Einführung in die theoretische Physik 1

Mathey
Einführung in die theor. Physik 1
Einführung in die theoretische Physik 1
Prof. Dr. L. Mathey
Dienstag 15:45 – 16:45 und Donnerstag 10:45 – 12:00
Beginn: 23.10.12 Jungius 9, Hörs 2
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Geschwindigkeit und Beschleunigung
Wir stellen Geschwindigkeit und Beschleunigung in der lokalen
ONB dar. Als Beispiel wählen wir Polarkoordinaten in 2D.
Es gilt ~r = r~er . Daher:
d
~r = ṙ~er + r ~e˙ r
dt
~e˙ r ist:
~e˙ r
=
d
(cos , sin ) = (
dt
˙ sin , ˙ cos ) = ˙~e
Daher:
d
~r = ṙ~er + r ˙~e
dt
Die Radialgeschwindigkeit ist ṙ , die Geschwindigkeit in Richtung
ist r ˙ .
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Bemerkung: Da sich das Teilchen entlang der Trajektorie bewegt,
erlebt es eine sich zeitlich verändernde Basis. Diese hängt nur vom
Ort ~r ab, im Gegensatz zum begleitenden Dreibein, das durch ~r , ~r˙
und ~¨r determiniert wird.
Außerdem gilt:
~e˙
=
d
( sin , cos ) = (
dt
˙ cos ,
˙ sin ) =
˙~er
Daher:
d2
~r =
dt 2
d
(ṙ~er + r ˙~e ) = (r̈
dt
r ˙ 2 )~er + (2ṙ ˙ + r ¨)~e
Beispiel: Gleichförmige Kreisbewegung. Es gilt ṙ = r̈ = 0 und
¨ = 0. ˙ ist ˙ = ! = v /r . Daher: ~¨r = r ! 2~er = (v 2 /r )~er
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Dynamik eines Punktteilchens

a(t)
In der Kinematik ist eine Trajektorie gegeben, und man betrachtet deren Eigenschaften, z.B. 
die Geschwindigkeit und Beschleunigung, und F(t)
die Krümmung und die Torsion. In der Dynamik fragen wir nach der Ursache der Bewegung, die diese Trajektorie
erzeugt. Dies ist typischerweise eine Kraft, die auf das Teilchen wirkt, und dessen
Beschleunigung bestimmt. Es gilt also die Newtonsche Bewegungsgleichung:
 


 t)
m
r
=
F(
r,
r,

Dies Gleichung enthält r und dessen Ableitungen, und ist daher eine
Differentialgleichung.
Die Aufgaben der klassischen Mechanik sind:
-  Begründung der Form der Bewegungsgleichung
-  Aufstellen der Bewegungsgleichung (konkrete Form der Kraft)
-  Lösen der Bewegungsgleichung
-  Diskussion der Lösung, also der resultierenden Trajektorie
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Di↵erentialgleichungen
Wir beginnen mit der eindimensionalen Bewegung x(t).
Eine gewöhnliche Gleichung hat die Form F (x, t) = 0, die man
dann nach x(t) auflösen kann. Für Di↵erentialgleichungen
erweitert sich diese Gleichung zu F (t, x, ẋ, ẍ, . . . ) = 0.
Beispiel: aẋ + b = 0, wobei a und b reelle Konstanten seien. Dies
kann man formal als Gleichung von Di↵erenzialen schreiben:
adx + bdt = 0
Gleichungen, die Funktionen als Lösungen haben, heißen
Funktionalgleichungen. Neben Di↵erentialgleichungen gibt es z.B.
Integralgleichungen und Integro-Di↵erentialgleichungen.
Beispiel: x(t1 ) ⇤ x(t2 ) = cx(t1 + t2 ), wobei c eine reelle Konstante
sei. Diese Gleichung wird durch x(t) = c exp( t) gelöst.
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Beispiel: ẋ = x hat die Lösung x(t) = c exp( t). ( und c sind
reell.)
Beispiel: x(t) =
Rt
0
x(t 0 )dt 0 + c hat die Lösung x(t) = c exp( t).
Klassifizierung. Eine gewöhnliche Di↵erenzialgleichung hat die
Form F (t, x, ẋ, ẍ, . . . ) = 0, im Gegensatz zu einer partiellen
Di↵erenzialgleichung, die Funktionen mit mehreren Variablen
enthält.
Eine DGL n-ter Ordnung ist eine DGL die maximal die n-te
Ableitung enthält. Die Darstellung F (t, x, ẋ, ẍ, . . . , x (n) ) = 0 heißt
implizite DGL. Eine DGL der Form x (n) = F (t, x, ẋ, ẍ, . . . , x (n 1) )
heißt explizite DGL. x(t) ist eine Lösung, wenn
F (t, x(t), ẋ(t), ẍ(t), . . . , x (n) (t)) = 0 für alle t gilt.
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Beispiel: ẍ + ! 2 x = 0, und ! sei konstant. (Die explizite
Schreibweise wäre ẍ = ! 2 x.) Behauptung: x(t) = c cos(!t) ist
eine Lösung.
Beweis: Es gilt ẋ(t) = c! sin(!t) und ẍ(t) = c! 2 cos(!t).
Daher gilt ẍ + ! 2 x = c! 2 cos(!t) + ! 2 c cos(!t) = 0, für alle t.
Als Gegenbeispiel betrachten wir x(t) = ct 2 als Lösungsansatz. Es
gilt ẋ(t) = 2ct und ẍ(t) = 2c. Wir setzen in die DGL ein:
ẍ + ! 2 x = 2c + ! 2 ct 2 6= 0 für alle t. Dieser Lösungsansatz ist also
keine Lösung der DGL.
Ein System gewöhnlicher Di↵erenzialgleichungen besteht aus k
DGLs für k Funktionen.
(3)
(3)
Beispiel: x1 + x1 ẋ2 + cos t = 0 und x1 x2 + x2 = 0. Hier ist
k = 2 und n = 3. (x und t sollen dimensionslos sein.)
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DGLs für vektorwertige Funktionen ~r (t) sind DGL Systeme mit
k = 3.
Beispiel: ~¨r + ! 2~r = ~a(t), wobei ! = const und ~a(t) eine gegebene
vektorwertige Funktion sei. Hier gilt k = 3 und n = 2.
Das wichtigste Beispiel ist natürlich die Newton Gleichung
~ (~r , ~r˙ , t). Hier gilt ebenfalls k = 3 und n = 2.
~¨r = F
Für dimensionslose Probleme wird häufig y (x) als Notation
gewählt. Für Bewegungen von Teilchen wird x(t) bevorzugt.
Einfache Di↵erenzialgleichungen. DGLs
ẋ = f (t) lassen
R x der 0 Form
0
sich durch Integrieren lösen: y (x) =
f (x )dx
Rx
Diese Lösung ist nicht eindeutig, da y (x) = x0 f (x 0 )dx 0 für alle x0
eine Lösung ist.
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Die Gleichung ÿ = f (x) kann durch zweifaches Integrieren gelöst
R x R x0
werden: y (x) = x1 x2 f (x 00 )dx 00 dx 0 . (zwei freie Parameter: x1 und
x2 ) Dies kann durch zweifaches Ableiten gezeigt werden.
Manche DGLs können mittels eines Ansatzes gelöst werden, also
durch gezieltes Raten, typischerweise mit freien Parametern.
Beispiel: Die DGL sei ÿ + 2ẏ = 2. Wir versuchen in der
Funktionschar y (x) = c0 + c1 x + c2 x 2 Lösungen zu finden.
Ableitungen: ẏ = c1 + 2c2 x und ÿ = 2c2 . Wir setzen in die DGL
ein: 2c2 + 2(c1 + 2c2 x) = 2. Diese Gleichungen ist für alle x
erfüllt, wenn c2 = 0 und c1 = 1, und beliebiges c0 . Also
y (x) = c0 + x. (ein freier Parameter)
Typische Ansätze sind: Polynome, Exponentialfunktionen,
Sinus/Kosinus, spezielle Funktionen, beliebige Kombinationen
dieser Funktionen.
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Beispiel: ẏ = 2y . Ansatz: y (x) = c exp( x). Ableitung:
ẏ = c exp( x). Einsetzen: c exp( x) = 2c exp( x). Also ist der
Ansatz für = 2 für alle x eine Lösung, mit einem freien
Parameter c.
DGL erster Ordnung. ẏ = f (x, y ). Dies kann durch Separation der
Variablen gelöst werden, falls f (x, y ) = f1 (x)f2 (y ). Wir können die
DGL in f2dy
(y ) = f1 (x)dx umformen. Wir integrieren:
R dy
R
f1 (x)dx + const
f2 (y ) =
Sei F2 (y ) die Stammfunktion zu 1/f2 (y ), und F1 (x) die
Stammfunktion zu f1 (x).
Dann ergibt sich: F2 (y ) = F1 (x) + const. Wir haben die DGL also
auf gewöhnliche Gleichung reduziert. Diese löst man nach y (x)
auf, und ehrält eine Lösungsmenge mit einem freien Parameter.
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Beispiel: ẏ = xy . Wir schreiben: dy
y = xdx. Integration ergibt
R dy
R
x2
xdx + const. Also: ln(y ) = 2 + const. Daher:
y =
y =c
x2
exp( 2 ),
wobei c ein beliebiger Parameter ist.
Test (wichtig!): ẏ = c
x2
exp( 2 )x
= xy .
Existenz und Eindeutigkeit der Lösung. (Picard-Lindelöf)
Gegeben seien n reelle Konstanten y0 , , yn 1 , und ein reelles x0 .
Sei y (n) = f (x, y , ẏ , ÿ , . . . , y (n 1) ) eine gewöhnliche DGL n-ter
Ordnung, und f eine hinreichend glatte Funktion. Dann gibt es
lokal eine und nur eine Lösung y (x) mit y (m) (x0 ) = ym , mit
m = 0, . . . , n 1.
(Die Begri↵e ’lokal’ und ’glatt’ werden in der Mathematik näher
definiert...)
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Dies bedeutet, dass in den meisten relevanten Fällen eine Lösung
existiert.
Die Lösung einer DGL allein ist aber nicht eindeutig, sondern die
Lösung wird erst eindeutig, wenn n Bedingungen hinzugenommen
werden. Diese werden oft als Anfangswerte bezeichnet, und sind
typischerweise der Wert der Funktion und von n 1 Ableitungen
der Funktion an einem Punkt x0 . Dies wird of als
Anfangswertproblem bezeichnet.
Eine andere typische Situation ist das Randwertproblem. Hier
werden Randbedingungen vorgegeben, also der Wert der Funktion
an n Stellen x0 , , xn 1 .
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