Blatt 07 ( Abgabe: 10.12.2007)

Theoretische Physik II
- Elektrodynamik und Spezielle Relativitätstheorie Übungsblatt 7 (20 + π Punkte)1
Ausgabe 03.12.07 – Abgabe 10.12.07 – Besprechung n.V.
. Aufgabe 1 (Retardierte und Avancierte Greensfunktion)
Hier geht es um Lösungen der skalaren Wellengleichung
1 ∂2
− ∆ f (~x, t) = g(~x, t) ,
c2 ∂t2
(4 Punkte)
(1)
insbesondere die Rolle der retardierten und avancierten Greensfunktion.
Die Strahlungsquelle sei nur im Zeitintervall tan < t < taus aktiv, für Zeiten ausserhalb
dieses Intervalls also g = 0.
Noch vor Einschalten der Quelle sei ein Wellenfeld fin vorhanden (das selbstverständlich der
homogenen Wellengleichung genügt). Wird nun die Quelle eingeschaltet, wird ein zusätzliches Wellenfeld erzeugt, das sich dem schon vorhandenen Wellenfeld überlagert. Wird die
Quelle wieder ausgeschaltet, ist damit ein Wellenfeld in der Welt, nennen wir es fout , das
nun ausschließlich durch das einfallende Feld und das Feld der Quelle bestimmt ist. Die
gesuchte Funktion f lässt sich also darstellen

fout
für t > taus

irgendwas
für tan < t < taus
f=
(2)

fin
für t < tan
Welcher Differentialgleichung genügt fout ? Wie drückt sich fout durch das einfallende Feld
fin und das durch die Quelle erzeugte Feld aus?
Hinweis: Erinnern Sie sich beizeiten an die retardierte und avancierte Greensfunktionen aus
der Vorlesung . . .
. Aufgabe 2 (Synchroton-Strahlung)
(16 + π Punkte)
Im Anschluss an die Vorlesung betrachten wir eine Punktladung (Ladung e) die sich längs
einer vorgeschriebenen Bahn ~r(t) bewegt. Ladungs- und Stromdichten lauten
%(~x, t) = eδ(~x − ~r(t))
~
~j(~x, t) = ecβ(t)δ(~
x − ~r(t))
(3)
(4)
wobei β~ dimensionslose Geschwindigkeit,
~v
1 d~r
.
β~ := ≡
c
c dt
1
(5)
Aufgaben mit transzendenter Punktezahl sind fakultative Nüsse. Nüsse sind bekanntlich nahrhaft . . .
c
Martin
Wilkens
1
3. Dezember 2007
Übungen Elektrodynamik WS 2007/2008 – Blatt 7
(a) Vollziehen Sie nach, dass die retardierten Potentiale der Punktladung
e
1
h
i φ(~x, t) =
4π0 R 1 − ~e · β~ R
(6)
ret
~ x, t) = 1 φ(~x, t)β~ret .
A(~
c
(7)
wo ~eR der Richtungsvektor vom Teilchen (zur Zeit t0 ) zum Aufpunkt ~x,
~eR :=
und fret = f (t0 = tret ) mit tret = t −
~x − ~r(t0 )
,
k~x − ~r(t0 )k
R(tret )
c
(8)
wobei R(t0 ) = k~x − ~r(t0 )k.
Bemerkung: Hier sollten Sie einfach Ihre Vorlesungsmitschrift konsultieren, und die
“fehlenden Schritte” in der Ableitung ergänzen . . .
(b) Zeigen Sie, dass das elektromagnetische Feld der bewegten Punktladung gegeben ist
~ x, t) =
E(~
~ × ~a] 1
e
~eR − β~
e ~eR × [(~eR − β)
1
+
~ 3 R2 4π0 c2 [1 − ~eR · β]
~3 R
4π0 γ 2 [1 − ~eR · β]
|
{z
}
(9)
~ rad
:=E
~ x, t) = 1 ~eR × E(~
~ x, t)
B(~
c
(10)
mit Abkürzungen
γ=p
1
1 − β2
,
d2~r
~a = 2 .
dt
(11)
und alle Zeitargumente retardiert.
(c) Für den Fall der gleichförmig geradlinigen Bewegung (keine Beschleunigung) – machen Sie sich ein Bild des elektrischen und magnetischen Feldes.
(d) Für den Fall “Beschleunigung senkrecht auf Geschwindigkeit” (vulgo Kreisbewegung)
– zeigen Sie, dass die abgestrahlte Leistung pro Raumwinkel dΩ gegeben ist
!
dPrad
µ0 e2 a2
1
(~eR · ~ea )2
1−
.
(12)
=
~ 3
~ 2
dΩ
16π 2 c (1 − ~eR β)
γ 2 (1 − ~eR β)
Machen Sie sich ein Bild; überzeugen Sie sich, dass im relativistischen Fall β → 1 der
überwiegende Anteil in einer engen Keule in Vorwärtsrichtung abgestrahlt wird.
(e) Zeigen Sie, dass im Fall der Kreisbewegung die totale abgestrahlte Leistung gegeben
ist
(π Punkte)
Prad =
c
Martin
Wilkens
2
2 µ0 e2 4 2
γ a
3 4πc
(13)
3. Dezember 2007