Übungsblatt 4 Analysis 2

Übungsblatt 4 Mathematik, Analysis 2 FK 03 hm
Dr. Pöschl
Aufgabe 1: (DGL)
a)Man ermittele die allgemeine Lösung der DGL xy’ – y = 2x3 .
b)Welche Lösung geht durch den Punkt (x,y) = (1,2) ?
Aufgabe 2: (DGL)
a) y’
b) y’
c) y’
= 3x+4y+1
(Substitution ) .
= (2x+y+3)3 – 2 (Substitution ) .
𝑦
𝑦
= tan(𝑥 ) + 𝑥
(Substitution ) .
Aufgabe 3: (DGL)
Man ermittle die allgemeine Lösung der DGL
a) y’’ + 5y’ + 6y = e-2x .
Welche Lösung geht mit der Steigung y’(o) = 2 durch den
Punkt (x,y) = (0,0) ?
b) x2(y’+2) + tan(2x + y) = 0 (geeignete Substitution!)
Für alle DGL der Aufgaben 1-3 ist der Typ anzugeben !
Aufgabe 4: (Doppelintegral)
2
Berechnen Sie: 
y=0
Ergebnis
1
 (x2 + 2xy+ y3)dxdy
x=0
18
3
Aufgabe 5: (Funktion von 2 Variablen)
Gegeben Sei die Funktion von 2 Variablen:
z = f(x,y) = 4x2 + 4y2 - 4x + 4y + 1.
Gesucht:
a)Skizze und Typ der Fläche, dazu benutze man:
1 1
1
- Skizze der Höhenlinie für z = 1.(Lösung: Kreis mit MP ( ,- ) Radius
.
2 2
2
Anleitung: Quadratische Ergänzung führt auf eine bekannte Kurve.
- Skizze der in den Ebenen x=0 und y=0 entstehenden Kurven.
1 1
b)Extremwert(e) und dessen (deren) Typ. (Lösung Min in ( ,- ,-1)
2 2
c)Die Gleichung der Tangentialebene an den Graphen in (x,y) = (1,2).
Aufgabe 6: (Differentialgleichungen).
Man gebe für die nachstehenden Differentialgleichungen jeweils.die allgemeine
Lösung an:
a)
y’ = y*ln(x) - 6*ln(x)
b)
y’ + 3xy = 2x
c)
y’’ - 5y’ + 4y = x2
d)
2x
2y*y’ = ---------- + 2
1 + x2
Aufgabe 7: (Integrale)
Man ermittle für die nachstehenden unbestimmten Integrale
jeweils eine Stammfunktion:
a)  ( x  1) ln( x  3)dx
(partielle Integration, Partialbruchzerlegung)
dx
b) ------------5e2x - e-2x
(Substitution, Partialbruchzerlegung)
Aufgabe 8: (Integrale)
a)Welches Volumen hat eine Drehfläche z = x2 + y2 die oben durch
die Ebene z = 5 begrenzt wird ? (z.B. mit Schichtintegral oder mit
Polarkoordinaten in der x,y Ebene wie in der Vorlesung besprochen lösbar!)
b)Welche Fläche wird durch die beiden Funktionen
y1 = 2x2 + 2x + 1 und
y2 = -x2 + 6
eingeschlossen (Skizze !) Ergebnis
Aufgabe 9 (Doppelintegrale).
256
27
Man berechne:
2
a)
b)
1


c
x= ay+b


(x2 + 2y)dxdy
y=0 x=0
(x2 + 2y)dxdy
Ergebnis
14
3
Ergebnis
3
2
y=0 x=0
über dem durch (0,0),(0,2) und (1,0) begrenzten Dreiecksbereich.
Ermitteln Sie dazu die Konstanten a, b und c für die
Integrationsgrenzen der Integrale!
Aufgabe 10 (totales Differential, Fehlerrechnung).
Um wie viel Prozent vergrößert sich der Rauminhalt V = r2  L ,
eines zylindrischen Öltanks l , wenn der Zylinderradius r um 3% und die Länge
L des Tanke um 2% vergrößert wird. Geben Sie eine Näherungsberechnung mit
Verwendung des totalen Differentials von V an. Die einzelnen Rechenschritte
müssen erkenntlich sein.! (Lösung: 8% rel: Fehler).
Aufgabe 11 (Volumenintegral).
a)Ein zylindrischer Öltank mit Radius r und Länge L und mit geraden
Abschlussplatten an den Enden ist bis zu ¾ seines Durchmessers mit Öl gefüllt
(also bis zu Höhe 3/2 r). Man berechne , wie viel Öl im Tank ist.
Hinweis: Man lege das Koordinatensystem in die Zylinderachse und berechne die
auf der Abschlussplatte vom Öl überdeckte Fläche. Da der Tank horizontal in der
Erde liegt, ist dann das Volumen einfach berechenbar.,
b) Welchen Flächeninhalt hat der von der Geraden y = x und der Parabel y = x2 - 3
begrenzte Bereich ? (Ergebnis 7,812)
Hinweise:
Erstellen Sie zunächst eine Skizze der zu berechnenden Fläche !Die Berechnung
kann mit einem geeigneten Doppelintegral oder mit Einfachintegralen erfolgen.
Aufgabe 12 (Least square fit, Ausgleichsgerade, Regressionsgerade).
Eine Temperaturmessung eines Wetterballons ergab
folgende Messwerte:
Höhe
(x-Achse)
Meter
Temperatur (y-Achse)
1000
1500
20
16
2000
9
3000
-1 Grad
Erstellen Sie ein x-y Diagramm mit diesen Punkten!
Berechnen Sie (ohne Taschenrechner) mit Hilfe des Verfahrens
der Ausgleichsrechnung (Methode der kleinsten Quadrate,
least square fit) eine Trendgerade und prognostizieren Sie mit
dieser, welche Temperatur in 4000 m Höhe zu erwarten ist.
Zeichnen Sie die Gerade ins x-y Diagramm ein!
Hinweis: Teilen Sie für die Rechnung die x-Werte durch 1000, damit sie klein
bleiben!
Formeln siehe z.B. Homepage Frau Warendorf Prüfungen Analysis
Vom SS 2007 letzte Aufgabe (Nr.6).
Rechentabelle
-94/8,75 = -10,742571
272,5/8,75 = 31,1428571
4*(-10,7425714) + 31,1428571= -11,8285714,
ansonsten mit Brüchen oder 2 Nachkommastellen mit
mit Kopfrechnen oder schriftlicher Rechnung bewältigen.
Lösung : y(x) = -10,742571*x + 31,1428571
Y(4) = -11,8285714 Grad in 4000 m Höhe