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2
Elektrostatik
2.1
Grundlegende Begriffe
Experimentelle Ergebnisse:
a) Geladene Körper üben eine Kraft aufeinander aus.
b) Es gibt zwei Arten von Ladungen, negative und positive. Verschiedene Ladungen ziehen
sich an, gleichartige stoßen sich ab.
c) Die Kraft F12 zwischen zwei Ladungen a1 und a2 ist proportional zu ihrem Produkt

F12  F12  q1q 2
F12
q1
und sie nimmt mit dem Quadrat des
r1 - r2
Abstandes ab

1
F12   
r1  r2
r1
2
q2
F21
.
d) Die elektrostatischen Kräfte sind Zentralkräfte

kq q
F12   1  2 2
r1  r2
r1  r2 
kq1q 2 
     2 e12
r1  r2
r1  r2
(2.1)
Coulombsches Gesetz (Coulomb, 1736–1806).
e) Die elektrostatischen Kräfte sind 2-Körper-Kräfte. Es gilt das Superpositionsprinzip:
Die elektrostatischen Kräfte, die auf eine Probeladung q von mehreren anderen Ladungen
q1, q2, … ausgeübt werden, überlagern sich ungestört.
N

r  ri 
F  kq  qi   3
r  ri
i 1
(2.2)
Das Coulombsches Gesetz gilt in dieser Form nur exakt für Punktladungen und für
kugelförmige Körper.
k: Proportionalitätsfaktor – sein Wert hängt von dem verwendeten Maßsystem ab.
Hintergrund: Ladung wird nicht direkt gemessen, sondern nur durch die von ihr ausgeübte
Kraft erkannt.
9
Möglichkeiten zur Bestimmung des Maßsystems
1. Gaußsches Maßsystem: Man wählt k  1  F 
q1q 2
r2
Die Ladungen werden in mechanischen Einheiten angegeben (cm, g, s).
F   g  cm

2
s
q 
2

cm 2
q  cm
3 / 2 1/ 2
g
s
(eine elektrostatische Einheit)
2. „Praktische Maßeinheiten“, beruhend auf dem SI-System:
k
qq
1
 10 7 C 2  10 7 A 2 s 2 ; F  1 2 2
4πε 0
4πε 0 r
q   A  s
(Stromstärke A =
Mit
ε 0  8,854  10 12
Folgt
F   A
W: Leistung,
As
Vm
2 2
s Vm
As  m
2

Ladung
)
Zeit
(Dielektrizitätskonstante des Vakuums)
A V s W s

m
m
Ws: Arbeit = Energie.
Zusammenhang mit mechanischen Einheiten:
1 W  1 kg m 2 /s 2 .
Bei theoretischen Betrachtungen ist es oft leichter, das Gaußsche Maßsystem zu verwenden
(Proportionalitätsfaktor entfällt).
10

Elektrische Feldstärke: Als die von einer Ladung q1 am Ort r der Probeladung q
hervorgerufene Feldstärke definieren wir den Quotienten

 F q1 
E  3r
q r
(q1 am Ursprung).
(2.3)
Allgemein
  q r  r 
E r   1  31
r  r1
(2.4)

E : elektrischer Feldvektor

E ist für positive Punktladungen q1 nach außen und für negative Punktladungen nach innen
gerichtet.
Für eine Summe von Punktladungen folgt aus dem Superpositionsprinzip
 


qi r  ri 
E     3   Ei .
r  ri
i
i
(2.5)
Haben wir eine kontinuierliche Ladungsverteilung, muss die Summation über eine


Punktladung in eine Integration überführt werden: Ei  dE  .



qi   r dV  ; ri  r 
dV'
r – r'
V
dE'
r
 
 
 r  r 
E r     r    3 dV 
r  r
V
r'
11
(2.6)
2.1.1 Das Gaußsche Gesetz

Wir bestimmen den Fluss der durch eine Punktladung erzeugten Feldstärke E durch eine
Oberfläche, die diese Punktladung umschließt (hier der Einfachheit halber eine Kugel).

n : äußerer Normalenvektor
df = n . df

n 1
 q 
E
r
3
r
 
q  
E  n  df 
r  n  df
3
r
Wir integrieren über die Kugel (Oberfläche A mit r = const.) mit einer Punktladung q im
Zentrum
 
 
q  r  n  df
 E  df   r 3
A
(2.7)
hier:
 
 
r n  r n  r
 
1
E
  df  q  r 2 df
q
q
 2  df  2 4πr 2  4πq
r
r


 E  df
 4q
Beachte: Kugelfläche A  4r 2
(2.8)
Gaußsches Gesetz in Integralform
Es lässt sich „leicht zeigen“, dass diese Formel für beliebig geformte geschlossene Oberflächen gilt, die die Ladung q umschließen.
Schließt die Oberfläche mehrere Ladungen ein, gilt nach dem Superpositionsprinzip
 
E
  df  4π  qi
(2.9)
i
oder bei kontinuierlichen Ladungsverteilungen
 

E
  df  4π   r   dV .
A
(2.10)
V
12
Überführung des linken Oberflächenintegrals in ein Volumenintegral (Gaußscher Satz):
 


E

d
f

div
E

  dV  4π   r   dV
A
V

V
 div E  4πρr  dV  0

(2.11)
V
Das gilt für beliebige Volumina. Demzufolge

div E  4πρ
mit
Gaußsches Gesetz in differentieller Form
(2.12)
 E
E y E z

div E  x 
.
y
z
x
2.1.2 Das elektrische Potential

Das elektrische Feld E lässt sich als Gradient eines Potentials schreiben.
Wir hatten:
 
E r  
 

r  r 
 ρr    3 dV 
V
r  r
mit dV   dx dydz
Wir berücksichtigen, dass
 
r  r 

1
 
x r  r 
Entsprechend:
x  x 2   y  y 2  z  z 2
x  x 

x  x
  
3
3
r  r
 x  x 2   y  y 2  z  z 2 


 1 
grad      
 r  r  
r  r 
  3
r  r
Damit:
 
 1 

E r     ρr  grad     dV 
 r  r  
V
 

1
E r    grad   r '   dV 
r  r
 
V



 r 
(2.13)
13
Potential einer Ladungsverteilung:

 r  

V

 
r  r
 r dV 
(2.14)
 


E r    grad  r    r 
Es gilt stets:
: Nabla-Operator
(2.15)

rot grad   0 und deshalb rot E  0

denn E   grad 
 φ x 
 Ex 


 
bedeutet:  E y    φ y 
 φ z 
E 


 z
(2.16)
 E y  E y z 

  z
 2φ  2φ
 0 usw.
rot E   E x z  E z x  und

yz zy


 E y x  E x y 
Damit erhalten wir die ersten beiden Maxwellgleichungen für den statischen Fall:

div E  4

rot E  0
Feldgleichungen der Elektrostatik

divE  4

rotE  0
– „inhomogene Feldgleichung“
(2.17)
– „homogene Feldgleichung“
(2.18)
Andererseits gilt nach dem Gaußschen Gesetz:
 E x E y E z
div E 
 4πρ


z
y
x
und mit den Gleichungen 2.15 und 2.16
  2φ  2φ  2φ 
 div grad   4π   2  2  2   
 x
z 
y

  4πρ
Poissongleichung,
Im ladungsfreien Raum gilt:
  0
 : Laplace-Operator
Laplace-Gleichung
14
(2.19)
(2.20)

2.1.3 Potential einer Punktladung q (lokalisiert bei r ' )

q
Wir zeigen, dass ein Potential  r    
r  r
die Poissongleichung erfüllt.

Sei r   0: Ladung im Koordinatenursprung
q
r
 r   ,
r  x2  y2  z2
2x
x
r


2
2
2
r
x 2 x  y  z
q r
q x
qx

 2  3
 2
x
r x
r r
r
 2
x 2
 2
x
2


3q  x x q 3qx 2 q

 5  3
r4 r r3
r
r
 2
y
2
 2

z
2


3q x 2  y 2  z 2
r
5
  3q  0
r3
Weiterhin muss gelten:



q
E  gradφ  grad 
r

 
1
 E  df  q   grad r   df
 E  df
 4πq
mit
x r




r
Integration über Kugel: df  df  df  y r 
r
z r


 x r  x r 
 


1 
E

d
f

q
y
r
y
r



df

 r2
 z r  z r 

 
1
 q
1
r
df 
2
q
 df
r2

q
r
2
4πr 2  4πq
gilt für jede Umgebung von q (auch für r  0).
15
2.1.4. Distributionen
δ-Funktionen Um auch Punktladungen als Grenzfall kontinuierlich verteilter Ladungen zu
behandeln, führt man δ-Funktionen ein (Dirac).
Allgemein ist eine Distribution  x  dadurch definiert, dass für eine beliebige (aber stetige
und integrable) Testfunktion f x  gilt:

  x  x0  f x dx  f x0  .
(2.21)
1. Wir betrachten folgende Funktion:
y
1/
0 für x  0, x  ε
δε x   
1 ε für 0  x  ε

(2.22)
x
Integration:

0
ε



ε
0
ε
 δε x dx   δε x dx   δε x dx   δε x dx
1
dx  1
ε
0

für beliebig kleine Werte ε. Im Grenzfall: ε  0 entsteht:
(x)

 δ x  dx  1
(2.23)

x
Allgemein:    x  a  ist keine Funktion im eigentlichen Sinne, sondern eine "Distribution".
xa: δ
xa: δ0
16
Die δ-Funktion wird hier als Grenzfall einer bestimmten Funktion eingeführt.
Es gibt dafür andere Möglichkeiten:
2.
δε 
1
πε
ex
2
ε2
Gaußsche Verteilungsfunktion
1 1
  für ε  0
π ε
δε 0  
(2.24)
(2.25)

x

 δε x   1
Diese Funktion hat ebenfalls die Eigenschaft:
unabhängig von ε.

3.
δε 
1
ε
2
π ε  x2


1
x  0 : δε 
π ε
(2.26)

 δε x dx  1

Es lässt sich zeigen:




 f x  δ x dx  f 0 ;  f x δ x  a   f a 
y
(x-a)
f(x)
x
17
(2.27)
Über diese Integrale wird mittels der δ-Funktion der Funktion f(x) ihr Funktionswert am Ort
x = a zugeordnet.
Beweis:

ε

0
1
 f x δ x dx   f x  ε dx
f  x   f 0 
ε

df
dx
x
x 0
1
  f 0  f   x  2 f   x
0
1 d2 f
2 dx 2
2
x2  
x 0
1
  dx
ε
f 0 
f
1

dx   xdx 
f  x 2 dx  

ε 0
ε 0
2ε 0
ε
 f 0  
ε
ε
f  ε 2 1 f  ε 3


 
ε 2 2 ε 3
0
a
 f x δ x  dx  f 0 .
a
Außerdem gilt (gewonnen aus partieller Integration):


f  x  δ  x  a  dx  f  x δ x  a 





 f x δ x  a    f a  .
(2.28)

"Mehrdimensionale" δ-Funktion


 
δ r  a   δ x  a x  δ y  a y δ  z  a z 
(2.29)
Maßeinheit der eindimensionalen δ-Funktion: δ  
Allgemein im 3-dimensionalen Raum: δ  
1
.
cm 3
18
1
.
cm

Darstellung der Ladungsverteilung einer Menge von Punktladungen an Orten ai :
N

 
ρr    qi δ r  ai 
(2.30)
N



ρ
r
dV

qi  q


(2.31)
i 1
i 1
V
2.1.5. Feldlinien
Unter Äquipotentiallinien versteht man den geometrischen Raum aller Punkte mit dem

gleichen Wert von  r  :

 r   const.
Äquipotentialfläche
Die Flächennormalen zeigen in die Richtung von
 
grad   E r 
 
Die Linien, für die die Vektoren E r  an jedem Punkt die Tangentenrichtung angeben, heißen
 
Feldlinien. Eine Kurve r  r   ist eine Feldlinie, falls

dr    
 E r    0
d
(2.32)

Die Ableitung von r   nach dem Bahnparameter  ergibt einen Tangentenvektor an die
Kurve; dieser muss für jedes  parallel zum Feld sein.
In der Elektrostatik gibt es keine geschlossenen Feldlinien (Beweis mittels Anwendung des

Satzes von Stokes auf rot E  0 ).
Abbildung
19
2.1.6 Potentielle Energie einer Ladung im elektrischen Feld
B
dr
E(r)
A
r

Wird eine Ladung q in einem elektrischen Feld E bewegt, dann wirkt auf diese Ladung
definitionsgemäß die Kraft
 
 
F r   qE r  .
(2.33)
Arbeit W als Wegintegral:
B 
B 
 
W    F r  dr    q  E r ' dr '
A
(2.34)
A
( W  0 , wenn gegen Feldkraft gerichtet  negatives Vorzeichen)
B
B
 φ

φ 
φ
dz ' 
dy '
W  q  gradφ dr '  q   dx'



'
'
'
z
y
x


A
A
B
(2.35)
 q  dφ  q φB   φ A
A
Die auf dem Weg von A nach B verrichtete Arbeit entspricht genau der Differenz der
potentiellen Energie (hier elektrische Potentialdifferenz q) an beiden Punkten.
Die Arbeit W ist wegunabhängig.
Wenn Punkt A im Unendlichen liegt, so dass φ A  0 , dann gilt:


W r   q  φr 
(2.36)

W: potentielle Energie der Ladung q im elektrostatischen Feld E .
Längs der Äquipotentiallinien kann man Ladungen ohne Arbeitsaufwand verschieben.
20
2.1.7 Energie und Energiedichte einer Ladungsverteilung
Ausgangspunkt: Potentielle Energie W einer Punktladung q in einem elektrischen Feld φ (W
statt V, um Verwechslung mit Volumen V zu vermeiden) gemäß Gleichung 2.36.
W  qφ
Energie einer Ladungsanordnung in ihrem eigenen Feld:
.
.q1
. q3
.q2
.
.
ri - rk
qi
qk
Zunächst denken wir uns alle Ladungen unendlich weit voneinander entfernt. Der gesamte
Raum ist feldfrei. Potentielle Energie  Arbeit, die notwendig ist, um die Ladungen qi an die

Orte ri zu bringen.

Um die erste Ladung an den Ort r1 zu bringen, ist keine Arbeit erforderlich. Die Ladung q1
q

ruft aber ein Feld φ1 r    1  hervor.
r  r1

Um die zweite Ladung an den Ort r2 zu bringen, ist die Arbeit
q q

W2  q 2 φ1 r2    2 1
r2  r1
erforderlich. Beide Ladungen erzeugen das Feld
q
q

φ2 r    1    2 .
r  r1 r  r2
Für die Anordnung der Ladung q3 muss deshalb die Arbeit
21
q q
q q

W3   3 1   3 2  q3φ2 r3  geleistet werden.
r3  r1 r3  r2
Addition aller Arbeitsleistungen:
N
 i 1 q
W   qi    k 
i  2  k 1 ri  rk
W 




1 N N qi q k
  
2 i 1 k i ri  rk
(2.37)
Übergang zu kontinuierlichen Ladungsverteilungen


qi  ρr  dV ; q k  ρr  dV 
 
ρr ρr 
1
W      dV  dV
2 V V r  r 
(2.38)
Für das Potential einer Ladungsverteilung hatten wir früher abgeleitet (Gl. 2.14):

φr  

ρr  dV 
 r  r  ,

V
so dass
W 
 
1
ρr  φr  dV .

2V
(2.39)
Die Wechselwirkungsenergie W lässt sich als Integral über die Feldstärke ausdrücken.
Unter Verwendung der Poissongleichung


φr   4πρr 

φ
ρr   
4π
folgt: W  
1
φ φ dV
8π V
Es gilt allgemein die Beziehung:
a a  diva grad a   grad a 
2
(a: skalare Funktion).
22
(2.40)
Beweis:
 a x   
   a  2  a  2  a  2 
  2a  2a  2a  !  





div a a y           
a
 x 2 y 2 z 2 
 z  
  a z     x   y 



 
2

2
  a    a    a   a   a   a 
a   a   a          
x  x  y  y  z  z   x   y   z 
2
Demzufolge erhält man:
W 
1
1
grad φ2 dV
divφ grad φ dV 


8π
8π
(2.41)
Das erste Integral lässt sich in ein Oberflächenintegral umwandeln.





div
φ
grad
φ
dV

φ
grad
φ
d
f


Dieses Integral ist gleich 0, wenn über unendlich großen Raum integriert wird, da im
Unendlichen   0 .
W 
1   2
E r  dV
8π 
(2.42)
Energiedichte des elektrischen Feldes:

1   2
E r 
wr  
8π
(2.43)
23
2.2
Anwendungsbeispiele
2.2.1 Elektrische Feldstärke beim Durchgang durch geladene Flächen
Eine Ladung sei homogen auf einer unendlich großen Fläche verteilt (keine Randeffekte).
q
(F: Fläche eines betrachteten Teilstücks)
Flächenladung: σ 
F
 

E
 df  4q  4   r dV
a) Gaußscher Satz
V
n1
n
E1
n2
E2
n1 = -n2 = n
(anstelle von Fläche: Quader, beliebig dünn, Fluss durch Seitenflächen vernachlässigt)
 
 
 
E

d
f

E
n

E
1
1
2 n 2 F  4πq  4πσ  F


 
 E1  E 2 n  4πσ




(2.44)
   
E1n, E 2 n : Normalkomponenten des elektrischen Feldes auf beiden Seiten.
Die Normalkomponente des elektrischen Feldes ändert sich beim Durchgang durch eine
geladene Fläche sprungartig.
E n,1  4πσ  E n,2
b) Da sich die Feldstärke aus einem Potential herleiten lässt, muss das Umlaufintegral
verschwinden:
 
E
 dr  0  E x,1 x  E x,2  x  0
 E x,1  E x,2
x
x
allgemein: Et ,1  Et , 2
24
E1
Die Tangentialkomponente des elektrischen
Feldes ändert sich beim Durchgang durch
eine geladene Fläche nicht.
Et,2
En,2
En,1
Et,1
E2
2.2.2 Kondensatoren
Es existieren verschiedene Typen von Kondensatoren, z.B. Plattenkondensator, Kugelkondensator, Zylinderkondensator.
Plattenkondensator: zwei leitende, ebene
Platten, parallel, mit Abstand d.
Randeffekte vernachlässigt.
d
Auf jeder Fläche: konstante Ladungsdichte: σ 
Zwischen den Platten gilt: E  4  4
q
F
q
F
(2.45)
Feldstärke innerhalb des Kondensators ist konstant. Außerhalb existiert kein Feld.
Potentialdifferenz der Platten:
d
d
d
 
 2  1    E dr    E dx   E  dx   Ed
0
0
0
Spannung des Plattenkondensators: U  1   2  4
Kapazität des Plattenkondensators: C 
q
d
F
q
q

 U
Entspricht der Aufnahmefähigkeit dieser Anordnung für Ladung.
Kugelkondensator
Wir betrachten eine geladene Kugeloberfläche (Radius R).
Oberflächenintegral im Abstand r > R
25
(2.46)
(2.47)
Der Einfachheit: nur Berücksichtigung der r-Komponente des Feldes (in Kugelkoordinaten),
die anderen existieren nicht.
 
2
E
 df  E  4πr  4πq
E
q
r
; φ
2
q
r
(2.48)
Weiterhin betrachten wir zwei konzentrische Kugeln mit entgegengesetzt gleichen Ladungen:
-q
F
Feld außerhalb und innerhalb
der Anordnung = 0
+q
Potentialdifferenz für beide Radien r  R und r  R   R :
1
R
1 
  q
φ  q 
R R   R 
 R R  R 
Kapazität definiert als C 
C
(2.49)
q
φ
R R   R 
R
(2.50)
Für  R  R gilt näherungsweise
φ 
q R
R2
 C
R2
.
R
Aus Symmetriegründen sind die Ladungen gleichmäßig auf den Kugeloberflächen verteilt.
Auch die Potentialdifferenz ist überall die gleiche. Ein Teilstück F trägt die Ladung:
q 
F q
4πR 2
q F  q R 2
F
F


CF 

.
2
φ 4πR q R 4π  R 4π  d
(2.51)
26
Die Kapazität CF eines Teilstückes F ist somit unabhängig vom Radius und gilt demzufolge
auch für R   (wie beim Plattenkondensator).
2.3
Potential und Feldstärke eines Dipols

dF '
Dipoldichte: Grenzwert, dem das Produkt aus
Ladungsdichte und lokalem Abstand
zustrebt, wenn der Abstand gegen 0 geht:
d

dF"

r'   
r ' '  r ' dn
 

  
Dr   lim  r ' d r ' n r '
d 0
(2.52)
Einfacher: nur zwei Punktladungen:

Dipolmoment p : Vektor, der von negativer
p
a
-q
zu positiver Ladung zeigt. Produkt von


Ladung und Abstandsvektor: p  qa
+q
r = (x,y,z)
r2
r1

-q
x
q
φ
q q

r1 r2
Im Folgenden betrachten wir φ für große Abstände r1 , r2  a
2
a
a2

r1   x    y 2  z 2  x 2  y 2  z 2  ax 
2
4

r1  r 1 
ax
r2

a2
4r 2
27
Vernachlässigen des quadratischen Terms, Entwicklung der Wurzel:
 ax
r1  r 1  2 
 2r 
 ax
r2  r 1  2 
 2r 
Analog:




q 1
1 

φ
ax
ax 
r
1 2 1 2 
2r
2r 

a  x r2
q
qa x

φ
2
2
4
r 1  a x 4r
r3


φ
Allgemein:
hier:
 
pr
r
3
 
z. B. φ  0 für pr
(2.53)

p  a  q,0,0 
φ
a  q,0,0  x, y, z   q  a  x
r3
r3
Feldstärke:
φ q  a 3a  x 2 q q  a 3qax 2
 3 
 3 
x
r
r5
r
r5
φ
3qaxy
φ
3qaxz
 5 ,
 5
y
z
r
r

E   gradφ
 3qax 2 r 5  qa r 3 

 

E 
3qaxy r 5




3qaxz r 5


Spezialfall von:

 3er  p  er   p

r
E
; er 
r
r3
(2.54)
28
Allgemeiner: Multipolentwicklung:
Wir betrachten eine statische lokalisierte
++ --

r'
-
 0
++
entwickelt.)


 r   ?
 
r  r'
Ladungsverteilung.
(In der Abbildung liegt die elliptisch
begrenzte Ladungsverteilung innerhalb einer
Kugel r  R0 . Im Bereich r  R0 wird das

Potenzial  r  nach Potenzen von R0 r

r
r  R0
beliebig, r  R0
0, r  R0

 r   

Im Bereich r  R0 kann das elektrostatische Potenzial  r  nach Potenzen von R0 r
entwickelt werden. Wir benutzen hier die Darstellung in kartesischen Koordinaten.
Wir gehen aus von Gleichung 2.14

φr  

ρr 
 r  r  dV  .
V

 
2
2
2
Der Abstand r  r '   x1  x'1    x2  x' 2    x3  x'3 

1
2
hängt von den kartesischen
Koordinaten x1 , x2 , x3 und x'1 , x' 2 , x'3 ab. Wir entwickeln den inversen Abstand in eine
Taylorreihe nach Potenzen von x'1 , x' 2 , x'3 :
  1
 1 1 3
1
1 3
  x' i x' j
 ...
     x'i
xi x j r
r  r ' r i 1 xi r 2 i , j 1
(2.55)
 
 
1 
1 
 1
 

Dazu benutzt: 
  
  
xi r
 xi r  r '  r '0
 x'i r  r '  r '0
1
 0 im Bereich r  R0 können wir den letzten Term in (2.55) auch wie folgt
r
ergänzen (und damit das Ergebnis vereinfachen):
 ij    1
1
1 3
 1 1 3 

   x'i x' j  r ' 2
 ...
(2.56)
     x'i
3  xi x j r
r  r ' r i 1 xi r 2 i , j 1 
Wegen 
29
Wir führen folgende kartesische Multipolmomente ein:

qr  

  r' dV'
Ladung
(2.57)
Dipolmoment
(2.58)
Quadrupolmoment
(2.58)
V'

pi r  

 x'i  r' dV'
V'

Qij r  
 3x'i x' j r'
2


 ij  r' dV'
V'
Unter orthogonalen Transformationen ist q ein Skalar, pi ein Vektor und Qij ein Tensor
zweiter Stufe.

Wir multiplizieren (2.56) mit  r' dV ' und führen die Integration aus; dies ergibt das

Potenzial  r  und dann benutzen wir oben aufgeführte Momente (2.57–2.59)

 r  

 1 1 3
  1
q 3
'


  Qij
 ...
dV
p



i
 r  r'



6
r
x
r
x
x
r
i
i
j
i

i
j

1
,
1
V'
 r '
(2.60)
Wir führen die Differenziation aus und erhalten:
 
xi x j
 q pr 1 3
 r    3   Qij 5  ...
r
2 i , j 1
r
r
r  R0 
(2.61)
Dies ist eine Entwicklung nach Potenzen von R0 r . Die explizit aufgeführten Beiträge sind
das Monopol-, das Dipol- und das Quadrupolfeld.
Anmerkung: Wir haben benutzt:
x
  1
 
 1
  3i sowie

xi x j r xi x j
xi r
r
1
x12  x 22  x32
3
xi x j
r5

 ij
r3
3
Da die Spur der Matrix Qij verschwindet, (  Qii  0 ), führt der letzte Term in (2.56) zu
i 1
keinem Beitrag. Die Spurfreiheit des Quadrupoltensors haben wir durch Zufügen des Terms
mit  ij erreicht; dadurch wurde das Ergebnis vereinfacht.
30
2.4
Elektrostatik in Substanzen
Die Elektrostatik in Substanzen weicht von der im Vakuum ab. Grund dafür ist die Tatsache,
dass Substanzen aus Molekülen und Atomen bestehen, die ihrerseits aus elektrisch geladenen
Bestandteilen aufgebaut sind. Unter dem Einfluss elektrischer Felder kommt es zu
Verschiebungen der einzelnen Komponenten der Substanzen. Bisher hatten wir die Lage der
Ladungen als fest vorgegeben betrachtet. Durch Trennung der Ladungen entstehen in den
Substanzen viele Dipole und dadurch eine Polarisation der Substanz.
Wir untersuchen die mit Dipolen verbundene Ladungsdichte.

a) einzelne Punktladung am Ort r0 :

 
ρr   q δ r  r0 
.
 q δ  x  x0  δ  y  y 0  δ  z  z 0 
r0
b) einzelner Dipol


    a 
    a 

ρr   q δ  r   r0     q δ  r   r0   
2 
2 




(2.62)
a
r0 _ a_
2
r0
r0 + a_
2

Wir betrachten δ r  als differenzierbar (z.B. δ ε -Funktion). Dann kann man δ in eine

Potenzreihe entwickeln und erhält für sehr kleine a



  
  
a
a
  
  
ρr   q δ r  r0   grad δ r  r0   q δ r  r0   grad δ r  r0 
2
2






 
ρr   qa gradδ r  r0 
(2.63)


 
ρr    p gradδ r  r0 
(2.64)
31
Für eine Anordnung von vielen Dipolen folgt


 
ρr    pi grad δ r  ri  ,

ri : Ort des Dipoles i.
(2.65)
i

Wenn pi  konst. , ergibt sich daraus

  
ρr    div  pi δ r  ri  ,
(2.66)
i

 
wobei wir div a  b   b div a   a grad b berücksichtigt haben.
Definition der Dipoldichte:

  
P   pi δ r  ri  


ρr   div P ,

mit P : Polarisation
(2.67)
i
Dielektrizität: Wir betrachten elektrische Felder in Nichtleitern, d. h. in Substanzen, bei denen
die Elektronen in ihren Atomen lokalisiert bleiben.
"Primitives" Atommodell:
Proton im Koordinatenursprung;
Elektronen "verschmiert" über eine Kugel
vom Radius R.
r
R

Welches Feld E i erzeugen die verschmierten Elektronen?
Gaußscher Satz:
 
E
 i df  4πq
Bei Integration über eine Kugeloberfläche vom Radius r  R

q V r  r 3


e V R  R 3
32
2
Ei 4πr  
Ei  
er
4πe  r 3
R3



r
er
; Ei  Ei   3
r
R
R3


r  0  E i  0 Proton befindet sich im Mittelpunkt der Ladungsverteilung in Ruhe.


Neben dem Feld Ei , das durch die Elektronen hervorgerufen wird, soll ein äußeres Feld E a
existieren.


Im Gleichgewicht gilt: E a  Ei  0



 Ea R 3
er
Ea  3  0 ; r 
e
R
(2.68)
r
Ea
Das Atom besitzt als Ganzes näherungsweise das Dipolmoment

 
p  er  E a  R 3

  4π 3 3
3
 EaV A
p  Ea
R
3
4π
4π
(2.69)
wobei VA das Atomvolumen bezeichnet, das dem einzelnen Elektron zur Verfügung steht.
Gesamtdipolmoment bei N Atomen:
 3

p ges  N  V A  E a
4π
(2.70)
33
VA
Vges  N  V A  V 
V'

 pges  N  V A  3 


Dipoldichte: P 
Ea
Vges  N  V A  V   4π



1
(Gleichheitszeichen gilt bei dichtester Packung.)


P  χE ,
χ : dielektrische Suszeptibilität
(2.71)
(2.72)
Feldberechnung in dielektrischen Substanzen
Die elektrische Feldstärke im Vakuum wurde bisher aus der Grundgleichung 2.17


div E  4πρ (oder mit E   grad φ aus φ  4πρ )
berechnet.
Die Gleichung kann auch bei Anwesenheit von Substanzen aufrechterhalten werden, wenn
man unter ρ nicht nur die makroskopischen Ladungen, sondern auch die mikroskopischen
Ladungen in den Substanzen versteht.
ρgesamt  ρ  ρ p .
ρ p : Ladungen, die von der Polarisierung der Substanz herrühren
Wir hatten

ρ p  div P ,


div E  4π ρ  ρ p  4π ρ  div P ,






div E  4π P  4πρ .


(2.73)
Es wird ein neuer Feldvektor eingeführt, die "dielektrische Verschiebung":
 

D  E  4π P .
(2.74)
34


Wegen P  χ E gilt



D  1  4πχ E  ε E .
(2.75)
ε: Dielektrizitätskonstante.

div ε E  4πρ
 
Gaußsches Gesetz in Dielektrika
(2.76)

Im allgemeinen Fall kann ε ortsabhängig sein. Dann gilt ε  ε r  .


grad ε E  ε  div E  4πρ
.
Im einfachsten Fall gilt ε = konst. und damit:
 4πρ
.
div E 
ε
(2.77)
Wenn ε konstant ist, ist die Feldberechnung also nicht schwieriger als im Vakuum.
Spezialfall: ε ist gebietsweise konstant. Dieser Fall ist von großer praktischer Bedeutung, z. B.
für die Berechnung von Feldern an biologischen Membranen.
ε = 80
ε2
ε = 80
Elektrolyt
Membran
Elektrolyt
Wie ändert sich das Feld beim Durchgang durch die Grenzfläche?
l
r
keine makroskopischen Ladungen
an der Oberfläche.
 F

 div D  dV  0
V
V

nl

nr

Dl nl  Dr nr F  0 ;


nl   n r
35
 
D
 df  0

Dn,l  Dn,r



Die Normalkomponente des Vektors D ist an der Grenzfläche stetig. Wegen D  εE gilt
ε l E n,l  ε r E n,r

Die Normalkomponente von E ändert sich sprunghaft.

rot E  0

Die Tangentialkomponente von

E ist stetig.
r
l
Et ,l  Et ,r
(Ähnlich wie beim Feld, das in der Nähe geladener Oberflächen existiert.)
2.5
Elektrischer Strom und Stromdichte
Bisher: statische Ladungen. Nun: bewegliche Ladungen, damit auch Zeitabhängigkeit
Ausgangspunkt: Ladungserhaltung
V
I
dq
dt
(2.78)
q
Strom 
Ladung
Zeit
I: Ladungen, die pro Zeiteinheit durch die Oberfläche von innen nach außen strömen.
q   ρdV
V
 
; I   j df

j : Stromdichte
36
(2.79)
 
d
ρ
dV

 j df  0
dt V

d
ρdV   div j  dV  0

dt V
V


ρ
 div j  0
t
Kontinuitätsgleichung für Ladung
(2.80)
Beispiel: Stromdurchflossener dünner Draht
 
Ein dünner Draht wird durch eine Bahnkurve l  l s  mit s
I dl
als Bahnparameter beschrieben. Der Strom I fließt durch
den Draht.

Der Tangentenvektor dl dl zeige in Richtung des Stroms.
f ist die Querschnittsfläche des Drahtes
Draht
l (t)


I dl
Dann ist die Stromdichte definiert als: j 
f dl
Zusammenhang zwischen Stromdichte, Ladungsdichte und Geschwindigkeit:
Wir betrachten kontinuierlich verteilte Ladungen, die sich mit konstanter Geschwindigkeit in
x-Richtung bewegen. Im Zeitintervall bewegt sich eine bestimmte Ladung vom Ort x  x0 zu
x  x0   x mit  x  v x t . Dabei werden die im Volumen V  F x enthaltenen Ladungen
durch die Fläche F transportiert.
q  ρ  V
;
v  t
q
V
I
t
t
  V
x, v
F x
Iρ
 ρ  F  vx
t
jx 
I
 ρ  vx
F
allgemein:


j  ρv .
(2.81)
37
Mikroskopische, klassische Behandlung (at – atomar)

 
Betrachten Punktladung qi mit Ortsvektor ri und Geschwindigkeit vi  ri t 
N

 
Das ergibt die Ladungsdichte  at r , t    qi   r  ri t 
(2.82)
N
 

 
und die Stromdichte jat r , t    qi  vi   r  ri t 
(2.83)
i 1
i 1
Im endlichen Volumen V gibt es viele Ladungen und somit eine mittlere Ladungs- und
Stromdichte:

 r , t  
1
q

V V
N
 qi
 
1
j r , t  
V
und
i 1
N

 q i vi
i 1
Sind alle Ladungen gleich, qi  q , dann
 
q
j r , t  
V
N

q 1
N


 
 vi  N V  vi   r , t   v r , t 
i 1
(2.84)
i 1
mit q und N Summe und Anzahl der Ladungen in V
Handelt es sich um Elektronen, dann gilt:


j  env ,
n: Teilchendichte.
(2.85)
Ein äußeres Feld übt eine Kraft auf die in einem Leiter frei beweglichen Ladungen aus. Die
Bewegungsgleichung der Ladungen lautet dann:
m

d 2r
dt 2


dr
γ
 eE
dt
(2.86)


d 2r
dr
γ
: Reibungskraft. Im stationären Zustand (d.h. konstante Bewegung) gilt
 0 und
dt
dt 2
somit

 dr e 
v
 E .
dt γ
(2.87)
38
Für die Stromdichte gilt dann


e 
j  ρv  e  n  E
γ


e2n
j  σE ; σ 
γ
mit σ: elektrische Leitfähigkeit.
Anwendungen
Kontinuitätsgleichung im statischen Falle:



ρ
 div j  0  div j  0
t

Dann gilt:  div j dV  0 
V
 
 j df
f
 Kirchhoff'sche Knotenregel  I1  I 2  I 3  I 4  0
I4
I3
I1
I2
Ohmsches Gesetz:
Wir betrachten einen dünnen Leiter.
x
F
1
2
Konstante Potentialänderung entlang x.

φ  φ1 φ1  φ2 U


E  grad φ ; E x  E   2
l
l
l
39
(2.88)
I  F  j  F σ  E  σ  F 
I
U
R
mit R 
U U

l
R
l
σF
Der Widerstand R wächst mit der Länge l des Drahtes und sinkt mit zunehmender Fläche F
und zunehmender Leitfähigkeit σ.
40