Vorkurs Physik Aufgaben Korrigenda

2 Messen von Längen, Flächen und Rauminhalten
Korrekturen zu Aufgaben Physik
2
Messen von Längen, Flächen und Rauminhalten
1875 einigten sich 17 Staaten auf das metrische System. Heute haben über 100 Staaten dieses
System eingeführt. 1 Meter war ursprünglich als der 40 Millionstel Teil der Länge des durch
Paris gehenden Längenkreises festgelegt worden (40 000 000 m entspricht ungefähr dem
Erdumfang). Heute wird die Einheit Meter mithilfe der Lichtgeschwindigkeit definiert:
1
1 Meter ist die Strecke, die das Licht im Vakuum, also im luftleeren Raum, in -------------------------------- s
299 729 458
durchläuft.
1
Gerundet: -------------------------------- s
300 000 000
Indem wir umrechnen, um zu erfahren, welche Strecke das Licht in 1 Sekunde zurücklegt, kann
man auch sagen: Das Licht legt in 1 Sekunde eine Strecke von 300 000 000 m = 300 000 km
zurück.
2.1
Berechnen von Flächen und Rauminhalten
Rechteckige Flächen lassen sich durch Multiplikation der beiden Grössen Länge und Breite
berechnen:
Fläche
= Länge · Breite
A
= l·b
Abb. 1
A
Breite (b)
Länge (l)
Die Einheit für den Flächeninhalt ergibt sich aus den verwendeten Längeneinheiten.
Übung 1
Ein Rechteck weist eine Länge von 1,3 m und eine Breite von 4,8 dm auf.
Geben Sie die Fläche in Quadratmeter, in Quadratdezimeter und in Quadratzentimeter an.
Abb. 2
b = 4,8 dm
l = 1,3 m
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
5
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4 Dichte
4
Dichte
Die nachfolgende Grafik macht es deutlich: 1 g Styropor hat bei gleicher Masse ein grösseres
Volumen als 1 g Wasser bzw. 1 g Messing. Grund: Die Dichte ist bei diesen Stoffen verschieden
gross. Das heisst: Die Bausteine der Körper, die Atome bzw. Moleküle oder Salze sind dichter
oder weniger dicht beieinander. Die Dichte ist aber auch abhängig von der Art der Atome. Je
nach Atom ist die Masse grösser oder kleiner.
Hinweis
Man spricht im Zusammenhang mit dem Begriff Dichte auch beispielsweise von der Bevölkerungsdichte. Damit wird ausgedrückt, wie viele Menschen eine Fläche von 1 km2 besiedeln.
Abb.
Dichte und Volumen
Abb. 7
h = 4 cm
V = 64 cm3
V = 1 cm3 = 1 ml (Milliliter)
V = 0,11 cm3
1 cm
b = 4 cm
l = 4 cm
1 g Styropor
10
0,49 cm
1 cm
1 cm
1 g Wasser
0,49 cm
0,49 cm
1 g Messing
4 Dichte
Aufgaben
Aufgabe 4
Eine Metallkugel (V = 20 dm3) hat ein Masse von 158 kg. Wie gross ist die Dichte?
Aufgabe 5
Welche der nachfolgenden Formeln sind falsch?
a) m =  · V
Aufgabe 6
b) V = m · 
c)  = m · V
Welche Masse hat ein Betonträger von folgender Abmessung 25 m x 1 m x 1,2 m?
Die Dichte von Beton beträgt  = 2,2 g/cm3.
Aufgabe 7
Ein Stein hat ein spezifisches Gewicht von  = 1,75 g/cm3. Der Stein wiegt 2,800 kg.
Wie gross ist sein Volumen?
Aufgabe 8
Wie viel Masse hat der Inhalt eines Heizöltanks, der 620 Liter fasst?
Heizöl = 0,84 kg/Liter
Aufgabe 9
Wie verändert sich die Dichte beim Schmelzen von Eis?
Aufgabe 10
Ein Behälter enthält 50 kg Quecksilber. Wie hoch steht das Quecksilber, wenn die Bodenfläche
des Behälters 11 dm2 beträgt?
Aufgabe 11
In einem Tanklager ist ein Tank mit Benzin gefüllt. Die Grundfläche des Tanks beträgt 78,5 m2.
Der Tank ist bis auf eine Höhe von 12,5 m mit Benzin gefüllt. Wie viele Tonnen Benzin befinden
sich in diesem Tank? Benzin weist eine Dichte von 0,715 g/cm3 auf.
Aufgabe 12
Die Tragfähigkeit eines Güterwagens beträgt 25 Tonnen. Der Wagen soll mit Sand beladen werden. Mit wie viel m3 Sand darf der Wagen beladen werden? Dichte von Sand: 1,5 g/cm3.
Aufgabe 13
Von einem Körper wird ein Stück abgesägt. Was ändert sich? Richtige Antwort(en) ankreuzen.
䡺 die Masse
Aufgabe 14
䡺 die Stoffmenge
䡺 die Dichte
䡺 das Volumen
Das Blutvolumen des erwachsenen Menschen beträgt etwa 6–8 % seines Körpergewichts. Blut
weist eine Dichte von 1,06 g/cm3 auf.
Frau X hat eine Masse von 62 kg. Ihr Blutanteil betrage 7 %.
A] Wie viel Masse weist ihr gesamtes Blut auf?
B] Wie viel Liter Blut hat Frau X?
C] Würde der unter b) berechnete Raum in den Blutgefässen ausreichen, wenn das gesamte
Blut von Frau X gegen Wasser ausgetauscht würde?
13
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5 Kräfte
Beispiel
Der Metallklotz von 1 kg Masse wird über die ebene Tischplatte gezogen. Der Kraftaufwand ist
geringer als beim Tragen und abhängig von der Beschaffenheit der Auflagefläche beim Metallklotz bzw. der Tischoberfläche. Die aufzuwendende Kraft beim Ziehen = FZ ist gleich gross wie
die ihr entgegenwirkende Reibungskraft = FR zwischen dem Metallklotz und der Tischplatte.
Abb. 12
Fz
FR
Fz
FR
Wirkt bei gleichen Umgebungsbedingungen (Beschaffenheit der Tischoberfläche bzw. der Auflagefläche) mehr Masse auf die ebene Unterlage ein, erhöht sich der Kraftaufwand beim Ziehen,
weil sich durch das Auflegen von mehr Masse die Erdanziehungskraft FG erhöht, damit nimmt
auch die Reibungskraft FR zu.
Länge der Pfeile in der unteren Abbildung wurde
aktualisiert
20
6 Arbeit und Energie
Beispiel
6
Arbeit und Energie
6.1
Wann verrichtet man Arbeit?
Wir halten einen gefüllten Einkaufskorb mit ausgestrecktem Arm waagrecht von uns. Dabei
müssen wir uns ziemlich anstrengen. Aus der Anstrengung schliessen wir, dass das Hochhalten
des Einkaufskorbs eine beträchtliche Arbeit ist.
Rücken wir einen Tisch unter den Einkaufkorb, so kann man den Einkaufskorb loslassen, ohne
dass sich irgendetwas ändert. Jetzt hält der Tisch den Einkaufskorb hoch. Arbeitet der Tisch?
Natürlich nicht.
Arbeit wird verrichtet, wenn man einen Körper verschiebt und dazu Kraft aufwenden muss. Das
ist der Arbeitsbegriff der Physik.
Arbeit = Kraft · Weg
Beispiel
W=F·s
100 g Schokolade werden um 1 m angehoben. Wie viel Arbeit wird dabei verrichtet?
Gegeben:
m = 100 g  FG = 1 N
s=1m
Gesucht:
W=?
Lösung:
W = F · s = 1 N · 1 m = 1 Nm (wichtige Nebeneinheit)
= 1 J (wichtige Haupteinheit)
= 1 Ws (wichtige Nebeneinheit)
Die Einheiten («Sorten») der Arbeit sind:
Newtonmeter Nm
Joule J
Wattsekunde Ws
Haupteinheit ist Joule J. Newtonmeter Nm und Wattsekunde Ws sind wichtige Nebeneinheiten. Von der Wattsekunde Ws wird die Kilowattstunde kWh abgeleitet.
1 Nm = 1 J = 1 Ws
21
6 Arbeit und Energie
6.3
Arbeit und goldene Regel
Da Arbeit ein Produkt aus Kraft mal Weg ist, kann man die Kraftanstrengung reduzieren, indem
man den Weg verlängert.
Arbeit an der schiefen Ebene, m = 25 kg
Abb. 13
FG
FZ
FHa
FN
=
=
=
=
Gewichtskraft
Zugkraft
Hangabtriebskraft
Normalkraft
09
F
=1
Z
N
F Ha
3m
S
3,
=1
F Ha
␣
FN
se
enu
FG
t
po
Hy
Gegenkathete
Beispiel
h = 5,8 m
␣
Ankathete
A] Wir betrachten den Arbeitsaufwand, wenn der Körper senkrecht angehoben wird:
W = FG · h = 250 N · 5,8 m = 1450 Nm = 1450 J = 1450 Ws = 1,45 kJ
B] Wir berechnen den Arbeitsaufwand, unter Nichtbeachtung der Reibung, wenn der Körper
via schiefe Ebene nach oben transportiert wird:
W = FZ · s = 109 N · 13,3 m = 1449,7 Nm = 1450 Nm = 1450 J = 1450 Ws = 1,45 kJ
Folgerungen:
Bei der schiefen Ebene ist der Kraftaufwand 2,3 mal geringer, dafür der Weg 2,3 mal länger.
23
6 Arbeit und Energie
Bei beiden Versuchen fällt auf, dass beim direkten Heben und beim Heben mit Hilfen (Schiefe
Ebene, Flaschenzug usw.) immer gleich viel Arbeit verrichtet wird. Die Hilfen vermindern zwar
den Kraftaufwand, aber nicht die Arbeit, denn der Weg wird entsprechend länger. Genau das
ist aber die goldene Regel der Mechanik. Wenn wir von der Reibung absehen, können wir
die Regel so formulieren:
Die Grösse der Arbeit hängt nur vom Anfangs- und Endzustand eines Körpers ab – nicht aber
davon, wie man den Körper vom einen in den anderen Zustand überführt.
6.4
Was ist Energie?
Die Fähigkeit eines Körpers, Arbeit zu verrichten, heisst Energie.
Beispiel
Wir hängen einen Gewichtstein an eine Schnur, die über eine feste Rolle läuft. Am andern Ende
befestigen wir einen etwas schwereren Gewichtstein, der zunächst erhöht positioniert ist. Was
geschieht, wenn man die Unterlage wegnimmt?
Abb.
Arbeitsvermögen von Gewichten
Abb. 15
Der schwerere Gewichtstein bewegt sich nach unten und zieht dabei den leichteren nach oben.
Sobald der schwerere Gewichtstein jedoch auf dem Tisch liegt, kann er das nicht mehr.
Die erhöhte Lage gibt einem Körper also die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten. Jedes «ArbeitenKönnen» bezeichnet man in der Physik mit Energie. In der obigen Abbildung hat der oben
liegende Gewichtstein Energie, der unten liegende keine. Da die Energie des Steins auf seine
Lage zurückzuführen ist, sprechen wir von Lage-Energie, Höhenenergie oder potenzieller Energie.
Im obigen Versuch verliert der schwerere Gewichtstein Lage-Energie. Was ist zu tun, damit er
sie zurückerhält? Der schwerere Gewichtstein muss wieder nach oben. Wer ihn hebt, verrichtet
dabei Hubarbeit. Diese Arbeit wird im Stein gespeichert. Deshalb ist der Stein dann wieder fähig
Arbeit zu verrichten: Er hat wieder Energie.
25
Physik Vorkurs Höhere Fachschulen für Gesundheitsberufe
6 Arbeit und Energie
6.4.1
Spannenergie
Eine mit einer Stahlfeder betriebene Spielzeuglokomotive kann sich erst bewegen, wenn die
Feder gespannt ist. Beim Aufziehen wird Spannarbeit verrichtet, die danach in der Feder gespeichert ist. Die Feder besitzt dann also Energie, sogenannte Spannenergie.
6.4.2
Bewegungsenergie
Ein Wasserrad kann ein kleines Wägestück hochziehen und dabei Hubarbeit verrichten. Das
strömende Wasser liefert die dazu erforderliche Energie. Entscheidend ist dabei die Geschwindigkeit des Wassers, damit der Körper überhaupt angehoben wird. Das Wasser hat Bewegungsenergie.
Energie kann also enthalten sein
A
in Körpern, die hochgehoben worden sind,
in Körpern, die man in Spannung versetzt hat,
A in Körpern, die sich bewegen.
A
Ein Körper, der sich in einem dieser Zustände befindet, ist also ein Energieträger. Meist kann
man ihm seine Energie abnehmen, ihn also Arbeit verrichten lassen.
6.4.3
Weitere Energieformen
Energie ist aber auch in energiereichen chemischen Verbindungen enthalten, z. B. Holz,
Traubenzucker, Fett, Erdöl, Kohle usw. Auch Wärme ist eine Form von Energie, ebenso Licht
(Licht wird freigesetzt, wenn ein Körper stark erhitzt wird). Elektrizität stellt ebenfalls eine wichtige Energieform dar. Schall ist auch eine Form von Energie.
Weitere Beispiele für Energieumwandlung:
A
Mithilfe technischer Einrichtungen lässt sich die chemisch gespeicherte Energie im Erdöl,
Erdgas oder im Brennsprit zum Antrieb von Motoren verwenden: Chemisch gespeicherte
Energie wird dabei in mechanische Energie = Arbeit umgeformt sowie in Wärmeenergie.
A Die Bewegungsenergie des Wassers oder des Wasserdampfs wird genutzt zur Erzeugung von elektrischer Energie. Die elektrische Energie kann sehr unterschiedlich genutzt
werden, im Gegensatz zu den übrigen technisch verwendeten Energieträgern.
A Lebewesen nutzen die chemisch gespeicherte Energie der energiereichen chemischen
Verbindungen (Kohlenhydrate, Fette, Eiweisse) zur Aufrechterhaltung der Körpertemperatur, für Bewegungsvorgänge, für die Reizleitung im Nervensystem usw.
6.5
Beispiel
Die Energieeinheit Kilowattstunde kWh
Die Energieeinheit kWh wird bei uns vor allem im Zusammenhang mit der Erzeugung bzw.
beim Verwenden von elektrischer Energie benötigt. Je nach Tarifstruktur innerhalb der
Gemeinde sind die Kosten pro kWh unterschiedlich hoch: Es wird etwa unterschieden zwischen
Tagtarif und Nachttarif, zwischen Haushalttarifen und den Tarifen für Gewerbebetriebe etc. Im
Haushaltbereich beträgt der Preis pro kWh durchschnittlich 10 Rp. bis 20 Rp.
Wir machen ein Gedankenexperiment, um einschätzen zu können, wie viel Energie in 1 kWh
steckt. Um elektrischen Strom aus Wasserkraft zu produzieren, wird Wasser von einem Stausee
durch ein Rohr auf eine Turbine (= spezielles Wasserrad) geleitet. Die Turbine ist mit einem
Generator gekoppelt. Nur wenn das Turbinenrad rotiert, wird elektrischer Strom produziert.
26
6 Arbeit und Energie
Solange also Wasser auf das Turbinenrad fällt, liefert der mit der Turbine gekoppelte Generator
elektrischen Strom.
Ohne Übertragungsverluste irgendwelcher Art zu berücksichtigen, rechnen wir aus, wie viel kg
Wasser aus einer Höhe von 30 m auf das Turbinenrad fallen müssen, damit eine Energiemenge
von 1 kWh zur Verfügung steht.
1. Umrechnung kWh in J: (k  analog kg in g, km in m usw.)
Die Vorsilbe «k» steht für den Faktor 1000.
1 kWh = 1000 Wh  1 h = 3600 s
Wir ersetzen somit «k» durch die Zahl 1000 und «h» durch 3600 s (Sekunden)
= 1000 W · 3600 s = 3 600 000 Ws = 3 600 000 J = 3 600 000 Nm
2. Berechnen der Wassermenge:
Bekannt: W = FG · s
Wir lösen diese Formel auf nach F:
W
600 000 Nm
FG = ------ = 3
------------------------------------- = 120 000 N
s
30 m
Wir wandeln um in kg:
m = 12 000 kg
3. Wir überlegen uns nun, wie viel menschliches Tätigsein erbracht werden müsste, um
diese Wassermenge verfügbar zu haben. Dazu folgendes Gedankenexperiment: Jeder
Angehörige einer Gruppe von 20 Menschen zieht mit einem Seil und einer festen Rolle,
in einem Behälter Wasser 30 m nach oben, pro Hebevorgang 10 kg Wasser. Wie oft
muss jeder der einzelnen Teilnehmenden einen solchen Behälter nach oben bringen,
damit die unter Punkt 2 berechnete Wassermenge von 12 000 Litern ist?
h = 30 m
Abb. 16
10 kg Wasser
12 000 kg Wasser
600 kg
------------------------------------------------ = ----------------20 Personen
Person
60 Hebevorgänge
-----------------------------------------------Person
27
7 Leistung
Beispiel
Klettern zwei 50 kg schwere Schüler die 5 m hohe Kletterstange hinauf, so ist die verrichtete
Arbeit dieselbe:
FG · h = 500 N · 5 m = 2500 Nm = 2500 J = 2500 Ws
Braucht der eine Schüler 10 Sekunden, der andere 20 Sekunden, dann unterscheiden sie sich
in ihrer Leistung. Die Leistung ist der Quotient (= Bruch) aus verrichteter Arbeit und dazu
gebrauchter Zeit:
P1 = 2500 Ws = 250 W = 0,25 kW
10 s
P2 = 2500 Ws = 125 W = 0,125 kW
20 s
Aufgaben
Aufgabe 35
Ein Maurer zieht an einem Seil eine Last von 500 N um 3 m nach oben. Dazu benötigt er 3 s.
Welche Leistung erbringt er dabei?
Aufgabe 36
Berechnen Sie die Leistung der Pumpe, wenn sie in 6 Minuten 4,5 m3 Wasser um 105 m zu
heben vermag.
Aufgabe 37
Ein Arbeiter muss über eine feste Rolle Ziegelsteine aufs 15 m hohe Dach heben. Im Ganzen
sind es 2000 Ziegel zu 1,5 kg.
A] Wie gross ist die von ihm verrichtete Arbeit?
B] Wie lange muss er arbeiten, wenn seine Leistung 50 W beträgt?
C] Erhöht oder reduziert sich die Arbeitszeit bei einer Leistung von 60 W? Um wie viel?
s
Aufgabe 38
Zur Wasserversorgung einer Gemeinde werden im Laufe eines Tags 300 m3 Wasser 40 m
hochgepumpt.
A] Wie viele kg Wasser sind dies?
B] Welche Arbeit muss die Pumpe verrichten?
C] Wie lange hat die Pumpe, um diese Wassermenge hochzupumpen, wenn die Leistung der
Pumpe 10 kW beträgt?
Aufgabe 39
Wie viele m3 Wasser fördert eine Pumpe bei 2 kW Leistung in 24 h aus einer 6 m tiefen Baugrube?
Aufgabe 40
Wie viele Liter Wasser pumpt eine Pumpe in 3 1/3 Minuten 30 m hoch, wenn die Leistung 1 PS
beträgt (1 PS = 736 W)?
Aufgabe 41
Was braucht ein Mensch, der auf die Dauer eine Leistung von 75 W erbringt, an reiner Arbeitszeit, um 150 kg Holz vom 1. in den 4. Stock (Höhenunterschied 12 m) zu bringen?
Aufgabe 42
Ein Wanderer steigt auf einer Bergtour in 1 h 45 min 700 m. Wie gross ist seine Leistung wenn
seine Masse 72 kg beträgt?
33
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8 Geschwindigkeit und Beschleunigung
Wir stellen den obigen Bewegungsvorgang in zwei Grafiken dar.
Beispiele
1. Vertikale Achse: Strecke s in Metern / horizontale Achse: Zeit t in Sekunden
2. Vertikale Achse: v in m/s und in km/h / horizontale Achse: t in s
s [m]
v
a)
1,2
1,0
0,8
0,6
b)
0,4
0,2
0
t[s]
1
2
3
4
5
Zeit t in Sekunden [s]
6
Dieses Diagramm wird in der Physik als Weg-ZeitDiagramm bezeichnet (s-t-Diagramm).
Übung 5
36
km
h
v
2,16
0,6
1,8
0,5
1,44
0,4
1,08
0,3
0,72
0,2
0,36
0,1
0
m
s
t [s]
1
2
3
4
5
Zeit t in Sekunden [s]
6
Dieses Diagramm wird in der Physik als GeschwindigkeitZeit-Diagramm bezeichnet (v-t-Diagramm).
a) Ermitteln Sie mithilfe der Grafik, wo der Wagen sich nach 6 s befindet. Führen Sie dazu
auch die entsprechende Berechnung aus.
b) Ermitteln Sie mithilfe der Grafik, wie lange der Wagen braucht, um eine Strecke von 0,7 m
zurückzulegen. Führen Sie dazu auch die entsprechende Berechnung aus.
8 Geschwindigkeit und Beschleunigung
3. Bezeichnen Sie die v-Achse auch mit der Einheit km/h.
4. Zeichnen Sie einen zusätzlichen Beschleunigungsvorgang ein: Die Beschleunigung soll
doppelt so gross wie beim Velofahrer sein. Beschriften Sie beide Kurven. (2. Situation)
5. Wie gross sind die Geschwindigkeiten bei beiden Beschleunigungsvorgängen nach
2,5 s?
a) Bestimmen Sie die Geschwindigkeiten mithilfe des Diagramms
1. Beschleunigungsvorgang ~ 2,5 m/s
2. Beschleunigungsvorgang 5 m/s
b) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten und vergleichen Sie die Resultate von a)
mit den Resultaten von b).
1. Situation
Abb. 20
1m
v1 = a1 · t = ---------2
s
ms
ms------------------ = 2,5
----------------· 2,5 s =2,5
2
s ·s
s
2,5 m
= --------------s
· 3600
· 3600
9000 m 9 km
= -------------------- = ------------3600 s
h
2. Situation
Abb. 21
2m
5 ms
5 ms
v2 = a2 · t = ---------- · 2,5 s = ------------- = ------------2
2
s ·s
s
s
5m
= ---------s
· 3600
· 3600
18 000 m 18 km
= ------------------------- = ---------------3600 s
h
8.3.2
Hinweis
Zurückgelegte Strecke bei beschleunigten Vorgängen: Herleitung der
Formel
Die Geschwindigkeit bei beschleunigten Vorgängen steigt von der Zeit 0 bis zur Zeit t auf den
Wert v = a · t an.
at
Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist vm = --------- (Index «m» steht für mittlere Geschwindigkeit).
2
Der zurückgelegte Weg ergibt sich aus s = v · t, indem v durch vm ersetzt wird:
2
at
at
s = vm · t  s = --------- · t = -----------2
2
Der Weg nimmt quadratisch zur Zeit t, während der die Geschwindigkeit beschleunigt
wurde, zu.
Mit dieser Formel wird der zurückgelegte Weg während einem gleichmässig beschleunigten
Vorgang berechnet.
41
8 Geschwindigkeit und Beschleunigung
8.3.3
Der freie Fall
Alle Körper fallen unabhängig von ihrer Masse im luftleeren Raum mit der gleichen Beschleunigung zur Erde. Anstelle des Symbols «a» wird für die Erdbeschleunigung die Bezeichnung «g»
verwendet.
9,81 m
g = -----------------2
s
Ein frei fallender Körper erfährt in Erdnähe eine Beschleunigung von 9,81 m/s2. Anders ausgedrückt: Die Geschwindigkeit eines frei fallenden Körpers nimmt pro Sekunde um 9,81 m/s zu.
Ursache für die Grösse des Werts ist die Gravitationskraft, die in Erdnähe zwischen der Erde und
den Körpern wirkt. Dieser Wert ist nicht überall gleich. Mit zunehmendem Abstand zur Erde verringert sich die Beschleunigung. Folglich unterscheidet sich die Beschleunigung beim freien Fall
je nach dem, wo wir uns im Weltall befinden: Auf dem Mond beispielsweise liegt dieser Wert
bei 1,62 m/s2. Deshalb fallen Körper in Mondnähe entsprechend langsamer zu Boden.
Beispiel
Wir erstellen eine kleine Tabelle und ein v-t-Diagramm zur Erdbeschleunigung. Die v-Achse
versehen wir mit den Einheiten m/s und km/h.
t
v = g · t (m/s)
(v = km/h)
1s
2s
3s
4s
5s
9,81
19,62
29,43
39,24
49,05
35,316
70,632
105,948
141,264
176,58
 innerhalb weniger Sekunden nimmt die Geschwindigkeit während des freien Falls stark zu.
Damit erhöht sich die Intensität bei einem Aufprall erheblich.
Übung 7
1. Welche Geschwindigkeit weist ein Körper auf, der nach 3,5 s freiem Fall auf der Erdoberfläche aufschlägt? Resultat in m/s und in km/h.
2. Bestimmen Sie rechnerisch s für einen freien Fall, der 5 s dauert.
3. Was teilt uns s mit?
4. Erstellen Sie ein s-t-Diagramm für die ersten 4 Sekunden eines freien Falls. Beschriften
Sie die s-Achse mit der Einheit Meter (m). Separates Blatt verwenden.
43
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8 Geschwindigkeit und Beschleunigung
Aufgaben
Aufgabe 59
Aufgabe 60
Kreuzen Sie die richtige(n) Angabe(n) an:
䡺
Solange ein Körper beschleunigt wird, erhöht sich seine Geschwindigkeit fortlaufend.
䡺
Ein Beschleunigungsvorgang kommt durch die Einwirkung von Kräften zustande.
䡺
Auch beim Verlangsamen eines bewegten Körpers wirken Kräfte mit.
䡺
Damit ein Fussgänger sich mit konstanter Geschwindigkeit fortbewegen kann, muss er
ständig beschleunigen.
䡺
Gäbe es keine Reibung und keine Hindernisse, die ein Aufprallen bewirken könnten,
würde ein Körper, der sich mit konstanter Geschwindigkeit fortbewegt, nicht abgebremst werden.
䡺
Ein Auto startet auf einer horizontal verlaufenden Strasse und erreicht nach 8 s eine
Geschwindigkeit von 50 km/h. Danach fährt es mit dieser Geschwindigkeit weiter. Der
Treibstoffverbrauch während den ersten 8 Sekunden ist gleich gross wie während den
anschliessenden 8 Sekunden.
䡺
Die Einheit für die Beschleunigung könnte auch lauten: km/h mal Sekunde.
Ein Velofahrer beschleunigt während 5 s so, dass die Geschwindigkeit in jeder Sekunde um
3,5 km/h zunimmt.
A] Geben Sie die Geschwindigkeitszunahme in m/s an.
B] Erstellen Sie ein v-t-Diagramm und zeichnen Sie den Beschleunigungsvorgang ein: Horizontale Achse: t in s, Vertikale Achse: in km/h und in m/s
C] Zeichnen Sie den Vorgang auch im s-t-Diagramm auf.
D] Nach der Beschleunigungsphase fährt der Velofahrer mit konstanter Geschwindigkeit 5 s
weiter. Zeichnen Sie die folgenden 5 s sowohl in das Diagramm B] wie in das Diagramm C]
ein.
E] Nach diesen 5 Sekunden Fahrt bei konstanter Geschwindigkeit, bremst nun der Velofahrer
ab. Während den folgenden 4 Sekunden bremst der Fahrer sein Fahrrad gleichmässig auf
v = 0 m/s ab. Tragen Sie diese Bremsphase in das Diagramm B] ein.
Aufgabe 61
Im luftleeren Raum fallen alle Körper gleich schnell. Ein frei fallender Körper erfährt in Erdnähe
im luftleeren Raum eine Beschleunigung von 9,81 m/s2.
A] Welche Geschwindigkeit weist ein frei fallender Körper im luftleeren Raum nach 5 s auf?
Resultat in m/s und km/h.
B] Zwei gleiche Körper prallen nach einem freien Fall im luftleeren Raum auf dem Boden auf.
Der erste nach 3 s, der zweite nach 5 s. Nehmen Sie dazu Stellung, keine Berechnung, nur
qualitativ beantworten.
C] Ein 1 kg schwerer Körper prallt nach 3 s auf dem Boden auf. Aus welcher Höhe wurde er losgelassen?
D] Ein 2 kg schwerer Körper prallt ebenfalls nach 3 s auf dem Boden auf. Aus welcher Höhe
wurde dieser Körper losgelassen?
E] Unterscheiden sich die beiden Körper, die dieselbe Form haben und aus demselben Material
sind, in der Aufprallheftigkeit?
44
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9 Druck
9.2
Die Einheiten des Drucks: Pa (Pascal), bar, mmHg
(Quecksilbersäule)
Für die Kraft haben wir die Einheit N (Newton) kennen gelernt.
Das Grundmass für eine Fläche ist m2 (Quadratmeter).
Wir setzen die beiden Grössen in die Formel für den Druck ein:
[N]
[p] = ----------2
[m ]
Die Haupteinheit für den Druck ist das Pascal (Pa), benannt nach dem französischen Physiker
Blaise Pascal (1623–1662).
Es gilt:
1N
1 N- = ----------------------------------------= 1 Pa
2
2
10 000 cm
1m
1 Pa Druck ist äusserst gering: Wir nehmen ein A4-Blatt Kopierpapier (m = 5 g) und legen es auf
die Hand, der dabei wirksame Druck beträgt rund 0,8 Pa.
Wir multiplizieren nun obige Gleichung mit 100 000.
Abb. 20
100 000 N
100 000 N
=
= 100 000 Pa
1 m2
10 000 cm2
Beim mittleren Glied der Gleichung kürzen wir die Nullen weg. Dadurch erhalten wir eine weitere wichtige Druckeinheit: bar
10 N
---------------- = 1 bar
2
1 cm
1 bar Druck liegt beispielsweise dann vor, wenn wir einen Gegenstand von 1 kg auf der
Kuppe eines Fingers (ca. 1 cm2) platzieren.
In der Medizin ist zudem immer noch die Einheit Millimeter Quecksilbersäule (mm Hg) bei
Blutdruckmessungen üblich (1 mmHg = 133,3 Pa).
Neben den Druckeinheiten Pascal (Pa) bzw. Bar (bar) werden häufig auch Teile und Vielfache
davon verwendet: etwa Millibar (mbar), Hektopascal (hPa) oder Kilopascal (kPa).
Die bei Druckangaben verwendeten Vorsilben zur Einheit kennen wir in unserem Alltag auch in
anderen Anwendungsbereichen:
Millimeter
1 mm
1
= ------------- m = 0,001 m
1000
Hektoliter
1 hl
= 100 Liter
Kilogramm
1 kg
= 1000 g
Die entsprechenden Druckeinheiten lassen sich von der Basiseinheit Pa ableiten:
48
1 kPa
=
1000 Pa
1 hPa
=
100 Pa
1 bar
=
1000 mbar
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9 Druck
Zusammenfassung
Dichte von Wasser:
Dichte von Alkohol:
1 g Wasser = ---------3
cm
g Alkohol = 0,789
------------------3
cm
Abb. 26
Abb. 27
Wichte oder Spezifisches Gewicht von
Wasser:
Wichte oder Spezifisches Gewicht von
Alkohol:
1cN
 Wasser = ----------3
cm
0,789 cN
 Alkohol = -----------------------3
cm
Die Einheit cN ist vorteilhaft, der Tabellenwert für die Dichte und die Wichte ist derselbe.
Mithilfe der Wichte leiten wir die Formel für den Schweredruck her:
Eine Flüssigkeitssäule hat das Volumen V = l · b · h = A · h
Die Gewichtskraft FG berechnet sich gemäss obiger Formel für die Wichte: FG =  · V
Statt FG =  · V können wir auch FG =  · A · h schreiben.
F
Der Druck p ist p = ---=
A
FG
------A
Abb. 28
Wir ersetzen FG durch  · A · h
Ah
pin Fl. = ------------------- =  · h
A
Schweredruck in Flüssigkeiten = HöheFlüssigkeitssäule · Wichte
Beispiel
p=h·
1. Wie gross ist der Schweredruck in 5 m Wassertiefe in bar, mbar, hPa, Pa, kPa.
Abb. 29
Abb. 30
0,01 N =
cN- = 500 cm · ----------------p=h·=5 m· 1
----------3
3
cm
cm
Abb. 31
Abb. 32
Abb. 33
5 N- = 0,5 bar
---------2
cm = 500 mbar
/ · 1000
= 500 hPa
/ · 100
= 50 000 Pa
/ : 1000
= 50 kPa
Gut zu merken:
10 m Wassersäule erzeugen einen Druck von 1 bar. In 10 m Wassertiefe beträgt der
Druck 1 bar.
2. Wie gross ist der Schweredruck in 5 m Quecksilber in bar, mbar, hPa, Pa, kPa.
Abb. 34
Abb. 35
Abb. 36
13,546 cN
0,13546 N- = -------------------67,73 N- = 6,773 bar
p = h ·  = 5 m · --------------------------- = 500 cm · --------------------------3
3
2
cm
cm
cm
= 6773 mbar
= 6773 hPa
= 677 300 Pa
= 677,3 kPa
3. Vergleich der beiden Drucke: Im Quecksilber ist der Druck 13,546 × grösser als im Wasser in gleicher Tiefe.
52
Physik Vorkurs Höhere Fachschulen für Gesundheitsberufe
9 Druck
9.4.4
Physiologische Bedeutung des Luftdrucks (Beispiele)
Einnahme von Flüssigkeiten
Beim Trinken wird Luft aus dem Röhrchen zwischen Flüssigkeitsspiegel und Mund abgesaugt.
Dadurch entsteht im Röhrchen eine erheblicher Unterdruck. Der Luftdruck der Aussenluft sorgt
dafür, dass nun die Flüssigkeit in das Röhrchen hineingeschoben wird.
Abb.
Entstehender Unterdruck beim Trinken mit dem Röhrchen
Abb. 41
Unterdruck
Luft drückt auf
Wasseroberfläche
Gasaustausch zwischen Lunge und Aussenluft
Wird der Brustkorb durch das Senken des Zwerchfells bzw. Anheben des Brustkorbs erweitert
nimmt die Konzentration der Luftteilchen ab, der Luftdruck in der Lunge sinkt. Der höhere Druck
der Aussenluft bewirkt, dass Luft passiv in die Lunge strömt.
Bewegt sich das Zwerchfell nach oben, wird die Luft in der Lunge zusammengedrückt. Der Luftdruck in der Lunge ist daher grösser als der Luftdruck der Aussenluft  die Luft strömt nach
aussen.
Abb.
Atembewegung beim Ein- und Ausatmen
Abb. 42
Einatmen
58
Einatmen
Ausatmen
10 Elektrizitätslehre
Versuch 5
Ein Plexiglas-Stab wird mit dem Seidentuch gerieben. Mit dem Seidentuch nähern wir uns dem
immer noch geladenen zweiten Plexiglas-Stab.
Beobachtung
Erklärung
Plexiglas-Stab
.................................................................................................................
Beim Reiben mit dem Seidentuch sind von den Plexiglas-Stäben Elektronen auf das Seidentuch übergegangen. Das Seidentuch weist daher
einen Überschuss an Elektronen auf. Das negativ geladenen Seidentuch
und der positiv geladene Plexiglas-Stab ziehen sich daher gegenseitig an.
+
+
+
+
–
–
– +
–
+
–
+
–
Seidentuch
+
–
+
+
–
–
–
–
–
+
–
+
–
–
–
+
–
+
+
–
+
+
Elektronen stammen vom Plexiglas-Stab
Versuch 6
Die Hand, welche das Seidentuch hielt, wird dem Plexiglas-Stab genähert.
Beobachtung
Erklärung
.................................................................................................................
Beim Reiben mit dem Seidentuch sind von den Plexiglas-Stäben Elektronen auf das Seidentuch und auf den Körper übergegangen. Der Körper
weist daher wie das Seidentuch einen Überschuss an Elektronen auf. Der
positiv geladene Plexiglas-Stab wir daher durch die Hand angezogen.
Abb. 48
Plexiglas-Stab
+
–
+
+
+
+
–
+ –
+
–
–
–
–
–
–
+
–
–
–
–
–
–
+
–
–
Hand
+
–
+
–
+
–
+
–
+
– +
–
–
–
+
Elektronen stammen
vom Plexiglas-Stab
67
10 Elektrizitätslehre
10.2.5
Versuch 7
Übertragen von Ladungen
Ein Plexiglas-Stab wird mit einem Seidentuch gerieben. Mit der einen Hand wird der geladene
Plexiglas-Stab gehalten, die andere Hand hat Kontakt mit einer Soffittenlampe. Die Soffittenlampe wird dem geladenen Plexiglas-Stab entlang geführt.
Beobachtung
der
.................................................................................................................
Erklärung
Beim Reiben mit dem Seidentuch sind von den Plexiglas-Stäben Elektronen auf das Seidentuch übergegangen. Vom Seidentuch sind auch
Elektronen auf den Körper übergetreten. Die Hand weist nun einen Überschuss an Elektronen auf, der Stab ein Defizit.
Die Elektronen wandern nun von der Hand via Soffittenlämpchen zum
Plexiglas-Stab. Die dabei auftretende kurze, jedoch sehr hohe Wärmebildung, führt zum kurzen Aufglühen des Lämpchens und zeigt uns damit
das Hinüberwechseln der überschüssigen Elektronen von der Hand zum
Plexiglas-Stab.
Plexiglas-Stab
+
+
+
–
+
+
+
–
–
+
+
–
+
–
+
Metallpol
Soffittenlampe
Elektronenwanderung durch
das Lämpchen
Lichtfreisetzung,
hörbares Knistern
Metallpol
+
–
Hand
–
+
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
+
– +
– +
–
–
–
–
–
Dieser Versuch macht uns noch einmal klar, dass durch das Reiben des Plexiglas-Stabs mit dem
Seidentuch eine Ladungstrennung erfolgt. Die sehr viel leichteren Aussenelektronen (rund
2000 × leichter als die Kernbausteine Protonen bzw. Neutronen) der Atome, die an der Oberfläche des Stabs sitzen, werden durch das Reiben auf den Körper übertragen.
Beim Reiben des Plexiglas-Stabs wird unter Kraftaufwand eine bestimmte Wegstrecke zurückgelegt. In der Mechanik wird ein solcher Vorgang wie folgt umschrieben:
W = F · s, Arbeit = Kraft · Weg
Je grösser der Kraftaufwand bzw. der Weg der zurückgelegt wird beim Reiben, umso grösser
ist der Arbeitsaufwand. Wir erkennen die Folgen eines geringen Arbeitsaufwands beim Reiben
des Plexiglas-Stabs:
Geringe Lichtwirkung, geringes Knistern
69
10 Elektrizitätslehre
Wir vergleichen die beiden geladenen Kugeln mit den verschieden gefüllten Wassergefässen:
Zwischen den beiden geladenen Körpern besteht ein Bestreben zum Ladungsausgleich, ähnlich wie bei den verschieden gefüllten Wassergefässen. Dieses Bestreben zum Ladungsausgleich ist ein gespeichertes Arbeitsvermögen, ein Potenzial.
Jeder geladene Körper besitzt ein Potenzial. Zwischen zwei verschieden geladenen Körpern
besteht ein Potenzialunterschied, eine Potenzialdifferenz. Diese Potenzialdifferenz ist die
Ursache des Bestrebens zum Ladungsausgleich. Man nennt sie Spannung.
Das Formelzeichen für die Spannung ist U.
10.3.1
Volt: Die Einheit der Spannung
Die Kugel 1 weist einen Elektronenüberschuss, die Kugel 2 ein Elektronendefizit auf.
Die Kugel 1 ist negativ geladen, die Kugel 2 positiv.
Die Elektronen müssen unter Kraftaufwand von der positiven zur negativ geladenen Kugel
befördert werden. Das Produkt aus Kraft und Weg ist die Arbeit. Je grösser die transportierte
Ladung ist, umso grösser ist auch die Arbeit.
Arbeit
W
Der Quotient -------------------- = ------ ist konstant. Man nennt ihn elektrische Spannung.
Ladung
Q
Die Einheit für die Spannung ist das Volt (V) benannt nach Alessandro Volta 1745–1827.
1J
1J
1 V = --------- = ---------------------------------1C
6,25  10 18 e –
Grössenordnungen von elektrischen Spannungen:
Gehirn
ca. 0,1 µV
Stabbatterie
1,5 V
Spannung im Haushalt
230 V bzw. 380 V
Hochspannungsleitung
380 000 V = 380 kV (Kilovolt)
73
Physik Vorkurs Höhere Fachschulen für Gesundheitsberufe
10 Elektrizitätslehre
10.5.2
Genereller Aufbau eines Stromkreises / Variationen beim Stromkreis
Verbinden wir den +Pol und den –Pol einer
Stromquelle mit einem geschlossenen Leitersystem, so bewegen sich die Elektronen vom
–Pol zum +Pol: Es fliesst Strom. Man spricht
dann von einem geschlossenen Stromkreis.
Unterbrechen wir den Stromkreis an einer Stelle, so ist auch kein Elektronenfluss mehr möglich:
Es fliesst kein Strom.
Übung 12
Erstellen Sie die nachfolgenden Schaltskizzen. Benützen Sie dazu folgende Schaltsymbole:
Abb. 66
Stromquelle
(Batterie)
Schalter
1. Mit einer Stromquelle und einem Lämpchen.
2. Eine Stromquelle, ein Schalter und ein Lämpchen.
3. Mit einer Stromquelle und 2 Lämpchen.
4. Eine Stromquelle, zwei Lämpchen und ein Schalter,
sodass beide Lämpchen gleichzeitig ein- und ausgeschaltet werden.
5. Eine Stromquelle, zwei Lämpchen und ein Schalter,
sodass jede Lampe einzeln ein- und ausgeschaltet
werden kann.
6. Eine Stromquelle, zwei Lämpchen und ein Umschalter, sodass bei jeder Schalterstellung ein Lämpchen
brennt.
82
Lämpchen
10 Elektrizitätslehre
Dieses grundlegende Gesetz der Elektrodynamik, das vom deutschen Physiker Georg Simon
Ohm 1826 gefunden wurde, erfasst die Zusammenhänge zwischen Spannung, Strom und
Widerstand. Es wird Ohm’sches Gesetz genannt.
Der Widerstand ist 1 Ohm (1 ), wenn bei einer Spannung von 1 V ein Strom von 1 A fliesst.
10.6.4
Widerstandsmessung
Zur Messung eines Widerstands legt man eine ganz bestimmte Spannung an den Widerstand
und misst den Strom, der durch den Widerstand fliesst. Im Messgerät ist die Stromquelle schon
eingebaut.
Stromkreis
Widerstand
Stromkreis offen
R = unendlich
Kurzschluss
R = null 
Folgerung: Luft ist ein schlechter Leiter.
Widerstand verschiedener elektrischer Apparate
Gegenstand
Spannung U
Widerstand R
Lampe
230 V
40 W
1200 
Bügeleisen
230 V
400 W
120 
Strahler
230 V
1000 W
48 
6V
0,2 W
180 
Lämpchen
Versuch 11
Leistung P
Messung des Widerstands des menschlichen Körpers
Widerstand mit
trockenen Händen
Mit leichtem Kontakt (Druck)
Mit festem Kontakt (Druck)
Widerstand mit feuchten
Händen
150 k
30 k
50 k
18 k
Folgerung: Auch der menschliche Körper leitet den Strom. Die Leitfähigkeit hängt unter anderem von der Intensität des Kontakts zum Stromleiter ab, ebenso hat der Momentanzustand der
Haut einen wesentlichen Einfluss: Mit Schweiss (salzig) benetzte Haut enthält gelöste Ionen.
Diese sind frei beweglich. Folglich leitet dadurch der schwitzende Körper besser.
Der menschliche Körper insgesamt ist ein guter Leiter für den elektrischen Strom. Alle Körpersäfte enthalten frei bewegliche Ionen, deshalb leitet der menschliche Körper elektrischen Strom
gut.
87
Physik Vorkurs Höhere Fachschulen für Gesundheitsberufe
11 Licht
Neben der Linse kommen noch weitere lichtbrechende Augenanteile vor, allerdings weisen
diese eine unveränderbare Form auf. Hornhaut, Augenflüssigkeit, Augenlinse und Glaskörper
bilden ein Linsensystem, das wie eine Sammellinse wirkt.
Das einfallende Licht wird so gebrochen, dass auf der Netzhaut ein verkleinertes, wirkliches =
reelles, umgekehrtes und seitenvertauschtes Bild entsteht. Der Sehnerv leitet die auf der Netzhaut entstehenden Bilder zum Gehirn.
Abb.
Die Linse erzeugt auf der Netzhaut ein seitenvertauschtes Bild
F = Brennpunkt
der Linse
Abbildung
Gegenstand
Abb. 92
 Details zum Thema Lichtbrechung sowie Vergrösserung und Verkleinerung siehe Kapitel 12.
11.5
Lichtstärke und Beleuchtungsstärke
11.5.1
Lichtstärke, Formelzeichen I
Die Erfahrung des Alltags zeigt, dass nicht alle Glühlampen gleich hell sind und dass auch zwischen anderen Lichtquellen, etwa einer Kerze oder einer Neonröhre, beträchtliche Helligkeitsunterschiede bestehen. Die Lichtstärke ist die Strahlungsleistung einer Lichtquelle, unter Lichtstärke versteht man die von einer Lichtquelle ausgehende Leuchtkraft.
Die Lichtstärke ist eine physikalische Basisgrösse im SI-Einheiten-System wie beispielsweise
Sekunde, Meter etc.
Die Einheit der Lichtstärke I ist 1 Candela (1 cd).
Für den «Normalverbraucher» genügt es zu wissen: Die Flamme einer Kerze hat ungefähr die
Lichtstärke von 1 cd.
Um genauere Vergleichsmöglichkeiten zu erhalten, gibt es 2 Möglichkeiten:
1. Möglichkeit
Die Lichtstärke einer 1/600 000 m² = 1,666… mm2 grossen Platinfläche in einem Hohlraumstrahler bei einer Temperatur von 2042,5 K (Kelvin) (Erstarrungstemperatur des Platins) und
einem Umgebungsdruck von 101,325 Pa entspricht senkrecht zur Oberfläche der Lichtstärke
von 1 cd.
114
Physik Vorkurs Höhere Fachschulen für Gesundheitsberufe
12 Lichtbrechung
Seiten 124 bis 128 sind neu
angeordnet
Beispiel 1
Ein einfallender Strahl trifft in einem Einfallwinkel von 40°-Winkel auf die Grenzfläche Luft –
Wasser. Die Brechungszahl n Luft – Wasser ist gemäss obiger Tabelle 1,33.
Berechnen Sie den Ausfallwinkel 
sin  sin 40°
sin 
0,6428
n = -------------  sin  = ------------- = ------------------ = ------------------ = 0,483   = 28,9°
n
1,33
sin 
1,33
Abb.
Brechung eines Lichtstrahls beim Übergang Luft – Wasser.
Abb. 101
optische Scheibe
Lot
Gegenkathete
Luft
Optisch dünneres Medium
se
nu
te
po
Hy
(r)
α
Einfallwinkel
q ≅ 3,6 cm
p ≅ 4,8 cm
Ausfallwinkel
po
Hy
ten
Wasser
Optisch dichteres Medium
β
use
(r)
Gegenkathete
124
12 Lichtbrechung
Rechnerische Variante
Wir berechnen mithilfe der Sinus-Funktionen den Ausfallwinkel:

Brechungsindex n = sin
------------sin 
Wir lösen die Formel auf nach sin :

40°
0,6428
sin  = sin
------------- = sin
------------------ = ------------------ = 0,4833  Winkel  = 28,90°
n
1,33
1,33
Der Ausfallwinkel beträgt 28,90 Grad
Zeichnerische Variante:
Die obere Hälfte der optischen Scheibe zeigt den Verlauf des einfallenden Lichtstrahls in Luft.
Bei der unteren Hälfte der optischen Scheibe sei gemäss Aufgabenstellung Wasser. An der
Grenzschicht Luft-Wasser wird der Strahl gebrochen.
Vom Schnittpunkt Einfallstrahl – Rand optische Scheibe ziehen wir nun eine gestrichelte Hilfslinie parallel zum Lot bis zur Grenzschicht Luft – Wasser.
Den Abstand zwischen der Hilfslinie und dem Lot bezeichnen wir mit dem Buchstaben p, mit
dem Massstab ermitteln wir diese Strecke.
Mithilfe der Brechungszahl (Brechungsindex n) und p können wir nun q berechnen.
Bekanntlich ist sin  = Gegenkathete
------------------------------------Hypotenuse
Abb. 104
p
p q
p r
sin α
r
p
=
= : = · =
n =
(der Scheibenradius r fällt weg)
sin β
q
r q
q
r r
r
p
4,8 cm
 q = --- = ------------------ = 3,6 cm
n
1,33
(q einzeichnen, danach mit dem Geodreieck den Winkel  bestimmen = 29°)
(Anmerkung: Beide Methoden führen zu denselben Resultaten. Die Abweichungen sind gering.
Die Zahlen können je nach Massstab der gedruckten Zeichnung variieren)
Beispiel 2
Drei einfallende Strahlen treffen mit den Winkeln 1 = 30°, 2 = 40° und 3 = 50° auf die Grenzfläche Luft – Wasser.
Berechnen Sie die drei Ausfallswinkel 1, 2 und 3.
Zeichnen Sie die Situationen. Was folgern Sie?


n = sin
-------------  sin  = sin
------------sin 
n
sin 30°
0,5
sin  1 = ------------------ = ----------- = 0,356   1 = 22,1°
1,33
1,33
125
Physik Vorkurs Höhere Fachschulen für Gesundheitsberufe
12 Lichtbrechung
sin 40°
sin  2 = ------------------ = 0,643
--------------- = 0,484   2 = 28,9°
1,33
1,33
sin 50°
sin  3 = ------------------ = 0,766
--------------- = 0,576   3 = 35,2°
1,33
1,33
Abb. 105
Lot
optische Scheibe
α3 = 50°
Luft
Optisch dünneres Medium
α2 = 40°
α1
= 30°
Wasser
Optisch dichteres Medium
β1
= 22,1°
Folgerung
Je grösser der Einfallwinkel, desto stärker die
Brechung. Vergleichen Sie dazu die Unterschiede
zwischen einfallendem und gebrochenem
Strahl mit Hilfe eines Lineals. Dasselbe beobachten
Sie, wenn Sie die Differenzen α1–β1, α2–β2 und
α3–β3 miteinander vergleichen.
Wenn der Einfallswinkel 0° beträgt, der Strahl also
senkrecht zur Wasseroberfläche eintrifft, wird der
Strahl überhaupt nicht gebrochen.
126
β2
= 28,9°
β3
= 35,2°
12 Lichtbrechung
Beispiel 3
Aus Beispiel 2 wissen wir, dass ein einfallender Strahl mit Einfallwinkel  = 40° nach dem Übergang Luft – Wasser einen Ausfallwinkel von  = 28,9° hat. Was geschieht, wenn das Wasser
durch Glas mit n = 1,9 ersetzt wird?
Ziehen Sie die Schlussfolgerungen.
Abb. 104
optische Scheibe
Lot
40°
20°
Luft Glas n = 1,90
Luft Wasser n = 1,33
29°
Wasser
Glas
Folgerung
Je grösser die
Brechungszahl, desto
stärker wird der Strahl gebrochen.
sin 
sin 
sin 40°
n = -------------  sin  = ------------- = ------------------ = 0,34   = 19,8°
sin 
n
1,90
Folgerungen: Je grösser die Brechungszahl, umso stärker wird der Strahl gebrochen.
Hilfsmittel:
Um zeigen zu können, wie die Strahlen beim Übergang von einem optisch dünneren in ein
optisch dichteres Medium oder umgekehrt gebrochen werden, ist die optische Scheibe zweckmässig und hilfreich. Die kreisrunde Scheibe weist eine Gradeinteilung auf, womit sich der Einfall- und der Ausfallwinkel genau erfassen lässt.
127
Physik Vorkurs Höhere Fachschulen für Gesundheitsberufe
12 Lichtbrechung
12.2
Strahlenverlauf durch ein Prisma
Ein Prisma ist ein dreieckiger Glaskörper. Prismen können einfallende Lichtstrahlung spiegeln
andererseits lassen sie Licht hindurch, wobei weisses Licht gebrochen und in seine Spektralfarben zerlegt wird. Diese beiden Eigenschaften sind vom Winkel abhängig, mit dem ein Lichtstrahl auf ein Prisma auftrifft.
Die Abbildung S. 102 zeigt, dass der Lichtstrahl beim Übergang Luft-Prisma ein erstes Mal
gebrochen wird, beim Verlassen des Prismas wird der Strahl erneut gebrochen.
Wir betrachten in diesem Kapitel nur noch den Brechungsvorgang eines Lichtstrahls. Wir
haben gesehen, dass ein Lichtstrahl zum Lot hin gebrochen wird, wenn er von einem optisch
dünneren Medium in ein optisch dichteres Medium übergeht bzw. umgekehrt.
Wir wollen nun anhand von Beispielen zeigen wie sich die von den Strahlenverläufen LuftWasser bzw. Luft-Glas und umgekehrt bereits bekannten Gesetzmässigkeiten beim Durchtritt
eines Lichtstrahls durch ein Prisma auf den Strahlenverlauf auswirken.
128
12 Lichtbrechung
12.4.2
Prinzip Streulinse (= Konkavlinse)
Wir betrachten den Strahlenverlauf von parallel horizontal einfallenden Lichtstrahlen bei
mehreren untereinander platzierten Prismen.
Der Brechungsindex n für Quarzglas beträgt 1,46.
Nach diesem Prinzip sind Streulinsen gebaut: Dieser Linsentyp streut einfallende Lichtstrahlen.
Abb. 109
Lot
Lot
p
p
7,5 mm
n = ---  q = --- = -------------------- = 5,1 mm
q
n
1,46
sin 
sin 
sin 20°
0,342
n = -------------  sin  = ------------- = ------------------ = --------------- = 0,234   = 13,5°
sin 
n
1,46
1,46
p = n · q = 1,46 · 13,5 mm = 19,7 mm
sin  = n · sin  = 1,46 · sin 26° = 1,46 · 0,438 = 0,640   = 39,8°
133
13 Sammellinsen = Konvexlinsen
Abb.
Massgebend für Grössenwahrnehmung: der Sehwinkel
Abb. 111
G1
G2
B2
α2 α1
B1
In der Skizze ist der betrachtete Gegenstand immer gleich gross. Von dem näher am Auge
befindlichen Gegenstand wird jedoch ein grösseres Bild auf der Netzhaut entworfen, er
erscheint unter dem grösseren Sehwinkel 2. Wir haben also den Eindruck, dass der rechte
Gegenstand grösser ist als der linke. Je geringer ein Gegenstand vom Auge entfernt ist, desto
grösser erscheint er uns. Jedoch sind der Annäherung Grenzen gesetzt: Ab etwa 10 cm Entfernung (Nahpunkt) kann unser Auge den Gegenstand nicht mehr scharfstellen. Die Entfernung,
bei der das Scharfstellen (Akkommodieren) noch ohne grosse Anstrengung möglich ist,
bezeichnet man als deutliche Sehweite s. Sie beträgt ca. 25 cm.
13.3
Brennpunkt und Brennweiten bei Konvexlinsen (Sammellinsen)
Bei Sammellinsen werden eintreffende Lichtstrahlen in einem Punkt auf der anderen Seite der
Linse vereinigt. Dieser Punkt heisst Brennpunkt F der Linse. Da die Richtung von Lichtstrahlen
umkehrbar ist, besitzt die Konvex-Linse auf jeder Seite einen Brennpunkt.
13.4
Brechung der Lichtstrahlen durch Konvexlinsen (Sammellinsen)
In diesem Kapitel geht es darum, wie man mithilfe von charakteristischen Lichtstrahlen das Bild
eines Gegenstands konstruiert, dessen Licht durch eine Konvexlinse dringt.
Um herauszubekommen, welches Bild eine Linse von einem Gegenstand erzeugt (bzw. ob sie
überhaupt ein Bild erzeugt) und wo, verfolgt man den Verlauf der Lichtstrahlen die vom Gegenstand ausgehen durch die Linse.
Dazu muss man nicht alle Strahlen verfolgen, es reicht, die von den Aussenkanten des Gegenstands ausgehenden Strahlen zu betrachten und von diesen Strahlen braucht man nur drei zu
berücksichtigen:
A
den parallel zur optischen Achse verlaufenden (Parallelstrahl),
A den durch den Mittelpunkt der Linse gehenden (Mittelpunktstrahl)
A und den durch den vorderen Brennpunkt gehenden (Brennpunktstrahl).
137
Physik Vorkurs Höhere Fachschulen für Gesundheitsberufe
13 Sammellinsen = Konvexlinsen
Beispiel 2
Der Gegenstand befindet sich ausserhalb der doppelten Brennweite zur Hauptebene der
Linse.
Lage des Bilds: Im Bildraum zwischen einfacher und doppelter Brennweite.
Beschaffenheit des Bilds: Reelles Bild, umgekehrt, verkleinert.
Abb. 114
G = 2,9 cm
F
F’
f
f’
B = 2,19 cm
2f
g = 8,15 cm
= 2,34 f
Linsenformel
b = 6,15 cm
= 1,76 f’
1
1
1
----------- + -------- = --------  0,123 + 0,164 = 0,286
8,15 6,1
3,5
1
--- = 0,286 cm  f = 3,5 cm
f
Abbildungsmassstab
B
b
---- = ---  nach B auflösen
G
g
b  G = 6,15 cm  2,9 cm
B = ------------------------------------------------------g
8,15 cm
= 2,19 cm
140
13 Sammellinsen = Konvexlinsen
Der Gegenstand befindet sich zwischen einfacher und doppelter Brennweite zur Hauptebene der Linse.
Beispiel 3
Lage des Bilds: Zwischen 2-facher und 3-facher Brennweite.
F
F’
f’
f
2f
B = 4,95 cm
G = 2,95 cm
Beschaffenheit des Bilds: Reelles Bild, umgekehrt, vergrössert.
2 f’
g = 5,55 cm
= 1,59 f
b = 9,15 cm
= 2,61 f’
1
1
1
Linsenformel ----------- + ----------- = --------  0,180 + 0,109 = 0,289
5,55 9,15
3,5
Überprüfen Sie nun bei allen Grafiken die beiden Formeln, schreiben Sie die Ausrechnung dazu.
Linsenformel
Abbildungsmassstab
1 1
1
--- + --- = --g b
f
B
b
---- = --G
g
G = Grösse des Gegenstandes
B = Grösse der Abbildung
f = Brennweite
b = Bildweite
g = Gegenstandsweite
141
Physik Vorkurs Höhere Fachschulen für Gesundheitsberufe
13 Sammellinsen = Konvexlinsen
Beispiel 4 A
Wir verändern die Brennweite f der Linse. Bei den Beispielen 1–3 war die Brennweite f = 3,5 cm.
Bei den nachfolgenden Beispielen sei die Brennweite f 2,5 cm.
Gleiche Situation wie bei Beispiel 2 mit Brennweite f = 3,5 cm: Der Gegenstand befindet sich
ausserhalb der doppelten Brennweite zur Hauptebene der Linse, in einem Abstand von
8,2 cm. Der Abstand zwischen Gegenstand und Hauptebene kann auch in Brennweiten ausgedrückt werden: 3,28 f  Kontrollieren Sie, ob diese Angabe korrekt ist.
G = 2,95 cm
Abb. 115
B = 1,35 cm
g = 8,2 cm
= 3,28 f
b = 3,6 cm
Vergleich:
Bei gleicher Gegenstandsweite g in cm resultiert nicht dieselbe Grösse bei der Abbildung. Die
unterschiedlichen Brennweiten f der Linsen bewirken die unterschiedlichen Grössen bei der
Abbildung und ebenso beeinflusst die Brennweite b der Linse.
142
13 Sammellinsen = Konvexlinsen
Beispiel 4 B
Ähnliche Situation wie bei Beispiel 3: Der Gegenstand befindet zwischen einfacher und doppelter Brennweite zur Hauptebene der Linse in einem Abstand von ebenfalls 1,57 f  3,93 cm.
Abb. 116
G = 2,95 cm
F
F’
f
f’
2f
2 f’
B = 4,95 cm
g = 3,93 cm
b = 6,85 cm
Vergleich:
Die Bildgrösse ist dieselbe. Beide Brennweiten werden mit demselben Faktor multipliziert.
Dadurch sind jedoch die Gegenstandsweiten g verschieden. Ebenfalls unterschiedlich ist Bildweite b.
143
Physik Vorkurs Höhere Fachschulen für Gesundheitsberufe
14 Die Lupe
14.5
Strahlenverlauf bei der Lupe
Im Kapitel 13.4.1. wurde der Gegenstand in unterschiedlichen Abständen zum Brennpunkt der
Linse platziert. Die folgende Grafik fasst die Erkenntnisse die dabei gewonnen wurden noch einmal zusammen:
Abb.
Abbilden von einem Gegenstand in unterschiedlicher Distanz zur Linse
Abb. 121
Der Gegenstand
rückt zur Linse hin
Das Bild
rückt von der Linse fort
F2 B1 B2 B3
G1
G2
G3
G4
B4
F1
ƒ
ƒ
2ƒ
2ƒ
Wir platzieren nun den Gegenstand G beim Brennpunkt. Die Bildkonstruktion mit Parallelstrahl
und Hauptstrahl sieht dann so aus:
Abb.
Parallel- und Hauptstrahl
Abb. 122
Parallelstrahl
G
Ha
up
ts
tra
hl
F
f
f’
2f
Folgerung: Der Brennstrahl trifft die Linse nicht.
Der Hauptstrahl und der Parallelstrahl verlaufen parallel zueinander.
 G lässt sich nicht abbilden
146
Physik Vorkurs Höhere Fachschulen für Gesundheitsberufe
15 Das Mikroskop
15.2.1
Der Strahlenverlauf im Mikroskop mit Einbezug optischer
Gesetzmässigkeiten
Abb.
Vergrösserungsvorgang Mikroskop
Abb. 126
Okular
kleiner
Gegenstand
reelles
Zwischenbild
F2
Objektiv
F’1
F1 α1
zum Auge
α2
F’2
virtuelles
Bild
α1: Sehwinkel ohne Instrument
α2: Sehwinkel des virtuellen Bildes
Tubuslänge
Ein Mikroskop ist ein zweistufiges optisches Gerät, bei dem das Objektiv ein vergrössertes,
reelles Zwischenbild erzeugt, das vom Okular – wie von einer Lupe – vergrössert und virtuell
abgebildet wird. Das Auge erzeugt dann aus diesem virtuellen Bild ein reelles Bild auf der Netzhaut. Mit dem Licht-Mikroskop kann man eine 10- bis 2000-fache Vergrösserung erzielen.
Um ein möglichst grosses reelles Zwischenbild zu erhalten, muss das Objekt eine Entfernung
von Objektiv haben, die geringfügig grösser als die Brennweite ist. Damit vom Objekt eine möglichst grosse Lichtmenge in das Objektiv dringt, soll es nicht weit vom Objektiv entfernt sein.
Um diese Forderungen zu erfüllen, verwendet man für Objektive Linsen mit kleinen Brennweiten.
Die beiden Linsen sind in einem Rohr untergebracht, um das störende Aussenlicht fernzuhalten.
Da das Objekt im Allgemeinen nicht selbstleuchtend ist, benötigt man eine geeignete Beleuchtungsanlage. Dabei gibt es die Möglichkeit, das Objekt im durchfallenden Licht (Objekt liegt auf
einem Glasplättchen) oder im auffallenden Licht zu betrachten.
15.2.2
Abbildungsmassstab A
Das Objektiv soll vom Gegenstand G ein möglichst grosses Zwischenbild BZ erzeugen. Das
Verhältnis von BZ zu G nennt man Abbildungsmassstab A. Aus der Abbildungsformel folgt:
B
b
A = ------Z = -----Z- (bZ ist der Abstand vom Objektiv zum Zwischenbild)
G
g
Damit A möglichst gross wird, macht man g möglichst klein. Deshalb muss man mit dem
Objektiv so dicht an den Gegenstand G heran. g liegt immer in der Nähe des Brennweite f.
g ist immer ein bisschen grösser als f.
Beispiel
Das Objektiv eines Mikroskops hat die Brennweite f = 2 mm.
Das Objekt hat die Grösse G = 0,1 mm und befindet sich in einem Abstand g von 2,05 mm
vor der Linse. Wie gross ist die Bildweite bZ und wie gross ist das Zwischenbild BZ?
Lösung: Wir lösen die Linsenformel nach der Bildweite bZ auf, danach bestimmen wir mit der
Formel für den Abbildungsmassstab die Bildgrösse BZ.
1
gf
--- + --1- = 1
---  b = ---------b g
f
g–f
152
2
2,05 mm  2 mm 4,1 mm
b = ---------------------------------------------- = ------------------------ = 82 mm
2,05 mm – 2 mm 0,05 mm
Physik Vorkurs Höhere Fachschulen für Gesundheitsberufe
15 Das Mikroskop
Abb.
Objektiv mit grossem
Öffnungswinkel und somit
hoher Auflösung
Abb.
Objektiv mit kleinem
Öffnungswinkel und somit
geringer Auflösung
Abb. 126
Abb. 125
Öffnungswinkel 2σ
Öffnungswinkel 2σ
2σ
2σ
Objektebene
Objektebene
Je grösser der Öffnungswinkel ist, desto besser löst ein Objektiv Details eines Präparats auf.
Dennoch wird nicht der Öffnungswinkel, sondern die numerische Apertur (= Objektiv-Apertur)
auf dem Objektiv angegeben. Wie gut ein Objektiv Details auflöst hängt nämlich neben dem
Öffnungswinkel auch von der Brechzahl des Mediums zwischen Deckglas und Objektiv ab.
Berechnung der Auflösung eines Objektivs auf der Basis der numerischen Apertur

d = ----------2A
d: Abstand zwischen 2 Punkten
: Wellenlänge des Lichts
A: Numerische Apertur des Objektivs
Beispiele
Für die Berechnung des Auflösungsvermögens von Objektiven nach obiger Formel. Als Wellenlänge wird ein Wert von 0,55 µm eingesetzt – dies ist der Bereich des sichtbaren Lichts, für das
das menschliche Auge am empfindlichsten ist.
A
Objektiv mit numerischer Apertur von 0,10
µm
d = 0,55
---------------------- = 2,75 µm
2  0,10
A
Objektiv mit numerischer Apertur von 0,65
µm
d = 0,55
---------------------- = 0,423 µm
2  0,65
A
Objektiv mit numerischer Apertur von 1,40
µm
d = 0,55
---------------------- = 0,196 µm
2  1,40
15.3.2
Dunkelfeld-Mikroskopie
Die Dunkelfeld-Mikroskopie ist eine bereits seit über 250 Jahren bekannte Variante der LichtMikroskopie. Sie führt zu einem dunklen Bildhintergrund, vor dem sich die zu beobachtenden
Strukturen hell abheben. Dadurch können von durchsichtigen und eigentlich kontrastarmen
Objekten kontrastreiche Bilder erzeugt werden, ohne dass eine vorherige Färbung erforderlich
156
Physik Vorkurs Höhere Fachschulen für Gesundheitsberufe
15 Das Mikroskop
15.3.4
A
Phasenkontrast-Mikroskopie
Interferenz harmonischer Wellen
Wenn eine zweite Welle hinzukommt, kann es durchaus vorkommen, dass sich die beiden
Wellen überlagern. Bei der Überlagerung von Wellen kommt es zu einem Phänomen, das man
als Interferenz bezeichnet. Der Einfachheit halber gehen wir von zwei Wellen mit gleicher
Wellenlänge und gleicher Amplitude aus; beide Wellen laufen zudem in die gleiche Richtung,
die zweite Welle verläuft nur ein wenig versetzt zur ersten. Die Wegdifferenz in der die Wellen
laufen, bezeichnet man als Gangunterschied .
Abb.
Gangunterschied bei Interferenz
Abb. 135
y
y1 = A sin (kx – ωt)
y2 = A sin (kx – ωt + δ)
A
kx
x
δ
B
Konstruktive Interferenz
Ist der Gangunterschied der beiden Wellen null (d. h., die Wellen sind genau deckungsgleich),
so sagt man auch, die Wellen sind in Phase. Da die beiden Wellen deckungsgleich sind, sind
auch ihre Wellenfunktionen identisch. Addiert man nun die Wellengleichungen, so kann man
schreiben: y1 + y1. Man erhält also als Amplitude für die resultierende Welle y = 2y1. Das bedeutet: Die Amplitude der resultierenden Welle ist genau doppelt so gross wie die einer einzelnen
Welle.
Abb.
Konstruktive Interferenz
Abb. 136
y
2A
A
kx
162
15 Das Mikroskop
E
Anwendungen
Am häufigsten wird das Phasenkontrast-Verfahren in der Licht-Mikroskopie biologischer
Objekte eingesetzt. Insbesondere bei der Beobachtung von Zellen, die im normalen LichtMikroskop nahezu unsichtbar sind ergeben sich kontrastreiche Bilder ohne die Notwendigkeit
einer Färbung.
Nachstehend ein weiterer Vergleich der verschiedenen Mikroskopier-Verfahren.
Objekt: Papierfasern aus Tissue-Papier
Abb. 138
Abb.
Phasenkontrast-Mikroskopie
Kontrast wird durch Interferenz verschiedenphasiger
Lichtwellen nach Objektdurchgang erzeugt
Abb. 139
Abb.
Hellfeld-Mikroskopie
Kontrast wird durch Absorption des Lichts im Objekt erzeugt.
Abb. 140
Abb.
Polarisations-Mikroskopie
Kontrast wird durch Rotation polarisierten Lichts in der Probe
erzeugt.
Bilder 3 und 4 wurden in
der Reihenfolge
getauscht
Abb. 141
Abb.
Dunkelfeld-Mikroskopie
Kontrast wird durch das im Objekt gestreute Licht erzeugt.
165
16 Absoluter und relativer Fehler
Aufgaben
Aufgabe 126
A] Eine Länge s wird mit 20 mm gemessen. Die Ungenauigkeit der Messmethode beträgt
1 mm.
B] Bezogen auf die gemessene Länge von 20 mm sind 1 mm:
Aufgabe 127
A] Ein Quader weist folgende Masse auf: l = 2,50 cm, b = 1,24 cm, h = 4,8 cm.
Berechnen Sie das Volumen des Quaders.
B] Sie messen den Körper nach mit einem Messgerät, das eine Ungenauigkeit von ±0,01 cm
aufweist. Berechnen Sie die untere sowie die obere Volumengrenze.
Aufgabe 128
A] Es wurde eine Masse zu 12,83 g gewogen; man erwartet eine Fehlerschranke von 0,05 g auf
der benutzten Waage.
Aufgabe 129
Die Bestimmung der Länge s einer Glaskapillare mit einem Längenmassstab kann wegen der
Abschmelzung an den Enden höchstens auf 1 Millimeter genau erfolgen. Dies wird z. B. so
protokolliert:
s = (15,4 ± 0,1) cm
Wie gross ist der prozentuale Genauigkeitswert?
Aufgabe 130
Für Berechnungen mit der Zahl Pi () wird häufig mit 3,14 gerechnet. Wie gross ist der relative
Fehler gegenüber dem präziseren Wert für Pi von 3,1416?
Hinweis
Man hat eine Zeit von 10 s mit einem absoluten Fehler von 0,11 s bestimmt.
Der relative Fehler beträgt hierbei 0,11 s / 10 s = 0, 011 = 1, 1 %.
Würde man 0,11 s auf 0,2 s runden, so wäre der relative Fehler 0,2 s / 10 s = 0,02 = 2 %, d. h.,
er hätte sich fast verdoppelt. Hier würde man den Fehler also mit zwei Stellen angeben.
t = (10 ± 1)s
t = (10,12 ± 0,01)s
t = (10,1234 ± 0,0012)s
167
18 Statistik
Beispiel 1
Liniengrafik mit Beschriftung
Abb. 147
Notenverteilung der Schülergruppe B
7,0
6,0
6,0
6,0
Note
5,0
4,0
3,5
3,2
2,8
3,0
3,0
2,5
2,0
2,0
0
1,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Mittelwert
1,0
2,0
1,0
10
Schüler Nr.
Punktegrafik mit Beschriftung
Abb. 148
Notenverteilung der Schülergruppe B
7,0
6,0
6,0
6,0
5,0
Note
4,0
3,5
3,2
3,0
2,5
2,8
2,0
2,0
1,0
3,0
2,0
1,0
1,0
0
1
2
3
4
5
6
Schüler Nr.
7
8
9
10
Mittelwert
Beispiel 2
Sind viele Daten in einer Grafik darzustellen macht es keinen Sinn die einzelnen Werte mit der
dazugehörigen Zahl zu versehen.
Grafiken mit einer Vielzahl von Daten zeigen generelleTendenzen auf.
175
Physik Vorkurs Höhere Fachschulen für Gesundheitsberufe
18 Statistik
Abb. 152
Noten im Vergleich mit Standardabweichungen
Standardabweichung Schülergruppe B
1,69
–1,69
–1
10
3
9
3
8
0,5
7
–0,2
6
0,2
5
–0,5
4
–1
3
–2
2
–2
1
–2,5
–2
–1,5
–1
–0,5
µ–σ
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
µ +σ
µ
3,5
µ +2σ
Abweichungen der einzelnen Noten vom Mittelwert µ
Wir betrachten nun ebenfalls noch einmal die Werte der Schülergruppe A, mit denselben
Arbeitsschritten wie sie bei der Schülergruppe B durchgeführt wurden.
Hier nochmals die bereits bekannten Daten und Grafiken:
Abb. 153
Notenverteilung der Schülergruppe A
7,0
6,0
Note
5,0
4,0
3,2
3,5
2,9
3,0
3,3
3,4
2,5
2,7
2,8
7
8
3,1
3,0
2,6
2,0
0
1
2
3
4
5
6
Schüler Nr.
180
9
10
Mittelwert
1,0
Physik Vorkurs Höhere Fachschulen für Gesundheitsberufe
18 Statistik
Die folgende Grafik zeigt mit einem verkleinerten Raster bei der x-Achse nochmals dieselbe
Datenreihe.
Abb. 155
Noten im Vergleich mit Standardabweichungen
Standardabweichung Schülergruppe A
0,332
–0,332
–0,4
10
0,1
9
–0,2
8
–0,3
7
–0,5
6
0,4
5
0,3
4
–0,1
3
0,5
2
0,2
1
–0,6
–0,2
–0,4
0
0,2
0,4
0,6
Abweichungen der einzelnen Noten vom Mittelwert µ
Wie bei der Schülergruppe B wird diese Grafik der Schülergruppe A ebenfalls graphisch
ergänzt durch das Hinzufügen der Standardabweichungen unterhalb der x-Achse.
Abb. 156
Noten im Vergleich mit Standardabweichungen
Standardabweichung Schülergruppe A
0,332
–0,332
–0,4
10
0,1
9
–0,2
8
–0,3
7
–0,5
6
0,4
5
0,3
4
–0,1
3
0,5
2
0,2
1
–0,7 –0,6 –0,5 –0,4 –0,3 –0,2 –0,1
µ – 2σ
µ–σ
0
µ
0,1
0,2
0,3
0,4
µ+σ
Abweichungen der einzelnen Personen vom Mittelwert µ
182
0,5
0,6
0,7
µ + 2σ
18 Statistik
Übung 15
Schüler erfragen die Preise für zwei Zubehörteile für ihren Computer in verschiedenen Läden
der Stadt. Die festgestellten Stückpreise lassen sich der folgenden Liste entnehmen.
Teil A
Teil B
4.00
11.00
4.10
11.90
5.40
14.90
4.90
10.00
3.50
12.60
3.40
9.90
1. Berechnen Sie jeweils die Standardabweichung.
2. Wie viele Preise liegen bei Teil A ausserhalb der Standardabweichung, wie viele bei
Teil B?
3. Schwanken die Preise stärker bei Teil A oder bei Teil B? Antwort begründen.
Zum Verständnis:
Während bisher einzelne, identifizierbare Objekte betrachtet wurden, werden jetzt viele Objekte
angeschaut, deren Eigenschaften in Bereiche (z. B. von 1 000 Schülern haben 200 eine Note
zwischen 3 und 4) eingeteilt werden. Erst damit lässt sich die Frage «wie viel Prozent der
Objekte haben die folgende Eigenschaft?», grafisch darstellen.
18.3
Gauss’sche Glockenkurve
Die Abweichungen der Messwerte vieler natur-, wirtschafts- und ingenieurs-wissenschaftlicher
Vorgänge vom Mittelwert lassen sich durch die Normalverteilung entweder exakt oder wenigstens in sehr guter Näherung beschreiben. Zufallsgrössen mit Normalverteilung benutzt man zur
Beschreibung zufälliger Vorgänge wie beispielsweise
A
A
bei zufälligen Messfehlern oder
zufällige Abweichungen vom Nennmass bei der Fertigung von Werkstücken.
Die Standardabweichung beschreibt die Breite der Normalverteilung. Es gilt näherungsweise:
Im Intervall der Abweichung –  (Sigma) und +  (Sigma) vom Mittelwert µ sind
68,27 aller Messwerte zu finden,
A Im Intervall – 2 und + 2 der Abweichung vom Mittelwert µ sind 95,45 % aller Messwerte zu finden,
A Im Intervall – 3 und + 3 der Abweichung vom Mittelwert µ sind 99,73 % aller Messwerte zu finden.
A
183
Physik Vorkurs Höhere Fachschulen für Gesundheitsberufe
18 Statistik
Abb.
Gauss’sche Glockenkurve
Abb. 157
0,4
34,1%
34,1%
0,3
0,2
13,6%
13,6%
0,1
2,1%
2,1%
0,1%
0,1%
0,0
–3σ
µ–3σ
–2σ
µ–2σ
–1σ
µ–1σ
µ
1σ
µ+1σ
2σ
µ+2σ
3σ
µ+3σ
Die Normalverteilungskurve ist symmetrisch in Bezug auf den Mittelwert µ. Eine Hälfte aller
Werte ist kleiner und die andere Hälfte grösser als der Mittelwert µ. Die Gesamtfläche unter der
Kurve ist 1 (100 %). Die Fläche über dem Intervall von µ – , µ +  ist 0,682, d. h. enthält 68,2 %
aller Werte. Bei einem Intervall von µ – 2, µ + 2 sind 95,44 % der Fälle abgedeckt. Bei einer
Streuung von µ – 3, µ + 3 werden sogar 99,8 % der möglichen Zufallswerte abgedeckt.
Beispiele
A
Goldbarren
Der Mittelwert µ von Goldbarren sei 10,000 g und die Standardabweichung  betrage 0,008 g.
Wir setzen voraus, dass die Masse normalverteilt ist.
Es kann dann ausgesagt werden, dass
68,23 % aller Goldbarren eine Masse zwischen 10,000 g – 0,008 g = 9,992 g
und 10,000 g + 0,008 g = 10,008 g besitzen.
Bei 95,4% aller Goldbarren liegt die Masse zwischen
10,000 g – 2 · 0,008 g = 9,984 g
und 10,000 g + 2 · 0,008 g = 10,016 g.
Abb. 158
0,4
34,1%
34,1%
0,3
0,2
13,6%
13,6%
0,1
2,1%
2,1%
0,1%
0,1%
0,0
184
–3σ
–2σ
–1σ
µ
1σ
2σ
3σ
9,976 g
9,984 g
9,992 g
10,000 g
10,008 g
10,016 g
10,024 g