im PDF-Format - Institut für Optoelektronik

Institut für Optoelektronik
Prof. Dr. K.J. Ebeling
Dr.-Ing. J. Mähnß
Aufgabensammlung
zur Vorlesung
Einführung in die
optische Informationstechnik
im Wintersemester 2006/2007
Übungsleitung: Sarad Thapa
Hendrik Roscher
Aufgaben zu Kapitel 2: Wellenleitung
1
Aufgaben zu Kapitel 2: Wellenleitung
Aufgabe 2.1: Strahlenoptische Beschreibung eines Wellenleiters
n2
n0
Θ1 Θ2
n0
Θ5
n1
Θ3
Θ4
Punkt 2
Θ6
n2
Abbildung 1: Strahlenverlauf in einer Glasfaser.
(a) Unter dem Winkel Θ1 fällt ein Lichtstrahl auf die optische Anordnung der obigen Abbildung.
Berechnen Sie die Winkel Θ2 bis Θ6 in Abhängigkeit der Brechungsindizes n̄i , (i = 0, 1, 2) und
des Einfallswinkels Θ1 ?
(b) Ab welchem Winkel Θ3 tritt am Punkt 2 Totalreflexion auf?
(c) Wie lautet für diesen Fall der Zusammenhang zwischen Θ1 und den n̄i ?
Aufgabe 2.2: Dispersion von Strahlen
(a) Wie groß ist die Laufzeitdifferenz zwischen zwei Strahlen am Ende einer 1 km langen Glasfaser,
die zum einen den direkten Weg und zum anderen einen zick-zack-förmigen Weg mit einem
Winkel an der Grenze der Totalreflexion durchlaufen, wenn n̄1 = 1.50 und n̄2 = 1.47 für die
Brechungsindizes gewählt wird?
(b) Wie groß darf die Laufzeitdifferenz maximal sein, um digitale Signale mit Bitraten von 91 Mbit/s
und RZ- (return-to-zero-) Codierung (PAL Fernsehsignal) bzw. 586 Mbit/s (HDTV-Kanal) übertragen zu können? Die Übertragung soll immer dann noch mit tolerierbarer Fehlerrate möglich
sein, wenn das Bit mit der längeren Weglänge ankommt, bevor das schneller durchlaufende Bit
vorüber ist.
(c) Wie klein müsste dann bei konstantem n̄1 die Brechzahldifferenz ∆n̄ = n̄1 − n̄2 gewählt werden?
Aufgaben zu Kapitel 2: Wellenleitung
2
Aufgabe 2.3: Wellenlängenabhängigkeit der Strahlendispersion
Zwei monochromatische Strahlen mit λ1 = 1.0 µm und λ2 = 1.2 µm werden im Kern eines zylindrischen Wellenleiters geführt. Der Faserkern besteht aus SiO2 . Sein Brechungsindex n1 (λ) soll mit der
Sellmeier-Dispersionsbeziehung bestimmt werden. Für den Mantel gilt n2 (λ = 1.0 µm) = 1.42 und
n2 (λ = 1.2 µm) = 1.41.
(a) Wie groß ist der maximale Einfallswinkel, unter dem beide Strahlen noch im Kern des Wellenleiters geführt werden können?
(b) Wie groß ist jeweils die Laufzeit pro Länge, wenn die Strahlen sich einmal achsenparallel (Einfallswinkel Θ1 = 0 ◦ ) und einmal unter dem in Teil (a) berechneten maximalen Einfallswinkel
ausbreiten? Ist die chromatische oder die modale Dispersion dominierend?
Aufgabe 2.4: Materialdispersion
Mit einem einmodigen Laser der Wellenlänge λ werden gaußförmige Impulse der charakteristischen
Breite ∆t0 und Amplitude A/∆t0 erzeugt. Diese werden über eine Glasfaser der Länge L übertragen.
(a) Geben Sie das Spektrum der Eingangsimpulse an.
Die charakteristische Breite ∆t und die Amplitude eines Impulses nach der Laufstzrecke L werden
1 ∂
1
∂2
wesentlich durch die Gruppenlaufzeit τ = 2π
β und die chromatische Dispersion τ 0 = (2π)
2 ∂ν 2 β
∂ν
bestimmt. Im Folgenden soll die Näherung β ' n̄k verwendet werden. Für eine Glasfaser aus SiO2
kann die Brechzahl n̄(λ) aus der Sellmeier-Dispersionsbeziehung
n̄2 − 1 =
0.6961663 λ2
0.4079426 λ2
0.8974794 λ2
+
+
λ2 − (0.0684043 µm)2 λ2 − (0.1162414 µm)2 λ2 − (9.896161 µm)2
verwendet werden.
(b) Wandeln Sie die Ausdrücke für τ und τ 0 in Ableitungen nach der Brechzahl um.
(c) Bestimmen Sie
∂
n̄
∂λ
und
∂2
n̄
∂λ2
aus der Sellmeier- Dispersionsbeziehung.
(d) Wie groß sind die Änderungen der charakteristischen Breite und der Amplitude am Faserende,
wenn ∆t0 = 100 ps, L = 100 km und λ = 800 nm bzw. λ = 1300 nm gewählt wird?
(e) Am Detektor können die Gaußpulse noch unterschieden werden, wenn der Abstand ihrer Maxima
dem Doppelten der vollen Halbwertsbreite FWHM (engl. Full Width at Half Maximum) der Pulse
entspricht. Was ist in diesem Fall die Datenrate für die beiden Wellenlängen? Für welches ∆t wird
diese maximal?
Aufgaben zu Kapitel 2: Wellenleitung
3
Aufgabe 2.5: Totalreflexion
Eine ebene Welle wird an einer Grenzfläche zwischen zwei Medien mit den Brechzahlen n̄1 = 1.50
und n̄2 = 1.48 unter dem Winkel Θ = 85 ◦ zur Flächennormalen reflektiert. Die Vakuumwellenlänge beträgt λ0 = 1.3 µm. An das Medium 2 soll sich, wie in der unteren Skizze angegeben, Luft
anschließen.
Θ
n1
z
n2
d
x
n=1
Abbildung 2: Zur Totalreflexion.
(a) Stellen Sie die Dispersionsrelationen für die Medien 1 und 2 auf. Wie groß sind kx und kz für die
beiden Medien?
(b) Wie sehen die entsprechenden Ausbreitungsfunktionen der Wellen im Medium 2 in x-Richtung
aus?
(c) Welche Dicke d des Mediums 2 muss mindestens gewählt werden, um einen Abfall der Intensität
von −40 dB bezüglich des Wertes an der Grenzfläche zwischen Medium 1 und Medium 2, also
bei x = 0, zu erreichen?
Aufgabe 2.6 Filmwellenleiter
In Bild 3 ist ein im AlGaAs-Materialsystem realisierter symmetrischer planarer Filmwellenleiter gegeben. Der Aluminium-Anteil im Substrat und der Deckschicht ist 80 %, derjenige im Film ist 20 %.
Die betrachtete Wellenlänge ist 1.2 µm.
x
0
z
n c = ns
nf
ns
Al0.8Ga0.2As
Al0.2Ga0.8As
Al0.8Ga0.2As
Abbildung 3: Planarer Filmwellenleiter.
a) Wie groß sind die Brechzahlen n̄s und n̄f (siehe Abbildung 4)?
b) Wie dick darf der Film maximal sein, um höchstens zwei transversal elektrische (TE) Moden zu
führen (siehe Abbildung 5)?
Aufgaben zu Kapitel 2: Wellenleitung
4
c) Bestimmen Sie für diese Dicke die effektiven Brechungsindizes der Moden.
d) Geben Sie die Dispersionsrelationen im Film und Substrat an.
e) Geben Sie den Feldverlauf als Funktion der Ortsvariablen x für alle Bereiche an. Wie groß ist
das Verhältnis der Feldamplitude an der Film-Substrat-Grenzfläche zu dem Feldmaximum im Film
jeweils für beiden Moden?
f) Wie groß sind jeweils die Eindringtiefen der evaneszenten Felder in das Substrat?
g) Skizzieren Sie die Feldverteilungen der beiden Moden in x-Richtung. Geben Sie charakteristische
Werte an.
h) Wie ändert sich qualitativ die Feldverteilung der Grundmode, wenn der Aluminiumgehalt in der
Deckschicht und im Substrat auf 90 % angehoben wird? Wie ändert sich qualitativ die Eindringtiefe?
Deuten Sie den Feldverlauf in der Skizze aus g) an.
Photon Energy (eV)
4
3 2.5
2
1.5
1.25
AlxGa1-xAs
x = 1.0
0.8
0.6
1
T = 300 K
m=0
0.4
0.2
0.8
m=1
0
0.6
3.5
B
Refractive Index
4.5
4
0.4
0
∞
1
10
400
600
800
1000
1200
Wavelength (nm)
Abbildung 4: Brechungsindexdispersion von
Alx Ga1−x As.
0
0
1
0
10
∞
0.2
3
m=2
aTE
0
1
10
∞
5
10
15
V
Abbildung 5: B̄-V̄ -Diagramm für TEModen in einem planaren Filmwellenleiter.
Aufgabe 2.7: Einmodenfaser
Eine Stufenindexfaser mit Länge 1 km aus SiO2 soll bei den Wellenlängen λ = 800 nm und λ =
1500 nm betrieben werden. Der Brechungsindex ist dabei durch die Sellmeier-Dispersionsrelation
gegeben. Der Brechungsindex des Mantels ist um 0,5 % kleiner als der des Kerns.
(a) Berechnen Sie im Strahlenmodel die Zeit, die das Licht für eine Übertragung von einem Kilometer braucht unter der Annahme, dass das Licht vollständig im (i) Kern / (ii) Mantel geführt
wird.
(b) Wie ändern sich die Ergebnisse für Teil (a) für einen Gauß-Impuls?
(c) Die Faser soll als eine einmodige Faser für beide Wellenlängen benutzt werden. Wie groß ist der
maximal mögliche Kernradius?
Aufgaben zu Kapitel 2: Wellenleitung
5
(d) Wie lauten die normierten Ausbreitungskonstanten B̄ und die effektiven Brechungsindizes n̄eff
für die Faser aus Teil (b) für die Wellenlängen 800 und 1500 nm?
(e) Welche Zeit braucht Licht im Wellenmodell für die Ausbreitung über 1 km durch die Faser aus
Teil (d)?
(f) In der Vorlesung wurde ein genäherter Ausdruck für die Gruppenlaufzeit in einer schwach geführten Faser angegeben. Welche Näherungen wurden explizit gemacht? Wie groß sind nun die
Gruppenlaufzeiten über einen Kilometer für beide Wellenlängen? (siehe hierzu auch Abbildung
6)
1.6
V
1.4
d2(V B)
dV2
d(V B)
dV
1.2
1
0.8
B
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
1
2
V
3
4
Abbildung 6: Normierte Ausbreitungskonstante B̄, Gruppenlaufzeitkoeffizient d(V̄ B̄)/dV̄ und Dispersionsfaktor V̄ d2 (V̄ B̄)/dV̄ 2 der LP01 -Grundmode der Stufenindexfaser als Funktion der normierten Frequenz V̄ .
Aufgaben zu Kapitel 2: Wellenleitung
6
Aufgabe 2.8: Dispersionsminimum in Einmodenfasern
Eine schwach führende Einmodenfaser soll bei der Wellenlänge λ = 1300 nm betrieben werden.
Deshalb soll auch das Dispersionsminimum der Faser bei dieser Wellenlänge und nicht wie bei reinem Quarzglas bei λ0 = 1273 nm liegen. Eine solche Verschiebung kann durch die entsprechende Kompensation von Material- und Wellenleiterdispersion erreicht werden. Wie groß ist dafür der
Kerndurchmesser d = 2a der Glasfaser zu wählen? (siehe hierzu auch Abbildung 6) Kann mit den
gegebenen Materialparametern auch eine Verschiebung des Dispersionsminimums in das Dämpfungsminimum der Faser bei λ = 1.55 µm oder zu der Wellenlänge λ = 1.2 µm erreicht werden? Der Brechungsindex für den Kern und dessen Ableitungen sind unten für verschiedene Wellenlängen angegeben. Der Brechungsindex für den Mantel und dessen Ableitungen ergeben sich durch Multiplikation
der entsprechenden Werte für den Kern mit 0.999.
Tabelle 1: Brechungsindizes für den Kern.
n̄
dn̄/dλ
d2 n̄/dλ2
λ = 1.2 µm 1.448 −1.138 · 10−2 1/µm 1.976 · 10−3 1/µm2
λ = 1.3 µm 1.447 −1.132 · 10−2 1/µm −6.104 · 10−4 1/µm2
λ = 1.55 µm 1.444 −1.198 · 10−2 1/µm −4.238 · 10−3 1/µm2
Aufgabe 2.9: Faserdämpfung
Die Dämpfung in Glasfasern ist durch die zwei Mechanismen Absorption und Streuung bestimmt.
Bei der Wellenlänge λ = 800 nm überwiegt die Rayleigh-Streuung. Bei λ = 1400 nm befinde sich
zusätzlich eine durch das Vorhandensein von OH− -Ionen bedingte Absorptionsspitze. Die Dämpfungskoeffizienten für die beiden Wellenlängen sind durch α0 (λ = 800 nm) = 2.5 dB/km und
α0 (λ = 1400 nm) = 15 dB/km gegeben.
(a) Wie lautet der Zusammenhang zwischen dem logarithmischen Dämpfungskoeffizienten α0 und
dem Dämpfungskoeffizienten α? Beachten Sie die in der Anmerkung angegebenen Definitionen.
(b) Wie groß ist der Streukoeffizient αR für λ = 800 nm?
(c) Wie groß ist der Absorptionskoeffizient αA für λ = 1400 nm?
(d) Durch Faserverbindungen entsteht eine zusätzliche Dämpfung. Wie groß wird α0 für die beiden
Wellenlängen, wenn pro Kilometer Faserstrecke drei Verbindungen mit je 1 dB Dämpfung eingebaut werden?
Anmerkungen:
• Definition des Dämpfungskoeffizienten:
P (z) = P0 · e−αz
α0
−
z
= P0 · 10 10 dB
• Der Streukoeffizient αR ist proportional zu λ−4 .
Aufgaben zu Kapitel 2: Wellenleitung
7
Aufgabe 2.10: Absorption und Streuung in Fasern
Eine Glasfaser aus SiO2 kann heutzutage mit einer Dämpfung von 0.2 dB/km bei der Wellenlänge
λ = 1.55 µm hergestellt werden. Für diese Dämpfung sind jeweils etwa zur Hälfte Absorption und
Rayleigh-Streuung verantwortlich.
(a) Wie lang kann eine Übertragungsstrecke mit einer solchen Faser maximal gewählt werden, wenn
von der in die Faser eingespeisten Leistung am Faserende noch mindestens 1/5000 ankommen
soll?
(b) Wie groß ist die Rayleigh-Streuung, wenn dieselbe Faser bei 880 nm betrieben wird? Berechnen
Sie die maximale Übertragungslänge, wenn der Absorptionsbeitrag 0.8 dB/km beträgt.
Aufgaben zu Kapitel 3: Sendeelemente
8
Aufgabe 2.11: Repeater-Abstand in optischen Übertragungssystemen
Die in eine Glasfaser eingespeiste Leistung beträgt P0 = 120 µW. Nach einer Übertragungslänge von
8 km hat sie sich auf den Wert P1 = 3 µW reduziert.
(a) Wie groß ist der in der Einheit dB/km angegebene logarithmische Dämpfungskoeffizient α0 der
Faser?
(b) Das Signal soll immer dann regeneriert werden, wenn seine Leistung auf den zwanzigsten Teil
abgefallen ist. Wie viele Verstärkerstationen (Repeater) müssen eingebaut werden, wenn die gesamte Übertragungsstrecke 1000 km lang sein soll?
(c) Wie viele Repeater werden benötigt, wenn die Faser eine viermal kleinere Dämpfungskonstante
α0 besitzt?
Aufgaben zu Kapitel 3: Sendeelemente
Aufgabe 3.1: Gitterkonstante von InGaAsP
Die Gitterkonstante â für die quaternären Mischungshalbleiter In1−x Gax Asy P1−y berechnet sich in
guter Näherung zu
â(x, y) = xy · â (GaAs) + x(1 − y) · â (GaP) + (1 − x)y · â (InAs) + (1 − x)(1 − y) · â (InP) ,
wobei die Gitterkonstanten der binären Komponenten als
â (GaAs) = 0.5653 nm, â (GaP) = 0.5451 nm, â (InAs) = 0.6058 nm, â (InP) = 0.5869 nm
gegeben sind. Welche Abhängigkeit zwischen den Molanteilen x und y muss erfüllt sein, um für die
quaternären Mischungshalbleiter Gitteranpassung an GaAs zu erreichen?
Aufgabe 3.2: Temperaturabhängigkeit der Bandlücke von GaAs
Die Bandlückenenergie von GaAs Wg,GaAs nimmt gemäß dem funktionalen Zusammenhang
µ
Wg,GaAs =
5.405 · 10−4 T 2
1.519 −
(T + 204 K) K
¶
eV
mit steigender Temperatur T ab, wobei die gegebenen Zahlenwerte experimentell ermittelt wurden.
(a) Wie groß ist die Änderung von Wg,GaAs bei einer Variation der Temperatur in der Umgebung von
T = 300 K? Als Zahlenbeispiel soll die Änderung der Bandlückenenergie bei einer Temperaturerhöhung um 10 K berechnet werden.
(b) Welcher Veränderung der Wellenlänge energieäquivalenter Photonen würde dies entsprechen?
Aufgaben zu Kapitel 3: Sendeelemente
9
Aufgabe 3.3: Intensitätsabsorption in Metallfilmen
Semitransparente Platin-Elektroden werden zur Kontaktierung von Schottky-Photodioden eingesetzt.
Dabei muss das einfallende Licht die Elektroden durchqueren, um anschließend im Halbleitermaterial
detektiert werden zu können. Wie groß sind die Lichtverluste durch Absorption in einer 10 nm dicken
Platin-Schicht bei λ = 870 nm? Der Extinktionskoeffizient von Platin ist hier κ̄Pl = 3.51.
Aufgabe 3.4: LED-Faser Kopplung
Wie groß ist der Einkopplungswirkungsgrad einer ausreichend kleinen LED, die zentrisch vor eine
Mehrmodenfaser mit einem Brechungsindex im Mantel von n̄2 = 1.52 und einem um 1 % größeren
Kernbrechungsindex n̄1 platziert ist? Wie groß ist der Akzeptanzwinkel ϕm ?
Aufgabe 3.5: Dynamische Eigenschaften von LED’s: Ratengleichungen
Für die zeitliche Entwicklung der optischen Ausgangsleistung P einer vom Strom I angeregten LED
gilt die Differentialgleichung
dP
P
I ~ω
= − + ηext
,
dt
τs
τs q
wobei ηext den externen Quantenwirkungsgrad, τs die spontane Rekombinationslebensdauer, ~ω die
Photonenenergie und q die Elementarladung bezeichnen.
(a) Wie lautet die Impulsantwort der LED bei einem δ-förmigen Stromanregungsimpuls der Stärke
I(t) = Q · δ(t)? Die Lösung kann mit Hilfe der Laplace-Transformation erfolgen.
(b) Welcher Frequenzgang ergibt sich für eine harmonische, sinusförmige Strommodulation um
einen Gleichstromarbeitspunkt I0 ?
√
(c) Wie groß ist die Frequenz ν3 dB , für die die optische Leistung P auf den 1/ 2-fachen Wert abgefallen ist, wenn die Rekombinationslebensdauer τs = 4 ns beträgt?
(d) Am Ende einer idealen Übertragungsstrecke soll ein Photoempfänger mit einem nachgeschalteten Entscheiderelement die sinusförmig modulierte Lichtleistung der LED detektieren. Um am
Entscheiderausgang eine logische “1” zu erhalten, werden mindestens 85 % der Maximalleistung
Pmax bei kleinen Frequenzen benötigt. Für eine logische “0” dürfen höchstens 10 % von Pmax
empfangen werden. Der Gleichstromarbeitspunkt der LED wird so eingestellt, dass der Gleichanteil der optischen Ausgangsleistung P0 gerade Pmax /2 beträgt. Wie groß darf die maximale
Modulationsfrequenz ν für eine fehlerfreie Übertragung höchstens sein?
10
Aufgaben zu Kapitel 3: Sendeelemente
Aufgabe 3.6: Fabry-Pérot Resonator
Die Resonanzwellenlänge λm eines optischen Fabry-Perot-Resonators der Länge L ist durch λ =
2n̄L/m gegeben, wobei n̄ der Brechungsindex des Resonators und m die Modenzahl ist.
(a) Wie groß ist die Modenzahl, wenn die Resonatorlänge L = 300 µm beträgt und n̄ = 3.5 bei einer
Resonanzwellenlänge λm = 875 nm gilt?
Der Brechungsindex ändert sich mit der Temperatur, wodurch sich auch die Resonanzwellenlänge der
Anordnung ändert. Für GaAs gilt dabei etwa ∆n̄/∆T ≈ 4 · 10−4 K−1 .
(b) Welche Wellenlänge stellt sich für die oben berechnete Modenzahl m bei einer Temperaturerhöhung um 10 K ein?
(c) Wie ändert sich das Ergebnis, wenn m = 1 unter Berücksichtigung einer entsprechend anderen
Resonatorlänge L gesetzt wird?
Aufgabe 3.7: Abstand longitudinaler Moden
Die Resonanzbedingung einer Laserdiode lautet
2n̄L
=m,
λm
wobei λm die Wellenlänge der betrachteten Mode mit der Modenzahl m ist und n̄ sowie L den Brechungsindex im Resonator und die Resonatorlänge bezeichnen.
(a) Leiten Sie eine Beziehung für den Modenabstand ∆λ für typische Daten L = 300 µm, λm ≈
875 nm und n̄ = 3.5 einer GaAs-Laserdiode unter Berücksichtigung der Brechzahldispersion
dn̄/dλ 6= 0 her.
(b) Wie groß ist der Modenabstand im dispersionsfreien Fall, d.h. dn̄/dλ = 0, für die oben angegebenen Werte?
(c) Wie groß ist der Modenabstand, wenn die Resonatorlänge sehr klein wird, also nur im Bereich
von wenigen µm liegt? Auch hier ist der dispersionslose Fall zu betrachten.
Aufgabe 3.8: Photonenlebensdauer in Lasern
In der Photonenbilanz einer Laserdiode charakterisiert τ die Lebensdauer der Photonen im Laserresonator, die durch die intrinsischen Verluste (Absorption und Streuung; beschrieben durch αi ) und
Auskoppelverluste (durch die Spiegelreflektivitäten R1 und R2 erfasst) bestimmt wird. Es sollen verschiedene Laser mit jeweils konstantem intrinsischen Absorptionskoeffizienten αi = 10 cm−1 betrachtet werden.
(a) Wie groß ist die Photonenlebensdauer für einen Resonator der Länge L = 300 µm mit einem
Brechungsindex n̄ = 3.5 und Spiegelreflektivitäten R1 = R2 = 0.32?
(b) Wie groß ist die Photonenlebensdauer, wenn R1 = 99.7 % beträgt und R2 unverändert bleibt?
(c) Wie groß ist die Photonenlebensdauer, wenn beide Spiegel hochreflektierend sind, also R1 =
R2 = 0.997, aber die Resonatorlänge nur noch L = 3 µm beträgt?
Aufgaben zu Kapitel 3: Sendeelemente
11
Aufgabe 3.9: Lasereigenschaften
Eine Laserdiode liegt mit folgenden Daten vor:
• Länge der aktiven Zone L = 300 µm,
• Breite der aktiven Zone b = 3 µm,
• Dicke der aktiven Zone d = 0.1 µm,
• Reflektionsfaktor der Spiegelendflächen R = 0.32,
• interne Verluste αi = 10 cm−1 .
(a) Wie groß ist die benötigte Schwellverstärkung gth ?
(b) Die Transparenzdichte des aktiven Mediums aus GaAs beträgt nt = 2.1 · 1018 cm−3 und der differentielle Gewinnkoeffizient a = 2.4 · 10−16 cm2 . Wie groß ist die benötigte Ladungsträgerdichte
nth an der Laserschwelle?
(c) Die Lebensdauer der Überschussladungsträger kann aus der bimolekularen Rekombinationslebensdauer zu τs = 1/(A21 ∆n) berechnet werden, wobei die Proportionalitätskonstante A21 =
10−10 cm3 /s beträgt. Wie groß ist die Lebensdauer der Überschussladungsträger an der Laserschwelle, und welchen Wert nimmt der Laserschwellstrom an, wenn für die Strominjektionseffizienz ηI = 0.7 angesetzt wird?
(d) Wie groß ist der differentielle Quantenwirkungsgrad ηd ?
(e) Berechnen Sie die Ausgangsleistung des Lasers bei einem Strom I = 20 mA und einer Emissionswellenlänge λ = 870 nm.
(f) Wie groß ist der Konversionswirkungsgrad η von elektrischer Pumpleistung zu optischer Ausgangsleistung im Arbeitspunkt aus (e)?
(g) Unterhalb der Laserschwelle finden spontane Rekombinationsprozesse statt, für die hier ebenfalls eine Strominjektionseffizienz ηI = 0.7 angenommen wird. Der Bruchteil der Photonen, die
aus der Spiegelendfläche austreten und auf einen Detektor treffen, mit dem die Ausgangsleistung
gemessen werden kann, sei ηem = 2.4 %. Wie groß ist die Ausgangsleistung der Laserdiode bei
einem Strom von I = 5 mA (bei dem nur spontane Rekombinationsprozesse stattfinden) und zum
Vergleich mit Teil (d) bei 20 mA? Welcher Leistungs-Konversionswirkungsgrad ergibt sich dabei?
(h) Zeichnen Sie die stimulierte optische Ausgangsleistung der Laserdiode als Funktion des Stroms.
Aufgabe 3.10: Eigenschaften von Lasermaterial
Für gleiche Laserdioden wurden verschiedene Längen L realisiert und deren differentielle Quantenwirkungsgrade ηd aus den Ausgangskennlinien bestimmt. Es ergaben sich folgende Wertepaare:
L/µm ηd /%
100
79.4
200
74.5
300
70.2
12
Aufgaben zu Kapitel 3: Sendeelemente
Berechnen Sie aus diesen Angaben die Strominjektionseffizienz ηI und den intrinsischen Absorptionskoeffizienten αi , wenn die Spiegelreflektivitäten R = 32 % betragen.
Aufgabe 3.11: Optimierung des Schwellstroms in Lasern
Wie groß muss die Länge L einer Laserdiode mit Spiegelreflektivitäten von R = 32 % und internen
Verlusten αi = 5 cm−1 gewählt werden, um einen minimalen Schwellstrom Ith zu erreichen? Die
Transparenzdichte des aktiven Mediums aus GaAs beträgt nt = 2.1 · 1018 cm−3 . Ein modifizierter
differentieller Gewinnkoeffizient a, der die Wellenleitereigenschaften der Laserdiode berücksichtigt,
sei als a = 2.4 · 10−17 cm2 gegeben. Für die spontane Rekombination soll das bimolekulare Gesetz
mit der Proportionalitätskonstanten A21 zugrunde gelegt werden.
Aufgabe 3.12: Resonanzfrequenz bei der Modulation von Lasern
Die Resonanzfrequenz νr einer Laserdiode soll unter Vernachlässigung von Beiträgen spontaner Emission berechnet werden. Hierzu liegen folgende Daten vor: Länge der aktiven Zone L = 250 µm,
Breite der aktiven Zone b = 3 µm, Dicke der aktiven Zone d = 100 nm, Brechungsindex im Resonator n̄ = 3.5, Reflexionsfaktor der Spiegelendflächen R = 32 %, interne Verluste αi = 5 cm−1
und nt = 2.1 · 1018 cm−3 für die Transparenzdichte des aktiven Mediums aus GaAs. Für die Strominjektionseffizienz wird ηI = 0.8 angenommen. Der modifizierte differentielle Gewinnkoeffizient
beträgt a = 2.4·10−17 cm2 , und für den Einsteinkoeffizienten A21 ist ein Wert von A21 = 10−10 cm3 /s
anzusetzen.
(a) Wie groß ist die Resonanzfrequenz der Laserdiode bei einem Strom von I = 40 mA?
(b) Wie ändert sich die Resonanzfrequenz, wenn eine Seite der Laserdiode verspiegelt wird, so dass
R2 = 95 % beträgt?
Aufgabe 3.13: Wirkungsgrade von Lasern
Zwei im Aufbau identische Laserdioden A und B mit einer Emissionswellenlänge λ = 870 nm und
einem Reflexionsvermögen der beiden Spiegelendflächen von R = 32 % besitzen unterschiedliche
Längen LA = 200 µm und LB = 300 µm. Für beide Laserdioden werden die optischen Ausgangsleistungen bei den Strömen I1 = 20 mA und I2 = 30 mA gemessen. Sie betragen PA1 = 8.3 mW und
PA2 = 17.4 mW für Laserdiode A und PB1 = 4.0 mW und PB2 = 12.5 mW für Laserdiode B.
(a) Wie groß sind die Konversionswirkungsgrade von elektrischer zu optischer Leistung für die beiden Laserdioden bei den jeweiligen Strömen, wenn als Betriebsspannung an den Laserdioden
näherungsweise derjenige Wert angesetzt wird, der aus der Emissionswellenlänge folgt?
(b) Wie groß sind die Schwellströme Ith,A und Ith,B der beiden Laserdioden?
(c) Geben Sie die differentiellen Quantenwirkungsgrade ηd,A und ηd,B an.
(d) Wie groß sind die Strominjektionseffizienz ηI und die intrinsischen Verluste αi der Laserdioden?
Aufgaben zu Kapitel 4 und 5: Photodioden und Übertragungssysteme
13
Aufgaben zu Kapitel 4 und 5:
Photodioden und Übertragungssysteme
Aufgabe 4.1: Erzeugung von Photostrom in einer pin-Diode
Eine GaAs pin-Diode wird mit einer Sperrspannung von 1 V betrieben. Die i-Zone ist d = 1 µm lang.
(a) Direkt am pi-Homoübergang (z = 0) wird ein Elektron-Loch-Paar erzeugt. Wie lange dauert es,
bis das Elektron in dem äußeren Feld die Sättigungs-Driftgeschwindgkeit von 107 cm/s erreicht
hat? Nehmen Sie den Geschwindigkeitsverlauf wie in Abbildung 7 an und legen Sie eine effektive
Elektronenmasse von me = 0.067m0 zugrunde. Welche Strecke legt das Elektron in dieser Zeit
zurück? Wie lange bewegt sich das Elektron insgesamt, bis es die n-Zone erreicht hat?
(b) Das Ladungsträgerpaar wird jetzt bei 0 < z0 < d erzeugt. Die Driftgeschwindigkeit der Löcher
ist mit 106 cm/s und deren effektive Masse mit me = 0.48m0 anzunehmen. Wie sieht der Verlauf
des Stroms aus? Welche Ladung wird insgesamt im äußeren Kreis induziert? Vernachlässigen Sie
hier die Beschleunigung der Ladungsträger und rechnen Sie direkt mit den Maximalgeschwindigkeiten.
Abbildung 7: Geschwindigkeitsverlauf nach Ladungsträgergeneration zum Zeitpunkt t = t0 in einer
pin-Diode.
Aufgabe 4.2: Wirkungsgrad einer pin-Photodiode
Eine pin-Photodiode aus GaAs mit einem Brechungsindex n̄ = 3.7 soll Strahlung einer Wellenlänge von λ = 820 nm detektieren, die durch ein 0.3 µm dickes p-Bahngebiet in die 2.5 µm lange
i-Absorptionszone fällt. Der Intensitätsabsorptionskoeffizient beträgt α = 8000 cm−1 .
(a) Wie groß ist der Photostrom bei einer einfallenden optischen Leistung von 100 µW?
(b) Wie ändert sich der Photostrom, wenn eine Antireflexionsschicht vorgesehen wird? Wie dick
muss die Schicht sein, und welchen Brechungsindex muss sie haben?
14
Aufgaben zu Kapitel 4 und 5: Photodioden und Übertragungssysteme
Aufgabe 4.3: Hochfrequenzsignal Detektion: Rauschen und Dynamik
Eine pin-Photodiode mit einer aktiven Fläche von A = 100 µm2 soll bei einer Betriebswellenlänge
von λ = 830 nm eine Grenzfrequenz von ∆ν = 8 GHz besitzen. Für GaAs, das als i-Absorptionszone
verwendet wird, beträgt die Elektronendriftgeschwindigkeit vs = 107 cm/s und die statische Dielektrizitätskonstante ε = 13.1.
(a) Wie lang muss die i-Absorptionszone sein, damit die Photodiode für optimales Frequenzverhalten
ausgelegt ist und eine rauscharme Detektion möglich wird?
(b) Wie groß sind dann die Diodenkapazität CD und der äußere Lastwiderstand RL ?
(c) Welchen Wert nimmt der Quantenwirkungsgrad η an, wenn der Intensitätsabsorptionskoeffizient
α = 8000 cm−1 beträgt, keine Absorption in dem p-Bahngebiet stattfindet und eine Antireflexionsschicht mit R = 0 vorgesehen wird?
(d) Welche minimal detektierbare Leistung P0,min ergibt sich daraus, wenn nur das thermische Rauschen des Widerstandes RL bei Raumtemperatur (kT = 25 meV) berücksichtigt wird und der
Modulationshub eines sinusförmigen Eingangssignals den Wert m = 1 annimmt?
Aufgabe 4.4: Rauschquellen in pin Photodetektoren
Eine zum Betrieb bei der Wellenlänge λ = 1.55 µm vorgesehene Photodiode weist einen Quantenwirkungsgrad η = 0.7 auf und ist für eine Bandbreite ∆ν = 2.5 GHz ausgelegt.
(a) Wie groß sind die gemittelten quadratischen Stromanteile, die dem Schrotrauschen, dem Dunkelstromrauschen und dem thermischen Rauschen bei Raumtemperatur (kT = 25 meV) entsprechen, wenn die Photodiode an einem äußeren Lastwiderstand RL = 50 Ω betrieben wird, der
Dunkelstrom ID = 10 µA beträgt und eine optische Gleichleistung P0 = 10 µW auf den Detektor
einfällt?
(b) Wie groß ist die minimal detektierbare optische Leistung P0,min bei einem Modulationshub m =
1, und wie groß ist dann der mittlere Signalstrom IS ?
(c) Beeinflusst das Dunkelstromrauschen das Ergebnis aus (b) merklich? Wie groß müsste der Dunkelstrom sein, damit das Dunkelstromrauschen gleich stark wie das thermische Rauschen ist, und
welchen Wert würde die minimal detektierbare Leistung dann annehmen?
(d) Wie groß ist im Vergleich die minimal detektierbare optische Leistung für das Schrotrauschen
allein?
(e) Die Photodiode soll zur Detektion digitaler Signale eingesetzt werden, die mit einer mittleren
optischen Leistung P0 = 7 µW auftreffen. Wie groß sind der Störabstand Q und die Bitfehlerrate
BER, wenn nur das thermische Rauschen des Empfängers berücksichtigt wird?
Aufgaben zu Kapitel 4 und 5: Photodioden und Übertragungssysteme
15
Aufgabe 4.5: Datenübertragungssystem: LED - Faser - pin Detektor
Es soll eine analoge optische Nachrichtenübertragungsstrecke bei einer Wellenlänge λ = 860 nm
betrachtet werden. Als Sendeelement dient eine Leuchtdiode mit einem externen Wirkungsgrad ηext =
1.7 % und einer Rekombinationslebensdauer der Überschußladungsträger τs = 2 ns. Die Anregung
der Leuchtdiode erfolgt mit einem sinusförmigen Wechselstrom der Amplitude ∆I = 10 mA um
einen Gleichstromarbeitspunkt I0 = 10 mA, so dass die optische Ausgangsleistung bei sehr kleinen
Modulationsfrequenzen zwischen P = 0 und P = Pmax variiert.
(a) Wie groß ist der Gleichanteil der optischen Ausgangsleistung der LED?
(b) Wie groß ist die Amplitude des Wechselsignals der optischen Ausgangsleistung bei den Modulationsfrequenzen ν = 15 kHz, 1.5 MHz und 150 MHz?
Als Empfängerelement ist eine pin-Photodiode mit einer Quantenausbeute η = 65 % vorgesehen.
(c) Wie groß ist die minimal detektierbare optische Leistung P0,min bei einem Modulationshub
m = 0.5 und den Bandbreiten ∆ν = 15 kHz, 1.5 MHz und 150 MHz, wenn nur das thermische
Rauschen des Lastwiderstands mit RL = 50 Ω bei Raumtemperatur (T = 290 K, kT = 25 meV)
berücksichtigt wird?
Die in der Übertragungsstrecke verwendete Glasfaser besitzt eine Kernbrechzahl n̄1 , die um 1.5 %
größer ist als die Brechzahl n̄2 = 1.52 des Mantels, und weist bei der Übertragungswellenlänge eine
Dämpfung α = 5 dB/km auf.
(d) Wie lang darf die Strecke bei einer mittleren Ausgangsleistung der Leuchtdiode von 100 µW sein,
damit die Photodiode noch eine optische Leistung von 1.5 µW empfängt, wenn nur Einkoppelund Dämpfungsverluste der Glasfaser berücksichtigt werden?