Variation der Konstanten

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Variation der Konstanten
Entnommen aus Ü2 Aufgabe 24.11 i
Folgende DGL ist uns gegeben:
LI˙ + RI = U0 sin(ωt)
Dies entspricht einer Reihenschaltung aus Widerstand und Spule, wobei die DGL im Strom
formuliert ist. Es findet anschaulich auf der rechten Seite eine sinusförmige Anregung mit der
Amplitude U0 statt und wir wollen nun den Stromfluss aufgrund der angelegten Spannung
untersuchen.
Es sollen fernerhin weitere Untersuchungen stattfinden, indem gesagt wird, man schaut sich
das Verhalten für t → ∞ und für L → +0 (für L = 0 wäre keine Spule vorhanden) an.
Zunächst erfolgt eine Klassifizierung. Die DGL ist inhomogen, 1. Ordnung, linear, hat konstante Koeffizienten und ist implizit. Für das Lösen einer inhomogenen DGL muss zunächst
die homogene DGL gelöst werden (rechte Seite gleich 0) und anschließend die partikuläre Lösung ermittelt werden. Die partikuläre Lösung wollen wir mittels Variation der Konstanten
bestimmen. Die finale Lösung erhält man durch
I(t) = Ihom (t) + Ipart (t) .
Wir stellen zunächst die homogene DGL um:
R
dI
=− I
LI˙ + RI = 0 ⇒ I˙ =
dt
L
Nun wendet man T dV an.
RZ
dI
=−
dt
I
L
R
ln |I| = − t + C̃
L
R
Ihom (t) = C · e− L t
Z
| exp(. . . )
Um nun die partikuläre Lösung zu bestimmen, verwenden wir das Verfahren V dK (Variation
der Konstanten). Hierbei setzt man an, dass es sich bei der Konstante tatsächlich um eine
Funktion in Abhängigkeit von t handelt.
R
Ipart (t) = C(t)e− L t
Um diesen Ansatz in die DGL einsetzen zu können, müssen wir zunächst ableiten (Produktregel!).
R
R
R
I˙part (t) = Ċ(t)e− L t − C(t)e− L t
L
Wenn man nun alles in die DGL einsetzt, wird man sehen, dass das C(t) rausfliegt und nur
noch
R
LĊ(t)e− L t = U0 sin(ωt)
übrig bleibt. Nun stellt man nach Ċ(t) um und integriert einmal über t (siehe Merz.). Es folgt
C(t) =
Z
R
U0 R t
U0
e L sin(ωt)dt = 2
e L t [R sin(ωt) − Lω cos(ωt)]
2
2
L
R +L ω
Für die partikuläre Lösung müssen wir unsere Konstante C(t) nun nur noch in unseren Ansatz
einsetzen und erhalten
Ipart (t) =
R2
U0
[R sin(ωt) − Lω cos(ωt)] .
+ L2 ω 2
2
Für die finale Lösung addieren wir noch beide Lösungsteile
R
I(t) = C · e− L t +
R2
U0
[R sin(ωt) − Lω cos(ωt)] ,
+ L2 ω 2
wobei die Konstante C daher rührt, dass es sich um eine DGL 1. Ordnung handelt und wir
noch keine Anfangsbedingung eingesetzt haben. Wir sehen außerdem, dass das System mit einer
Schwingung zu antworten scheint (partikuläre Lösung), der aber eine Art „Störung“ (homogene
Lösung), die mit t aber abklingt (e-Funktion), überlagert ist.
Wenn wir nun den Fall t → ∞ betrachten, verschwindet der homogene Lösungsanteil (e−∞ =
0) und die partikuläre Lösung bleibt übrig. Wenn nun auch noch die Induktivität L der Spule
gegen null geht, erhalten wir
U0
sin(ωt) ,
I(t) =
R
was wir auch erwartet hätten, denn dann wäre es ein einfacher Stromkreis mit nur einem
Widerstand, wobei sich der Strom trivialerweise mit U = RI berechnet.
Im Falle einer Induktivität würde weiterhin eine Schwingung auftauchen, jedoch mit abnehmender Amplitude, da die Spule ja einer Stromflussänderung entgegenwirkt und somit erhalten
wir für L → ∞ keinen Stromfluss (Nenner wird immer größer).
Als letzten Punkt gilt es zu erwähnen, dass eine Spule zu einer Phasenverschiebung gegenüber dem Eingangssignal führt (sowohl Sinus, als auch Cosinus sind in der Lösung überlagert).
Dies erklärt sich dadurch, dass eine Spule ja erst „reagieren“ muss und somit zu einer Zeitverzögerung führt.