Einführung in die theoretische Physik 1

Einführung in die theoretische Physik 1
Prof. Dr. L. Mathey
Dienstag 15:45 – 16:45 und Donnerstag 10:45 – 12:00
Beginn: 23.10.12 Jungius 9, Hörs 2
Mathey
Einführung in die theor. Physik 1
1
Bedeutung der statistischen Mechanik (SM)
SM ist wichtig in Physik, Biologie, Geologie, Chemie, Informatik, Finanzwirtschaft
…
A. Einstein: „Eine Theorie ist um so eindrucksvoller, je größer die Einfachheit ihrer
Prämissen ist, je verschiedenartigere Dinge sie miteinander in Beziehung bringt und je
umfangreicher ihr Anwendungsbereich ist. Daher der tiefe Eindruck, den die klassische
Thermodynamik auf mich machte. Sie ist die einzige physikalische Theorie von
allgemeinem Inhalt, von der ich überzeugt bin, daß sie im Rahmen der Anwendbarkeit
ihrer grundlegenden Begriffe niemals umgestoßen werden wird.“
Ausbildung in statistischer Mechanik ist einer der Gründe, warum Physiker
optimal für interdisziplinäre Fächer, von Biologie bis Investmentbanking geeignet
sind:
• Sie haben ein quantitatives Verständnis von Unordnung, Entropie,
Wahrscheinlichkeit, Gleichgewicht, Fluktuationen, Irreversibilität, Chaos …
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Wdh/Alternativer Zugang zu StatMech: Makro‐ und Mikrozustände
Makrozustand:
feste thermodynamische Variablen,
), z.B. oft auch , ,
gegeben.
hier ( ,
Mikrozustand: mögl. Konfiguration zu Makrozustand.
Ensemble: Satz aller Mikrozustände zu Makrozustand
≡ Anzahl Mikrozustände in Ensemble (oft ,
, ).
Grundlegende Annahme der statistischen Physik:
Alle erreichbaren Mikrozustände eines abgeschlossenen Systems sind gleich wahrscheinlich
Anfang: alle
Atome links. Freie Expansion
(4,0) Wahrscheinlichster Makrozustand (
) für große
um Größenordnungen wahrscheinlicher als
andere. Sei 2 ≡
,
dann ist (später)
∝
; relative Breite
∝
(2,2)
(1,3) (0,4)
2
1
0
‐1 ‐2
≡1
4
6
4
=„Arten, 1
aus Atomen zu ziehen“
→0
Fazit: Gas wird sich schnell von (N,0) wegentwickeln.
) dominiert Wahrscheinlichster Makrozustand (
das Verhalten.
StatPhys 3
(3,1)
100
∝
20
40
60
80
100
Gerthsen 6.6.1 ! Sehr schön Wahrscheinlichkeit für Makrozustände
Grundlegende Annahme der statistischen Physik, ⇒
Alle erreichbaren Mikrozustände eines abg. Systems sind gleich wahrscheinlich
Wahrscheinlichkeit für den i. Makrozustand:
∑
oder: wahrscheinlichster Makrozustand (im Bsp (2,2)) hat die größte Anzahl Konfigurationen gi.
bzw. hat die größte Unordnung
bzw. hat die größte Entropie S
Vorgehen hier: • Axiomatisch gefordert: Alle Mikrozustände gleich wahrscheinlich ⇒ wahrscheinlichster Zustand hat größte Anzahl Mikrozustände ⇒ Entropie S maximal
Beweis offensichtlich mit äquivalenter Entropiedefinition ln , steht für Anzahl aller erreichbaren Mikrozustände (unter gegebenen Randbedingungen, z.B. N=konst.).
Vorgehen letzte Vorlesung: ∑
• Entropie ⇒ alle gleich
eingeführt und axiomatisch gefordert, dass maximal Bew. durch Maximierung von S unter Nebenbedingung ∑
StatPhys 4
1 mit Methode der Laplace Multiplikatoren
Ch. Kittel, H. Krömer, Physik der Wärme, Kap.1
Wiederholung: Boltzmannverteilung
Jeder Mikrozustand gleich wahrscheinlich. Betrachten jetzt System in thermischen Kontakt mit großem Reservoir der Temperatur . ⇒ mittlere Energie ∑
⋅
:
erhalten (ohne Bew.) Achtung: System nicht mehr abgeschlossen! Nur S+R abgeschlossen, d.h. konstante Energie.
Wollen Wahrscheinlichkeit finden, System in einem speziellen Mikrozustand mit Bsp.: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit , ein Luftmolekül in gewisser Höhe h über Erdboden zu finden?
∑
; Antwort: Mögl. Herleitung: Betrachte System S und Reservoir R zusammen. Gemeinsam ist ist proportional zu Anzahl der Mikrozustände des gesamten S+R, bei denen System Anzahl ∗
;
1⇒
zu finden. . hat.
und je größer , desto weniger Energie für Reservoir übrig,
desto weniger mögliche Zustände für Reservoir. Desto kleiner Wahrscheinlichkeit ⇒
∝
⋯
/
(Rechnung wird in Ch. Kittel, H. Krömer, Physik der Wärme, Kap. 2 durchgeführt)
Oder Herleitung letzte Vorlesung: Maximiere Entropie unter Randbedingung ∑
StatPhys 5
0
⇒
1 und ∑
1
/
Beispiele zur Boltzmannverteilung Wie groß ist p
, Luftmolekül der Masse m, in einer Höhe über Erdboden zu finden?
⇒
. Barometrische Höhenformel.
Gegeben seien 6 kleine Magnete, die sich (Forderung) nur parallel ↓ oder antiparallel ↑zum B‐Feld anordnen dürfen. Sie sind im thermischen Kontakt mit einem Reservoir der Temperatur T. Der ⋅ , ↑
⋅
Zustand ↓ sei energetisch günstiger, mit ↓
Wie groß ist das Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten A) 1
B) C) ½
4
0
↑↓↓↓↓↓
↑↑↑↓↓↓
?
1
D) Wie wahrscheinlich ist es, irgendeinen der Zustände mit /
1
2
zu finden?
A) B) 4 ∗
?
C) 6 ∗
Beispiel mit kontinuierlicher Ausrichtung der Spins (klassischer Paramagnetismus) =letzte Vorlesung.
StatPhys 6
Allgemeines Rechenrezept
Da nun bekannt ist, können wir fast alles rechnen: Bsp. für mittlere
∑
Innere Energie: ∑
:
Wärmekapazität
≔
Magnetisierung (1Teilchen)
cos
,
Es zeigt sich, dass man alle diese Größe auch aus berechnen kann.
cos
∑
(Erinnerung: ≔ 1/
,
⋅ cos
T)
; d
cos
,
d
,
,
d
Wenn man die Zustandssumme Z kennt, kann man alle thermodynamischen Größen berechnen.
StatPhys 7
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Beispiel: Man kann 3 Zahlen, auf 6 = 3! Arten anordnen:
1
2
3
2
1
3
3
2
1
1
3
2
2
3
1
3
1
2
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Klassische, unterscheidbare Teilchen: 2 unterscheidbare Teilchen lassen
sich auf 9 unterschiedliche Arten auf 3 Zustände verteilen
Also 32 Zustände. (Im Allg. MN Zustände, für N Teilchen und M Zustände.)
Bosonen: Für ununterscheidbare Teilchen, bei denen Mehrfachbesetzungen
erlaubt sind, sind es 6 Zustände:
Doppeltbesetzungen wahrscheinlicher!
Dies nennt sich ‚bosonic enhancement‘. Wichtiger physikalischer Effekt,
speziell für Laser und Bose-Einstein Kondensate
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Fermionen: Ununterscheidbare Teilchen, bei denen Mehrfachbesetzungen nicht
erlaubt sind, haben drei Zustände:
Fast alle Elementarteilchen sind Fermionen, z.B. e-, p, n.
Statistik von Fermionen wichtig für Eigenschaften von Metallen,
Oder die Besetzung der Atomorbitale mit Elektronen
Für den Fall des idealen Gases befinden wir uns im Grenzwert niedriger
Phasenraumdichte. Wir sind also in dem Grenzwert, dass Mehrfach-besetzungen
sehr unwahrscheinlich sind. In diesem Grenzwert erhält man den Faktor 1/N!, um
die Ununterscheidbarkeit der Teilchen richtig einzubeziehen.
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Erinnerung:
Viel Erfolg in den Klausuren!
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