Schweredruck von Flüssigkeiten

Schweredruck von Flüssigkeiten
Flüssigkeiten sind nahezu inkompressibel. Kompressibilität κ: κ = −
Typische Werte: Wasser:
Quecksilber:
Pentan:
4.6 · 10-5 1/bar @ 20ºC
4 · 10-6 1/bar @ 20ºC
24.2· 10-6 1/bar @ 20ºC
1 dV
V dp
⇒ Dichte ändert sich vernachlässigbar wenig bei Druckausübung
0
r oben
FDruck
x
dx
r
G
r unten
FDruck
Betrachten scheibenförmiges Massenelement in
einer Flüssigkeit (Fläche A, Dicke dx). Auf dieses
wirken von oben und unten Druckkräfte (die von
der Seite heben sich gerade auf), zusätzlich die
Gewichtskraft. Kräftebilanz:
r
r oben
r unten
FDruck + G − FDruck = 0
p( x) A + ρ ( x)Vg − p( x + dx) A = 0
Schweredruck von Flüssigkeiten
0
ρ( x) gA ⋅ dx = p( x + dx) A − p( x) A
r oben
FDruck
x
dx
r
G
r unten
FDruck
ρ( x) gdx = p( x + dx) − p( x)
p( x + dx) − p( x)
= p′( x)
ρ( x) g =
dx
Da die Dichte als konstant
betrachtet werden kann, hat
man die Differentialgleichung:
integriert:
p( x) = ρ ⋅ g ⋅ x + p0
Für Wasser:
p′( x) = ρ ⋅ g
der Druck nimmt, vom Luftdruck p0
ausgehend, linear mit der Tiefe zu
Mit der Dichte von Wasser von 1 kg/l nimmt der Druck
mit der Wassertiefe um 1 bar pro 10 m Tiefe zu.
Wassergefäße
Die Zunahme des Schweredruckes
führt zu einer Abhängigkeit der
Ausströmgeschwindigkeit des
Wassers von der Füllhöhe
Die Flüssigkeit muss in kommunizierenden
Röhren überall gleich hoch stehen. Sonst
wäre der Druck in dem waagrechten
Verbindungsrohr unter den Steigrohren an
verschiedenen Stellen verschieden groß.
Dieser Druckunterschied würde die
Flüssigkeit in Bewegung setzen, bis sie in
allen Steigrohren gleich hoch stünde.
Hydrodynamisches Paradoxon
A
A
A
Hydrodynamisches
Paradoxon: In Gefäßen
mit gleicher Füllhöhe h
und gleicher Grundfläche
A, aber verschieden
großem Inhalt übt die
Flüssigkeit stets
denselben Druck auf den
Boden aus
Die Gewichte sind aber verschieden, da die Flüssigkeitsmengen verschieden
sind.
F ∗ = FW ⋅ sin(α ) =
Die Druckkräfte auf die
Wand führen im mittleren
h
1
= p(h) ⋅ A ⋅ sin(α )
Bild zu einer Nettokraft
2
auf das Gefäß nach unten,
1
α
die genau der Gewichts= g ⋅ ρ ⋅ h ⋅ A ⋅ sin(α )
2
kraft der Masse im
Überhang entspricht:
= g ⋅ ρ ⋅ VÜberhang = g ⋅ mÜberhang
A
α
F∗
FW
Hydrodynamisches Paradoxon
Die Gewichtskraft der „Zusatzmasse“ wird daher von der Seitenwand
aufgenommen und wirkt nicht als Druckkraft auf den Gefäßboden.
A
A
A
Situation rechts im Bild: Die Druckkräfte bewirken eine nach oben
gerichtete Nettokraft auf die Gefäßwand. Die Flüssigkeit erfährt als
reactio eine nach unten gerichtete Gegenkraft, die der fehlenden
Gewichtskraft entspricht. Auf den Boden wirkt als Summe von
Gewichtskraft und Gegenkraft der Wand die gleiche Druckkraft wie in
den beiden anderen Fällen.
Schnorchel-Physik
Situation: Sie sind im Urlaub am Meer und wollen Schnorcheln gehen. Der
Sportwarenhändler vor Ort macht Ihnen ein interessantes Angebot. Er
bietet Ihnen Schnorchel der Länge 1 m, 1.5 m und 2 m an. Kaufen Sie?
1. Frage: Ist die Lunge stark genug, gegen die Druckkraft anzukommen?
0
h
x
p0
gρh+p0
Druck im Schnorchel, dem Mund, der
Lunge: p0
Druck von außen auf den Körper und
damit auch die Lunge: gρh+p0
⇒ Man muss durch Muskelkraft die
Druckdifferenz gρh überwinden, um
Luft einatmen zu können.
Herr Schaun schafft beim Saugen 250 mbar. Damit kann er (mit großer
Anstrengung) noch in 2.5 m Tiefe einatmen. ⇒ Langer Schnorchel wäre o.k.
Schnorchel-Physik
2. Frage: Bekommt man beim Einatmen auch genug
frische Luft?
Wenn man beim Ausatmen die verbrauchte Luft nicht
oder nur in unzureichendem Maße aus dem
Schnorchel ausblasen kann, erhält man keine
Frischluftzufuhr.
Annahme: Beim Ausatmen kann man ein Luftvolumen
von max. 3 Litern austauschen.
Ein Schnorchel von 2 cm Radius hat bei einer Länge
von 1 m ein Volumen von 1.257 l. Man kann also gar
nicht mehr alle verbauchte Luft aus dem Schnorchel
ausblasen.
⇒ Erstickungsgefahr
Maxwell-Boltzmann-Verteilung
Geschwindigkeitsverteilung der Teilchen des idealen Gases:
• 1860 von Maxwell hergeleitet
• 1867 von Boltzmann gezeigt, dass die gefundene Verteilungsfunktion
die Gleichgewichtsverteilung ist, die sich aus jedem beliebigen
Anfangszustand beginnend einstellt.
(Herleitung siehe Bergmann-Schaefer, Bd. 1, Kap. 39.5)
Maxwell-Boltzmann-Verteilung f(v)dv gibt an, wieviel Prozent der
Teilchen eine Geschwindigkeit in einem Intervall [v, v+dv] haben:
f (v)dv =
3
2
⎛ mv2 ⎞
⎜−
⎟
⎜ 2k T ⎟
B ⎠
⎝
m
dN
(v) = 4 ⋅ π ⋅ v2 ⋅ (
) ⋅e
2 ⋅ π ⋅ kBT
N
Die Funktion ist auf 1 normiert:
∞
∫ f (v)dv = 1
0
Boltzmann-Konstante:
kB = 1.380658·10-23 J/K
⋅ dv
Boltzmann-Faktor:
⎛ mv2 ⎞
⎜−
⎟
⎜ 2k T ⎟
B ⎠
⎝
e
=e
−
E
kBT
Maxwell-Boltzmann-Verteilung
in einem Geschwindigkeitsintervall dv = 1 m/s um das jeweilige v:
von: http://www.de.wikipedia.org/wiki/Maxwell-Boltzmann-Verteilung
Maxwell-Boltzmann-Verteilung
in einem Geschwindigkeitsintervall dv = 1 m/s um das jeweilige v:
Geschwindigkeiten
1.) Wahrscheinlichste = häufigste Geschwindigkeit vW
Maximum der Verteilungsfunktion (erreicht, wenn
Exponent des Boltzmann-Faktors gleich –1 wird):
2.) Mittlere quadratische Geschwindigkeit vrms
vrms =
v
2
2
rms
v
= v
2
3k T
= ∫ v ⋅ f (v)dv = B
m
2
rms = „root mean square“
vrms
3kBT
=
= 1.225 ⋅ vW
m
⇒
1 2
3
mvrms = kBT
2
2
vW =
2 ⋅ kB ⋅ T
m
zu verwenden, wenn es
um die kinetische
Energie geht
Mittlere kinetische Energie
der Translation
3.) Durchschnittliche = mittlere Geschwindigkeit <v>
8kBT
4
v = ∫ v ⋅ f (v)dv =
=
⋅ vW = 1.228 ⋅ vW
π ⋅m
π
zu verwenden, wenn
der Impuls die
relevante Größe ist,
z.B. bei Diffusion und
Massentransport
Definition der Temperatur
1 2
1
3
mvrms = m v2 = kBT
2
2
2
Mittlere kinetische Energie
der Translation
definiert die
Temperatur
⇒ es gibt einen absoluten Nullpunkt der Temperatur, für den <v2> = 0 ist
Angepasste Maßeinheit:
Kelvin, nach Lord Kelvin 1824-1907
(beachte: nicht „Grad Kelvin“, also
nicht wie „Grad Celsius“)
Temperaturunterschied: 1 K = 1ºC, aber anderer Nullpunkt:
0ºC:
Gefrierpunkt des Wassers bei 1013 mbar
100ºC: Siedepunkt des Wassers bei 1013 mbar.
0ºC = 273.16 K
[T] = K
Raumtemperatur 20ºC = 293.16 K
In USA verwendete Maßeinheit:
[T] = 1ºF Fahrenheit, T[ºF ] = 9/5 T[ºC] +32
0ºF = -17.777ºC: Gefrierpunkt einer Kältemischung
100ºF = 37.777ºC: Temperatur des menschlichen Blutes