Übungen zu MAPLE (W. Büttner) 31) Gegeben ist die DGL dy ( x) x y ( x) . dx a) Berechnen Sie die allgemeine Lösung y(x) der DGL. Lösung: y ( x) _ C1 e x x 1 b) Bilden Sie unter Verwendung des Ergebnisses von a) die Folge der Lösungsfunktionen zu _C1 = -2, -1, 0, 1, 2 und stellen Sie diese für 5 x 5 , 5 y 5 gemeinsam grafisch dar ! 32) Ein Körper besitzt zur Zeit t = 0 die Temperatur T0 und wird in der Folgezeit durch vorbeistromende Luft der konstanten Temperatur TL gekühlt (TL<T0). Die Newton’sche DGL für T(t) lautet: dT (t ) a (T (t ) TL ) mit dt a 0. Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Körpertemperatur T(t). Lösung: T (t ) TL e a t (T 0 TL).Gegen welchen Endwert strebt T ? Es seien T 0 30, TL 10, a 0,5. Stellen Sie T(t) grafisch dar für das Zeitintervall 0 t 10 und den Temperaturbereich 0 T 30. 33) Die Vermehrung einer Insektenpopulation hängt ab vom Reproduktionsfaktor R>0, der kritischen Populationsdichte K>0 und kann (nach Verhulst) durch folgende DGL beschrieben werden: y ' (t ) R y (t ) (1 y (t ) ). K a) Lösen Sie diese DGL exakt für eine Anfangspopulation von y0 Tieren (mit y0 0 ). Lösung: y (t ) y0 K y0 ( K y 0 ) e R t Gegen welchen Endwert strebt y(t) ? b) Stellen Sie y(t) grafisch dar für y0 1000 , R = 2 und K 106. 34) Gegeben ist das folgende DGL-System für die Funktionen x(t), y(t): dx(t ) 2 x(t ) 4 y (t ) cos( t ) dt dy (t ) x(t ) 2 y (t ) sin( t ) dt a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung b) Bestimmen Sie die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen x(0) 0 ; y(0) 1. Lösung zu b): x(t ) 2 cos(t ) 3sin( t ) 8 t 2 y(t ) 2 sin( t ) 4 t 1 . Zusatzaufgaben für die besonders schnellen Studenten/innen: Z10) Die Differenzialgleichung eines schwingenden Systems mit Auslenkung y(t), Anregung x(t) und Dämpfung d laute: d 2 y (t ) 2d d t2 dy (t ) y (t ) x(t ) dt 3 (t ) angeregt, wobei (t ) die Heaviside2 Sprungfunktion ist (-> ?Heaviside). Das System werde mit x(t ) Lösen Sie obige DGL mit der Option 'method = laplace' für die 1 1 Dämpfungen d , d und d 1 zu den Anfangsbedingungen 10 4 y(0) = 1; y ' (0) 0 . Stellen Sie die zugehörigen drei Lösungsfunktionen zusammen mit x(t) in verschiedenen Farben gemeinsam grafisch dar für 0 t 20 und 0 y 2 ! Z11) Ein Körper bewege sich senkrecht zur Erdoberfläche (auf- oder abwärts) mit der z-Koordinate z(t) und der Geschwindigkeit v(t ) dz (t ) . Wenn z dt und v nach oben positiv gezählt werden, dann lautet die DGL für v(t): dv(t ) g k v(t ) v(t ) dt (*) (g > 0 Erdbeschleunigung, k > 0 Reibungskoeffizient). a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL für k = 0.05 und g = 9,81mit der Fallunterscheidung a1) v(t) > 0, d.h. Bewegung nach oben bzw. a2) v(t) < 0, d.h. Bewegung nach unten. b) Berechnen Sie mit dem Runge-Kutta-Verfahren die numerische Lösung b1) zu v(0) = + 10 bzw. b2) zu v(0) = - 10 und stellen Sie die Lösungskurve in beiden Fällen für 0 t 8 grafisch dar ! c) Substituieren Sie in der ursprünglichen DGL (*) v(t ) dz (t ) dt Sie erhalten dadurch eine DGL für z (t ) . Lösen Sie diese DGL für k=0,05 und g=9,81 numerisch zu den Anfangsbedingungen dz z (0) 0, 10 . dt t 0 Stellen Sie die Lösungsfunktion z(t) für 0 t 8 grafisch dar !