Übungsblatt8 Analysis 2

Übungsblatt 8 Differentialgleichungssysteme
Wiederholung:
Lesen Sie S. 51 im Skript „Warendorf aufmerksam durch.
Beispiel: DGL y‘‘‘‘ - y‘‘‘ - 19y‘‘ + 49y‘ - 30y = 0
Soll in die „Zustandsform, also ein System von DGL 1.O. überführt werden,
dazu löst man nach y‘‘‘‘ auf (und umsortiert): y‘‘‘‘ = 30y - 49y‘ + 19 y‘‘ + y‘‘‘
und setzt:
y1 = y
y1‘ = y2
y2‘ = y3
y3‘ = y4
y4‘ = 30y1 - 49y2 +19y3 + y4
Kontrolle: Ersetzt man in der letzten Gleichung y1 durch y, y2 durch y‘ usw., so
stellt die letzte Zeile gerade die DGL dar.
Es ergibt sich somit das System von 4 DGL 1.Ordnung:
Y‘ =
[
0
1
0
0
0
1
0
0
0
30 − 49 19
0
0
1 Y =0
1
]
Die Nullstellen von der charakteristischen Gleichung der DGL 4.Ordnung:
Char Gl:
λ4
-
λ3
-
19λ2
+ 49λ
- 30 = 0
sind genau die Eigenwerte der Matrix, d.h. die Eigenwertgleichung der
Matrix ist gerade das char. Polynom der DGL 4.Ordnung.
Die Lösungen der char. Gl. Sind 1,2,3 und -5.
2.Wiederholen Sie das Kapitel „Diagonalisierung von Matrizen“ aus dem 1.Sem.
Nun ergeben sich mehrere mögliche Fälle:
a) Alle Eigenwerte (bzw. Nullstellen) sind verschieden,
also lauter verschiedene λ 1, λ2, λ3, λ4, dann ist die Gleichungsmatrix
des DGL Systems diagonalähnlich zu der Matrix:
λ1 0
0 0
0
λ2 0 0
0
0
λ3
0
0
0
0 λ4
Die Basisfunktionen eines Fundamentalsystems sind dann hier
exp( λ1x) , exp( λ2x) , exp( λ3x) , exp( λ4x)
und enthalten keine Vorfaktoren x
b) Es gibt mehrfache Eigenwerte (das nennt man die algebraische
Vielfachheit), dann muss man überprüfen, ob der
dazugehörige Eigenraum dieselbe Dimension (das nennt man die
geometrische Vielfachheit) hat.
Falls ja, gibt es ebenfalls die Diagonalmatrix, wo dann entsprechend viele
Gleiche Eigenwerte stehen.
Falls nein, gibt es keine Diagonalmatrix, sondern nur eine sog.
„Jordan Normalform“ (wurde in der Vorlesung nicht behandelt).
Dieser Fall tritt z.B. immer dann ein, wenn die char. Gleichung einer
Lin. DGL höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten 2 (oder mehr)
gleiche Nullstellen z.B. λ1 hat und die beiden Fundamentalfunktionen
exp( λ1x) und x* exp( λ1x) (oder weitere mit x2 usw.) auftreten.
Es folgen 2 Rechenbeispiele:
Aufgabe 1:
Nehmen wir die DGL (ohne rechte Seite) aus dem Übungsblatt 6:
DGL: y´´´ - y´´ - y´ + y = 0
Das charakteristische Polynom hat die Nullstellen 1 (doppelt)
und -1 (einfach). Das haben wir in Blatt 6 berechnet.
1. Man ermittle die Zustandsform, also das DGL System.
2. Ist die Matrix diagonalisierbar?
Anleitung ohne Rechnung: Nullstellen des char. Polynoms!
Alternativ mit Rechnung : Bestimmen Sie den Eigenraum zum
Eigenwert 1. Ist er kleiner als 2, so ist die Matrix nicht
diagonalisierbar.
Aufgabe 2 :
Wir nehmen die (homogene) DGL der Aufgabe 4c vom Übungsblatt 5:
DGL:
y’’ + 3y’ + 2y = 0
1. Nullstellen des Polynoms berechnen (siehe auch Blatt 5)
2. Ermitteln Sie die Zustandsform.
3. Ist die Matrix diagonalisierbar ?