zu einem Zeitpunkt
am Ort
wo gerade die elektrische Feldstärke ⃗⃗⃗ und die magnetische Flussdichte ⃗
⃗
herrschen. Die Kraft die das Teilchen erfährt ist die Lorentz-Kraft in gewohnter Form
⃗ .
der selben Geschwindigkeit
Jetzt versetzt man sich in ein Inertialsystem, welches sich mit
, wie das Teilchen gegenüber dem Laborsystem bewegt. Von
⃗.
gesehen ist die Geschwindigkeit des Teilchens
diesem Standpunkt aus
Laut der allgemeinen Formel für die Lorentz-Kraft folgt also die Kraft auf das Teilchen als
⃗ , was nicht sein kann da alle Inertialsysteme in bezug auf Kräfte gleichwertig sind,
solange die Relativgeschwindigkeiten als klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit
vorausgesetzt werden können. Das bedeutet in diesem Zusammenhang übrigens
„nichtrelativistisch“.
Was folgt daraus? Vom momentanen Ruhesystem aus Beobachtet reagiert das Teilchen über
⃗ das magnetische Feld,
⃗ auf den neuen Feldstärkewert ⃗ , ignoriert aber wegen
⃗
⃗
⃗ . Wir können also daraus schließen: ⃗
⃗
⃗.
also
In Worten:
Herrschen an einem Ort P eines elektromagnetischen Feldes in bezug auf ein Inertialsystem die
elektrische Feldstärke ⃗ und die magnetische Flussdichte ⃗ , dann finden wir in bezug auf ein
anderes, gegenüber dem ursprünglichen Inertialsystem mit der Geschwindigkeit
bewegtem
⃗
⃗.
neuen Inertialsystem in die neue elektrische Feldstärke ⃗
Ein bewegter Körper „spürt“ gewissermaßen ⃗ anstatt von ⃗
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(15.10)
Was verstehen Sie unter dem Phänomen der elektromagnetischen Induktion?
Idee: Wenn elektrische Ströme Magnetfelder hervorrufen können, warum sollte es dann nicht
umgekehrt ebenso funktionieren? Oder anders Ausgedrückt: Wenn in einer von 2 parallel
geführten Drahtschleifen ein elektrischer Strom fließt, müsste sich in der zweiten ebenso ein
Strom feststellen lassen. Alle durchgeführten Experimente verliefen ernüchternd, bis Faraday
1831 erkannte auf was es ankam: Die zeitliche Änderungsrate des magnetischen Feldes. Beim
Einschalten des Stromes zeigte sich in der anderen Schleife ein Stromstoß, ebenso beim
Ausschalten, allerdings mit umgekehrten Vorzeichen.
Die Stromstöße sind die Folge von Spannungsstößen die durch die Rasche Änderung des von
den zwei Schleifen umfassten magnetischen Flusses entstehen. Diese Erscheinung wird
„elektromagnetische Induktion“, und die dabei auftretenden Spannungen „induzierte
Spannungen“ genannt.
Es ist aber nicht von Interesse durch was die Flussänderung entsteht, beispielsweise durch einen
Dauermagnetstab der durch eine Spule geschoben wird, oder eine Spule die von einem
Dauermagneten abgezogen wird. In beiden Fällen ist eine induzierte Spannung feststellbar
welche proportional zur Änderungsrate des momentan umfassten magnetischen Flusses ist.
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Kapitel 16: Das magnetische Feld
(16.1)
In welchem Sinn ist der magnetische Fluss als „Fluss“ aufzufassen? Wie kann man
magnetische Flüsse im speziellen Fällen beispielsweise sichtbar machen?
Der magnetische Fluss ist eine abstrakte Größe wie der elektrische Fluss. Mit einer materiellen
Bewegung hat er nichts zu tun. Wenn von „Fluss“ gesprochen wird sind damit seine strukturellen
(mathematischen) Eigenschaften gemeint.
Durch sichtbarmachen des Feldes einer Zylinderspule durch Eisenfeilspäne bekommt man
tatsächlich den Eindruck von einem Fluss durch das Spuleninnere und einem äußeren Rückfluss.
(16.2)
Nach welcher Konvention wird der Richtungssinn des magnetischen Flusses
festgelegt?
Durch die Eisenfeilspäne bekommt man keinerlei Information bezüglich des Richtungssinnes des
magnetischen Flusses. Es gibt folgende Vereinbarung. Der Nordpol einer Kompassnadel zeigt in
Flussrichtung, oder bequemer: Der Richtungssinn des magnetischen Flusses ist dem
Richtungssinn des erzeugenden Stromes rechtswendig – also im Sinne einer Rechtsschraube –
zugeordnet.
(16.3)
Was verstehen Sie unter einem Spannungsstoß? Welche Beziehung besteht
zwischen Flussänderungen und Spannungsstößen in Probespulen?
Unter Spannungsstoß versteht man die bei Flussänderung zwischen den Enden einer Spule
auftretende Spannung. SI-Einheit: 1Vs.
(16.4)
Welche kohärente Einheit ist dem magnetischen Fluss im (VAsm)-System
zugeordnet und welcher besondere Einheitenname ist dafür im SI festgelegt?
Einheit (VAsm): 1Vs (Voltsekunde)
Einheit SI: 1Wb (Weber)
1Vs = 1Wb
(16.5)
Was ist ein Fluxoid?
Ein Fluxoid ist das elementare Flussquant:
Im Zusammenhang mit Supraleitung kommt der magnetische Fluss nur als ganzzahliges
Vielfaches des Fluxoids vor.
(16.6)
Welche räumliche Vorstellung verbinden Sie mit eine magnetischen
Flussverteilung?
Als geeignete räumliche Vorstellung für de Flussverteilung Bietet sich ein System von
Flussröhren an, von denen jede den gleichen Flusswert
trägt.
Soll nun der magnetische Fluss durch eine Fläche , also
bestimmt werden, so müssen
lediglich die Flussröhren die die Fläche A durchsetzen unter Berücksichtigung der gewählten
Orientierung abgezählt werden, und deren Anzahl mit
multipliziert zu werden. Es wird positiv
gezählt wenn die Flussröhre die Fläche im Bezugssinn durchsetzt, sonst negativ.
(16.7)
Was wissen Sie über die Quellen des magnetischen Flusses?
Quellen des elektrischen Flusses: elektrische Ladungen.
Demnach Quellen des magnetischen Flusses: magnetische Ladungen… diese lassen sich in der
Natur aber nicht finden.
Klartext: Es gibt keine Quellen des magnetischen Flusses.
(16.8)
Wie lautet der Satz vom magnetischen Hüllenfluss formal und verbal?
Formal:
Verbal: Ein durch die geschlossene Oberfläche
eines Raumteils
tretender magnetische
Fluss ist stets gleich Null.
Der Satz besagt lediglich, dass der magnetische Fluss der an einem Teil der der Hülle eintritt, an
einem anderen Teil der Hülle wieder vollständig austritt.
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(16.9)
Was folgt aus dem Satz vom magnetischen Hüllenfluss für die Flusswerte an
Flächen mit dem selben Rand, und wie folgt diese Aussage?
Man stelle sich ein orientiertes Flächenstück mit dem Rand
und dem magnetischen Fluss
vor. Ein weiteres Flächenstück
mit dem selben Rand ergänzt nun
zu einer
geschlossenen Fläche.
Der Satz vom mag. Hüllenfluss liefert dann:
. Das heißt, dass den beiden
Flächenstücken
und
, die nur ihren Rand gemeinsam, haben der selbe Wert des
magnetischen Flusses zugeordnet ist.
In einer gegebenen Verteilung hängt der Wert des mag. Flusses an einem Flächenstück A
lediglich von dem Verlauf der Randkurve
und nicht von der speziellen Gestalt der Fläche ab.
Alle gleichsinnig orientierte Flächen mit demselben Rand werden vom gleichen mag. Fluss
durchsetzt.
(16.10)
Was bedeutet der Ausdruck „verkettet“ im Zusammenhang mit dem magnetischen
Fluss? Wie ist der Verkettungsfluss in einfachen und wie in komplizierten Fällen erklärt?
In technischen Anwendungen treten Randkurven häufig in Form von linienförmigen Leitern mit
mehreren Windungen auf. Es ist nicht im Vorhinein klar, war jetzt unter
zu verstehen ist.
Beispiel: Ein Flussröhrenbündel trägt den Fluss
und wird von einem Draht n mal
umschlungen. So durchsetzt
die vom Draht berandete Fläche n mal. Daher haben wir
Um Flusswerte an einfachen Flächenstücken von denen an komplizierteren zu unterscheiden,
nennen wir letztere Verkettungsflüsse ( ).
(16.11)
Wodurch wird eine magnetische Flussverteilung lokal repräsentiert und von
welchem mathematischen Charakter ist diese physikalische Größe?
Eine magnetische Flussverteilung wird durch die magnetische Flussdichte ⃗ repräsentiert. Diese
physikalische Größe ist ein Vektor.
(16.12)
Welche ältere Bezeichnung wird auch heute noch häufig für die magnetische
Flussdichte benutzt?
Die ältere Bezeichnung ist „magnetische Induktion“ oder kurz „Induktion“
(16.13)
Welche kohärente Einheit ist der magnetischen Flussdichte im (VAsm)-System
zugeordnet und welcher besondere Einheitenname ist dafür im SI vorgesehen?
Einheit VAsm: 1Wb/m²
Einheit SI: T (Tesla)
(16.14)
Was bedeutet die Einheit „1 Gauß“?
1 Gauß ist eine veraltete Einheit für die Flussdichte aus dem cgs-Einheitensystem.
Carl Friedrich Gauß: 1777 – 1855, deutscher Mathematiker und Naturwissenschaftler.
(16.15)
Wie erfolgt die Darstellung des magnetischen Flusses als Flächensumme (als
Flächenintegral) bildlich und wie formal?
⃗
⃗
∑
∫
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Bildlich: Eine Fläche wird ausreichend fein
in Polygone zerlegt. Nun wird zu jedem
Polygon die Normalkomponente der
Flussdichte gebildet, mit der Fläche
multipliziert
und anschließend alles
aufsummiert!
(16.16)
Worauf gründet sich die Existenz des magnetischen Vektorpotenzials? Welche SI
Einheit ist dem magnetischen Vektorpotenzial zugeordnet?
Ist eine andere Darstellungsform des magnetischen Flusses die direkt aus seiner Quellenfreiheit
folgt.
Magnetische Flüsse sind immer irgendwelchen Flächen zugeordnet. Allerdings zeigt der
universell gültige Satz vom mag. Hüllenfluss dass es nicht auf die spezielle Gestalt der Fläche,
sondern nur auf ihren Rand in einer gegebenen Flussverteilung ankommt.
Wir schließen daraus die Existenz des magnetischen Vektorpotenzials mit dessen Hilfe ein
mag. Fluss direkt der Randkurve zugeordnet werden kann.
Die Einheit des mag. Vektorpotenzials im SI ist 1Wb/m (= 1Vs/m).
(16.17)
Wie erfolgt die Darstellung des magnetischen Flusses als Kurvensumme (als
Kurvenintegral) bildlich und wie formal?
∑
∫
Abbildung 1: Ersetzt Vektor E durch A
(16.18)
Welcher Art von geometrischen Objekten
zugeordnet?
Magnetische Spannungen sind Kurven zugeordnet.
sind
magnetische
Spannungen
(16.19)
Durch welches Gedankenexperiment lässt sich der Begriff der magnetischen
Spannung erläutern?
Angenommen auf einer schlanken Zylinderfläche fließt in Umfangsrichtung und gleichmäßig über
die Länge verteilt ein elektrischer Strom der Stärke -> Es stellt sich ein magnetisches Feld ein.
Bringen wir diese Spule in ein anderes, weit ausgedehntes homogenes Feld. Bei geeigneter
Ausrichtung (Spulenachse in Feldrichtung) und einem bestimmten Wert von
kann der
magnetische Fluss im Spuleninneren vollständig beseitigt (verdrängt) werden. In allgemeiner
Lage der Spulenachse zum Feld Tritt zwar ein Querfluss auf, aber durch einen passenden Wert
von
kann der Längsfluss wiederum unterbunden werden. Nun wird der Länge der Spule im
Inneren (Kurvenstück der Länge ) die magnetische Spannung
des ursprünglichen
ungestörten
magnetischen
Feldes
folgendermaßen.zugeordnet:
Der Wert
der magnetischen Spannung ist gleich dem Gesamtwert des Stromes , der zur
Beseitigung des Längsflusses entlang C erforderlich ist.
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(16.20)
Welche kohärente SI Einheit ist der magnetischen Spannung zugeordnet?
Einheit SI: A (Ampere).
(16.21)
Wie lautet der Durchflutungssatz formal und verbal?
Formal:
Verbal: In einer (quasi-) stationären Stromverteilung (elektrische Flussverteilung ändert sich
zeitlich nicht oder nicht merkbar) ist die magnetische Spannung
entlang eines Randes
einer Fläche
gleich dem Gesamtwert
des elektrischen Stromes durch die Fläche
(rechtswendige Zuordnung der Orientierungen von
und
vorausgesetzt). Kurz: Die
magnetische Umlaufspannung ist gleich der rechtswendig umfassten Durchflutung.
(16.22)
Auf welche Weise enthält eine magnetische Spannungsverteilung die vollständige
Information über eine elektrische Stromverteilung?
Aus dem Durchflutungssatz
kann über die magnetische Spannung auf den
Gesamtwert des (quasi)stationären elektrischen Stromes geschlossen werden.
(16.23)
Von welcher Art ist der Widerspruch zwischen dem Durchflutungssatz und dem
Satz von der Erhaltung der elektrischen Ladung? Auf welche Vorgänge ist die
(näherungsweise) Gültigkeit des Durchflutungssatzes deshalb eingeschränkt?
Angenommen ist die geschlossene Hülle eines Volumens , also
. Der Rand von A,
also
ist
demnach
(Der
Rand
eines
Randes
ist
NULL).
Durchflutungssatz:
. Mit

Satz der Erhaltung der elektrischen Ladung:
Satz vom elektrischen Hüllenfluss:
̇
Zusammen also
:
. Wegen
ist auch
̇
̇
̇
Daran sieht man, dass der Durchflutungssatz nur dann gültig sein kann, wenn sich die elektrische
Ladungsverteilung und die elektrische Flussverteilung zeitlich nicht ändern (stationäre
Stromverteilung) oder wenn die Änderungsraten gegenüber den elektrischen Strömen
vernachlässigbar klein sind (quasistationäre Stromverteilung).
(16.24)
Unter welchen Voraussetzungen besitzen 2 Kurven mit demselben Anfangs- und
Endpunkt den gleichen Wert der magnetischen Spannung?
Wenn die gleiche Durchflutung umfasst wird, und wenn keine zeitlichen Änderungen des
elektrischen Flusses und der elektrischen Ladung auftreten.
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(16.25)
Welche magnetische Spannungsverteilung stellt sich in der Umgebung eines
geraden Linienstroms im leeren Raum ein? Wie ist diese geometrisch zu
veranschaulichen?
Die magnetische Spannung teilt sich hier in konzentrischen Kreisen senkrecht zur Leiterachse
auf. Ein Kreissegment mit dem Öffnungswinkel besitzt die magnetische Spannung
.
Daran knüpft sich die Vorstellung einer Spannungsverteilung in Form eines gleichmäßigen, mit
einem Richtungssinn versehenen Fächer von Ebenen.
(16.26)
Wie können Sie allgemein magnetische Spannungsverteilungen geometrisch
veranschaulichen?
Im Allgemeinen kann man sich magnetische Spannungsverteilungen immer als eine
schichtenartige Struktur vorstellen.
(16.27)
Wie verteilt sich die magnetische Spannung im Inneren einer leeren, schlanken,
gleichförmig gewickelten Zylinderspule? Wie groß ist ihr Gesamtwert?
Die mag. Spannung verteilt sich im Inneren gleichmäßig über die Länge.
Trägt die Spule den Strom
und die Windungszahl
so ist der Wert der magnetischen
Spannung im Inneren der Spule
.
(16.28)
Wie verteilt sich die magnetische Spannung im Inneren einer gleichförmig
gewickelten Kreisringspule? Welche Rolle spielt dabei das Kernmaterial? Welche Rolle
spielt die Form der Querschnittfläche?
Die mag. Spannung teilt sich im Inneren gleichmäßig über die Bogenlänge auf. Die
Querschnittsform ist dabei nicht von Belang und sofern das Kernmaterial homogen ist, auch
dieses nicht.
(16.29)
Wodurch wird eine magnetische Spannungsverteilung lokal repräsentiert? Von
welchem mathematischen Charakter sind die dabei verwendeten Größen?
Die magnetische Spannungsverteilung wird durch den Feldstärkevektor ⃗ repräsentiert.
⃗
(16.30)
Kennen Sie noch einen anderen Namen für die magnetische Feldstärke?
Ein anderer Name für die mag. Feldstärke ist „magnetische Erregung“.
(16.31)
Welche kohärente Einheit ist der magnetischen Feldstärke im SI zugeordnet?
Einheit SI: A/m
(16.32)
Wie erfolgt die Darstellung der magnetischen Spannung als Kurvensumme (als
Kurvenintegral) bildlich und wie formal?
⃗
⃗
∑
∫
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(16.33)
Wie berechnen Sie die magnetische Feldstärke in der Umgebung eines geraden
Linienstroms im leeren Raum?
⃗
(16.34)
Wie berechnen Sie die magnetische Feldstärke im Inneren einer leeren, schlanken,
gleichförmig gewickelten Zylinderspule? Welche Rolle spielt dabei die Form des
Spulenquerschnitts?
Ohne Berücksichtigung der Randbereiche berechnet sich die magnetische Feldstärke zu. Der
Querschnitt spielt keine Rolle.
⃗
(16.35)
Wie berechnen Sie die magnetische Feldstärke im Inneren einer gleichförmig dicht
gewickelten Kreisringspule?
⃗
(16.36)
Wie erfolgt die lokale Verknüpfung magnetische Spannungs- und Flussverteilungen
im leeren Raum?
⃗
⃗
magnetische Feldkonstante oder Indunktionskonstante.
(16.37)
Auf welche Weise wird die magnetische Feldkonstante im SI festgelegt und wie
groß ist dieser Wert?
Die magnetische Felskonstante wird im SI zur Festlegung des Ampere benutzt und dabei als
exakter Wert:
fixiert.
(16.38)
Wie erfolgt die globale Verknüpfung von magnetischen Spannungen und Flüssen
bzw. von elektrischen Strömen und Verkettungsflüssen?
Wobei
die Induktivität der schlanken gleichförmig dünn gewickelten Zylinderspule
darstellt. Der Verkettungsfluss ist also proportional zum Spulenstrom.
Herleitung (16.41)
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(16.39)
An welche Voraussetzungen ist die Existenz des Induktivitätsbegriffs gebunden?
Der Induktivitätsbegriff ist dann wohldefiniert, wenn die Stromverteilung im Detail angegeben
werden kann, und wenn sich alle beteiligten Werkstoffe magnetisch linear verhalten.
(16.40)
Welche kohärente Einheit besitzt die Induktivität im (VAsm)-System und welcher
besondere Einheitenname ist dafür im SI vorgesehen?
Einheit VAsm:
Einheit SI:
(16.41)
Wie berechnen Sie näherungsweise die Induktivität einer schlanken, gleichförmig
gewickelten Zylinderspule im leeren Raum?
mit
:
mit
also:
(16.42)
Was verstehen Sie unter den Begriffen Selbstinduktivität und Gegeninduktivität?
Beispiel:
2 Spulen in allgemeiner Lage mit den Strömen und . Annahme: nur
aktiv, d.h. Spule 1
erzeugt ein magnetisches Feld und man kann ihr den Verkettungsfluss proportional zu , also
zuordnen.
Die zweite, nach wie vor stromlose Spule wird ebenfalls von einem mag. Fluss durchsetzt und
der dazugehörende Verkettungsfluss
ist ebenfalls proportional zu , also
.
Fließt jetzt zusätzlich zu
auch , überlagern sich zu
der Fluss
, und zu
der Fluss
.
Insgesamt also:
Herleitung der Beziehung
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(16.43)
Wann bezeichnet man einen Körper als magnetisierbar? Wie lässt sich
Magnetisierbarkeit im Modell des Ampereschen Elementarströme erklären?
Sind im Rahmen der zugrundeliegenden Messgenauigkeit Abweichungen vom Zusammenhang
⃗
⃗⃗ feststellbar, so nennen wir einen Körper magnetisierbar.
Wenn ein dünner Draht gleichmäßig dicht um einen homogenen Eisenring gewickelt, ändert sich
auf Grund des Durchflutungssatzes und der erhaltenen Symmetrie im Vergleich zur LuftRingspule NICHTS an der magnetischen Spannungsverteilung. Was sich aber beobachten lässt
ist ein deutlich größerer Fluss im Kernmaterial, oder anders ausgedrückt: Zur Erzeugung des
gleichen magnetischen Flusses im Eisen ist ein viel kleinerer Wert der magnetischen Spannung
erforderlich als in Luft.
Als Vorstellungshilfe dieses Phänomens kann das Modell der Ampereschen Elementarströme
dienen: Unter dem Einfluss des Spulenstromes richten sich die ursprünglich ungeordneten, in
mikroskopischen Aggregaten gebundenen Elementarströme aus und machen sich so
makroskopisch als zusätzliche Felderzeuger bemerkbar.
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(16.44)
Welche Art von Strömen berücksichtigen Sie im Durchflutungssatz?
NUR die elektrischen, „wahren“ Ströme, nicht also die fiktiven Ampereschen Elementarströme.
(16.45)
Wann nennt man ein Material isotrop?
Stimmt die Richtung der magnetischen Flussdichte in jedem Punkt mit der der magnetischen
Feldstärke überein, nennt man ein Material isotrop und schreiben die Stoffgleichung als ⃗
⃗ , wobei
.
(16.46)
Wie ist die (absolute) Permeabilität eines Materials erklärt, und welche kohärente
Einheit besitzt Sie im SI? Was verstehen Sie unter der Permeabilitätszahl?
Die Werte von
hängen von der Art des Materials, der herrschenden Temperatur, dem Druck
sowie i.A. auch vom Betrag der magnetischen Feldstärke ab.
(16.47)
Wann nennt man ein Materialverhalten magnetisch linear?
Stoffe bei denen im Rahmen der geforderten Genauigkeit die Permeabilität unabhängig vom
⃗ einander proportional sind, nennt man magnetisch
Betrag der Feldstärke ist, also wo ⃗
linear.
(16.48)
Wodurch ist paramagnetisches, wodurch diamagnetisches Materialverhalten
gekennzeichnet? Wie groß sind etwa die Permeabilitätszahlen von Luft, Wasser, Kupfer
und Aluminium?
Paramagnetisches Verhalten kennzeichnet sich durch:
Diamagnetisches Verhalten kennzeichnet sich durch:
von Luft (p), Wasser (d), Kupfer (d), Aluminium(p) 1
p… Paramagnetisch
d… Diamagnetisch
(16.49)
Warum sind ferromagnetische Werkstoffe für magnetische Anwendungen so
überaus wichtig und welcher ist ihr bedeutendster Vertreter?
Sie zeigen die Erscheinung der magnetischen Sättigung und Hysterese. Im eigentlichen bedeutet
das, dass man ferromagnetisches Material dauerhaft magnetisieren kann. Der bedeutendste
Vertreter ist Eisen.
(16.50)
Was verstehen Sie allgemein unter Magnetisierungskurve?
Unter einer `Magnetisierungskurve versteht man den graphischen Zusammenhang der
magnetischen Feldstärke und der magnetischen Flussdichte in einem Stoff.
Mag. Feldstärke: „x-Achse“
Mag. Flussdichte: „y-Achse“
(16.51)
Was verstehen Sie den Begriff der magnetischen Hysterese?
Beispiel:
Ein Eisenkern einer Ringspule befindet sich zunächst in einem nicht magnetsierten Zustand. Der
Spulenstrom wird bis erhöht -> die sogenannte Neukurve entsteht. Nun wird der Spulenstrom
wieder verringert. Bei
ist aber immer noch eine gewisse Flussdichte vorhanden,
welche bei zunehmender Gegenfeldstärke (
) abnimmt. Dann erst dreht sich der
Richtungssinn des mag. Flusses um. Dieser Effekt nennt sich magnetische Hysterese
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(16.52)
Welchen Zustand bezeichnen wie als magnetisch gesättigt?
Wenn trotz wachsender Feldstärke keine wesentlichen Flusssteigerungen bemerkbar sind,
nennen wir ein Material als magnetisch gesättigt.
Im Bezug auf das Amperesche Modell kann man sich alle Elementarmagnete als komplett
ausgerichtet vorstellen.
(16.53)
Was zeichnet die äußere Hystereseschleife eines Materials unter allen
(quasistatischen) Hsytereseschleifen aus?
Die äußere Hystereseschleife, bzw. Grenzschleife ist charakteristisch für ein Material, und
schließt alle mögliche Hystereseschleifen ein.
Man erhält sie, wenn man das Material in den positiven, und anschließend in den negativen
Sättigungsbereich treibt.
(16.54)
Wie sind die Kenngrößen Remanenzflussdichte und Koerzitivfeldstärke (der
magnetischen Flussdichte) erklärt?
Remanenzflussdichte und Koerzitivfeldstärke sind besondere magnetische Zustandspunkte auf
der
äußeren
Hystereseschleife.
Remanenzflussdichte :
Koerzitivfeldstärke :
(16.55)
Wann bezeichnet man ein Materialverhalten als weichmagnetisch, wann als
hartmagnetisch? Wo liegt ungefähr die Grenze?
Weichmagnetisch:
Hartmagnetisch:
Die Grenze muss wohl irgendwo dazwischen liegen.
(16.56)
Was verstehen Sie unter einem ideal magnetisierbaren Körper?
Als ideal magnetisierbaren Körper versteht man einen Körper mit der Eigenschaft
.
Dieses Modell ist nur im ungesättigten Bereich, und nur bei hohen Werten der Permeabilitätszahl
⃗
⃗ ist hier jeder Kurve die im Körperinneren verläuft die magnetische
anwendbar. Wegen ⃗
Spannung
zugeordnet.
(16.57)
Was passiert in ferromagnetischen Körpern bei Annäherung von unten an die
Curie-Temperatur? Wie groß ist die Curie-Temperatur von reinem Eisen?
Die magnetischen Eigenschaften eines Körpers hängen bekanntlich auch von der Temperatur
ab. Ferromagnetische Körper verlieren bei Annäherung von unten an die Curie-Temperatur
ihre ausgeprägten magnetischen Eigenschaften und verhalten sich oberhalb wie
Paramagnete.
Reines Eisen besitzt eine Curie-Temperatur von
(16.58)
Wie ist ein System von Vektorlinien, wie ein System von Feldlinien allgemein
erklärt?
Vektorlinien: In einem Vektorfeld ist jedem Ort ein Vektor zugeordnet. Begibt man sich an den Ort
findet man dort den dazugehörigen Vektor
, welchem man ein sehr kurzes Stück zum
Ort
wo sich der Vektor
befindet, dem man ebenfalls ein sehr kurzes Stück nach , usw,
usw…
Wenn man das für jeden Punkt im Bereich des Vektorfeldes durchführt, erhält man das
dazugehörige System von Vektorlinien, welche die Richtung der Vektoren in jedem Punkt
erfassen.
Feldlinien: Neben der Richtung muss auch der Betrag der Vektoren erfasst werden. Dies tut man,
in dem man ein kleines Flächenstück mit dem Inhalt normal zur Feldrichtung aufspannt und
festlegt, dass die Flächendichte der durchtretenden Vektorlinien proportional zum Betrag des
Vektors sind. Das heißt, wenn ein Flächenstück von „n“ Vektorlinien durchsetzt wird, ist der
Betrag des Vektors
mit einer für den gesamten Bereich konstanten „k“.
Je kleiner „k“ gewählt wird, desto größer ist die Auflösung der Darstellung. Auf diese Weise
entsteht ein System von Feldlinien.
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(16.59)
Was verstehen Sie unter magnetischen Flussdichtelinien, was unter magnetischen
Feldstärkelinien? Welche Verbindung besteht zu den Bildern der magnetischen
Flussröhren und der magnetischen Spannungsflächen? Wann können wir einfach von
magnetischen Feldlinien sprechen, und warum?
Magnetische Flussdichtelinien sind die dem Vektorfeld der magnetischen Flussdichte
zugeordneten Feldlinien. Sie verlaufen immer entlang der Flussröhren. Das Feldliniensystem
zum Vektorfeld der magnetischen Feldstärke wird magnetische Feldstärkelinien genannt. Sie
stehen immer senkrecht auf die Schichtstruktur der zugehörigen magnetischen
Spannungsverteilung.
Im leeren Raum sind die Vektoren ⃗ und ⃗ gleichgerichtet und einander über einen konstanten
Faktor proportional. Daher braucht nicht zwischen Flussdichte- und Feldstärkelinien
unterschieden zu werden, und man kann allgemein davon als magnetische Feldlinien sprechen.
(16.60)
Welche Eigenschaften besitzen magnetische Feldstärkelinien an der stromfreien
Oberfläche hochpermeabler Körper?
In einem Körper dessen Verhalten wir als ideal magnetisierbar beschreiben können, ist die mag.
Feldstärke stets gleich Null. Die Körperoberfläche ist dann notwendigerweise eine magnetische
Spannungsfläche, und die magnetische Feldstärkelinien des angrenzenden Feldraumes münden
immer senkrecht, vorausgesetzt die Oberfläche ist frei von (wahren) Flächenströmen.
Ist das angrenzende Medium magnetisch isotrop oder überhauptnicht magnetisierbar, gilt das
Selbe auch für die mag. Flussdichtelinien bzw. die Flussröhren. Näherungsweise erfüllt finden wir
diese geometrische Beziehung an der Grenzfläche zwischen hoch- und niedrig permeablen
Medien.
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Kapitel 17: Elementare Methoden der Berechnung
magnetischer Felder
(17.1)
Was bedeutet die Voraussetzung der Gültigkeit des Überlagerungsprinzips bei der
Berechnung magnetischer Felder bekannter Stromverteilungen?
⃗ gilt, sprich keine
Wenn im interessierenden Feldbereich die Verknüpfung ⃗
magnetisierbaren Körper vorhanden sind (= leerer Raum), eine elektrische Stromverteilung am
Ort die mag. Flussdichte ⃗
und eine andere Stromverteilung am selben Ort die mag.
⃗
⃗
Flussdichte ⃗
erzeugt, so gilt: ⃗
. Somit reduziert sich die
Berechnung magnetischer
Summationsprozesse.
Felder
bekannter
Stromverteilungen
im
wesentlichen
auf
(17.2)
Wie lautet die Biot-Savart-Formel und welche Voraussetzungen sind bei Ihrer
Anwendung zu beachten?
⃗
Voraussetzung: Im interessierenden Feldbereich muss die Verknüpfungsbeziehung ⃗
gelten, damit die eigentliche Summation die durch die Formel produziert wird anwendbar ist
(siehe Frage 27.1)
Biot-Savart-Formel:
⃗
⃗
(17.3)
∑
∫
Wie berechnen Sie das magnetische Vektorpotenzial von Linienströmen?
∑
∫
(17.4)
Welche Konfiguration besitzt das magnetische Feld in der Umgebung einer
stromdurchflossenen Kreisschleife? (Skizze)
Durchgezogene Linien: mag. Flussdichtelinien
Strichliert: Spuren der mag. Spannungsflächen
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S e i t e | 17
(17.5)
Wie verläuft der Betrag der magnetischen Flussdichte entlang der Achse einer
stromdurchflossenen Kreisschleife? (Skizze). Wie groß ist ihr Maximalwert?
Verlauf der magnetischen Flussdichte entlang der Achse formal mit folgenden Beziehungen:
⃗
∫
∫
⃗
mit
√
√
Schleifenradius „a“
ds = a d𝜑
𝑟𝑃𝑄
𝑎
𝛼
⃗
[
( ) ]
Wie aus der in Frage 4 verwendeten Skizze bereits zu erwarten war, liegt der Maximalwert der
magnetischen Flussdichte bei z = 0. Der Maximalwert Beträgt dann nach obiger Formel
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(17.6)
Was verstehen Sie unter dem magnetischen Moment einer ebenen Stromschleife?
Das magnetische Moment ⃗⃗ einer ebenen Stromschleife ist definiert als das Produkt des
Stromstärke mit dem Flächeninhalt
der Schleife und der Normalenrichtung
welche der
Stromrichtung rechtswendig zugeordnet ist. Die spezielle Gestalt der Schleife spielt dabei keine
Rolle.
⃗⃗
(17.7)
Wie stellen Sie sich einen magnetischen Punktdipol vor?
Eine stromdurchflossene Kreisschleife, welche von einem Punkt aus betrachtet wird, dessen
Abstand zur Kreisschleife gegenüber dem Schleifenradius sehr groß ist.
(17.8)
Wie verlaufen die magnetischen Flussröhren und die magnetischen
Spannungsflächen in der Umgebung eines magnetischen Punktdipols? (Skizze)
Bild links:
Magnetisches Feld einer stromdurchflossenen Kreisschleife, welche bei ausreichend großem
Abstand gegen den Schleifenradius einen Punktdipol darstellt.
Bild rechts:
Die Kreisschleife aus einem großen Abstand gegenüber dem Schleifenradius betrachtet, und mit
bezeichnendem magnetischen Moment ⃗⃗ .
Strichlierte Linien: mag. Spannungsflächen
Durchgezogene Linien: Vektorlinien der mag. Flussdichte.
(17.9)
Wie verlaufen die Vektorlinien des magnetischen Vektorpotenzials eines
magnetischen Dipolfeldes?
/* kA */
Allgemein verlaufen Vektorlinien des mag. Vektorpotentials in Stromrichtung.
Ev. Kann man sich bei der Prüfung so drüber retten ;)
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(17.10)
Wie hängen die Werte der magnetischen Flussdichte und des magnetischen
Vektorpotentials in einem magnetischen Dipolfeld vom Abstand Dipolort – Feldpunkt ab?
Das magnetische Vektorpotential nimmt mit
⁄
ab, die
magnetische Flussdichte sogar mit ⁄ .
⃗⃗
⃗⃗
⃗
Wobei: ⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
(17.11)
Welche Richtung besitzt das magnetische Vektorpotential eines geraden, beidseitig
unendlich langen Linienstromes? Warum tritt bei seiner Berechnung ein Bezugsradius
auf?
Die Richtung ist die Stromrichtung.
Der Bezugsradius tritt auf, da der Grenzübergang für einen unendlich ausgedehnten Leiter
nicht direkt ausgeführt werden kann.
⃗⃗⃗
√
 Division durch NULL!!
Daher wird eine Renormierung angewandt. Der Feldpunkt P wird in die Mittenebene des
Leiterstücks gelegt, sodass
, und der Bezugsort für das Potential wird aus dem
unendlichen an einen Ort im Abstand
verlegt. Jetzt ist der Übergang
ausführbar und
wir erhalten:
( )
(17.12)
Auf welche Schwierigkeiten stoßen Sie bei der Berechnung des
Induktivitätsbelages einer Doppelleitung aus dem Feld von Linienströmen? Wie umgehen
Sie diese Schwierigkeiten?
Das mag. Vektorpotential lasst sich bequem zur Bestimmung von Flüssen in ebenen Feldern
verwenden. So kann z.B. der Fluss durch das Flächenstück (siehe linkes Bild), welcher durch
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den unendlich langen Linienstrom hervorgerufen wird mit Hilfe der Beziehungen
∫
( )
und
zu
[
]
[
(
)
( )]
( )
Setzen wir dies nun auf eine Doppelleitung (rechtes Bild) um. Damit ergibt sich für den Fluss
zwischen den Leitungen:
[
(
)
( )
( )
( )]
( )
Der 2er kommt daher, dass es eine hin- und eine rücklaufende Leitung mit jeweils der
Stromstärke gibt, die jeweils den gleichen Teil zum Fluss beitragen.
Somit ergibt sich der längenbezogene Fluss zu
( )
Allerdings ergibt sich bei unserer einfachen Darstellung der Doppelleitung aus dem Bild
zu
NULL, womit die Formel für den Längenbezogenen Fluss nicht mehr sinnvoll anwendbar ist. Um
dies zu Umgehen, müssen die Leitungsabmessungen Berücksichtigt werden,
und zwar in der Form
und
. Da
vorausgesetzt wird, kann der
( )
längenbezogene Fluss der Doppelleitung als
geschrieben
werden. Die längenbezogene äußere Induktivität lässt sich somit sofort als
(
)
angeben.
(17.13)
Was verstehen Sie unter dem äußeren, was unter dem inneren Induktivitätsbelag
einer Doppelleitung?
Wir nennen den Faktor
aus Frage 12 die längenbezogene äußere Induktivität. Dazu kommt
noch eine so genannte längenbezogene innere Induktivität
, welche den Verkettungsfluss
INNERHALB des Leiters erfasst. Sie ist abgängig von der Verteilung des Stromes über den
Querschnitt und lässt sich am bequemsten über die Berechnung der damit verknüpften Energie
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S e i t e | 21
bestimmen. Bei einer gleichförmigen Verteilung des Stromes über einen Kreisquerschnitt ergibt
sich
zu
, und
(17.14)
Wie berechnen Sie das magnetische Vektorpotential und die magnetische
Flussdichte einer Flächenstromverteilung im leeren Raum?
∑
⃗
∑
⃗
⃗
∫
∫
⃗
⃗
(17.15)
Wie verlaufen die Vektorlinien des magnetischen Vektorpotentials und der
magnetischen Flussdichte einer dünnwandigen Kreiszylinderspule im leeren Raum?
(Skizze)
/* Vermutung */
(17.16)
Wie verläuft der Betrag der magnetischen Flussdichte einer dünnwandigen
Kreiszylinderspule im leeren Raum entlang der Achse? (Skizze). Welche Rolle spielt dabei
das Verhältnis Spulenlänge/Spulendurchmesser?
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Je länger die Spule im Verhältnis zum Durchmesser ist, desto Konstanter verläuft der Betrag der
magnetischen Flussdichte im Spuleninneren. Erst an den Enden ist ein starker Abfall feststellbar.
Je schlanker die Spule, desto konstanter der Betrag der Flussdichte.
(17.17)
Wo und wie bildet sich das magnetische Feld einer Koaxialleitung aus und wie
berechnen Sie daraus dessen Induktivitätsbelag?
Das magnetische Feld breitet sich nur zwischen d/2 und D/2 aus, und zwar mit
∫
∫
( )
.
( )
( )
Wobei die Leitungslänge bedeutet
(17.18)
Wie verlaufen die magnetischen Flussdichtelinien in der Umgebung eines geraden
Stromstreifens im sonst leeren Raum?
Siehe rechtes Teilbild
(17.19)
Wie lässt sich das magnetische Feld zweier paralleler, ebener Stromschichten zur
Berechnung des Induktivitätsbelages einer Bandleitung verwenden?
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(17.20)
Was verstehen
Stromverteilung?
Sie
unter
dem
magnetischen
Moment
einer
räumlichen
Das Bild beschreibt eine (quasi) stationäre, das heißt
(quasi) quellenfreie Stromverteilung auf einem
Trägerbereich
in der Umgebung eines Ortes
beschränkt. Außerhalb einer Kugel mit dem Radius
um soll es keinen elektrischen Strom geben. Wenn
folgende Bezeichnungen gelten,
wird das magnetische Moment der Stromverteilung als
⃗⃗
∫
definiert.
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S e i t e | 24
Kapitel 18: Magnetische Kreise
(18.1)
Warum lässt sich der magnetische Fluss besonders gut über ferromagnetische
Körper führen?
Zur Erzeugung eines bestimmten magnetischen Flusses ist in einem ferromagnetischen Körper
ein viel kleinerer Wert der mag. Spannung erforderlich als in Luft.
Überlegung 1:
Eine weichmagnetische Platte wird parallel in ein mag. Feld
gelegt. Aus dem Durchflutungssatz folgt, dass die Feldstärke
im Inneren gleich der Feldstärke im äußeren ist. Die
Flussdichte wird im Inneren also auf das
-fache des
äußeren Wertes angehoben.
Überlegung 2:
Eine weichmagnetische Platte wird senkrecht in ein mag. Feld
gelegt. Der Satz vom mag. Hüllenfluss ergibt gleiche Werte
der inneren und äußeren Flussdichte. Die innere Feldstärke
wird auf ein -tel des äußeren Wertes abgesenkt.
Fazit: Bei gleichem Wert der magnetischen Spannung finden
wir im inneren eine Flussanhebung, und eine Spannungsabsenkung bei gleichem magnetischen
Fluss. Das ist der Grund.
(18.2)
Auf welchem Prinzip beruht die magnetostatische Abschirmung?
Wird ein weichmagnetisches Rohr in ein mag. Feld gebracht, bietet es dem magnetischen Fluss
einen „bevorzugten Weg“ der Flussführung (auf Grund seiner hohen Permeabilität). Im inneren
des Rohres ist das mag. Feld annähernd Null, solange das Rohr nicht mag. gesättigt ist.
(18.3)
Was verstehen Sie unter den Begriffen magnetischer Kreis, Wicklung, Kern,
Schenkel, Joch und Luftspalt?
Ein einfacher mag. Kreis besteht aus einer Spule (Wicklung) auf einem Eisenkern (Kern) mit
weiteren Eisenteilen (Jochen) die den Fluss zum Luftspalt führen. Es muss aber keinen Luftspalt
geben.
(18.4)
Welche Anteile des magnetischen Flusses bezeichnet man allgemein als
Streufluss?
Als Streufluss wird der Fluss bezeichnet, der nicht im gewünschten Pfad (mag. Kreis) verläuft. Im
allgemeinen ist das aber nur ein kleiner Teil.
(18.5)
Wie sind die Größen Reluktanz und Permeanz allgemein erklärt? Welche SIEinheiten sind ihnen zugeordnet?
… Reluktanz od. mag. Widerstand: Quotient von mag. Spannung und mag. Fluss.
… Permeanz od. mag. Leitwert: Kehrwert der Reluktanz.
(18.6)
Was müssen Sie bei der Verwendung von Reluktanzen in magnetischen Kreisen mit
Sättigung besonders beachten?
Da sich die Reluktanz nach
berechnet, darf man bei mag.
Sättigung nicht vergessen, dass die Permeabilität i.A. nicht als konstant vorausgesetzt werden
kann.
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S e i t e | 25
(18.7)
Wie gegen Sie bei der vereinfachten Berechnung magnetischer Kreise ohne und mit
Streuung, ohne und mit Sättigung vor?
Grundlegende Formeln:
 Durchflutungssatz
 Satz vom mag. Hüllenfluss
 Lokale Verknüpfung
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Kreis wird in k Abschnitte Zerlegt
der einzelnen Abschnitt berechnen mit
∑
Gesamte Reluktanz berechnen nach
∑
Mit
Bei Vernachlässigung von Streuung ist der mag. Fluss überall gleich
kann man jetzt die interessierende Flussdichte mit
errechnen.
, also
Gilt
kann man davon ausgehen, dass
die gesamte mag. Spannung annähernd am
Luftspalt zu liegen kommt. Dann gilt
, also
Im Fall von Streuungen kann man die Streuflüsse
entweder als feste Bruchteile des Nutzflusses
schätzen und damit den Fluss in jedem Abschnitt
gemäß
berechnen, wobei
den
Streugrad pro Abschnitt angibt oder falls es
genauer sein soll, die Streuflüsse mit eigenen
Reluktanzen in verzweigten mag. Kreisen
berücksichtigen.
Wenn in einzelnen Abschnitten Sättigung zu
erwarten ist, empfiehlt sich eine umgekehrte Herangehensweise: Ausgehend von einem
gewünschten Wert des Nutzflusses werden über geschätzte Streugrade die Flüsse
und die mag. Flussdichten berechnet. Aus einer magnetisierungskurve (weil die Formel
im Fall der Sättigung nicht angewendet werden kann, weil
feldstärkeabhängig ist) werden die
Werte der mag. Feldstärke entnommen, mit der jeweils zugehörigen Länge multipliziert, die mag.
Umlaufspannung aus den Teilspannungen zusammengesetzt und per Durchflutungssatz der
nötige Spulenstrom ermittelt.
(18.8)
Was verstehen Sie unter dem magnetisierungsbedarf eines magnetischen Kreises?
Wodurch wird diese Größe beeinflusst?
/*Keine Ahnung*/
(18.9)
Wie berechnen Sie näherungsweise die Induktivität der Wicklung in einem
ferromagnetischen Kreis mit und ohne Luftspalt? Welche Voraussetzungen müssen
erfüllt sein, damit die Induktivität unabhängig vom Spulenstrom ist?
Voraussetzung: Keine Streuflüsse, ideal magnetisierbares Material, sodass sich die gesamte
mag. Spannung am Luftspalt konzentriert.
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S e i t e | 26
Dieser Wert ist i.A. zu klein, da die Wicklung zusätzlich mit Streuflüssen verkettet ist.
Berücksichtigt werden kann das durch einen Streufaktor
nach
Bei Kreisen ohne Luftspalt wird ähnlich vorgegangen, nur dass alle Spannungen, in allen Teilen
des Kreises berücksichtigt werden müssen (Schema in (18.8)).
Bei Auftreten von Sättigung ist der Zusammenhang zwischen Spulenstrom und Verkettungsfluss
nicht mehr linear, und die Induktivität daher nicht mehr abhängig vom Spulenstrom.
(18.10) Wie hängt die Induktivität im wesentlichen von der Windungszahl ab?
Siehe (18.9): Quadratisch.
(18.11) Wann bezeichnet man Spulen als magnetisch gekoppelt? Wodurch erreichen Sie
eine besonders starke Kopplung?
Wenn eine Spule von einem mag. Fluss, hervorgerufen durch eine andere Spule durchsetz wird,
und umgekehrt, bezeichnet man sie als mag. gekoppelt. Eine Möglichkeit das zu erreichen ist,
die beiden Spulen auf einen gemeinsamen magnetischen Kreis zu platzieren (siehe Bild Frage
12). Je kleiner die Reluktanz, desto größer die Kopplung.
(18.12) Welchen Flussteil eines Transformators nennt man Hauptfluss? Wie werden
Streuflüsse in den Verkettungsgleichungen berücksichtigt?
Der Hauptfluss
ist der dem gemeinsamen Spulenkern zugeordnete Fluss.
…
…
…
…
magnetischer Hauptleitwert
magnetischer Hauptfluss
Streuinduktivität
Streuinduktivität
(18.13) Was besagt das Prinzip des Durchflutungsausleichs, woraus folgt es, und wann ist
es anwendbar?
Siehe Bild Frage 12.
Das Prinzip des Durchflutungsausgleichs besagt, dass das Modell des ideal magnetisierbaren,
geschlossenen Kreises nur mit dem Verschwinden der Gesamtdurchflutung vereinbar ist. Es
Folgt draus, weil die magnetische Spannung entlang jeder geschlossenen Kurve, die innerhalb
eines ideal magnetisierbaren Körpers verläuft, verschwinden muss. Beispielsweise gilt für die
gestrichelte Kurve im Bild in Frage 12:
Das Prinzip des Durchflutungsausgleichs ist bei Wechselströmen mit nicht zu niedriger Frequenz
anwendbar, und auch nur dann wenn sich der Strom in mindestens einer der beiden Spulen
durch einen äußeren Stromkreis frei einstellen kann.
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S e i t e | 27
(18.14) Was verstehen Sie unter einem starr magnetisierten Dauermagneten? Wie ist sein
Verhalten formal zu erfassen?
Starr magnetisiert bedeutet den Grenzfall des idealen hartmagnetischen Verhaltens, das heißt,
innerhalb des Materials erfüllen
und
(die Projektion der mag. Feldstärke bzw. Flussdichte
auf eine ausgezeichnete Richtung, die sogenannte Megnetisierungsrichtung – hier, senkrecht zur
Plattenebene) die Beziehung
Siehe Bild in (18.15)
(18.15) Wie gehen Sie bei der Berechnung eines Kreises mit starr magnetisierten
Dauermagneten allgemein vor?
Unter der Vernachlässigung der weichmagnetischen Spannung im weichmagnetischen Teil
erhalten wir aus dem Durchflutungssatz
die Beziehung
(1), aus dem Satz vom mag. Hüllenfluss
die Beziehung
(2) und aus der Verknüpfungsbeziehung im leeren Raum
(3). Daraus lässt
sich die Flussdichte im Magneten als
(4) ausdrücken. Diese Beziehung zwischen
nennt man Luftspaltgerade, und sie legt zusammen mit der Beziehung
(5) den Arbeitspunkt fest. Flussdichte und Feldstärke
Dauermagneten entgegengesetzt gerichtet.
Aus (5) lässt sich
sind
im
ausdrücken, und in (4) einsetzen, was zu
führt. Vereinfacht ausgedrückt steht dann

, also
. Dividiert man Nenner uns Zähler jeweils durch
,
errechnet sich die Fussdichte im Luftspalt zu
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S e i t e | 28
Kapitel 19: Globale und lokale Eigenschaften magnetischer Felder
(19.1)
Wie lautet der Satz vom magnetischen Hüllenfluss? Gilt er allgemein?
Ein durch die geschlossene Oberfläche
eines Raumteils
insgesamt gerichtet tretender
magnetischer Fluss
ist stets gleich NULL.
Nach dem heutigen Kenntnisstand gilt der Satz vom mag. Hüllenfluss allgemein.
(19.2)
Was drückt der Satz vom magnetischen Hüllenfluss, vergleich mit dem Satz vom
elektrischen Hüllenfluss, letztlich aus?
Er drücke aus, dass magnetische Flüsse keine Quellen oder Senken besitzen. Der elektrische
Hüllenfluss hingegen sagt aus, dass die Quellen und Senken des elektrischen Flusses die elektr.
Ladungen sind.
(19.3)
Welche allgemeine Sprungbedingung ist der mag. Flussdichte zugeordnet und wie
ist diese zu begründen?
[[ ]]
Stellen wir uns eine Grenzfläche vor, um die ein kleines schachtelförmiges Volumen gelegt ist.
Die Höhe des schachtelförmigen Volumens soll so klein sein, dass der Fluss dadurch
vernachlässigbar klein ist. Somit muss wegen
gelten:


(19.4)
Was folgt aus dem Satz vom mag. Hüllenfluss für das Verhalten des mag.
Vektorpotenzials an einer Sprungfläche?
Ein Punkt P wird folgender maßen in ein kartesisches Koordinatensystem gelegt:
Der Vektor des mag. Vektorpotentials wird nun auf beiden Seiten der Grenzfläche nach
Tangential- und Normalkomponente zerlegt:
, mit
und
.
Seite 28 von 105
S e i t e | 29
Dann wird der Fluss durch die beiden Streifen mittels der Gleichung
wobei die Streifen so schmal sind, dass der Fluss durch die
schmale Seite vernachlässigt werden kann. Wir erhalten
und
[[ ]]
⃗.
. Insgesamt also, [[ ]]
[[ ]]
∫
dargestellt,
Diese Tatsache folgt aus dem Satz vom mag. Hüllenfluss,
weil aus ihm erst die Darstellung des magnetischen
Vektorpotentials zu
∫
folgt.
(19.5)
Mit welcher Zusatzbedingung ist das magnetische Vektorpotential an einer
Sprungfläche stetig?
Mit der Zusatzbedingung dass ein (quasi) stationäres magnetisches Feld vorliegt, ist das
magnetische Vektorpotential insgesamt stetig. Wenn nämlich des mag. Feld (quasi) stationär ist,
ist es zweckmäßig das Vektorfeld als quellenfrei anzunehmen. Damit verschwindet an einer
Sprungfläche auch der Sprung der Normalkomponente des mag. Vektorpotentials.
(19.6)
Wie lautet der Durchflutungssatz? An welche Voraussetzungen ist de gebunden?
In einer (quasi) stationären Stromverteilung ist die dem Rand
einer Fläche
zugeordnete
magnetische Spannung
gleich dem Gesamtwert
des elektrischen Stromes durch .
Der Durchflutungssatz ist nicht allgemein gültig, sondern setzt voraus, dass eine (quasi)
stationäre Stromverteilung vorliegt.
(19.7)
Wie verhält sich die magnetische Feldstärke an einer Sprungfläche? Wie ist dies zu
begründen?
Seite 29 von 105
S e i t e | 30
Die Sprungfläche Trägt den Flächenstrom der Dichte ⃗ .
Die mag. Feldstärke wird, wie zuvor das mag. Vektorpotential in Tagnential- und
⃗
⃗ , mit ⃗
Normalkomponente aufgespalten: ⃗
und ⃗
.
⃗
.
Wenn man den Durchflutungssatz auf die beiden schmalen Streifen anwendet, kommt man auf
und
,
[[ ]]
[[ ]]
also auf
[[
Mit
]]
(1) und [[
]]
(2)
folgt
[[ ⃗ ]]
[[ ⃗
⃗ ]]
[[ ⃗ ]]
[[ ⃗ ]]
[[ ⃗ ]]
[[ ⃗ ]]
und mit ⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
[[
, mit (1) und (2) also
]]
⃗
[[
mit (1) und (2) kommt man zu
]]
[[ ⃗ ]]
Das Ergebnis lautet also:
[[ ⃗ ]]

⃗
[[ ⃗ ]]
⃗
Der Sprung der Tangentialkomponente betragsmäßig gleich der Flächenstromdichte.
In Worten: Der Sprung der Tangentialkomponente der mag. Feldstärke ist betragsmäßig gleich
der Flächenstromdichte, und die drei Vektoren
[[ ⃗ ]] ⃗ bilden in dieser Reihenfolge eine
Rechtsschraube.
(19.8)
Welche Komponente der magnetischen Flussdichte und der magnetischen
Feldstärke sind an einer stromfreien Grenzfläche i.a. stetig, welche sind unstetig?
An Einer Grenzfläche ohne Flächenstrom sind die Normalkomponente der Flussdichte und die
Tangentialkomponente der Feldstärke stets stetig, die Tangentialkomponente der Flussdichte
und die Normalkomponente der Feldstärke dagegen i.a. unstetig.
(19.9)
Was folgt aus den Sprungbedingungen speziell für das magnetische Feld an der
stromfreien Oberfläche eines ideal magnetisierbaren Körpers?
⃗:
An der Oberfläche eines ideal magnetisierbaren Körpers folgt wegen ⃗
⃗
⃗
⃗
[[ ⃗ ]] ⃗
⃗ , dann gilt ⃗
⃗ . Das Heißt, dass an
Wenn aber kein Flächenstrom vorhanden ist, also ⃗
der Oberfläche eines ideal magnetisierbaren Körpers die magnetische Feldstärke höchstens eine
Normalkomponente besitzt, oder in anderen Worten: ⃗ steht senkrecht zur Oberfläche.
(19.10)
Kann ein ideal magnetisierbarer Körper in seinem inneren einen elektrischen Strom
führen? Warum?
Ein ideal magnetisierbarer Körper bedeutet, dass die relative Permeabilitätszahl gegen Unendlich
geht, also
.
Mit
folgt für das innere eines ideal magnetisierbaren Körpers, wegen
, dass keine magnetische Feldstärke vorhanden ist.
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S e i t e | 31
Mit
zeigt sich, dass auch keine magnetische Spannung innerhalb des Körpers
vorhanden sein kann, auch nicht an einer geschlossenen Kurve, also gilt für das Körperinnere
.
Und damit liefert der Durchflutungssatz die Aussage
, was zeigt, dass es in
hoch permeablen Körpern keinen elektrischen Strom geben kann.
(19.11)
(ZUSATZ) Sprungbedingungen im Überblick
Ausgehend von den bereits bekannten Beziehungen:
(1) [[ ⃗ ]]
(2) [[ ⃗ ]]
(3) ⃗
⃗
⃗


Aus (1) erhält man
Aus (2) erhält man

Aus (5) mit (3)

Aus (4) mit (3)
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
(4)
(5)
⃗
[⃗
⃗
]
⃗
Seite 31 von 105
S e i t e | 32
Kapitel 20: Induktionserscheinungen
(20.1) Welche
Grundvorstellung
verbinden
Sie
mit
dem
elektromagnetischen Induktion?
Zeitlich sich ändernde Magnetfelder sind an elektrische Felder,
zeitlich sich ändernde elektrische Felder sind an Magnetfelder
dynamisch gekoppelt.
Ändert sich eine magnetische Flussverteilung zeitlich, dann
entsteht
gleichzeitig
eine
wirbelartige
elektrische
Spanungsverteilung. Die elektrische Umlaufspannung ist im
Allgemeinen also nicht gleich Null.
Phänomen
der
(20.2) Wie lautet das Induktionsgesetz formal und verbal?
Die elektrische Umlaufspannung ist gleich der Abnahmerate des rechtswendig umfassten
magnetischen Flusses.
̇
(20.3) Was müssen Sie bei der Anwendung des Induktionsgesetzes hinsichtlich der
Orientierung der Randkurve – insbesondere bei mehrfach zusammenhängenden
Bereichen – sorgfältig Beachten?
Es muss sorgfältig auf die Orientierungen geachtet werden. Wird einer der beiden
Orientierungssinne umgedreht sodass eine linkswendige anstatt einer rechtswendigen
Zuordnung vorliegt, so muss das in der Gleichung durch einen Vorzeichenwechsel
berücksichtigt werden.
(20.4) Welche elektrostatische Grundgleichung wird durch das Induktionsgesetz
erweitert?
Der Satz vom Verschwinden der elektrischen Umlaufspannung
.
Elektrische Spannungen sind immer irgendwelchen Kurven zugeordnet. Diese Tatsache rückt
aber wegen dem Satz vom Verschwinden der elektr. Umlaufspannung in der Elektrostatik in
den Hintergrund. Die Spannung war deshalb wegunabhängig, und konnte einem Anfangsund einem Endpunkt direkt zugeordnet werden. Aus diesem Grund wurde auf die Existenz
des elektrostatischen Potentials geschlossen. (Fortsetzung Frage 5)
(20.5) Was müssen Sie bei der Anwendung der zweiten Kirchhoff-Regel (Maschensatz)
und bei der Definition von Anschlussspannungen (Klemmenspannungen) in Bezug auf
Induktionserscheinungen beachten?
(Fortsetzung von Frage 4).
Im Allgemeinen Fall spielt‘s das leider nicht. Umlaufspannungen verschwinden nicht, die
elektr. Spannung hängt tatsächlich vom Kurvenverlauf ab, und es existiert kein
elektrostatisches Potential (Das Kraftfeld ist daher auch nicht mehr konservativ).
Die zweite Kirchhoffregel kann natürlich weiterhin verwendet werden, allerdings muss darauf
geachtet werden dass die Maschen nicht mit magnetischen Flüssen merkbarer zeitlicher
Änderungsraten verkettet sind.
(20.6) Wie verhält sich eine ideale widerstandslose Leiterschleife bezüglich des mit ihr
verketteten magnetischen Flusses?
Ein dünner Linienleiter bildet den Rand
eines Flächenstückes
welches mit dem
magnetischen Fluss
verkettet ist.
Bei jeder Änderung des Flusses entsteht entlang der Schleife insgesamt die Spannung
̇ .
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S e i t e | 33
(20.7) Welche Beziehung besteht zwischen den Anschlussgrößen einer Spule und ihrem
Verkettungsfluss? In welchen Schritten folgt die Beziehung aus dem Induktionsgesetz,
und welche Bezugssinne liegen zu Grunde?
Die Drahtschleife wird aufgetrennt, und ihre Enden werden an äußere Anschlüsse geführt.
Der Draht soll (siehe Bild) als Spule, oder Wicklung ausgefasst werden, welcher einen
Eigenwiderstand R besitzt. Das magnetische Feld wird ausschließlich dem Bereich um die
Wicklung zugeordnet, das heißt an den Anschlüssen gibt es keine merkbaren
Flussänderungen uns somit kann die Anschlussspannung eindeutig den 2 Punkten
zugeordnet
werden.
Unter diese Bedingungen liefert das Induktionsgesetz für
:
̇
̇
Wenn die Spannung
entlang des Drahtes mit dem Spulenstrom
über den
Spulenwiderstand
verknüpft wird, und die Spannung
einfach
genannt wird, so
erhalten wir
,und gemeinssam
̇
̇
(20.8) Was genau verstehen Sie unter dem Begriff „Verkettungsfluss“?
In technischen Anwendungen treten Randkurven häufig in Form von linienförmigen Leitern
mit mehreren Windungen auf. Es ist nicht im Vorheinen klar, war jetzt unter
zu
verstehen ist.
Beispiel: Ein Flussröhrenbündel trägt den Fluss
und wird von einem Draht n mal
umschlungen. So durchsetzt
die vom Draht berandete Fläche n mal. Daher haben wir
Um Flusswerte an einfachen Flächenstücken von denen
unterscheiden, nennen wir letztere Verkettungsflüsse ( ).
an
komplizierteren
zu
(20.9) Was verstehen Sie unter Wirbelströmen? Wie kommen diese zustande?
Angenommen ein Eisenteil führt einen magnetischen Fluss, genauer
gesagt einen magnetischen Wechselfluss, also sich zeitlich ändernd.
̇
Gemäß dem Induktionsgesetz
entsteht dann entlang jeder geschlossenen Kurve eine elektrische
Umlaufspannung, also eine Feldstärke, welche über das lokale
⃗ mit der Stromdichte verknüpft ist. Somit
Ohm’sche Gesetz
entstehen wirbelartige Ströme – Wirbelströme.
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(20.10)
Was bedeutet magnetische Flussverdrängung und wie kommt sie zustande?
Wie in (20.9) erklärt, werden Wirbelströme durch Induktion
hervorgerufen. ̇ erzeugt jetzt aber selbst ein Magnetfeld,
aber nicht nach dem Induktionsgesetz, sondern wie gehabt
rechtswendig zugeordnet. Somit Ist dieses Feld dem
ursprünglichen entgegengesetzt gerichtet und hat die
Tendenz, es auszulöschen bzw. nach außen zu
verdrängen.
(20.11)
Was bedeutet Stromverdrängung und wie kommt sie zustande?
Fließt in einem Leiter der Strom ̇ so bewirkt
er ein magnetisches Feld ̇ ̇ welches ihm
rechtswendig
zugeordnet
ist.
Durch dieses Magnetfeld aber, wird wegen
̇
dem Induktionsgesetz
ein
elektrisches Feld ̇ bzw. im Leiter über das
lokale Ohmsche Gesetz die Stromdichte
̇
̇ erzeugt (Linkswendig – negativer
Vorzeichen). Der induzierte Strom ist dem
ursprünglichen
also
entgegengesetzt
gerichtet und versucht ihn auszulöschen,
bzw. aus dem Leiter heraus zu drängen.
Die sogenannte Eindringtiefe berechnet sich zu
. Wenn also ein Wechselstrom
√
in beispielsweise einem Kupferdraht relativ großer Querschnittsabmessungen geführt wird,
verteilt er sich nicht gleichmäßig über den Querschnitt, sondern fließt im Wesentlichen in
einer Randzone der dicke .
(20.12)
Warum und durch welche Maßnahmen wird die Ausbildung von
Wirbelströmen meist unterbunden?
Wirbelströme bedeuten Joule-Verluste und sind meist unerwünscht. Außerdem erzeugen die
Wirbelströme, wie bereits erwähnt ein Gegenfeld und es Tritt Flussverdrängung auf.
Wirbelströme kann man unterbinden wenn man mag. Kreise aus Blechpaketen aufbaut,
wobei die Bleche parallel zur Flussrichtung liegen. Die Bleche sind logischerweise
voneinander isoliert. Um die gewünschte Wirkung zu erzeugen, müssen die einzelnen Bleche
dünner als etwa die doppelte Eindringtiefe sein.
(20.13)
Wie hängt die elektrische Spannung entlang bewegter Kurven mit den
lokalen elektromagnetischen Feldgrößen zusammen?
Die
Spannung
an
einer
bewegten
Kurve
ist
durch
die
Kurvensumme
∫
mit
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗ beziehen sich auf die momentan von der Kurve überstrichenen, im Laborsystem
festen Orte.
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(20.14)
Wie ist das Induktionsgesetz für bewegte Flächen und deren Ränder zu
modifizieren?
Das Induktionsgesetz ist in der gewohnten Form auch für bewegte Flächen und deren
Randkurven anwendbar, allerdings muss man darauf achten, dass ̇
die zeitliche
Flussänderung UND die Flussänderung die durch die die Bewegung entsteht beschreibt.
(20.15)
Wie formulieren Sie das lokale Ohmsche Gesetz für bewegte Leiter und wie
ist das zu begründen?
⃗
⃗)
(⃗
Das kommt daher, weil die wirksame elektr. Feldstärke in einem bewegten Körper nicht die
⃗
⃗ bezüglich des
Feldstärke ⃗ in Bezug auf das Laborsystem ist, sondern ⃗
lokalen aktuellen Ruhesystems. gibt dabei die Körpergeschwindigkeit an.
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Kapitel 21: Schaltungen mit Spulen und Transformatoren
(21.1)
Welche Art von Stromkreiselementen nennen wir Spulen, welche Transformatoren?
Spulen:
Konzentrierte Stromkreiselemente mit zwei elektrischen Anschlüssen deren wesentlichste
Eigenschaft die Induktivität ist.
Transformatoren / Übertrager:
Zwei oder mehrere Spulen in konzentrierten Stromreiselementen zum Zweck der Energie- oder
Signalübertragung welche induktiv gekoppelt sind.
(21.2)
Was verstehen
Elementargleichung?
Sie
unter
einer
idealen
Spule
und
wie
lautet
ihre
Wenn der Zusammenhang
über den gesamten Betriebsbereich linear ist, und der
Widerstand der Spule gleich Null ist, so spricht man von einer idealen Spule.
̇ (Induktionsgesetz),
Mit
und
(Voraussetzungen für ideale Spule), also
̇
̇ ergibt sich die Elementargleichung der idealen Spule zu
̇
(21.3)
Wie wirkt eine Spule in Bezug auf Gleichstrom, wie auf Wechselstrom steigender
Frequenz? Was liefert ein Vergleich mit dem Verhalten von Kondensatoren?
Einem Gleichstrom stellt sich nur der Drahtwiderstand der Spule entgegen, ansonsten kann er
ungehindert fließen. Für Wechselströme Stellet eine Spule eine Barriere dar, die mit steigender
Frequenz größer wird. Ein Kondensator zeigt das umgekehrte Verhalten.
(21.4)
Wie reagiert die Reihenschaltung einer idealen Spule mit einem Widerstand auf
einen Spannungssprung? Wie ist dieses Verhalten zu erklären? Wie sind die Zeitverläufe
des Stroms und der Teilspannungen mathematisch zu beschreiben? Wie ist die
Zeitkonstante einer RL – Schaltung erklärt?
An den Klemmen der Spule liegt lange Zeit lang die Spannung U1 an. Damit ergibt sich für t<0:
̇
̇
Springt nun die Spannung plötzlich auf den Wert U2, hält die Spule im ersten Moment ihren
Verkettungsfluss und damit auch ihren Strom fest.
(Bei einer sprunghaften Änderung des Verkettungsflusses müsste die Anschlussspannung der
Spule einen unendlich großen Wert annehmen)
Da der Strom
festgehalten wird, bleibt auch die Spannung am Widerstand
erhalten, und die Spannung an der Spule ergibt sich zu
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Wenn
ergibt sich für t = 0+
, und zwar mit ̇
. Das heißt, der Strom
nimmt zu, und gleichzeitig wächst wegen
die Spannung am Widerstand, wodurch aber
wiederum die Spannung an der Spule wegen
zusammen mit der Änderungsrate
̇
abnimmt.
Das ganze dauert so lange, bis die Spule den neuen
konstanten
Strom
führt.
Die Übergänge werden mathematisch durch die
natürliche Exponentialfunktion dargestellt, wobei als
charakteristische Größe für den Zeitverlauf
die
sogenannte Zeitkonstante
auftritt. Nach etwa 5
Zeitkonstanten haben alle Größen ihren Endwert mit
ausreichender Genauigkeit erreicht (Abweichung
kleiner 1% der Gesamtänderung). Anhand der
Zeitkonstante kann man Vorgänge als schnell oder
langsam einstufen.
Wenn
, dann nennt man einen Vorgang schnell.
(21.5)
Wie lautet die Elementgleichung für zwei gekoppelte, ideale Spulen? Welche
Bezugssinne haben Sie dabei angenommen, und wie sind die Gleichungen zu begründen?
Wie berücksichtigen Sie die Widerstände der Spulen?
Φ
𝐿 𝐼
𝑢𝑛𝑑
Φ
𝐿 𝐼
Zusammen mit dem Induktionsgesetz 𝑈
Φ̇
𝑈
Φ̇
ergeben sich die Elementgleichungen für 2 gekoppelte, ideale
Spulen zu (siehe Bild links). (Fluss durch die eine Spule hängt
auch vom Strom durch die andere Spule ab)
Die Widerstände der Spulen brauchen nicht berücksichtigt zu
werden, da es sich um ideale Spulen handelt. Die Widerstände
realer Spulen lassen sich in einer Ersatzschaltung durch
Widerstände in Reihe mit den idealen Spulen berücksichtigen.
(21.6)
Was bedeuten die in Schaltzeichen von Transformatoren oft verwendeten
Bezugspunkte?
Für die graphische Darstellung gekoppelter Spulen ohne Informationsverlust über die
gemeinsame Flussrichtung werden Bezugspunkte in den Schaltzeichen verwendet
(„Spulenanfang“). Teilweise ist es nämlich vorteilhaft gekoppelte Spulen nicht unmittelbar
nebeneinander zu zeichnen.
„Die Ströme treten durch die Spulenanfänge ein und die Spannungen liegen dazu im
Verbraucherbezugssystem.“
(21.7)
Wie ist der Kopplungsgrad 2er Spulen definiert? Welche Werte kann dieser
Kopplungsgrad annehmen und wie sind die Grenzen zu begründen? Wann nennt man
Spulen ideal gekoppelt?
√
Bei
, d.h.
sprechen wir von ungekoppelten Spulen, bei
nennt man die Spulen ideal gekoppelt.
, d.h.
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(21.8)
Wie berechnen Sie die Ersatzinduktivität der Reihenschaltung zweier Spulen mit
und ohne Kopplung?
Ohne Kopplung:
Mit Kopplung:
𝑈
𝑈
𝑈
𝐿 𝐼̇
𝐿 𝐼̇
𝑀𝐼 ̇
𝑀𝐼 ̇
𝑈
𝑈
𝐼̇ 𝐿
𝐿
𝐿
𝐼̇ 𝐿
𝐼̇ 𝐿
𝐿
𝐿
𝑀
𝑀
𝑀
𝐿𝐼 ̇
𝑀
(21.9)
Wie berechnen Sie die Ersatzinduktivität der Parallelschaltung zweier Spulen mit
und ohne Kopplung? Was müssen Sie dabei hinsichtlich der Spulenwiderstände
beachten?
Ohne Kopplung:
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Mit Kopplung / gleicher Bezugssinn
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Mit Kopplung / entgegengesetzter Bezugssinn
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Die Spulen müssen bei Parallelschaltung als
Ideal angenommen werden, da die Widerstände
Realer Spulen nicht durch einen gemeinsamen
Reihenwiderstand ersetzt werden können.
Besitzen zwei Spulen etwa die Widerstände
und die Induktivitäten
dann
gilt für ihre Parallelschaltung
̇
̇
und diese Gleichungen lassen sich durch
Eliminierung der Ströme
im
Allgemeinen nicht auf die Form
̇ bringen.
(21.10)
Wozu dienen Transformatoren? Wie ist die Spannungsübersetzung eines
Zweiwicklungstransformators erklärt?
Transformatoren dienen zur Übertragung elektrischer Energie oder elektrischer Signale von
einem Stromkreis in einen anderen (Wechselstromkreise) meist bei gleichzeitiger Übersetzung
von Spannung und Strom.
Mit den angegebenen Bezugssinnen kommt man mit dem Induktionsgesetz in der Form
̇ mit
auf die Beziehungen
̇
̇
̇
̇
Angenommen die beiden Spulen sind ideal gekoppelt und Widerstandslos, d.h.
und
, dann ergibt sich aus den Gleichungen oben die Spannungsübersetzung zu
Wenn außerdem angenommen wird dass die Reluktanz des mag. Kreises gleich Null ist,
bedeutet das Durchflutungsausgleich
und zusammen mit der Gesamtdurchflutung des
Einphasen-Zweiwicklungs-Transformators von
ergibt sich
(21.11)
Über welche Schritte kommt man zum Modell des idealen Transformators und wie
lauten seine Elementgleichungen?
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(21.12)
Wie werden Widerstände, Induktivitäten und Kapazitäten durch ideale
Transformatoren übersetzt? Wodurch sind diese Formeln zu begründen und an welche
Voraussetzungen sind sie gebunden?
Widerstand:
Induktivität:
̇
̇
̇
̇
̇
̇
Kapazität:
Voraussetzungen: Keine Gleichströme, keine Gleichanteile periodischer Ströme.
(21.13)
Was verstehen Sie unter der Hauptinduktivität, was unter den Streuinduktivitäten
eines Transformators?
Der Begriff der Streuinduktivität beschreibt jenen Induktivitätsanteil, welcher bei magnetisch
gekoppelten Systemen durch den Streufluss gebildet wird. Die Streuinduktivität wird mit den
selben Verfahren und Methoden wie jede andere Induktivität bestimmt, nur dass dabei
ausschliesslich der Streufluss Φσ berücksichtigt wird (Wikipedia).
/*Genaue Definition von „Hauptinduktivität“ im Buch sowie im Internet nicht auffindbar*/
(21.14)
Wie ist der Magnetisierungsstrom eines Transformators erklärt?
Der Magnetisierungsstrom ist jener Strom, der durch die Hauptinduktivität fließt (im unteren Bild
und den Hauptfluss erzeugt!
(21.15)
Wie sieht die T – Ersatzschaltung eines Transformators aus? Was bedeuten die
darin vorkommenden Parameter?
̇
̇
̇
̇
Schreibt man mit den übersetzten Größen
und mit
,
,
,
:
( ̇
̇)
̇
̇
̇
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Mit
und
̇
Mit
,
̇
und
̇
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Kapitel 22: Sinusschwingungen
(22.1)
Wie lautet die reelle Standardform der Darstellung einer Sinusgröße? Was genau
bedeuten die darin vorkommenden Größen? (Skizze)
̂
̂… Amplitude
… Phasenwinkel
(22.2)
Welche Zusammenhänge bestehen zwischen der Frequenz, Kreisfrequenz und
Periodendauer einer Sinusgröße?
(22.3)
Was bedeuten die Ausdrücke Phase, Phasenwinkel und Nullphasenwinkel?
Phasenwinkel:
Der augenblickliche Schwingungszustand wird als allgemein als Phase bezeichnet.
(22.4)
Welche Größen werden zur vollständigen Festlegung einer Sinusgröße benötigt?
In der reellen Standardform benötigt man dazu die Amplitude, den Nullphasenwinkel und die
(Kreis)Frequenz bzw. die Periodendauer.
(22.5)
Wie lautet die komplexe Standardform der Darstellung einer Sinusgröße? Welcher
Zusammenhang besteht mit der reellen Standardform?
Zusammenhang mit der reellen Standardform:
Komplexe Standardform:
̂
̂
̂ ̂
Der Realteil ist die reelle Standardform.
(22.6)
Welche Information enthält die komplexe Amplitude einer Sinusgröße?
Nullphasenwinkel bzw. Nullphasenlage
und Amplitude ̂
(22.7)
Wie lässt sich die komplexe Standardform der Darstellung einer Sinusgröße in der
komplexen Ebene geometrisch deuten? (Skizze)
̂
̂
̂
̂
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(22.8)
Welche Vorteile bietet die Verwendung der komplexen Darstellung von
Sinusgrößen? Auf welche Vorgänge ist sie beschränkt?
Die Beschreibung eingeschwungener Zustände in linearen Systemen lässt sich wesentlich
besser organisieren und übersichtlicher gestalten als mit den herkömmlichen Winkelfunktionen.
Der Vorteil besteht darin, dass sich das Hantieren mit Winkelfunktionen auf einfache
algebraische
Vorgänge
mit
Komplexen
Zahlen
zurückführen
lässt.
Beispiel:
Erregungsgröße 1:
Erregungsgröße 2:
̂
̂
Eingeschwungener Zustand 1 :
Eingeschwungener Zustand 2:
̂
̂
(
(
)
)
Auf Grund des Überlagerungsgesetzts geht:
Und die dazugehörige stationäre Schwingung :
̂
̂
(22.9)
Was liefert die Summe 2er Sinusgrößen gleicher Frequenz? Wie ist die Summe in
der komplexen Ebene zu veranschaulichen?
Liefert wieder eine Sinusgröße dieser Frequenz!
In der komplexen Ebene erfolgt die Addition nach der
Parallelogrammregel
(22.10)
Was liefert das Produkt 2er Sinusgrößen gleicher Frequenz?
D.h.: Es ist die Überlagerung eines zeitlich konstanten Wertes mit einer Sinusgröße doppelter
Frequenz.
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(22.11)
Was liefert die Zeitableitung einer Sinusgröße? Wie ist das in der komplexen Ebene
zu veranschaulichen? Wie ändern sich bei der Zeitableitung einer Sinusgröße deren
komplexe Amplitude, Amplitude, Frequenz und Nullphasenwinkel?
Die Zeitableitung einer Sinusgröße ist wieder eine Sinusgröße gleicher Frequenz.
In der Komplexen Ebene entspricht das einer Drehung des Zeigers im Gegenuhrzeigersinn um
den Wert .
Die Amplitude wird mit der Kreisfrequenz multipliziert, Frequenz bleibt wie gesagt gleich,
Nullphasenwinkel + . siehe Bsp:
̂
̇
̂
̂
(
)
(22.12)
Wann nennen wir eine Größe periodisch zeitabhängig?
Eine Größe
nennen wir periodisch zeitabhängig, wenn ihre Zeitfunktion
für alle
Zeitpunkte und für die Periodendauer
(kürzester Zeitabschnitt nachdem sich der Vorgang
periodisch wiederholt) die Eigenschaft
erfüllt.
(22.13)
Wie ist der Durchschnittswert einer periodisch zeitabhängigen Größe erklärt? Was
bedeutet „Gleichanteil“?
Linearer Mittelwert
einer periodisch zeitabhängigen Größe x.
∫
Er wird auch
 Arithmetischer Mittelwert
 Mittelwert
 Durchschnittswert oder
 Gleichanteil
Genannt.
Ist der Gleichanteil einer Größe x gleich NULL, nennt man x eine Wechselgröße. Verschwindet
der Wechselanteil, nennt man x eine Gleichgröße. Kommen beide Anteile, also Gleich- und
Wechselanteil vor, nennt man x eine Mischgröße.
(22.14)
Wann nennt man eine Größe Wechselgröße, wann Mischgröße?
Eine Größe x besteht im Allgemeinen aus einem Wechsel- und einem Gleichanteil.
Ist der Gleichanteil einer Größe x gleich NULL, nennt man x eine Wechselgröße. Verschwindet
der Wechselanteil, nennt man x eine Gleichgröße. Kommen beide Anteile, also Gleich- und
Wechselanteil vor, nennt man x eine Mischgröße.
(22.15)
Wie ist der Effektivwert einer periodisch zeitabhängigen Größe erklärt? Wie ist
diese Benennung zu verstehen?
√
∫
In Worten: Die positive Quadratwurzel aus dem Mittelwert des Quadrats einer periodisch
zeitabhängige, aber sonst allgemein verlaufenden Größe.
Der Effektivwert ist der zu einer Mischgröße äquivalente Gleichwert.
z.B.:
∫
Dann übernimmt die Rolle eines äquivalenten Gleichstromes zu .
(22.16)
Was verstehen Sie unter dem komplexen Effektivwert einer Sinusgröße?
Bei Sinusgrößen hängt der Effektivwert mit der Amplitude ̂ folgendermaßen zusammen:
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√
∫̂
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Unter Verwendung dieses Zusammenhangs lautet die reelle Standardform
√
Und die komplexe Strandardform dann
√
Wobei letzteres, also
(22.17)
als komplexer Effektivwert bezeichnet wird
Wie berechnen Sie den Effektivwert einer Sinusgröße?
√
∫̂
Weiterführende Rechnung siehe Frage 16, dieses Kapitel,
kurz also:
̂ √
(22.18)
Was verstehen Sie unter einem linearen Zweipol?
Das ist ein Netzwerk mit zwei Anschlüssen, welches ausschließlich aus linearen Elementen
besteht. Es dürfen auch Spannungs- und Stromquellen, aber nur mit einheitlicher Frequenz
vorkommen.
(22.19)
Unter welchen Bedingungen sind Anschlussstrom und Anschlussspannung eines
Zweipols Sinusgrößen gleicher Frequenz?
*/ keine Ahnung/*
(22.20)
Wie ist der Phasenverschiebungswinkel der Spannung gegen den Strom erklärt?
Wie ist er in der komplexen Ebene zu veranschaulichen?
(22.21)
Wie ändert sich der Nullphasenwinkel der Spannung und des Stroms und der
Phasenverschiebungswinkel der Spannung gegen den Strom beim Übergang vom
Verbraucherbezugssystem zu einem Erzeugerbezugsystem?
Der Nullphasenwinkel der betroffenen Größe ändert sich um .
Phasenverschiebungswinkel
von
der
Spannung
gegen
den
Strom:
 der Winkel ändert sich um
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(22.22)
Wenn Spannung und Strom an einem Zweipol Sinusgrößen sind, welchen
Zeitverlauf besitzt dann die Momentanleistung? Welchen Einfluss hat dabei der
Phasenverschiebungswinkel?
Die Momentanleistung
berechnet sich so:
Demnach ist die Momentanleistung eine Mischgröße aus einem Gleichanteil
einem Wechselanteil mit der Amplitude
mit der doppelten Frequenz.
Je kleiner der Phasenverschiebungswinkel
, die sogenannte Wirkleistung.
und
ist, desto größer ist die der Gleichanteil
(22.23)
Wie sind Wirkleistung und Scheinleistung an einem Zweipol erklärt und wie sind
diese Größen anschaulich zu interpretieren?
Die
Wirkleistung
)
stellt
einen
Gleichanteil
dar.
Die Scheinleistung
ist die Amplitude des Wechselanteils.
(22.24)
Welche Vorzeichen können Wirkleistung und Scheinleistung annehmen? Welche
Rolle spielt dabei die Wahl des Bezugssystems?
Da
)
hängt
das
Vorzeichen
vom
Phasenverschiebungswinkel
ab.
Ausgehend vom Verbraucherbezugssystem nimmt der Zweipol bei P>0 Energie auf, und gibt bei
P<0 Energie ab.
Wegen
gibt die Amplitude des Wechselanteils an und ist immer Positiv oder Null.
Und:
(22.25)
Wie ist die Blindleistung an einem Zweipol definiert und wie ist sie anschaulich zu
interpretieren?
Die Blindleistung ist
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(22.26)
Wann sagen wir, ein Zweipol gibt Blindleistung ab? Wie ist diese Sprechweise zu
verstehen?
Ein Zweipol gibt (im Erzeugerbezugssystem) Blindleistung ab wenn
und nimmt bei
Blindleistung auf. Im Verbraucherbezugssystem gilt genau das umgekehrte.
(22.27)
Welche Einheitensymbole werden üblicherweise für Werte der Scheinleistung,
Wirkleistung und Blindleistung verwendet?
Scheinleistung: VA
Blindleistung: VA
Wirkleistung W
(22.28)
Welcher Zusammenhang besteht zwischen Scheinleistung, Blindleistung und
Wirkleistung? Wie ist dieser geometrisch zu interpretieren?
√
Dieser Zusammenhang ist als Dreieck interpretierbar, wobei
Imaginären Achse liegt. S entsteht dann durch Vektoraddition.
(22.29)
auf der Reellen und
auf der
Wie ist der Leistungsfaktor, wie der Blindfaktor eines Zweipols definiert?
(22.30)
Was verstehen Sie unter der komplexen Scheinleistung, was unter der komplexen
Wechselleistung eines Zweipols? Wie sind diese Größen in einem Zeigerdiagramm zu
veranschaulichen?
Die Komplexe Scheinleistung ist definiert als das Produkt des komplexen Effektivwerts der
Spannung und dem zugehörigen konjugiert komplexen Effektivwert des Stromes.
Der Realteil von S ist die Wirkleistung, der Imaginärteil die Blindleistung.
Die Komplexe Wechselleistung ist definiert als das Produkt des komplexen Effektivwerts der
Spannung und dem zugehörigen komplexen Effektivwert des Stromes.
Amplitude des Wechselanteils der Leistungsschwingung.
Zeigerdiagramm siehe Frage 20, gleiches Kapitel.
(22.31)
Welche Information enthält die komplexe Scheinleistung?
Der Realteil von S ist die Wirkleistung, der Imaginärteil die Blindleistung.
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(22.32)
Warum lässt sich der Widerstand eines Zweipols sinnvollerweise i.a. nicht einfach
als Quotient Sinusspannung durch Sinusstrom definieren?
Weil der Quotient der reellen Augenblickswerte der Anschlussspannung und Anschlussstrom
zeitabhängig ist. Er nimmt abwechselnd positiv- und negativ-unendliche Werte an.
Darum wird von den komplexen Augenblickswerten der Anschlussgrößen ausgegangen.
(22.33)
Wie ist der komplexe Scheinwiderstand (Impedanz) eines Zweipols erklärt? Welche
Rolle spielt dabei das Bezugssystem? Welche Informationen enthält die Impedanz?
Liegt das Verbraucherbezugssystem zu Grunde so wird die komplexe Impedanz, bzw der
Komplexe Scheinwiderstand definiert als den Quotienten der komplexen Augenblickswerte von
Anschlussspannung und Anschlussstrom.
Der Betrag | |
In
stecken folgende Informationen:
( )
( )
(22.34)
Wie sind die Größen Resistanz, Reaktanz, Admittanz, Betrag der Admittanz,
Konduktanz und Suszeptanz definiert? Wie hängen diese Größen zusammen?
( )
( )
Resistanz (Wirkwiderstand) :
Reaktanz (Blindwiderstand) :
(komplexe)Admittanz:
Den Betrag | |
Konduktanz (Wirkleitwert) :
Suszeptanz (Blindleitwert):
kann
man
aufspalten
in
,
wobei
gilt:
Sie hängen wie folgt zusammen:
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,
,
√
Umformen dieser Beziehungen liefert die Restlichen Zusammenhänge
(22.35)
Was bedeutet „Immittanz“?
Immitanz ist eine Sammelbezeichnung für alle Impedanzen und Admittanzen
(22.36)
Was verstehen Sie unter einem elementaren Zweipol?
Ideale Widerstände, Spulen und Kondensatoren
(22.37)
Was ist ein Reaktanzzweipol?
Ein Reaktanzzweipol ist ein reiner Blindwiderstand, also eine ideale Spule und ein idealer
Kondensator
(22.38)
Wie berechnen Sie die Impedanz und die Admittanz von idealen Widerständen,
idealen Spulen und idealen Kondensatoren? Welche Rolle spielt dabei die Wahl des
Bezugssystems?
 Idealer Widerstand

Ideale Spule
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
Ideale Kondensatoren
Zugrunde Liegt das Verbraucherbezugssystem. Wird das Bezugssystem gewechselt, kommt das
kommt das einer Drehung des entsprechenden Zeigers in der Komplexen Ebene um
gleich und in den komplexen Elementgleichungen muss das Vorzeichen des jeweiligen Wertes
gewechselt werden.
(22.39)
Wie liegen Ströme und Spannungen in der komplexen Ebene relativ zueinander bei
idealen Widerständen, idealen Spulen und idealen Kondensatoren bei Verwendung des
Erzeugerbezugssystems und des Verbraucherbezugssystems
 Verbraucherbezugssystem
o Idealer Widerstand
. D.h.
, Spannung und Strom sind in Phase.
o Ideale Spule
, D.h. Der Strom eilt der Spannung um nach
o Idealer Kondensator
, D.h. Der Strom eilt der Spannung um vor

Erzeugerbezugssystem (Strom fließt in andere Richtung)
o Idealer Widerstand
. D.h.
o Ideale Spule
, D.h. Der Strom eilt der Spannung um vor
o Idealer Kondensator
, D.h. Der Strom eilt der Spannung um nach
(22.40)
In welchem Sinn sprechen wir von Kondensatoren als Blindleistungserzeuger und
von Spulen als Blindleistungsverbraucher?
Wenn davon gesprochen wird dass Kondensatoren Blindleistung „erzeugen“ und Spulen diese
„verbrauchen“,
dann
ist
das
lediglich
eine
Konvention.
Sie ergibt sich aus der Festlegung des Phasenverschiebungswinkels der Spannung GEGEN den
Strom also
bzw. aus der Festlegung der komplexen Scheinleistung als
Wäre der Strom in dieser Festlegung nicht konjugiert komplex, wären Spulen
Blindleistungserzeuger und Kondensatoren die Verbraucher.
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Kapitel 23: Komplexe Behandlung von Wechselstromkreisen
(23.1)
Was verstehen Sie unter einer linearen Schaltung und einem eingeschwungenen
Zustand in einer linearen Schaltung?
Wenn eine lineare Schaltung sinusförmig erregt wird und alle Ausgleichsvorgänge abgeklungen
sind, stellt sich ein Eingeschwungener Zustand ein, der sich dadurch auszeichnet, dass alle
vorkommenden Größen ebenfalls Sinusgrößen, EINHEITLICHER Frequenz sind.
(23.2)
Welche Voraussetzungen sind allgemein für die Gültigkeit der Kirchhoff-Regeln zu
treffen?
a. Ströme dürfen außerhalb der Stromkreiselemente nur in den Schaltverbindungen fließen
b. Verschiebungsströme außerhalb der Stromkreiselemente müssen vernachlässigbar klein
sein
c. Anschlussspannungen müssen eindeutig definiert sein
d. Die betrachteten Maschen dürfen keinen mag. Fluss merkbarer zeitlicher Änderungsrate
umfassen.
(23.3)
Wie lauten die Kirchhoff-Regeln im komplexen?
Kirchhoff 1:
n
n
1
2 n
2 n *  jwt
*
jwt
ik  (i k  i k )
(  I k )e 
( I k )e 0

2
2
2
k 1
k 1
k 1
k 1
Kirchhoff 2:
n
n
1
2 n
2 n *  jwt
*
jwt
u

(
u

u
)

(
U
)
e

(U k )e 0


k
k
k
k 
2
2
2
k 1
k 1
k 1
k 1
Da diese beiden Formeln zu allen Zeitpunkten gelten
Exponentialfunktionen linear unabhängig sind (?) folgt daraus:
n
U
k 1
k
 0 und
n
I
k
müssen,
und
weil
die
0
k 1
(23.4)
Gelten die Kirchhoff-Regeln bei eingeschwungenen Zuständen in linearen
Schaltungen für die Augenblickswerte, die reellen Effektivwerte, die komplexen
Effektivwerte, die reellen Amplituden und die komplexen Amplituden? Begründung?
Kirchhoff1 und Kirchhoff2 gilt im komplexen neben den Augenblickswerten auch für die
komplexen Effektivwerte (sogar getrennt für Real- und Imaginärteil). Im Allgemeinen gilt KH1 und
KH2
aber
nicht
für
die
reellen
Effektivwerte.
Wenn KH1 und KH2 für die komplexen Effektivwerte gilt, müssen sie auch für die Komplexen
Amplituden gelten, da der Komplexe Effektivwert nur mit √ multipliziert werden muss, um die
komplexe
Amplitude
zu
erhalten.
Analog umgekehrt gelten KH1 und KH2 nicht für die reellen Amplituden.
In den komplexen Amplituden / Effektivwerten steckt nämlich auch der Nullphasenwinkel.
Deshalb ist KH1 und KH2 im komplexen bei den Effektivwerten anwendbar.
(23.5)
Welche Informationen liefern die beiden Kirchhoff-Regeln?
Die KH-Regeln erfassen die Beziehungen der Spannungen und Ströme untereinander.
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(23.6)
Wie berechnen Sie die Ersatzimpedanz bzw. die Ersatzadmittanz einer
Reihenschaltung und einer Parallelschaltung zweier nicht gekoppelter komplexer
Widerstände? Wie ist dies in der komplexen Ebene zu veranschaulichen?
 Reihenschaltung
o
Ersatzimpedanz
Z  Z1  Z 2
o
Ersatzadmittanz
1 1
YY
1
Y 1 2
 
Y Y1 Y 2
Y1  Y 2

Parallelschaltung
o Ersatzimpedanz
Z1 Z 2
1
1
1
Z


Z1  Z 2
Z Z1 Z 2
o
Ersatzadmittanz
Y  Y1  Y 2
In der Komplexen Ebene entspricht das einer Verktoraddition der Einzelimpedanzen bzw. der
Einzeladmittanzen
(23.7)
Kann der Scheinwiderstand der Reihenschaltung komplexer Widerstände kleiner
sein als die Einzelscheinwiderstände? (Beispiel!)
Ja, das kann sein. Als Beispiel dient die Serienschaltung eines idealen Kondensators mit einer
idealen Spule.
| Z1  Z 2 || Z1 |  | Z 2 |
Das analoge gilt für die Scheinleitwerte bei Parallelschaltung.
(23.8)
Wie Lauten die Spannungsteiler- und die Stromteilerregel im Komplexen? Worauf
müssen sie bei der Anwendung hinsichtlich der Kopplung speziell achten?
Die Spannungs- und Stromteilerregel kann man im Komplexen mit den Effektivwerten analog
zum reellen Fall anwenden. Es darf keinerlei Kopplung, also weder kapazitiv noch induktiv
bestehen.
(23.9)
Was verstehen Sie unter „induktiver Kopplung“?
Induktive Kopplung bedeutet, dass eine Gegenseitige Induktivität „M“ vorliegt.
(23.10)
Wie lauten die Elementgleichungen zweier induktiv gekoppelter Spulen im
Komplexen? Welche Rolle spielt dabei die Wahl der Bezugssinne?
Ausgehend von


U 1L1 I 1  M I 2 und


U 2 L2 I 2  M I 1 mit

I  jwI ergibt sich die Elementgleichung zu
U 1 jwL1 I 1  jwM I 2
U 2  jwL2 I 2  jwM I 1
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(23.11)
Wie können Sie die Hauptreaktanzen und die Streureaktanzen eines Transformators
definieren?
Ausgehend von diesem Ersatzschaltbild eines Transformators…
…definiert man Haupt- und Streureaktanzen folgender Maßen:
(23.12)
Welche Form nimmt das T-Ersatzschaltbild eines Transformators bei
Vernachlässigung des Magnetisierungsstromes an? Wodurch wird der Transformator
dann repräsentiert?
Der Magnetisierungsstrom
fließt durch die Hauptinduktivität
. Wird er vernachlässigt,
wird
und das kann nur bedeuten, dass
wegen
mit
Diese Situation nennt man Durchflutungsausgleich. Der Querzweig fällt weg und man kann die
Einzelwiderstände und die Einzelstreuinduktivitäten zu einem Gesamtwiderstand und einer
Gesamtstreuinduktivität
zusammenfassen.
Eine andere Darstellungsform der T-Ersatzschaltung besteht darin, nur die Impedanzen zu
verwenden (Bild). Verschwindet hier der Magnetisierungsstrom kann der Transformator
darstellen durch einen idealen Übertrager mit der Gesamtimpedanz
(23.13)
Was verstehen Sie allgemein unter einer Ortskurve, was unter einer
Frequenzgangortskurve, einem Betragsfrequenzgang und einem Winkelfrequenzgang?
Darstellung einer Parameterkurve in der komplexen Ebene.
Frequenzgangortskurve, wenn der Parameter die Frequenz ist.
Betrags- Winkelfrequenzgang, wenn Betrag/Winkel • über der Frequenz aufgetragen werden.
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(23.14)
Wie sehen die Frequenzgangortskurven der Impedanz und der Admittanz einer RLReihenschaltung und einer RC-Reihenschaltung aus?
(23.15)
Welche allgemeinste Form einer komplexwertigen Funktion einer reellen Variablen
besitzt einen Kreis (oder Kreisbogen) als Ortskurve?
Das
ist
eine
gebrochen
lineare
Funktion
mit
komplexen
Koeffizienten.
Es lässt sich zeigen, dass Kreise in der -Ebene wieder auf Kreise in der -Ebene abgebildet
werden.
(23.16)
Welche Darstellungsform bezeichnet man als Bodediagramm?
Wenn nicht „nur“ eine Frequenzgangsortskurve angegeben wird, sondern Betragsfrequenzgang
und Winkelfrequenzgang getrennt voneinander.
Für das Bodediagramm werden für Betrag und Frequenz jeweils eine logarithmische Skala
verwendet, für den Winkel jedoch eine lineare. Das hat sich als sehr bequem erwiesen.
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(23.17)
Was ist ein Größenverhältnis?
Ein Größenverhältnis ist der Quotient zweier Größen gleicher Dimension.
(23.18)
Worauf begründet sich die Einteilung physikalischer Größen in Leistungs- und
Feldgrößen?
Leistungsgrößen
sind der Leistung
Proportional. Feldgrößen sind Größen deren Quadrate der Leistung proportional sind, wenn sie
auf Impedanzen wirken
.
(23.19)
Was bedeutet 1dB?
1dB heißt ausgesprochen 1 „Dezibel“
(√
)
(23.20)
Wie realisieren Sie einfache Tiefpass-, Hochpass- und Allpass-Übertragungsglieder
mit Widerständen und Kondensatoren? Wie sehen die Frequenzgangortskurven und die
vollständigen Bodediagramme dazu aus?
Tiefpass:
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Hochpass und Allpass:
Vorgehensweise
bei
Bezugskreisfrequenz
Übertragungsfunktionen:
und dann die Kreisfrequenz auf
bestimmen,
dann
beziehen, mit
die
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Kapitel 24: Resonanzerscheinungen
(24.1)
Was verstehen Sie unter dem Begriff Resonanz? In welcher Art von physikalischen
Systemen können Resonanzerscheinungen auftreten?
Ist ein stabiles System für sich alleine schwingungsfähig und erfolgt eine zeitlich periodische
Anregung mit einer Frequenz in der Nähe der Eigenfrequenz des Systems dann spricht das
System besonders stark darauf an.
Amplituden einzelner Schwingungen können extreme Werte annehmen – genauso wie
Übertragungsfunktionen, Impedanzen und Admittanzen. Diese Gruppe von Erscheinungen nennt
man
Resonanzerscheinungen.
Anders gesagt:
Nehmen die Amplituden der Zustandsgrößen (Spannungen, Ströme) oder daraus abgeleitete
Größen (Beträge von Impedanzen, Übertragungsfunktionen) eines Systems bei
Erregerfrequenzen in der Nähe der Kennfrequenz vergleichsweise sehr große oder sehr kleine
Werte an, so spricht man von Resonanz.
(24.2)
Wie ist die Kennfrequenz eines Reihenschwingkreises , wie sind die
Resonanzfrequenzen erklärt?
Die Kennfrequenz (Eigenfrequenz) eines Reihenschwingkreises ist jene Frequenz, bei der der
Betrag Z der Impedanz sein Minimum annimmt. Bei einer Reihenschaltung von R,L,C berechnet
sich die Impedanz zu
. Der Betrag wird dann am größten, wenn der
Imaginärteil verschwindet, also wenn
Serienschaltung zu
√
gilt. Somit ergibt sich die Kennkreisfrequenz dieser
und die Kennfrequenz dementsprechend zu
.
Ein einfacher Resonanzkreis besitzt EINE Kennfrequenz und i.a. mehrere Resonanzfrequenzen.
Die Resonanzfrequenz ist jene Erregerfrequenz, bei der eine betrachtete Größe ihren Größtoder Kleinstwert erreicht. Je nach dem spricht man auch von Gipfel- oder Talfrequenz.
(24.3)
Was bedeutet „Spannungsresonanz“?
Sind die Effektivwerte von Teilspannungen größer als der Effektivwert der Gesamtspannung
spricht man von Spannungsresonanz.
(24.4)
Wie
sehen
die
Frequenzgangortskurven
der
Teilspannungen
eines
Reihenschwingkreises,
die
Frequenzgangortskurve
der
Admittanz,
der
Betragsfrequenzgang und der Winkelfrequenzgang der Admittanz aus? Welche Rolle
spielt dabei der Widerstand?
Reihenschwingkreis R, L, C
Frequenzgangortskurve der
Teilspannungen:
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Frequenzgangortskurve der Admittanz (Links) und der Rest rechts:
Keine Ahnung verdammt, was der Widerstand dabei für eine Rolle spielt.
(24.5)
Verhält sich der Reihenschwingkreis unterhalb/oberhalb seiner Kennfrequenz
induktiv/kapazitiv?
Unterhalb seiner Kennfrequenz wirkt der Schwingkreis ohmsch – kapazitiv.
Oberhalb wirkt er ohmsch – induktiv.
(24.6)
Wenn Sie den Parallelschwingkreis als Parallelschaltung eines idealen
Kondensators mit einer Widerstandsbehafteten Spule betrachten, wie sind dann die
Kennfrequenz und die Resonanzfrequenzen erklärt?
Kennfrequenz
√
Resonanzfrequenzen sind jene Frequenzen, wo eine betrachtete Größe ihren Größt- oder
kleinstwert erreicht.
(24.7)
Was bedeutet „Stromresonanz“?
Sind die Effektivwerte von Teilströmen größer als der Effektivwert des Gesamtstromes so spricht
man von Stromresonanz.
(24.8)
Wie sehen die Frequenzgangortskurve, der Betragsfrequenzganz und der
Winkelfrequenzgang der Impedanz eines Parallelschwingkreises (Parallelschaltung eines
idealen Kondensators mit einer Widerstandsbehafteten Spule) aus? Welchen Einfluss hat
dabei der Widerstand?
Anhand von R lässt sich d einstellen
und wie man sieht hängt der Betrag
des Scheinwiderstandes ganz deutlich
von d ab.
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(24.9)
Verhält sich der Parallelschwingkreis oberhalb/unterhalb seiner Kennfrequenz
induktiv/kapazitiv?
Müsste man am Phasengang sehen, liegt meiner Meinung nach am Verlustfaktor d.
(24.10)
Welche Immittanzen nehmen beim Reihenschwingkreis, welche beim
Parallelschwingkreis im Resonanzfall vergleichsweise große Werte an? Unter welchen
Voraussetzungen treten überhaupt ausgeprägte Maxima auf?
Reihenschwingkreis: Scheinleitwert
Parallelschwingkreis: Scheinwiderstand
Ausgeprägte Maxima treten nur im schwach gedämpften Resonanzfall auf.
(24.11)
Was verstehen Sie allgemein unter den Begriffen Kennfrequenz und
Resonanzfrequenz?
Die Kennfrequenz ist jene Frequenz mit der das fiktiv verlustfreie System nach einer Anregung
Sinusschwingungen ausführt.
Ein einfacher Resonanzkreis besitzt EINE Kennfrequenz und i.a. mehrere Resonanzfrequenzen.
Die Resonanzfrequenz ist jene Erregerfrequenz, bei der eine betrachtete Größe ihren Größtoder Kleinstwert erreicht. Je nach dem spricht man auch von Gipfel- oder Talfrequenz.
(24.12)
Wie ist die Verstimmung als Maß für die relative Lage zweier Frequenzen definiert?
Worauf reduziert sich dieser Ausdruck bei relativ kleinen Differenzen?
Als Maß für die Relative Lage zweier Frequenzen
definiert man die Verstimmung der
Frequenz gegen die Frequenz als
[
Wenn die Abweichung
]
dann reduziert sich die Verstimmung auf
(24.13)
Wie sieht der typische Verlauf einer Resonanzfähigen Größe als Funktion der
Verstimmung in der Umgebung der Resonanzstelle aus? (Angabe der Resonanzfunktion
und Skizze der Typischen Resonanzkurve!)
Angenommen es existiert eine Größe
mit der komplexen Amplitude ̂ welche bei der
Kreisfrequenz
eine ausgeprägte Resonanzüberhöhung zeigt. Die Amplitude nimmt dort den
Maximalwert ̂ an.
Das bedeutet, für
̂
nimmt | ̂ | den Maximalwert 1 an. Ist die Dämpfung klein, gilt außerdem
exakt oder in guter Näherung
.
̂
Mit diesen Voraussetzungen lässt sich der Frequenzgang von | ̂ | in der Umgebung der
Resonanzstelle darstellen durch:
̂
̂
Das ist die Resonanzfunktion. (Wenn Epsilon die Verstimmung der Erreger- gegen die
Resonanzfrequenz bedeutet).
nennt man den Dämpfungsgrad der Schwingung.
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S e i t e | 63
(24.14)
Wie sind die Kenngrößen Verlustfaktor, Dämpfungsgrad, Resonanzbreite und
Qütefaktor definiert? Wie hängen diese Größen zusammen und wie sind sie in
Darstellungen der Resonanzkurve zu veranschaulichen?
Die Resonanzbreite gibt die Breite des Gipfels als jenen Wert an, der durch die Differenz jener
beiden (Kreis)frequenzen gebildet wird, die die Resonanzkurve auf den -Fachen Wert des
√
Maximalwerts
drücken
(Siehe
Der Verlustfaktor ist definiert als
( )
( )
wobei
Bild
Frage).
der sogenannte Verlustwinkel ist.
( )
also berechnet sich der Verlustfaktor zu
Alternativ berechnet sich der Verlustwinkel zu
vorherige
( )
oder |
|
.
nennt man den Dämpfungsgrad der Schwingung.
Die Qüte
Je kleiner
bzw. die Resonanzschärfe ist ein Maß dafür wie schmal die Resonanzkurve ist.
dest größer , desto schmäler die Kurve (scharfe Resonanz)
(24.15)
Was bedeutet der Ausdruck „Halbwertsbreite“? Woher kommt diese Benennung?
Die Halbwertsbreite einer Funktion mit einem Maximum ist die Differenz zwischen den beiden
Argumentwerten, für die die Funktionswerte auf die Hälfte des Maximums abgesunken sind,
anschaulich also die „Breite bei halber Höhe“.
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S e i t e | 64
Kapitel 25. Mehrphasensysteme
(25.1)
Was verstehen Sie allgemein unter einem Mehrphasensystem, was speziell unter
einem Drehstromsystem?
Unter dem Begriff „Mehrphasensystem“ versteht man ein System von m Sinusspannungen oder
Sinusströmen gleicher Frequenz und gleicher Amplitude die in einer vorgegebenen Reihenfolge
um jeweils gleiche Winkel gegeneinander Phasenverschoben sind.
„Drehstromsystem“ ist nur eine Bezeichnung für den speziellen Fall
Dreiphasensystem.
, also für ein
(25.2)
Welche Vorteile bietet die Verwendung von Mehrphasensystemen in der
elektrischen Energietechnik?
Es lässt sich die Hälfte des Leitermaterials (vgl. Einphasensystem) einsparen. Außerdem
gestaltet sich die Erzeugung, Umformung und Anwendung elektrischer Energie mit
Mehrphasensystemen
einfacher
und
effizielter.
(Generatoren, Motoren, Trafos kleiner  geringerer Materialaufwand, mag. Drehfelder für
Motoren
einfacher
herzustellen,
kleinerer
Aufwand
bei
Frequenzumformungen)
Ab einigen kW wirtschaftlich sinnvoll.
(25.3)
Was ist unter den Begriffen Strang, Sternschaltung, Ringschaltung, Sternpunkt und
Außenpunkt, Außenleiter und Sternpunktleiter zu verstehen?
Jedes Widerstandssymbol repräsentiert einen Strang. Links im Bild sieht man die
Sternschaltung. Sie wird deshalb so genannt weil alle Stränge in einem gemeinsamen Punkt,
dem Sternpunkt zusammenlaufen. Rechts im Bild, bei der Ringschaltung sind die Stränge alle
zu einem geschlossenen Ring hintereinander geschaltet. Bei der Ringschaltung gibt es keinen
Sternpunkt.
Die m Anschlusspunkte der Strangenden heißen Außenpunkte. Die an diese Punkte
angeschlossenen Leiter werden Außenleiter genannt. Sie werden nach einer zyklischen Folge,
die
der
Phasenfolge
entspricht
durchnummeriert.
Ist am Sternpunkt auch ein Leiter angeschlossen, so nennt man ihn Sternpunktleiter oder auch
Neutralleiter.
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(25.4)
Was ist der Unterschied zwischen Sternpunktleiter, Neutralleiter und Nullleiter?
Neutralleiter
ist
nur
eine
andere
Bezeichnung
für
Sternpunktleiter.
Einen unmittelbar geerdeten Sternpunkt- oder Neutralleiter nennt man Nullleiter – er kann unter
bestimmten Bedingungen für Schutzzwecke verwendet werden.
(25.5)
Wie sind die Größen Außenleiterspannung, Außenleiterstrom, Strangspannung und
Strangstrom definiert? Wie hängen die Größen bei Sternschaltung und bei Ringschaltung
zusammen?
Außenleiterspannung:
Spannung zwischen 2 aufeinanderfolgenden Außenleitern
Außenleiterstrom:
Strom im Außenleiter
Strangspannung:
Spannung zwischen den Anschlusspunkten eines Stranges
Strangstrom:
Strom durch den Strang
Zusammenhänge bei Sternschaltung:
Strangstrom = Außenleiterstrom
Strangspannung = Sternspannung
Zusammenhang bei Ringschaltung:
Außenleiterspannung = Strangspannung
(25.6)
Wie nennt man die Ringschaltung speziell für m=3?
Dreieckschaltung.
(25.7)
Was bedeutet Sternspannung, was Dreieckspannung?
Die Sternspannung ist jene Spannung zwischen einem Außenleiter und dem Sternpunkt.
Bei
heißt die Außenleiterspannung auch Dreieckspannung.
(25.8)
Wie hängen in einem symmetrischen m-Phasensystem von Sinusspannungen die
komplexen
Effektivwerte
der
Sternspannungen
untereinander,
der
Außenleiterspannungen untereinander und der Sternspannungen mit denen der
Außenleiterspannungen zusammen? Wie ist dies in einem Zeigerdiagramm zu
veranschaulichen?
Sternspannungen :
Außenleiterspannungen
:
Außenleiterspannung mit Sternspannung:
( )
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Graphisch in einem Zeigerdiagramm lassen sich diese Zusammenhänge so darstellen:
(25.9)
Sind die Effektivwerte der Außenleiterspannungen im symmetrischen Fall immer
größer als die der Sternspannungen? (Beispiel!)
Nein sie sind nicht immer größer.
Die
Effektivwerte
hängen
über
( )
zusammen.
Der
Sinus
wird
mit
kleiner
werdendem
Winkel
auch
kleiner.
Bei m=6 wird der Faktor
( )
, also
. Wird m>6, wird
( )
und die
Außenleiterspannungen werden kleiner als die Sternspannungen.
(25.10)
Wie hängen die komplexen Effektivwerte eines symmetrischen m-Phasensystems
von Sinusströmen zusammen?
(25.11)
Welchen Zeitverlauf nimmt die Momentanleistung in einem symmetrischen mPhasensystem mit
an? Warum
? Wie wird diese Leistung berechnet?
Die Momentanleistung in einem m-Phasensystem berechnet sich wie folgt:
∑
∑
√
∑ (
(
)
)
(
√
(
)
)
∑
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Mit
und
Auswerten der einzelnen Summen zunächst auf
∑
(siehe vorherige Fragen) kommt man durch
∑
∑
∑
∑
∑
und insgesamt also dann auf
(
)
(
(
)
)
(
)
Das heißt, die Gesamtmomentanleistung in einem symm. M-Phasensystem mit
ist zeitlich
konstant!! VORSICHT – Die Einzelmomentanleistungen pulsieren nach wie vor wie im
gewöhnlichen einphasigen System!!
Wieso nur für
weiß ich leider auch nicht...
(25.12)
Wie sind die komplexe Scheinleitung, die Wirkleistung, die Blindleistung und der
Leistungsfaktor in einem vollständig symmetrischen System erklärt?
Komplexe Scheinleistung und Ihr Betrag:
∑
( )
( )
Wirkleistung:
(
( )
)
( )
Blindleistung:
(
( )
)
( )
Leistungsfaktor:
(
)
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(25.13)
Wodurch
unterscheiden
sich
unsymmetrische
von
symmetrischen
Dreiphasensystemen? Welche Bedingungen müssen in beiden Fällen erfüllt sein, um von
Dreiphasensystemen
sprechen
zu
können?
Zu aller erst: Dreiphasensystem = Drehstromsystem.
Wird ein Drehstromnetz mit unterschiedlichen Impedanzen pro Strang belastet so stellt sich ein
unsymmetrisches Drehstromsystem ein – Das bedeutet, dass die Effektivwerte der
Außenleiterströme und ihre Phasenverschiebungswinkel gegeneinander im Allgemeinen
unterschiedlich sind. Im Gegensatz dazu sind die Effektivwerte der Außenleiterströme und die
Phasenverschiebungswinkel im symmetrischen Drehstromnetz gleich.
Gemeinsam haben die beiden Systeme Ihre Ersatzschaltung. Jeder Strang wird dabei als
allgemeine lineare Ersatzschaltung eines Wechselstromzweipols durch eine Impedanz und eine
Sinus-Spannungsquelle dargestellt (Bild unten)
(25.14)
Was genau bedeuten die Angaben 3/N AC 50Hz 400/230V
3 AC 400V?
3/N AC 50Hz 400/230V:
3/N:
Drei Leiter, Nullleiter/Sternpunktleiter vorhanden
AC:
Sinusspannungen
50Hz: Wert der Frequenz
400/230V:
Nenn-Effektivwerte der Außenleiterspannungen/Außenleiter-Sternpunkt
3 AC 400V:
3:
AC:
400V:
und
Drei Leiter – Kein Sternpunktleiter/Nullleiter vorhanden
Wechselspannung
Nenn-Außenleiterspannungs-Effektivwert.
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(25.15)
Wie hängen die reellen Effektivwerte der Außenleiterspannungen mit denen der
Sternspannungen in einem symmetrischen Dreiphasensystem zusammen? Gilt das auch
für unsymmetrische Dreiphasensysteme? (Veranschaulichung im Zeigerdiagramm!)
( )
, da die Ableitung dieser Formel darauf beruht, dass
die Phasenverschiebungswinkel der Sternpannungen gegeneinander konstant
sind – was sie
in unsymmetrischen Systemen nicht sind.
Der
Sinussatz
zum
Außenleiterspannung sagt:
Berechnen
der
Ist das Netz nicht symmetrisch ist das
Argument des Sinus nicht immer gleich .
bedeutet, es gilt nicht in unsymmetrischen
Systemen!
Das
(25.16)
Wie berechnen Sie in einem symmetrischen Dreiphasensystem Die Scheinleistung,
die Wirkleistung, die Blindleistung und den Leistungsfaktor bei bekannten
Außenleitergrößen? Was genau bedeuten die Größen in Ihren Formeln?
Wegen
(
)
√
Berechnet sich die komplexe Scheinleistung zu
∑
√
√
Und die Scheinleistung zu
| |
Die Wirkleistung errechnet man als
( )
√
√
die Blindleistung zu
( )
√
und den Leistungsfaktor zu
Die Blindleistung beschreibt (grob gesagt) den pulsierenden Energieaustausch zwischen den
Strängen während die Wirkleistung den resultierenden Fluss an elektrischer Energie über die
Leitungen angibt. Die Scheinleistung dient bei festliegenden Spannungen als Maß für die
Stromstärke - also für die Bemessung der Leitung.
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(25.17)
Welche allgemeinen Beziehungen bestehen in einem unsymmetrischen
Dreiphasensystem von Sinusspannungen zwischen den komplexen Effektivwerten der
Sternspannungen und der Außenleiterspannungen? Gelten diese Beziehungen auch für
die reellen Effektivwerte? Was bedeutet in diesem Zusammenhang „Nullspannung“?
Mit den Bezeichnungen aus Teilbild „a“ erhält man:
und
(
)
(
)
(
)
(
)
Im unsymmetrischen Fall lassen sich also die Außenleiterspannungen aus den Sternspannungen
berechnen, aber nicht umgekehrt. Dazu bedarf es der sogenannten „Nullspannung“ (letzte
Gleichung) oder einer äquivalenten Angabe. Ich glaube nicht, dass es für die reellen
Effektivwerte gilt – weiß es aber nicht.
(25.18)
Welche allgemeinen Beziehungen bestehen in einem unsymmetrischen
Dreiphasensystem von Sinusströmen bei Dreieckschaltung zwischen den Komplexen
Effektivwerten der Außenleiterströme und der Strangströme? Was bedeutet in diesem
Zusammenhang „Nullstrom“?
Bei der Dreieckschaltung hat man folgende
Beziehungen:
und
(
(
)
(
)
(
)
)
Im unsymmetrischen Fall lassen sich also die Außenleiterströme aus den Strangströmen
berechnen, aber nicht umgekehrt. Dazu bedarf es des sogenannten „Nullstromes“ (letzte
Gleichung) der i.a. bei der Analyse zusätzlich zu bestimmen ist.
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(25.19)
Welche allgemeine Form besitzen die Stranggleichungen bei Sternschaltung und
bei Dreieckschaltung?
Dreieckschaltung:
Sternschaltung:
(25.20)
Wie berechnen Sie in einem unsymmetrischen Dreiphasensystem mit und ohne
Neutralleiter die komplexe Scheinleistung, die Scheinleistung, die Wirkleistung, die
Blindleistung und den Leistungsfaktor? Ist hier der Leistungsfaktor als
zu
interpretieren? (Begründung!)
Die komplexe Scheinleistung muss als Summe der komplexen Einzelscheinleistungen,
unabhängig von der Schaltung berechnet werden.
Die Wirkleistung berechnet sich nach
Wobei gilt
Der Leistungsfaktor kann hier nicht als
aufgefasst werden, wenn
einen tatsächlichen
Phasenverschiebungswinkel angibt (Stichwort UNSYMMETRIE… ungleiche Winkel).Die
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Scheinleistung S kann nicht einfach über
muss über die oberste Formel erfolgen.
Mit
berechnen sondern die Berechnung
erhält man
(
)
(
)
Handelt es sich um ein beliebiges unsymmetrisches Drehstromsystem ohne Nullleiter, so ist
und
somit
sowie
.
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Kapitel 26. Das Elektromagnetische Feld
(26.1)
Was bedeuten die Begriffe Verschiebungsstrom und Verschiebungsstromdichte?
Der Verschiebungsstrom ist die zeitliche Änderungsrate vom elektrischen Fluss an einer Fläche,
also ̇
.
Die Verschiebungsstromdichte ist die zeitliche Änderungsrate der elektrischen Flussdichte an
einem festen Ort, also ̇ .
(26.2)
Warum muss der Durchflutungssatz im allgemeinen elektromagnetischen Feld
modifiziert werden, wenn der Satz von der Erhaltung der elektrischen Ladung gelten soll?
Wird der Durchflutungssatz
auf eine geschlossene Fläche
angewendet, so
heißt er
.
gilt immer, weil der Rand eines Randes Null ist -> also auch die mag. Spannung.
Das bedeutet, dass nach dem Durchflutungssatz, angewendet auf eine geschlossene Fläche gilt:
̇
Im Gegensatz dazu sagt die Ladungserhaltung, dass gelten muss
Wird die Ladungserhaltung als universell gültig gewertet, so muss der Durchflutungssatz bei sich
zeitlich ändernden Ladungsverteilungen modifiziert werden.
(Zusatz – Entwicklung des Ampere-Maxwell-Satzes)
Die eine Platte des Plattenkondensators trägt die
Ladungsmenge Q und es fließt ein Strom der Stärke I zu.
andere trägt –Q, und es Fließt ein gleich großer Strom der
Stärke I ab.
Somit ist das elektr. Feld im Wesentlichen auf den Bereich
zwischen
den
zwei
Platten
beschränkt.
Der Satz vom elektr. Hüllenfluss liefert wegen
(Merkbarer el. Fluss nur zw. den Platten)
Die
Der Satz von der Erhaltung der elektrischen Ladung liefert aber wegen
̇
die Beziehung
̇
Die zwei Ergebnisse zusammen ergeben also
und
.
Interpretieren kann man das so. Der auf der einen Seite zufließende Strom setzt sich im leeren
Raum zwischen den Platten als Verschiebungsstrom gleicher Stärke fort und erscheint auf der
zweiten
Platte
wieder
als
abfließender
Strom
gleicher
Stärke.
Bezüglich der magnetischen Spannung sind elektrische und Verschiebungsströme gleichwertig.
Entlang der Randkurve
ist also die Magnetische Spannung
bzw.
̇
. Es kommt also nicht auf den Verlauf
der Fläche an!!
Genau das ist Maxwells Idee gewesen in den Ampere-Satz (Durchflutungssatz) auch den
Verschiebungsstrom mit einzubeziehen!
(26.3)
Wie lautet der Ampere-Maxwell-Satz formal und in Worten?
Sei irgendein orientiertes, das heißt mit einem Durchtrittsinn versehenes Flächenstück und
sein vollständiger, rechtswendig orientierter Rand.
Sind dem Flächenstück die Stromstärke
und der elektrische Fluss
zugeordnet und
bezeichnet
die magnetische Spannung entlang der Randkurve so gilt der AmpereMaxwell-Satz
̇
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In Worten: Die Magnetische Umlaufspannung ist gleich der Summe aus der elektrischen
Durchflutung und der zeitlichen Änderungsrate des elektrischen Flusses, rechtswendig umfasst.
Dabei muss die Durchflutung und der elektrische Fluss am selben Flächenstück genommen
werden.
(26.4)
Unter welchen Umständen werden Verschiebungsströme wichtig?
Abgesehen von Sonderfällen wird der Maxwellsche Zusatz der Verschiebungsströme erst bei
sehr großen räumlichen Ausdehnungen oder bei sehr hohen Frequenzen wichtig.
Beispiel: Ein Wechselfeld mit ̂
und
erzeugt an einem 1cm² großen, dazu
̂
senkrechten Flächenstück mit der elektr. Flussdichte ̂
und an
̂
dem Flächenstück mit
einen elektr. Fluss von ̂
As. Mit ̂̇
̂
̂
also einen Verschiebungsstrom der Amplitude
(26.5)
Welche Grundvorstellung verbinden Sie mit dem Maxwellschen Teil des AmpereMaxwell-Satzes?
Ein zeitlich sich änderndes Bündel elektrischer
Flussdichtelinien
umgibt
sich
wirbelartig
mit
magnetischen Feldstärkelinien.
(26.6)
Wie lässt sich die Existenz elektromagnetischer Wellen aus dem Induktionsgesetz
und aus dem Ampere-Maxwell-Satz anschaulich erklären?
Zum Zeitpunkt t=0 wird sprungartig der konstante Flächenstrom der dichte ⃗ eingeschalten.
Demnach ist auf beiden Seiten der Platten ein magnetisches Feld zu erwarten welches vorher
nicht da war. Zeitliche Änderungen magnetischer Felder lassen nach dem Induktionsgesetz auch
elektrische Felder entstehen! Beim Einschalten, bei t=0, wird aber nicht überall sofort das
elektromagnetische Feld vorzufinden sein – das bedeutet, wie kommt es da hin und mit welcher
Geschwindigkeit?
Zum Zeitpunkt t=0 lösen sich von der Ebene sowohl in positive als auch in negative x-Richtung 2
Ebenen. Vor diesen Fronten ist das Feld noch null, dahinter sieht es so aus, wie in der obigen
Abbildung.
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S e i t e | 75
Wird auf das Flächenstück A1, welches in der xyEben liegt und von links von der Front getroffen wird
̇ angewendet ergibt
Induktionsgesetz
mit
̇
das
sich
auf
Weiters liefert der Ampere-Maxwell-Satz
̇
auf der Flächenstück A2 in der xzEbene angewendet mit
̇
auf
Und angewendet auf A3 mit
̇
auf
Die erste und zweite Gleichung müssen gleichzeitig erfüllt sein, also lässt sich die
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Fronten bestimmen zu:
√
Wird der Strom zum Zeitpunkt t=T wieder ausgeschalten, wird dem vorhandenen Flächenstrom
einfach ein gleich großer entgegengesetztet Überlagert. Durch diesen Flächenstrom werden
wieder 2 Fronten mit u=c0 ausgesandt, die das Feld auslöschen, aber die ursprünglichen Fronten
niemals einholen werden. Übrig bleiben 2 Feldblöcke mit der Dicke
, die sich von ihrer
Anregung sozusagen gelöst haben.
(26.7)
Wie hängt die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen im leeren
Raum mit der elektrischen und der magnetischen Feldkonstante zusammen?
Herleitung siehe Frage (26.6),
√
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(26.8)
Was schließen Sie aus dem Ergebnis des Rowland-Experiments und seiner
gedanklichen Umkehrung?
Der ruhende Beobachter finden zwischen den zwei Platten den wesentlich gleichförmigen Fluss
⃗
. Ein Beobachter der sich mit
(d.h. nichtrelativistische Näherung) parallel zu den
⃗ weil dich die Ladung
Platten bewegt stellt den gleichen Wert der elektr. Flussdichte fest ⃗
der Platten durch die Geschwindigkeit nicht ändert.
Die Platten bewegen sich von ihm aus gesehen aber mit
an ihm vorbei und darum scheint es
⃗ belegt sind.
so, als ob sie mit den Flächenströmen der Dichte ⃗
⃗⃗⃗
Ausgehend von der unteren Platte:
Der Durchflutungssatz
auf die
Schraffierten Streifen angewendet ergibt mit
⃗
Und mit Richtungen:
⃗
⃗
⃗
mit
schließlich
⃗
⃗
In unserem Beispiel kommt jeweils von oben und unten die gleiche Komponente, also finden wir
im Raum zwischen den Platten die Magnetische Feldstärke:
⃗
⃗
⃗
Im Unterschied zum ruhenden Beobachter misst der bewegte also ein magnetisches Feld
(welches sich mit einem ursprünglich vorhandenen überlagert).
Herrschen bezüglich des Laborsystems am Ort P die magnetische Feldstärke ⃗ und die
elektrische Flussdichte ⃗ so stellt ein mit bewegter Beobachter am selben Ort P die Werte
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗ fest.
Die magnetische Spannung entlang einer bewegten Kurve ist mit ⃗ und der lokalen
momentanen Geschwindigkeit zu bilden.
Außerdem:
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Herrschen bezüglich des Laborsystems am Ort P die elektrische Feldstärke ⃗ und die
magnetische Flussdichte ⃗ so stellt ein mit bewegter Beobachter am selben Ort P die Werte
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗ fest.
(26.9)
Wie sind die magnetische Feldstärke und die elektrische Flussdichte beim
Übergang zwischen Inertialsystemen nichtrelativistisch zu transformieren? Was bedeutet
hier „nichtrelativistisch“? Wie sind unter gleichen Umständen die elektrische Feldstärke
und die magnetische Flussdichte zu transformieren?
Siehe oben, inkl. Herleitung:
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
Siehe Kapitel 15, Seite 7 (evtl. auch schon bei Fragen in Kapitel 15 behandelt)
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
„Nichtrelativistisch“ bedeutet, dass die Geschwindigkeiten klein gegenüber der
Lichtgeschwindigkeit sind, also
(26.10)
Welche
Verteilungen
elektromagnetischer
Größen
gehören
zum
elektromagnetischen Feld im engeren Sinn? Welche grundlegenden globalen
Eigenschaften besitzen diese Größen?
 Elektrische Spannungen
 Magnetische Flüsse
Lokale Repräsentanten sind Vektoren:
 Elektrische Feldstärke ⃗
 Magnetische Flussdichte ⃗
Die globalen Eigenschaften sind:
̇
 Induktionsgesetz:
Sei A irgendein orientiertes Flächenstück und dA sein rechtswendig orientierter Rand
dann ist die elektrische Umlaufspannung U(dA) gleich der Abnahmerate des rechtswendig
umfassten mag. Flusses.
 Satz vom mag. Hüllenfluss:
Ist V irgendein Volumen und dV seine orientierte Hülle, so ist der zugehörige Magnetische
Fluss
stets Null.
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(26.11)
Welchen grundlegenden Sprungbedingungen genügen die elektrische Feldstärke
und die magnetische Flussdichte? Wie sind diese zu begründen?
Tangentialkomponente stetig (siehe (19.7), Seite 30, mit Satz d. el.
[[ ⃗ ]] ⃗
Umlaufspannung
)
Normalkomponente stetig
[[ ⃗ ]]
Stellen wir uns eine Grenzfläche vor, um die ein kleines schachtelförmiges Volumen gelegt ist.
Die Höhe des schachtelförmigen Volumens soll so klein sein, dass der Fluss dadurch
vernachlässigbar klein ist. Somit muss wegen
gelten:


(26.12)
Welche Verteilungen elektromagnetischer Größen gehören zum Strom-Ladungsfeld
und welche grundlegenden globalen Eigenschaften besitzen diese Größen?
 Magnetische Spannungen
 Elektrische Flüsse
Globale Eigenschaften:
 Ampere-Maxwell-Satz:
 Satz vom elektrischen Hüllenfluss:
̇
(26.13)
Wie hängen der Ampere-Maxwell-Satz und der Satz von der Erhaltung der
elektrischen Ladung zusammen?
Der Ampere-Maxwell-Satz ist die modifizierte Version des Durchflutungssatz
̇
welcher in seiner Einfachheit mit dem Satz der Erhaltung der elektrischen Ladung
im Wiederspruch steht.
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S e i t e | 79
(26.14)
Welchen grundlegenden Sprungbedingungen genügen die magnetische Feldstärke
und die elektrische Flussdichte? Wie sind diese zu begründen?
mag. Feldstärke: siehe (19.7, Seite 30)
[[ ⃗ ]]
Elektr. Flussdichte:
Einfach B durch D ersetzen und geht scho…
Wendet man den Satz vom elektrischen Hüllenfluss
auf ein schachtelförmiges Volumen an,
durch das die Sprungfläche verläuft und auf dem die
Flächenladungsdichte verteilt ist, so erhält man
[[
]]
(26.15)
Was verstehen Sie unter einem dominant elektrischen, was unter einem dominant
magnetischen Feld? Welche vereinfachte Grundgleichung verwenden Sie dafür?
Oft ist entweder die elektrische oder die magnetische Komponente eines Feldes wesentlich
(Spule->magnetisch, Kondensator->elektrisch).
In diesen Fällen verwendet man von Anfang an die passenden Näherungen anstatt der
allgemeinen Gleichungen.
 Dominant elektrisch:
L: charakteristische Länge (zB. Größte Abmessung des Feldbereiches)
T: charakteristisches Zeitintervall (zB.Periodendauer einer Schwingung)
E0,B0: Amplituden des elektrischn bzw. magnetischn Feldes
v0: typische geschwindigkeit
dann gelten die Gleichungen der Quasi-Elektrostatik
̇
zusammen mit den Stoffgleichungen
⃗
⃗
⃗

Dominant magnetisch:
L: charakteristische Länge (zB. Größte Abmessung des Feldbereiches)
T: charakteristisches Zeitintervall (zB.Periodendauer einer Schwingung)
E0,B0: Amplituden des elektrischn bzw. magnetischn Feldes
v0: typische Geschwindigkeit
c0: Lichtgeschwindigkeit
eps: typische Permittivität
gamma: typische Konduktivität
dann gelten die Gleichungen des quasistationären elektromagnetischen Feldes:
̇
zusammen mit den Stoffgleichungen
⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗
⃗
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S e i t e | 80
Kapitel 27. Elektromagnetische Wellen
(27.1)
Was stellen Sie sich unter ebenen Wellen in ihrer einfachsten Form vor? Wodurch
sind solche Wellen gekennzeichnet?
̂ (
)
t… Zeit
x… Ort
c… konstante Geschwindigkeit
Diese Wellen heißen „eben“ weil zu einem festen Zeitpunkt an einer Ebene
jeweils
konstante Werte der Zustandsgröße feststellen. Zu einem späteren Zeitpunkt findet man den
gleichen Wert an der Ebene
welche um
zur ersten Ebene
parallelverschoben
scheint
(siehe
Bild,
Frage
27.2).
(27.2)
Was verbinden Sie mit dem Begriff „Wellenprofil“?
Das Wellenprofil ist die Darstellung des Verlaufs der Funktion „g“ aus Frage 27.1
(27.3)
Welche Beziehung besteht zwischen der elektrischen Feldstärke und der
magnetischen Flussdichte einer einfachen, ebenen elektromagnetischen Welle? Wie lautet
die Maxwellbeziehung zur Bestimmung der Ausbreitungsgeschwindigkeit? Gelten diese
Beziehungen allgemein oder sind sie an bestimmte Medien geknüpft?
Mit
⃗
⃗
̂
̂
̂
̂
Strom- und Ladungsfreier Bereich, gefüllt mit einem homogenen, linearen, isotropen Medium der
Permeabilität µ und der Permittivität ausgefüllt ist.
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Herleitung:
Vektorfelder die ein elektromagnetisches Feld bilden, müssen folgenden Bedingungen immer
genügen:
̇
 Induktionsgesetz
̇
 Ampere-Maxwell-Satz
 Satz vom elektrischen Hüllenfluss
 Satz vom magnetischen Hüllenfluss
∫
̂
Mit
Untere Grenze:
Obere Grenze:
̂ ∫
(
)
, also
̂ ∫
̇
̂ ∫
̂ [ (
)
]
Ähnlich geht man beim elektrischen Fluss durch das Flächenstück
⃗
⃗ und man kommt auf
̂ [ (
)
vor, mit der Beziehung
]
Die elektrische Feldstärke ist y-gerichtet, hängt aber nicht von y ab (sondern nur von x) Daher
ergibt sich
̂ (
̂
̂ [ (
)
)
]
Und analog dazu mit ⃗
⃗
für die magnetische Umlaufspannung am Flächenstück 2
̂
̂
̂
(
)
)
[ (
]
Einsetzen in das Induktionsgesetz ergibt dann ̂
̂ auf
Satz führt mit ̂
̂ und einsetzen in den Ampere-Maxwell-
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S e i t e | 82
(27.4)
Welche Bedeutung besitzt die Wellenimpedanz im freien Raum? Wie ist sie
definiert? Wie groß ist ihr Wert im leeren Raum?
gibt die Ausbreitungsrichtung der Welle an. Dann gilt für ebene Wellen folgendes:
⃗
⃗
Anders angeschrieben, aber gleichbedeutend:
⃗
⃗
Herleitung:
√
√
√
√
Demnach gibt die Wellenimpedanz im freien Raum eine Proportionalität zwischen elektrischer
und magnetsicher Feldstärke an. Im leeren Raum reduziert sich die Wellenimpedanz auf
√
√
[
]
[
]
(27.5)
Wodurch unterscheiden sich inhomogene von ebenen homogenen Wellen?
⃗ zwar auf jeder ebenen
Inhomogene ebene Wellen sind solche, bei denen die Werte von ⃗
Phasenfläche weiterhin zeitlich konstant sind, sich aber innerhalb jeder Phasenfläche von Punkt
zu Punkt ändern können.
(27.6)
Was bedeuten die Begriffe Phase und Phasenfläche im Zusammenhang mit
elektromagnetischen Wellen?
Das ebene Wellenfeld ist durch eine Schar von Ebenen gekennzeichnet die sich parallel
zueinander mit der konstanten Geschwindigkeit c gegenüber einem Inertialsystem verschieben.
Jede dieser Ebenen transportiert einen bestimmten Zustand, eine Phase. (Hier, Konstante Werte
von E und B)
Darum heißen die Ebenen auch Phasenflächen.
(27.7)
In welchem Sinn fassen wir ebene Wellen als Grundtypen auf?
Ebene Wellen sind ein Grundtypus der wegen der unendlichen Ausdehnung nicht wirklich
realisierbar ist.
Allerdings kann man bei passender Gestaltung der Ränder Ausschnitte davon verwenden und
kompliziertere Felder lokal approximieren.
(27.8)
Was stellen Sie sich unter Kugelwellen und Kreiszylinderwellen vor?
Darunter stelle ich mir eine Welle vor, deren Phasenflächen die Form von Kugeln oder Zylindern
haben. Steht aber auch nix im Buch darüber – lediglich: „Gekrümmte Phasenflächen – wie
sprechen etwa von Kugel- oder Kreiszylinderwellen“
(27.9)
Wie berechnen Sie die Brechzahl eines Mediums und wie hängt sie mit der
Ausbreitungsgeschwindigkeit zusammen?
√
√
√
√
(27.10)
Was verstehen Sie allgemein unter der Brechung und was unter Reflexion
elektromagnetischer Wellen?
Brechung: Ausbreitungsrichtung- und geschwindigkeit ändern sich (Sprungflächen)
Reflexion: Ausbreitungsrichtung ändert sich, Geschwindigkeit nicht, da die Welle im selben
Medium bleibt.
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S e i t e | 83
(27.11)
Wie sind Periodendauer und Periodenlänge einer ebenen periodischen Welle
definiert und wie hängen diese Größen zusammen?
Begriffsklärung: Periodenlänge = Wellenlänge
Handelt es sich bei
um eine periodische Zeitfunktion für die mit einem Kleinstwert
gilt
so nennt man T die Periodendauer einer ebenen periodischen Welle.
Wegen
zieht eine zeitliche Periodizität auch eine räumliche nach sich. Breitet sich die
Welle mit der Geschwindigkeit c aus, so hat sie nach der Zeit die Strecke
zurückgelegt,
was als Wellenlänge bezeichnet wird.
(27.12)
Was verstehen Sie unter der Frequenz, was unter der Repetenz einer periodischen
Welle?
Die Kehrwerte von
nennt man die zeitliche und räumliche Frequenz (Wiederholungsrate),
also
(27.13)
Wodurch unterscheiden sich Sinuswellen von allgemein periodischen Wellen?
Ebene Sinuswellen sind ein Sonderfall ebener periodischer Wellen. Sie haben ein Wellenprofil
der Form
mit einem konstanten Nullphasenwinkel .
Hier treten zwei weitere Kenngrößen auf,
(27.14)
Welcher Zusammenhang besteht zwischen
Kreiswellenzahl von Sinuswellen im einfachsten Fall?
Wegen
besteht der Zusammenhang:
der
Kreisfrequenz
und
der
und man kommt auf die
Darstellungsform:
(
)
(27.15)
Wie sieht die reelle, wie die komplexe Standardform der Darstellung ebener
Sinuswellen aus? Was genau bedeuten die darin vorkommenden Größen?
Mit
als Richtung der elektrischen Flussdichte bzw. Polarisationsrichtung der
elektromagnetischen Welle, der Ausbreitungsrichtung und dem Ortsvektor gelangt man zur
reellen Standardform der ebenen Sinuswelle.
⃗
⃗
̂
̂
̂
̂
Komplexe Standardform:
⃗
⃗
̂
⃗
⃗
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
Mit ⃗
(⃗ )
⃗
( ⃗ ) gelangt man von der Komplexen Standardform wieder zur reellen.
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S e i t e | 84
(27.16)
Wodurch ist die lokale Polarisationsrichtung einer elektromagnetischen Welle
allgemein erklärt?
Mit als Richtung der elektrischen Flussdichte ⃗
(27.17)
Warum sind Sinuswellen so wichtig und was verstehen Sie in dem Zusammenhang
unter einem Spektrum?
Einerseits werden Sinuswellen sehr oft als Informationsträger genutzt – die Information wird in
Form von relativ langsamen Variationen der Amplitude, Frequenz des Phasenwinkels
übertragen.
Andererseits können alle technisch bedeutsame Zeitverläufe physikalischer Größen als additive
Überlagerung von Sinusschwingungen dargestellt werden.
Die Gesamtheit zu einem Zeitverlauf gehörenden Sinusschwingungen heißt Spektrum.
Zusatz:
Verläuft ein Vorgang periodisch mit der kleinsten Periodendauer
, dann besteht dein
Spektrum aus einer diskreten Menge von Sinusschwingungen unterschiedlicher Amplitude und
ganzzahligem
Vielfachen
der
Grundfrequenz
Ein nicht periodischer Verlauf führt auf ein kontinuierliches Spektrum – das heißt, es sind im
Prinzip Sinusschwingungen aller Frequenzen, mit unterschliedlichem, frequenzabhängigem
Gewicht, vertreten.
Zusatz ende
Wird also eine Welle durch einen allgemeinen Vorgang angeregt so entsteht ein ganzes
Spektrum an Sinuswellen. Im leeren Raum, und in linear wirkenden Trägermedien kann man also
das gesamte Wellenfeld durch Kombination dieser einzelnen Sinuswellen rekonstruieren.
(27.18)
Wann nennen wir eine Welle linear polarisiert?
Ebene Wellen vom Typus der reellen Standardform deren Polarisationsrichtung sich entlang der
Ausbreitungsrichtung nicht ändert heißen linear Polarisiert.
(27.19)
Was ist eine zirkular polarisierte Welle? Welche Darstellung besitzt sie und wie
lässt sie sich durch Überlagerung linear polarisierter
Wellen erzeugen?
⃗ sind im gesamten
Die Beträge der Feldvektoren ⃗
Feldbereich konstant, aber ihre Richtungen sind auf
bestimmte Art und Weise Zeit- und Ortsabhängig.
An jedem festen Ort dreht sich die Polarisationsrichtung mit
der Winkelgeschwindigkeit . Auch breitet sich wie Welle
nach wie vor mit der Geschwindigkeit
aus, also
beschreiben
die
Spitzen
der
Feldvektoren
eine
Schraubenbewegung mit Ganghöhe
Dazu ein Beispiel, wie man solch eine Welle „herstellt“.
Angenommen man überlagert zwei ebene, linear polarisierte
Wellen gleicher Frequenz, Amplitude und Ausbreitungsrichtung. Allerdings sind die 2 Wellen um
phasenverschoben und auch die Polarisationsrichtung unterscheidet sich um
(D.h. auch
eine Räumliche Verschiebung um
⃗
̂
⃗
⃗
̂
(
)
̂
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S e i t e | 85
⃗
̂
(
)
⃗
(
⃗
⃗
̂
̂
(
)
)
̂

Zu jedem festen Ort
Und ⃗
⃗
⃗
̂
Dreht sich der Polarisationsvektor mit
und
̂
.
̂
(27.20)
Was bedeutet der Begriff Helizität bei zirkular polarisierten Wellen?
Die Helizität beschreibt die Drehrichtung der Polarisationsrichtung. Sich links drehende Wellen
(wie im Bild) sind links zirkular polarisiert bzw. besitzen eine positive Helizität.
Sich rechts drehende Wellen sind rechts zirkular und besitzen demnach eine negative Helizität.
(27.21)
Was stellen Sie sich unter elliptisch polarisierten Wellen vor?
Im Allgemeinen entstehen bei Überlagerung zweier Sinuswellen gleicher Frequenz und
Ausbreitungsrichtung, aber unterschiedlicher Amplituden eine elliptisch polarisierte Welle.
(27.22)
Wie lauten die ideal metallischen Randbedingungen und wie sind sie zu
begründen?
Die ideal metallischen Randbedingungen lauten
⃗
⃗
⃗
⃗
Begründung:
In Massiven Leitern tritt in hochfrequenten elektromag. Feldern als Induktionserscheinung der
Effekt der Flussverdrängung auf. Die Konsequenz ist dass die magnetische Flußdichte vom
Rand her abklingt und in einigen Abständen
√
bereits unmerkbar klein ist.
Bei großen Frequenzen / Leitfähigkeiten wird die Eindringtiefe so klein dass – makroskopisch
gesehen - die entstehende Flächenstromverteilung das Körperinnere vollständig vom äußeren
magnetischen Fluss abschirmt. Durch Influenz entstehende Flächenladungen verhindern
Zusätzlich ein Eindringen des elektrischen Feldes. Demnach gibt es im Inneren elektrisch gut
leitfähiger Körper überhauptkeine elektromagnetischen Felder. Zusammen mit den allgemeinem
⃗
⃗
Sprungbedingungen [[ ⃗ ]] [[ ⃗ ]] ⃗ lassen sich wegen[[ ⃗ ]] ⃗
⃗
⃗
⃗
nun die oben genannten Bedingungen begründen! Analog verfahrt
man mit [[ ⃗ ]]
(27.23)
Welche spezielle Form besitzen stehende elektromagnetische Sinuswellen und wie
können sie entstehen?
Angenommen zwei gleiche, linear polarisierte Wellen aber mit genau unterschiedlicher
Ausbreitungsrichtung treffen aufeinander.
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⃗
̂
⃗
̂
⃗
̂
⃗
̂
Für die Feldstärke kommt man auf:
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Und für die Flussdichte auf:
̂
Mit ̂
Also Sieht das resultierende Feld wie folgt aus:
⃗
⃗
̂
̂
Das sine stehende Wellen. Für sie ist typisch, dass es sogenannte Knotenflächen gibt, in
unserem Fall eine Schar von Flächen raumfester Ebenen, an denen die elektrische Feldstärke
für alle Zeiten verschwindet. Das kann nur sein, bei
und das heißt, bei
ergibt sich für
Die Knotenflächen sind also im Abstand von
.
Wird aus dem Feld ein Bereich mit der Dicke a
(siehe Bild) herausgeschnitten, so können sich
stehende Wellen darin ausbilden, sofern
Das ist sozusagen eine Resonanzbedingung. Die
Anordnung
im
Bild
ist
die
Grundform
elektromagnetischer Resonatoren welche bei hohen
Frequenzen anstelle von diskret aufgebauten
Schwingkreisen aus Spulen und Kondensatoren
eingesetzt werden.
Seite 87 von 105
S e i t e | 88
(27.24)
Wodurch sind TE-Wellen charakterisiert? Wie können sie durch Reflexion
entstehen? Warum gibt es zu jedem TE-Modus eine untere Grenzfrequenz?
TE-Wellen heißen Transversal-Elektrisch, da die elektrische Feldstärke ausnahmslos transversal
(quer) zur Ausbreitungsrichtung liegt (Polarisationsrichtung) und keine Komponente in diese
Richtung aufweist.
Sie entstehen durch Überlagerung 2er Wellen mit gleicher Amplitude, Frequenz, Polarisation,
aber unterschiedlicher Ausbreitungsrichtung. Anhand vom Bild kann man sehen, dass es
durchaus auch durch Reflexion einer Welle zum einer TE-Welle kommen kann.
Mit der komplexen Standardform
⃗
⃗
̂
⃗
⃗
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
Kommt man auf
Und durch die Addition der Komponenten auf das vollständige Feld. (Herleitung weiter unten)
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An der Ebene
verschwindet elektrische und das magnetische Feld vollständig, und
auch an anderen, zu dieser Ebene im passenden Abstand
liegenden Ebenen. Hier
sind die ideal metallischen Randbedingungen also erfüllt und man kann das Feld durch einen
Spiegel begrenzen ohne das restliche Feldbild zu verändern. Das Feld kann durch einen zweiten
Spiegel im Abstand a zusätzlich begrenzt werden, ohne das Feld zu verändern  geführte
Welle!!
Anders angeschrieben sehen die Feldgleichungen wie folgt aus:
Wobei
lässt sich dann
⃗
̂
⃗
[̂
̂
]
den Phasenkoeffizienten bestimmt. Ausgehend von einem Spalt der Breite a
zusammen mit
angeben als
√
Die natürliche Zahl n definiert eine mögliche TE-Wellenform, einen sogenannten Modus. Zu
jedem Modus gibt es einen Kleinstwert
der Kreisfrequenz. Durch Schwingungen mit einer
kleineren Frequenz als lassen sich überhauptkeine Wellen anregen. (Frage 27.23)
Zusatz: Eliminiert man in den Gleichungen für die komplexen Amplituden
̂
̂
̂
alle Terme mit
̂
̂
̂
[
]
[
[
]
]
mit
,
so folgt daraus die Darstellung
̂
̂
̂
̂
̂
̂
[
]
[
]
[
]
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Bei der Grenzkreisfrequenz
des n-ten Modus verschwindet der Phasenkoeffizient und es
bildet
sich
gerade
noch
eine
stehende
Welle
mit
n
Halbwellen
aus.
Wird die Frequenz gesteigert, fängt die Welle an sich in x-Richtung auszubreiten. Bei festem ̂
wird ̂
immer kleiner und nähert sich
Nachtrag: Addition der Feldkomponenten
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S e i t e | 91
(27.25)
Wodurch sind TM-Wellen charakterisiert? Wie können sie durch Reflexion
entstehen?
Bei TM-Wellen liegt die magnetische Flussdichte transversal zur Ausbreitungsrichtung. Sie
können genauso wie TE-Wellen durch Reflexion entstehen.
(27.26)
Wodurch unterscheiden sich TEM-Wellen von TE- und TM-Wellen hinsichtlich
Konfiguration und in ihren Ausbreitungseigenschaften?
Bei TEM-Wellen liegen sowohl die Vektoren der elektrischen also auch der magnetischen
Komponenten quer zur Ausbreitungsrichtung. Sie lassen sich ins TE-TM-Schema geführter
Wellen mit n=0 einordnen.
Es
gibt
keine
untere
Grenzfrequenz
und
es
gilt
.
TEM-Wellen benötigen zweifach zusammenhängende Querschnitte. TE- oder TM-Wellen
benötigen nur einen einfach zusammenhängenden Querschnitt.
(27.27)
Wie ist die Phasengeschwindigkeit, wie die Gruppengeschwindigkeit einer Welle
erklärt? Wann unterscheiden sich deren Werte voneinander?
Ein Beobachter bewegt sich mit der Welle mit, und definiert die seine Geschwindigkeit gegenüber
des Inertialsystems als die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle, wenn er einen
unveränderlichen Zustand, eine konstante Phase, sehen kann.
⃗
̂
{[ ̂
]
}
Mit
liegen diese Werte aber i.a. über der
Lichtgeschwindigkeit. Mit der Phasengeschwindigkeit wird also keine Information übertragen. Die
Schnittkurve der beiden Phasenflächen läuft mit der Phasengeschwindigkeit.
Die Gruppengeschwindigkeit
kann
anhand des
verstehen (
man
leicht
Zickzack-Kurs der Welle im Kanal
)
Diese beiden Werte sind dann gleich, wenn gilt
(27.28)
Wann nennen wir eine Welle dispergierend? Was verstehen Sie unter einer
Dispersionsbeziehung?
Die Beziehung
zwischen der Kreisfrequenz und dem Phasenkoeffizienten einer
Sinuswelle heißt Dispersionsbeziehung. Die wird wenn möglich als
geschrieben. Im einfachsten Fall gilt
Wenn die Dispersionsbeziehung von dieser
Proportionalität abweicht, ist die Phasengeschwindigkeit
von der Frequenz bzw. vom
Phasenkoeffizienten abhängig und unterscheidet sich von der Gruppengeschwindigkeit. Dann
nennt man die Welle Dispergierend.
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S e i t e | 92
(27.29)
Wodurch kann dispergierendes Verhalten zustande kommen und wie wirkt sich
dieses z.B. bei der Ausbreitung einer pulsartigen Welle aus?
Zum Beispiel durch ständige Reflexion, wie bei unseren TE- und TM- Wellen von vorher. Aber
auch durch das Verhalten des Mediums selbst in dem sich die Welle ausbreitet, z.B. durch eine
frequenzabhängige Permittivität, wodurch dann nach
die Ausbreitungsgeschwindigkeit
√
frequenzabhängig
Wenn man eine pulsartige Welle in ihr Spektrum
zerlegt zeigt sich, dass allerhand Frequenzen
vorkommen welche sich (leicht) unterschiedlich
schnell ausbreite. Zu einem späteren Zeitpunkt sieht
die Pulsform dann so aus, als wäre sie
„auseinandergeflossen“. (Bild als Beispiel für eine
pulsartige Welle – NICHT für die Dispersion)
wird!!
(27.30)
Welche physikalische Bedeutung schreiben wir der Phasengeschwindigkeit und
der Gruppengeschwindigkeit zu?
Mit der Gruppengeschwindigkeit (jene Geschwindigkeit der Hüllkurve von einer Gruppe von
Sinusschwingungen benachbarter Frequenzen – Wellenpaket) wird Information übertragen.
Die Phasengeschwindigkeit ist nur die Geschwindigkeit mit der die gedachte Schnittkurve der
Phasenflächen läuft – ist zur Informationsübertragung aber nicht geeignet.
Beispiel:
2 Sinuswellen gleicher komplexer Amplitude ̂
mit benachbarten Kreisfrequenzen
und den dazugehörigen Phasenkoeffizienten
und lineare
Approximation der Dispersionsbeziehung
in der Umgebung des Fixwertes
werden
Überlagert. So entsteht mit
̂
̂
eine Welle mit dem Profil
[
[ (
(
) ]
[
(
) ]
)]
[ (
)]
welchem die GRUPPENgeschwindigkeit als
Ausbreitungsgeschwindigkeit zugeordnet ist.
(27.31)
Warum sind zur Ausbreitung von TEM-Wellen zweifach zusammenhängende
Querschnitte erforderlich und womit sind diese Querschnitte berandet?
Berandet sind diese Querschnitte mit Metall. Im Feldraum zwischen den Leitern ist Material, das
völlig Ladungs- und Stromfrei ist, also perfekt isoliert.
Ein ideal metallischer Rand ist elektrisch leitfähig, bildet daher einen Bereich konstanten
Potentials. Daraus folgt, dass das elektrische Feld im ladungsfreien Innenraum gleich 0 sein
muss, da das Potential im ganzen Innenraum konstant ist (siehe ET1, Kapitel 11).
Wenn der Innenraum des Hohlleiters als ladungsfrei angenommen wird (ist er immer, wenn er
einen einfach zusammenhängenden Querschnitt besitzt), dann liefert außerdem der
Durchflutungssatz für beliebige ganz im Innenraum des Hohlleiters verlaufende, geschlossene
Kurven
,
damit
also
überall
H=0.
Es gilt also allgemein für den Querschnitt alleine. E=0 und H=0 im Innenraum.
Eine TEM-Welle hat keine Komponenten von E bzw. B in die Ausbreitungsrichtung. Wendet man
das Induktionsgesetz auf eine Fläche an, die normal zur Ausbreitungsrichtung steht so erhält
̇
man
Der Ampere-Maxwell-Satz auf diese Fläche angewandt liefert
̇
. Eine TEM-Welle kann also nicht existieren.
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S e i t e | 93
Eine TM – Welle besitzt eine E-Komponente in Ausbreitungsrichtung die sich zeitlich ändert. Der
Ampere-Maxwell-Satz liefert daher, dass H ungleich null ist und daraus folgt dass sich die Welle
im Medium ausbreiten kann.
Eine TE – Welle besitzt eine B-Komponente in Ausbreitungsrichtung, die sich zeitlich ändert. Das
Induktionsgesetz liefert jetzt einen Wert von E ungleich Null und draus folgt, dass auch eine TEWelle sich in diesem Medium ausbreiten kann.
Bei einem Medium mit mehrfach zusammenhängendem Querschnitt (z.B.: Koaxialkabel) gibt es
einen oder mehrere Innenleiter. Auf diesem können sich Ladungen ansammeln, es gilt dann nicht
mehr allgemein E=0, außerdem können Ströme fließen, die Ladung kann sich zeitlich verändern,
somit gilt im allgemeinen nicht mehr H=0 und TEM – Wellen sind ausbreitungsfähig.
(27.32)
Was verstehen Sie unter einer verlustfreien, langen Leitung? Was bedeutet hier im
Speziellen „lang“?
Leitungslänge in der Größe der Wellenlänge und keine Joule-verluste (Keine
Leitungswiderstände, keine Querströme)
.
(27.33)
Wie lauten die Leitungsgleichungen in ihrer einfachsten Form und was genau
bedeuten die darin vorkommenden Größen?
Ableitung:
Es existiert kein magnetischer Fluss quer zur Zeichenebene. Darum liefert das Induktionsgesetz
für jede geschlossene Kurve in der Zeichenebene den Wert NULL. Zusammen mit der
Feldfreiheit im Inneren der Leiter schließt man, dass jeder Kurve die am ersten Leiter beginnt und
am zweiten Endet der gleiche Wert der elektrischen Spannung zugeordnet ist.
Es existiert auch kein elektrischer Fluss quer zur Zeichenebene. Deswegen reduziert sich der
Ampere-Maxwell-Satz auf den Durchflutungssatz.
Wegen
vom elektrischen Hüllenfluss
gilt wegen dem Durchflutungssatz
folgendes
und wegen dem Satz
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∫
∫
Entlang der Leiter tritt selbst keine Spannung auf, darum gilt das Induktionsgesetz:
̇
̇
Und der Satz von der Erhaltung der Elektrischen Ladung
̇
̇
Und somit kommen wir zum Ergebnis:
̇
∫
̇
∫
Nach Differenzieren nach der Ortskoordinate, also
Seitenanfang.
kommt man zum Ergebnis am
(27.34)
Warum lassen sich der Kapazitätsbelag und der Induktivitätbelag aus statischen
bzw. stationären Feldkonfigurationen berechnen?
Das folgt aus dem statischen bzw. stationären Charakter der Transversalen Felder in jedem
Querschnitt und zu jedem Zeitpunkt.
(27.35)
Welche Form besitzt eine allgemeine Lösung der Leitungsgleichungen? Wie
interpretieren Sie die einzelnen Bestandteile?
̂
Sei
eine stetig differenzierbare Zeitfunktion mit der Dimension 1, so bildet
̂
ein mögliches Lösungspaar der Leitungsgleichungen.
Einsetzen in
und
liefert
̇
̂
̂ ̇
und
̂
̇
̂ ̇
Zusammen also ̂
̂
√
̂
̂
√
̂=
̂,
woraus sich ergibt, dass ̂
̂.
, also kann man jetzt auch schreiben
√
wobei
̂ und ̂
der
Faktor
√
Wellenimpedanz genannt
wird.
Führt man diese Überlegung für eine Zeitfunktion, die das Argument
̂.
Besitzt durch, erhält man die gleichen Ergebnisse ausgenommen von ̂
Die Überlagerung dieser beiden Wellenpaare ergibt bereits die allgemeine Lösung der
Wellengleichungen in der Form:
̂
(
) ̂
(
)
̂
̂
̂
(
)
̂
(
̂
)
̂
Index 1 … hinlaufend
Index 2 … rücklaufend
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(27.36)
Wie hängen die Wellenimpedanz und die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer
Leitung mit dem Induktivitäts- und dem Kapazitätsbelag zusammen?
√
√
Ableitungen siehe Frage 27.35
(27.37)
Warum ist die Wellenimpedanz einer Leitung eine besonders wichtige Kenngröße
und welche Bedeutung kommt ihr im Zusammenhang mit Reflexion zu?
Spannung und Strom der hinlaufenden und mit negativem Vorzeichen zurücklaufenden Welle
sind einander an jedem Ort und zu jeder Zeit auf der Leitung über die Wellenimpedanz
proportional! Dabei ist die Wellenimpedanz nur vom Induktivitätsbelag und vom Kapazitätsbelag
einer Leitung abhängig. Durch Anpassung des Abschlusswiderstandes kann man Reflexion
vollständig unterdrücken – dazu mehr bei der nächsten Frage.
(27.38)
Warum finden an Leitungsenden i.a. Reflexion von Spannungswellen und
Stromwellen statt? Wie sind die zugehörigen Reflexionsfaktoren definiert?
̂
Die Randbedingungen
und
die soviel bedeuten
wie:
Die Eingangsspannung
muss zu jedem Zeitpunkt die Summe der Spannung am Ort x=0
und der am Eingangswiderstand
sich einstellenden Spannung sein und
Die Spannung am Ort x=l
muss zu jeder Zeit gleich der sich am Abschlusswiderstand
einstellenden Spannung
sein.
Im Intervall
reduziert sich auf
gibt es nur hinlaufende Komponenten und die allgemeine Lösung
̂
̂ (
̂.
(
) und
) mit ̂
Die Randbedingung
muss natürlich erfüllt sein. Einsetzen unserer
allgemeinen Lösung in die Randbedingung bringt uns auf
̂
Mit
̂
(
und
(
)
folgt:
̂
Und mit dem Zusammenhang ̂
̂
)
̂
̂
̂
.
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̂
̂
̂ (
̂
̂
)
̂ (
̂
)
Zum Ergebnis
̂
̂
̂
̂
Bzw. zu
Das Intervall
beginnt mit dem Eintreffen der Welle am Leitungsende. Dabei
entsteht folgendes Problem:
Die hinlaufende Komponente liefert bei x=l
.
Die zweite Randbedingung erfordert aber
. Dieser Widerspruch bildet den
Anlass zur Bildung rücklaufender Komponenten. Daher gelten jetzt die allgemeinen Lösungen
der Form
̂
(
) ̂
(
)
̂
(
)
̂
(
)
̂
̂
̂
̂
Eingesetzt in die zweite Randbedingung kommt man über Folgende Ableitung zum
Reflexionsfaktor:
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̂
Mit
̂
ergeben sich folgende Verteilungen:
̂
(
)
̂
̂
(
)
̂
̂
(
)
(
̂
)
̂
̂
Zum Zeitpunkt
trifft die Front der reflektierten Welle am Leitungseingang ein und
verletzt die Randbedingung
(die ja vorher schon, OHNE die
zurücklaufende Komponente erfüllt war). Also muss noch ein hinlaufendes Wellenpaar
entstehen.
(27.39)
Was verstehen Sie unter dem Ferranti-Effekt und wie kommt er zustande?
Die Leerlaufs-Ausgangsspannung einer Leitung ist stets größer oder gleich
Eingangsspannung!
Bei eingeschwungenen Zuständen
{
{
̂
̂
̂
}
̂
̂
̂
}
der
̂
̂
führen unter der Annahme, dass
̂
, die Gleichungen
̂
nach längerem Rechnen auf die vollständige Spannungs- und Stromverteilung auf der Leitung :
[
]
[
]
[
Für
folgt für die Spannung bei
]
[
]
, also am Ende der Leitung:
Mit
Für
bzw.
oder mit
ergeben sich resonanzartige
Überhöhungen.
Energietechnische Leitungen sind wegen den kleinen Frequenzen als kurz einzustufen, zB.:
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S e i t e | 98
(27.40)
Wieso lassen sich Leitungsstücke bei hohen Frequenzen als Resonanzelemente
verwenden?
Die Eingangsimpedanz einer Leitung errechnet sich nach
Für eine Offene Leitung ergibt sich für
Der cotangens sieht folgender Maßen aus:
 Bei
verschwindet


|
|
|
|


|
|
Usw…..
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S e i t e | 99
Kapitel 28. Energie im Elektromagnetismus
(28.1)
Wie würden Sie den Begriff „Energie“ definieren oder wenigstens Umschreiben?
Wo liegt das Problem?
Den Begriff „Energie“ kann man am sinnvollsten als „Arbeitsvermögen“ umschreiben.
„Energie“ ist ein grundlegender physikalischer Begriff und daher ziemlich Abstrakt. Keine noch so
scharfsinnige Definition kann den Begriff „Energie“ so wirklich fassen.
(28.2)
Was verstehen Sie unter den Begriffen „Energieform“ und „Energiestrom“?
Jedes physikalische System kann man sich zu jedem Zeitpunkt mit einem substanzartigen
„Energieinhalt“ ausgestattet denken. Änderungen des Energieinhaltes machen sich in
Zustandsänderungen in der Regel als Energieströme bemerkbar.
Energieformen sind grob gesagt die Arten, in der Energie auftritt. Zum Beispiel Arbeit, Wärme,
elektrische Energie,…
(28.3)
Welche Vorstellung verbinden Sie mit „Energiespeicherung“? Welche Rolle spielt
dabei die Energieerhaltung?
Als Energiespeicherung meint man die Erhöhung des Energieinhalts eines Systems durch
externe Energiezufuhr. Auf was für eine Art diese Speicherung erfolgt ist weitgehend unabhängig
davon, in welcher Form die Energie zugeführt wird.
(elektr. Energie zuführen – im Kondensator elektrostatisch speichern – nach einiger Zeit wieder
elektrische Energie abführen oder elektrische Energie über Antrieb Schwungrad – kinetische
Energie – anschließend Generator, elektr. Energie)
Die Energieerhaltung sagt, dass jede Änderung des Energieinhaltes eines Systems durch
Energieströme bekannter Formen gedeckt wird, die durch Energieaustausch mit anderen
Systemen zustande kommen.
(28.4)
Was unterscheidet – vom elektrischen Standpunkt – Spulen und Kondensatoren
wesentlich von elektrischen Widerständen?
Widerstände setzen eine zugeführte Energiemenge vollständig und irreversibel in eine andere
Energieform
(zumeißt
Wärme)
um
und
entzieht
sie
dem
Stromkreis.
Bei Kondensatoren und Spulen ist das anders. Als ideale Elemente können sie die vom
Stromkreis aufgenommene elektrische Energie sogar vollständig wieder zurück geben – was in
der Praxis natürlich nicht geht.
(28.5)
Wie lautet der Ausdruck für den Energieinhalt eines idealen Kondensators? Wie ist
es zu begründen?
̇
Mit
und der Momentanleistung
erhält man für die Momentanleistung
am idealen Kondensator zu jedem Zeitpunkt
̇
Mit
∫
erhält
man
den
Energieinhalt
∫
,
mit
idealen
Kondensators
zu
̇
∫
Einschub: ∫
des
̇
̇
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Mit
̇
∫
∫
̇
∫
̇
̇
∫
Erhält man den Energieinhalt eines Kondensators als
̇
∫
(28.6)
Wie lautet der Ausdruck für den Energieinhalt einer idealen Spule? Wie ist er zu
begründen?
̇
̇
∫
(28.7)
Wie berechnen Sie den Energieinhalt zweier gekoppelten
unterscheiden Sie dabei Mitkopplung und Gegenkopplung?
Spulen?
Wie
∑
mit
∑
̇
Kommt man auf
∑∑
̇
Womit man direkt zum Ausdruck für den Energieinhalt n gekoppelte Spulen kommt
∑∑
Also für n=2:
Gegenkopplungen berücksichtigt man durch Negatives Vorzeichen bei der entsprechenden
Gegeninduktivität.
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(28.8)
Auf welche Weise lässt sich der Energieinhalt eines nichtlinearen magnetischen
Grundkreises veranschaulichen, wenn ein eindeutiger Zusammenhang zwischen
Verkettungsfluss und Stromstärke der Spule bekannt ist?
Nichtlinear bedeutet,
Der Energieinhalt lässt sich als die Schraffierte Fläche interpretierten!
(28.9)
Wie stellen Sie sich die Eigenschwingungen in einer einfachen LC-Schaltung
energetisch betrachtet vor? Wodurch ist dabei der gesamte Energieinhalt bestimmt und
wie groß sind im zeitlichen Mittel die Energieinhalte des Kondensators und der Spule?
Der Strom durch die Spule ist zunächst gleich
Null. Unmittelbar nach Schließen des
Schalters liegt an der Spule die Spannung ̂.
Gemäß ̇
beginnt ein Strom zu fließen
der seinen Größtwert ̂ dann erreicht wenn
der Kondensator völlig entladen ist.
Anschließend nimmt der Strom wieder ab und
̂.
entlädt den Kondensator auf
Der gleiche Vorgang, diesmal aber mit
umgekehrten Vorzeichen beginnt von neuem.
Von der energetischen Seite her ist zunächst
im
̂
Kondensator die Energie ̂
gespeichert und in der Spule
. Insgesamt liegt
̂ vor. Dieser Wert muss nach schließen des Schalters im
im System also die Energie
System erhalten bleiben (Verlustlosigkeit vorausgesetzt).
Die im Kondensator gespeicherte Energie verringert sich tatsächlich bis auf Null, allergings ist
̂
̂ . Dieser Energiebetrag pendelt zwischen den Energiespeichern mit der
jetzt
doppelten Frequenz hin und her.
Im zeitlichen Mittel sind im Kondensator und in der Spule der gleiche Wert der Energie
(28.10)
Wenn Sie den einfachen LC-Schwingkreis mit einem mechanischen Schwinger,
bestehend aus linearen Feder und einer Masse, vergleichen, welche mechanischen
Variablen entsprechen dann der elektrischen Spannung, dem Strom, der Ladung und dem
Verkettungsfluss?
Feder
Masse
Kondensator
Spule
Rest .. keine Ahnung.
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S e i t e | 102
(28.11)
Welche Ausdrücke verwenden Sie zur Berechnung der Energiedichten des
elektrischen und magnetischen Feldes im leeren Raum und in linearen, isotropen
Körpern? Wie sind diese Ausdrücke zu begründen? Gelten Sie auch für inhomogene
Felder?
Elektrische Energiedichte
Magnetische Energiedichte
Plattenkondensator mit Fläche
Dielektrikum mit Permittivität .
Mit
A,
Plattenabstand
l<<Plattenabmessungen,
lineares
folgt
Im Homogenen Feld erwarten wir die Energiedichte gleich verteilt, also folgt die elektrische
Energiedichte zu
Dieser Ausdruck behält in inhomogenen Feldern seine Gültigkeit solange die Materialgleichung
⃗
⃗ gültig ist!
Schlanke, dünnwandige Zylinderspule mit Querschnitt A und Länge , gleichmäßig mit N
Windungen dicht gewickelt. Die Anordnung ist in ein lineares Medium mit der Permeabilität µ
eingebettet. Die Flussverteilung im Spuleninneren ist dann im Wesentlichen homogen.
Mit
mit
errechnet sich
Und dividiert durch das Volumen
Dieser Ausdruck behält in inhomogenen Feldern seine Gültigkeit solange die Materialgleichung
⃗
⃗ gültig ist!
(28.12)
Wie hängen die Energiedichten mit dem Energieinhalt einer Spulen oder eines
Kondensators zusammen?
(28.13)
Warum lassen sich in einem magnetischen Feld wesentlich größere Energiemengen
speichern als in einem elektrischen Feld gleichen Volumens?
Dazu ein Beispiel:
ist eine recht hohe elektrische Feldstärke. Mit
Energiedichte von
.
erhält man eine elektrische
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Ein Magnetfeld mit einer durchaus üblichen Flussdichte von B=1T weist mit
nach
eine
megnetische
Energiedichte
von
allerdings
auf.
Also
den
Zehntausendfachen Wert.
Technisch gesehen lässt sich in Magnetfeldern also Energie mit wesentlich höheren Dichten
speichern als in elektrischen Feldern! Das ist auch der Grund, wieso elektrische Motoren in
Generatoren fast immer auf magnetischer Basis arbeiten.
(28.14)
Wie stellen Sie sich den Energietransport entlang einer Leitung vor?
Angenommen unsere Leitung besteht
zwei nahe bei einander liegenden, relativ
breiten Streifen annähernd idealer
Leitfähigkeit, eingebettet in ein lineares
isotropes Medium. Liegt eine Spannung
an, und Fließt der Strom der Stärke , so
im Sinne der Z-Richtung Energie mit der
übertragen.
Unter der Vorraussetzung
findet
zwischen den Platten das recht
homogene Feld ⃗
und ⃗
mit
auch anschreiben als
mit
also
aus
U
wird
Rate
man
und
, also kann man den Energiefluss
(28.15)
Wie ist der Poynting-Vektor definiert und wie wird er in einfachen Fällen
interpretiert? Warum wird er manchmal auch Strahlvektor genannt?
Anschließend an die vorherige Frage wird der Poynting-Vektor als eine Energieflussdichte
definiert. Sein Betrag ist also
Der Energiefluss verläuft in z-Richtung. Also ist der Poynting-Vektor vollständig definiert als
⃗
⃗
Zusammengefasst:
Liegen in einem elektromagnetischen Feld zu einem Zeitpunkt und Ort die elekrtische Feldstärke
⃗ und die magnetische Feldstärke ⃗ , so herrscht an diesem Ort die elektromagnetische
Energieflussdichte
In der Optik wird die Energieflussrichtung oft mit der Strahlrichtung identifiziert – deshalb wird der
Poynting-Vektor auch manchmal Strahlvektor genannt.
Nachtrag:
Betrachtet man eine ebene Welle.
⃗
̂
⃗
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
Und für den Poynting-Vektor erhalten wir
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S e i t e | 104
⃗
⃗
̂
̂
̂
̂
̂
Mit
erhält man zwischen der Gesamtenergiedichte und dem PoyntingVektor den Zusammenhang:
(28.16)
Wie
lautet
der
Grundgleichungen folgt er?
Poynting-Satz:
∫
…
…
⃗…
⃗…
…
⃗…
⃗…
Poynting-Satz?
⃗
⃗
∫ ⃗
Aus
⃗ ⃗̇
welchen
⃗
elektromagnetischen
⃗̇
Hülle eines inertialfesten Volumens
Einsnormalenvektor von innen nach außen auf
Elektrische Feldstärke
Magnetische Feldstärke
Elektrische Stromdichte
elektrische Flussdichte
magnetische Flussdichte
Der Poynting-Satz folgt allein aus dem Induktionsgesetz, dem Ampere-Maxwell-Satz und den
lokalen Darstellungen der Spannungen, Flüsse und des Stroms durch euklidisch Vektorfelder.
Verwörtlicht heißt die linke Seite:
Der Gesamte elektromagnetische Energiefluss der momentan durch die Hülle von außen in das
Volumen tritt (Daher das negative Vorzeichen)
⃗
erfasst die Leistung, die volumenbezogen über elektrische Ströme aus dem
elektromagnetischen Feld abgezogen wird.
⃗ und ⃗
⃗ gilt, handelt es sich bei den Termen ⃗ ⃗ ̇ und ⃗ ⃗ ̇ um
In Körpern, in denen ⃗
die Zeitableitungen von
(28.17)
Was genau gibt das Flächenintegral im Poynting-Satz an und wie ist es zu
interpretieren? In welchem Sinn ist der Poynting-Satz als Energiebilanz aufzufassen?
Der Gesamte elektromagnetische Energiefluss der momentan durch die Hülle von außen in das
Volumen tritt (Daher das negative Vorzeichen)
Der Poynting-Satz gibt grob gesagt an, was mit der zugeführten Energie im Volumeninneren
geschieht – welche Teile wofür verwendet werde. Joule-Verluste (erster Term auf der linken
Seite) oder elektrische und magnetische Zustandsänderungen (elektromagnetisch gespeicherte
Energie, Polarisations- und Magnetisierungsmechanismen)
(28.18)
Wo und wie finden Sie im Poynting-Satz speziell Joule-Verluste und
elektromechanische Wechselwirkungen über elektrische Ströme?
Bei der Anwesenheit bewegter Leiter im betrachteten Raumteil gilt unter Verwendung des lokalen
⃗
⃗ der Zusammenhang
Ohm’schen Gesetzes
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⃗
⃗)
(
⃗ stellt die auf stromdurchflossene Leiter im mag. Feld ausgeübte Kraftdichte dar. Das heißt,
neben der Dichte der Joule-Verlusten
gewinnt man eine mechanische Leistungsdichte
⃗ ) welche z.B. den elektrisch-mechanischen Energieaustausch in Generatoren / Motoren
(
erfasst.
⃗ . beschreibt allgemein gesprochen Wechselwirkungen mit anderen Energieformen über
elektrische Ströme.
(28.19)
Unter welchen Voraussetzungen sind jene Terme im Poynting-Satz, die
Zeitableitungen enthalten, vollständig als zeitliche Änderungsraten von Energiedichten
interpretierbar? Welche einfache Aussage liefert dann der Poynting-Satz?
⃗ und ⃗
⃗ gilt, handelt es sich bei den Termen ⃗ ⃗ ̇ und ⃗ ⃗ ̇ um
In Körpern, in denen ⃗
die Zeitableitungen von
⃗ ⃗̇
⃗ ⃗ ̇ und ⃗ ⃗ ̇
̇
̇
⃗ ⃗̇
⃗ ⃗̇
und ⃗
⃗
⃗̇
…
und
⃗̇
⃗ ⃗̇
⃗
⃗ ̇
⃗ ⃗̇
Er liefert dann die Aussage
∫
∫ ⃗
̇
Der Energiefluss durch die Hülle wird zum einen über elektrische Ströme in andere
Energieformen (Joule-Verluste, erster Term auf der linken Seite), zum Anderen zur Erhöhung der
im Volumen elektromagnetisch gespeicherten Energie (zweiter Term) verwendet.
(28.20)
Warum werden Hystereseschleifen bei zyklischen Magnetisierungsprozessen
immer so durchlaufen, dass das innere der Schleife zur Linken liegt?
Die Fläche der Hystereseschleife hat die Dimension
einer
Energiedichte.
Es handelt sich um jenen volumenbezogenen
Energiebetrag der infolge irreversibler Prozesse bei
Zustandsänderungen in ferromagnetischen Körpern
während
eines
Zyklus
aus
dem
elektromagnetischen Feld abgezogen und in Wärme
umgewandelt
wird.
Da es irreversible Prozesse sind, lässt sich daraus
auch erklären wieso die Hystereseschleife immer im
angegebenen Sinn durchlaufen wird.
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