Einführung in die theoretische Physik 1

Einführung in die theoretische Physik 1
Prof. Dr. L. Mathey
Dienstag 15:45 – 16:45 und Donnerstag 10:45 – 12:00
Beginn: 23.10.12 Jungius 9, Hörs 2
Mathey
Einführung in die theor. Physik 1
Bedeutung der statistischen Mechanik (SM)
SM ist wichtig in Physik, Biologie, Geologie, Chemie, Informatik, Finanzwirtschaft
…
A. Einstein: „Eine Theorie ist um so eindrucksvoller, je größer die Einfachheit ihrer
Prämissen ist, je verschiedenartigere Dinge sie miteinander in Beziehung bringt und je
umfangreicher ihr Anwendungsbereich ist. Daher der tiefe Eindruck, den die klassische
Thermodynamik auf mich machte. Sie ist die einzige physikalische Theorie von
allgemeinem Inhalt, von der ich überzeugt bin, daß sie im Rahmen der Anwendbarkeit
ihrer grundlegenden Begriffe niemals umgestoßen werden wird.“
Ausbildung in statistischer Mechanik ist einer der Gründe, warum Physiker
optimal für interdisziplinäre Fächer, von Biologie bis Investmentbanking geeignet
sind:
• Sie haben ein quantitatives Verständnis von Unordnung, Entropie,
Wahrscheinlichkeit, Gleichgewicht, Fluktuationen, Irreversibilität, Chaos …
Mathey
Einführung in die theor. Physik 1
1
Wdh/AlternativerZugangzuStatMech:Makro undMikrozustände
Makrozustand:
feste thermodynamische Variablen,
hier (݊௟ ǡ ݊௥ ), z.B. oft auch ܷǡ ܰǡ ܸ ൌ ‰‡‰‡„‡Ǥ
Mikrozustand: mögl. Konfiguration zu Makrozustand.
Ensemble: Satz aller Mikrozustände zu Makrozustand
ࢍ ‫ ؠ‬Anzahl Mikrozustände in Ensemble (oft ߁, ܹ, ߗ).
Grundlegende Annahme der statistischen Physik:
AlleerreichbarenMikrozuständeeines
abgeschlossenenSystemssindgleichwahrscheinlich
Anfang: alle ܰ Atome links. Freie Expansion
(4,0)
Wahrscheinlichster Makrozustand ( ݊௟ ൌ ݊௥ ) für große
ܰ ൌ ݊௟ ൅ ݊௥ um Größenordnungen wahrscheinlicher als
andere. Sei ʹ݀ ‫݊ ؠ‬௟ െ ݊௥ ,
dann ist (später)
݀ൌʹ
1
0
12
݃ ‫ؠ‬1
ܰ
݃ൌ
݊௥
4
6
4
ܲ ݀ ‫݁ן‬
ିଶ
೏ మ
ಿ
; relative Breite
୼ୢమ
ே
‫ן‬
ே
ே
ൌ
ଵ
ே
՜Ͳ
(3,1)
(2,2)
(1,3)
1
=„Arten,݊௥ ausܰ Atomenzuziehen“
݃
Fazit: Gaswirdsichschnellvon(N,0)wegentwickeln.
WahrscheinlichsterMakrozustand(݊௟ ൎ ݊௥ )dominiert
dasVerhalten.
(0,4)
ܰ ൌ ͳͲͲ
݊௟
‫ܰ ן‬
20
40
StatPhys 3
60
80
100
Gerthsen6.6.1!Sehrschön
WahrscheinlichkeitfürMakrozustände
Grundlegende Annahme der statistischen Physik, ֜
AlleerreichbarenMikrozuständeeinesabg.
Systems sindgleichwahrscheinlich
Wahrscheinlichkeit für den i. Makrozustand:
ܲ୧ ൌ
݃௜
σ௝ ݃௝
oder:wahrscheinlichsterMakrozustand(imBsp(2,2))hatdiegrößteAnzahlKonfigurationengi.
bzw.hatdiegrößteUnordnung
bzw.hatdiegrößteEntropieS
Vorgehenhier:
• Axiomatischgefordert:AlleMikrozuständegleichwahrscheinlich
֜ wahrscheinlichsterZustandhatgrößteAnzahlMikrozustände݃
֜ EntropieSmaximal
BeweisoffensichtlichmitäquivalenterEntropiedefinitionܵ ൌ ݇஻ Ž ݃,
݃ stehtfürAnzahlallererreichbarenMikrozustände(untergegebenenRandbedingungen,z.B.N=konst.).
VorgehenletzteVorlesung:
• Entropieࡿ ൌ െ࢑࡮ σ࢏ ࢖࢏ ‫ܖܔ‬ሺ࢖࢏ ሻ eingeführtundaxiomatischgefordert,dassmaximal
֜ ‫݌‬௜ allegleich
Bew. durch Maximierung von S unter Nebenbedingung σ௜ ‫݌‬௜ ൌ ͳ mit Methode der Laplace Multiplikatoren
StatPhys 4
Ch.Kittel,H.Krömer,PhysikderWärme,Kap.1
Wiederholung:Boltzmannverteilung
JederMikrozustandgleichwahrscheinlich.BetrachtenjetztSystemܵ inthermischenKontaktmit
großemReservoirܴ derTemperaturܶ.
֜ mittlereEnergie ‫ܧ‬
ൌ σ௜ ‫݌‬௜ ‫ܧ ڄ‬௜ ൌǣ ܷ erhalten(ohneBew.)
ௌ
Achtung:Systemnichtmehrabgeschlossen!NurS+Rabgeschlossen,d.h.konstanteEnergie.
WollenWahrscheinlichkeitܲ ‫ܧ‬௜
ௌ
finden,SystemineinemspeziellenMikrozustandmit‫ܧ‬௜ zufinden.
Bsp.:WiegroßistdieWahrscheinlichkeit‫݌‬ሺ݄ሻ,einLuftmolekülingewisserHöheh überErdbodenzufinden?
૚
ࢆ
ࡱ࢐
ࡱ࢏
࢖ ࡱ࢏ ൌ ࢋି࢑ࢀ Ǣ ‫ ܈‬ൌ ‫ ܏ܖܝܚ܍ܑܕܚܗۼ‬ൌ σ࢐ ࢋି࢑ࢀ
Antwort:
Mögl.Herleitung:BetrachteSystemS undReservoirR zusammen.Gemeinsamist‫ܧ‬௧௢௧ ൌ ‫ܧ‬௜ ௌ ൅ ‫ܧ‬௧௢௧ െ ‫ܧ‬௜
ܲሺ‫ܧ‬௜ ሻ istproportionalzuAnzahlderMikrozuständedesgesamtenS+R,beidenenSystem‫ܧ‬௜ hat.
ோ .
Anzahl݃ ൌ ݃ோ ‫݃ כ‬ௌ Ǣ݃ௌ ൌ ͳ ֜ ݃ ൌ ݃ோ ሺ‫ܧ‬௧௢௧ െ ‫ܧ‬௜ ሻ undjegrößer‫ܧ‬௜ ,destowenigerEnergiefürReservoirübrig,
destowenigermöglicheZuständefürReservoir.DestokleinerWahrscheinlichkeitܲሺ‫ܧ‬௜ ሻ
ଵ
௓
֜ ‫ܧ ݌‬௜ ‫ ݃ ן‬ൌ ‫ ڮ‬ൌ ݁ ିா೔Ȁ௞்
(RechnungwirdinCh.Kittel,H.Krömer,PhysikderWärme,Kap.2durchgeführt)
OderHerleitungletzteVorlesung:MaximiereEntropieunterRandbedingungσ௜ ‫݌‬௜ ൌ ͳ undσ௜ ‫݌‬௜ ‫ܧ‬௜ ൌ ܷ
֜ ‫݌‬௜ ൌ ‫ܧ ݌‬௜ ൌ ݁ ିଵାఒିఉா೔ ൌ
ൌͲ
StatPhys 5
BeispielezurBoltzmannverteilung
௜
ͳ
݁ଵିఒ
݁ ିఉா೔ ିா೔ Ȁ௞்
Wiegroßist’ሺ݄ሻ,LuftmolekülderMassem,ineinerHöhe݄ überErdbodenzufinden?
‫ ݄ ܧ‬ൌ ݄݉݃ ֜ ‫ ݄ ݌‬ൌ ‫݄ ܧ ݌‬
ൌ
೘೒೓
ଵ ିೖ ೅
݁ ಳ
௓
.BarometrischeHöhenformel.
Gegebenseien6kleineMagnete,diesich(Forderung)nurparallel՝ oderantiparallel՛zumBFeld
anordnendürfen.SiesindimthermischenKontaktmiteinemReservoirderTemperaturT.Der
Zustand՝ seienergetischgünstiger,mit‫ܧ‬՝ ൌ െ݉ ‫ܤ ڄ‬,‫ܧ‬՛ ൌ ൅݉ ‫ܤ ڄ‬
WiegroßistdasVerhältnisderWahrscheinlichkeiten
A)1
ర೘ಳ
ೖ೅
B)݁
C)½
ర೘ಳ
௣ ՛՝՝՝՝՝
?
௣ሺ՛՛՛՝՝՝ሻ
ͳ ିିସ௠஻
݁ ௞்
‫ܧ ݌‬௜ ൌ െͶ݉‫ܤ‬
ൌܼ
ൌ ݁ ସ௠஻Ȁ௞்
ͳ
‫݌‬ሺ‫ܧ‬௜ ൌ Ͳሻ
݁ ି଴
ܼ
D)݁ ି ೖ೅
Wiewahrscheinlichistes,irgendeinenderZuständemit‫ܧ‬௜ ൌ െʹ݉‫ ܤ‬zufinden?
ଵ
௓
షర೘ಳ
ೖ೅
A)ܲ஺ ൌ ݁ ି
B)Ͷ ‫ܲ כ‬஺ ǫ
C)͸ ‫ܲ כ‬஺
BeispielmitkontinuierlicherAusrichtungderSpins(klassischerParamagnetismus)=letzteVorlesung.
StatPhys 6
AllgemeinesRechenrezept
ଵ
௓
ಶ೔
Da‫ܧ ݌‬௜ ൌ ݁ ିೖ೅ nunbekanntist,könnenwirfastallesrechnen:
Bsp. fürmittlere
InnereEnergie:
ܷ ൌ σ௜ ‫ܧ ݌‬௜ ‫ܧ‬௜
Wärmekapazität
‫ܥ‬ǣ ൌ
Magnetisierung(1Teilchen)
ௗ௎
ௗ்
ൌ σ௜
ௗ௣ ா೔
ௗ்
‫ߠ •‘… ߤ ؔ ܯ‬
‫ܧ‬௜
ൌ ߤ ‫׬‬ఏ ‫׬‬థ ‫ߠ ܧ ݌‬ǡ ߶
‫•‘… ڄ‬ሺߠሻ
Eszeigtsich,dassmanalledieseGrößeauchausܼ ൌ σ௜ ݁ ିఉா೔ (Erinnerung:ߚ ؔ ͳȀ݇୆ T)
berechnenkann.
ܷ ൌ ෍ ‫ܧ‬௜ ‫ܧ ݌‬௜ ൌ ෍ ‫ܧ‬௜ ݁ ିఉா೔ ൌ ෍ െ
௜
௜
௜
݀ ିఉா
݀
ܷ݀
݀
݀
೔ ൌ െ
݁
ܼǢ ‫ ܥ‬ൌ
ൌ
െ
ܼ
݀ߚ
݀ߚ
݀ܶ ݀ܶ
݀ߚ
‫ ܯ‬ൌ ߤ න …‘•ሺߠሻ ‫ߠ ܧ ݌‬ǡ ߶ †ߠ݀߶ ൌ ߤ න …‘•ሺߠሻ ݁ ିఉሺିఓு ୡ୭ୱ ఏሻ †ߠ݀߶
ఏǡథ
ఏǡథ
ൌ ߤ ‫׬‬ఏǡథ
ଵ ௗ ିఉሺିఓு ୡ୭ୱ ఏሻ
݁
†ߠ݀߶
ఉఓ ௗு
ൌ
ଵ ௗ
ܼ
ఉ ௗு
WennmandieZustandssummeZkennt,kannmanallethermodynamischenGrößenberechnen.
StatPhys 7
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Beispiel: Man kann 3 Zahlen, auf 6 = 3! Arten anordnen:
1
2
3
2
1
3
3
2
1
1
3
2
2
3
1
3
1
2
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Klassische, unterscheidbare Teilchen: 2 unterscheidbare Teilchen lassen
sich auf 9 unterschiedliche Arten auf 3 Zustände verteilen
Also 32 Zustände. (Im Allg. MN Zustände, für N Teilchen und M Zustände.)
Bosonen: Für ununterscheidbare Teilchen, bei denen Mehrfachbesetzungen
erlaubt sind, sind es 6 Zustände:
Doppeltbesetzungen wahrscheinlicher!
Dies nennt sich ‚bosonic enhancement‘. Wichtiger physikalischer Effekt,
speziell für Laser und Bose-Einstein Kondensate
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Fermionen: Ununterscheidbare Teilchen, bei denen Mehrfachbesetzungen nicht
erlaubt sind, haben drei Zustände:
Fast alle Elementarteilchen sind Fermionen, z.B. e-, p, n.
Statistik von Fermionen wichtig für Eigenschaften von Metallen,
Oder die Besetzung der Atomorbitale mit Elektronen
Für den Fall des idealen Gases befinden wir uns im Grenzwert niedriger
Phasenraumdichte. Wir sind also in dem Grenzwert, dass Mehrfach-besetzungen
sehr unwahrscheinlich sind. In diesem Grenzwert erhält man den Faktor 1/N!, um
die Ununterscheidbarkeit der Teilchen richtig einzubeziehen.
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14
Erinnerung: ܼଵ
Viel Erfolg in den Klausuren!
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