Aufgabe 1: Entladevorgang eines Kondensators Aufgabe 2

Fachgebiet Leistungselektronik und Elektrische Antriebstechnik
Prof. Dr.-Ing. J. Böcker
Aufgabe 1: Entladevorgang eines Kondensators
t=0
S
C
i(t)
uC(t)
uR(t)
R
Zum Zeitpunkt t = 0 werde der Schalter S geschlossen. Vor diesem Zeitpunkt sei der Kondensator C
auf die Spannung UC0 aufgeladen.
1. Stellen Sie die Differenzialgleichung uC (t) für t ≥ 0 auf. Formulieren Sie die Bedingung für den
Anfangswert.
2. Leiten Sie die Zeitkonstante τ dieser Schaltung her.
3. Wie groß ist der Strom i(t) unmittelbar nach Schließen des Schalters? Wie groß ist der Strom i(t)
nach Abklingen des Ausgleichsvorgangs?
4. Skizzieren Sie den Stromverlauf i(t) für t ≥ 0. Kennzeichnen Sie in Ihrer Skizze die Zeitkonstante
τ.
Ergebnisse:
1. RCu̇C (t) + uC (t) = 0; Anfangsbedingung: uC (t = 0) = UC0
2. τ = R ·C
3. i(t = 0) = URC0 ; i(t → ∞) = 0A
t
4. i(t) = URC0 e− τ
Aufgabe 2: Ladevorgang eines Kondensators
t=0
S
uR
Uq
i
uC
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R
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C
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Zum Zeitpunkt t = 0 werde der Schalter geschlossen und der Kondensator C über den Widerstand R
geladen. Für die Spannung am Kondensator uC gilt für die Zeit t < 0 s: uC (t) = 0 V.
1. Leiten Sie die Differenzialgleichung für t ≥ 0 her.
2. Lösen Sie die Differenzialgleichung. Wie groß ist die Zeitkonstante τ dieser Schaltung.
3. Wie groß sind der Strom i(t) und die Spannung uC (t) unmittelbar nach Schließen des Schalters?
Wie groß sind der Strom i(t) und die Spannung uC (t) nach Abklingen des Ausgleichsvorgangs?
4. Skizzieren Sie den Spannungsverlauf uC (t) am Kondensator sowie den Stromverlauf i(t) für
t ≥ 0. Kennzeichnen Sie in Ihrer Skizze die Zeitkonstante τ .
Ergebnisse:
1. Uq = R ·C · u̇C (t) + uC (t)
t
2. τ = R ·C; uC (t) = Uq 1 − e− RC
3. uC (t = 0) = 0 V; uC (t → ∞) = Uq
U
i(t = 0) = Rq ; i(t → ∞) = 0 A
Aufgabe 3: RC-Parallelschaltung
S
Pos.2
Pos.1
I0
C
iC
R u(t)
iR
Zum Zeitpunkt t = 0 werde der Schalter S von Position 1 in Position 2 geschaltet. Der Kondensator ist
zu diesem Zeitpunkt entladen, d.h. für t ≤ 0 s gelte uC (t) = 0 V:
1. Leiten Sie die Differenzialgleichung für u(t) für t ≥ 0 her.
2. Lösen Sie die Differenzialgleichung. Wie groß ist die maßgebliche Zeitkonstante der Schaltung?
3. Skizzieren Sie den Spannungverlauf u(t) sowie die Stromverläufe iC (t) und iR (t) für t ≥ 0. Kennzeichnen Sie in ihrer Zeichnung die Zeitkonstante τ .
Gehen Sie nun davon aus, dass in der oben dargestellten Schaltung der Widerstand R entfernt wird.
Durch Betätigung des Schalters S kann dann der Stromverlauf über den Kondensator iC (t) direkt vorgegeben werden. Für die Schalterstellung gelte:
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Schalterstellung
Pos.2
Pos.1
T0
T1
2T1
3T1
t
T0
T1
2T1
3T1
t
uC(t)
4. Skizzieren Sie den Spannungsverlauf am Kondensator uC (t) in dem obigen Koordinatensystem.
Geben Sie die Spannungen an, die zu den Zeitpunkten T1 , 2T1 und 3T1 am Kondensator anliegen.
Ergebnisse:
1. RCu̇(t) + u(t) = R · I0
t
2. τ = R ·C; uC (t) = R · I0 1 − e− τ
t
t
t
3. uC (t) = R · I0 1 − e− τ ; iR (t) = I0 1 − e− τ ; iC (t) = I0 e− τ
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Aufgabe 4: RL-Reihenschaltung
Pos.1
S
t=0
Pos.2
uR
R
U0
iL
uL
L
Vor dem Zeitpunkt t = 0 befinde sich die Schaltung im stationären Zustand. Zum Zeitpunkt t = 0 wird
der ideale Schalter von Postion 1 in Position 2 geschaltet.
1. Wie groß ist der Strom iL für t ≤ 0?
2. Leiten Sie die Differenzialgleichung für iL für t ≥ 0 her.
3. Lösen Sie die Differenzialgleichung
4. Geben Sie den Verlauf der Spannung über der Induktivtät uL (t) an.
Ergebnisse:
1. t < 0: iL = UR0
2. L · i̇L (t) + R · iL (t) = 0
t
− L/R
3. iL (t) = UR0 · e
t
− L/R
4. uL (t) = −uR (t) = −U0 · e
Aufgabe 5: RL-Parallelschaltung
S
Pos.1
t=0
Pos.2
I0
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L
R
iL
iR
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u(t)
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Zum Zeitpunkt t = 0 wird der Schalter von Position 1 in Position 2 geschaltet. Vor diesem Zeitpunkt
sei die Schaltung im stationären (eingeschwungenen) Zustand. Weiterhin betrage der Quellstrom der
idealen Stromquelle I0 = 12 A.
1. Wie groß ist der Strom iR (t) unmittelbar vor dem Betätigen des Schalters? Wie groß ist er unmittelbar danach?
2. Leiten Sie die Differnzialgleichung für iL (t) für t ≥ 0 her.
3. Lösen Sie die Differenzialgleichung. Wie lautet die Anfangsbedingung für die Differenzialgleichung? Wie groß ist die Zeitkonstante dieser Schaltung?
4. Skizzieren Sie die Stromverläufe iL (t) und iR (t) sowie den Spannungsverlauf u(t) für t ≥ 0.
Zeigen Sie, wie sich aus einem Ihrer Strom- bzw. Spannungsverläufe die Zeitkonstante ablesen
lässt.
Ergebnisse:
1. iR (t = 0− ) = 0A; iR (t = 0+ ) = −I0
2.
L
R i̇L (t) + iL (t)
=0
t
− L/R
3. τ = RL ; iL (t) = IhL0 e
t
− L/R
4. iL (t) = I0 e
; iL (t = 0) = IhL0 = I0
t
; iR (t) = −iL (t); u(t) = −I0 Re− τ
Aufgabe 6: Ansteuerung einer Zündkerze
R
U0
t0
L
UZ
Zündstrecke
Obenstehende Schaltung dient zur Ansteuerung einer Zündkerze. Sie wird von einer Gleichspannungsquelle mit der Ausgangsspannung U0 = 12 V gespeist. Zum Zündzeitpunkt t0 wird der ideale Schalter
geöffnet. Zu diesem Zeitpunkt befindet sich die Schaltung im stationären Zustand und durch die Induktivität L fließt ein Anfangszündstrom i(t0 ) = I0 = 100 A. Während der gesamten Zünddauer betrage
die Zündspannung UZ = 500 V const.. Die Zünddauer TZ soll 5 Millisekunden betragen. (Hinweis: Am
Ende der Zünddauer hat der Strom durch die Induktivität gerade einen Wert von Null erreicht.)
1. Wie groß muss der Widerstand R bemessen sein?
2. Wie groß muss die Induktivität L bemessen sein?
3. Wie schnell kann der Vorgang wiederholt werden, wenn für den Anfangszündstrom iz0 gelten
soll: iz0 = 0, 9I0 ?
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Ergebnisse:
1. R = 120 mΩ
2. L = 25 mH
3. tZ ≈ 0, 48 s
Aufgabe 7: Freier ungedämpfter Schwingkreis
Gegeben sei ein Schwingkreis gemäß untenstehender Abbildung. Zum Zeitpunkt t = 0 werde der Schalter geschlossen. Für t < 0 gelte: uC (t) = UC0 .
t=0
iC
C
S
iL = i(t)
u(t)
L
1. Stellen Sie die Differenzialgleichung für t ≥ 0 für die Spannung u(t) auf.
2. Stellen Sie die Differenzialgleichung für t ≥ 0 für den Strom i(t) auf.
3. Ermitteln Sie die Schwingungsgleichungen für die Spannung u(t) und den Strom i(t). Geben Sie
den Kennwiderstand Z0 und die Kennkreisfrequenz ω0 des Schwingkreises an.
4. Skizzieren Sie den Spannungsverlauf u(t) und Stromverlauf i(t) für t ≥ 0.
Ergebnisse:
1. LCüC (t) + u(t) = 0
2. CLïL (t) + iL (t) = 0
q
L
3. √1LC = ω0 ;
C = Z0
u(t) = UC0 cos(ω0t); iL (t) = −iC (t) = UZC00 sin(ω0t)
Aufgabe 8: Freier gedämpfter Schwingkreis
Gegeben sei ein Schwingkreis gemäß untenstehender Abbildung. Zum Zeitpunkt t = 0 werde der Schalter S geschlossen. Es gelte: uC (t = 0) = UC0 und iL (t = 0) = 0. Für die Bauteile gelte: 4R2 > CL
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t=0
S
iC
C
u(t)
iL
iR
L
R
1. Stellen Sie die Differenzialgleichung für t ≥ 0 für die Spannung u(t) auf.
2. Ermitteln Sie die Schwingungsgleichung für die Spannung u(t). Geben Sie die Zeitkonstante τ
und die Eigenkreisfrequenz ωd des Schwingkreises an.
3. Skizzieren Sie den Spannungsverlauf u(t) für t ≥ 0.
Ergebnisse:
1
1
1. ü(t) + RC
u̇(t) + LC
u(t) = 0
q
1
2. τ = 2RC; ωd = LC
− 4R12C2
1
sin(ω t) e−t/τ
u(t) = UC0 cos(ω t) + ωτ
Aufgabe 9: RCL-Netzwerk
Gegeben sei untenstehendes Netzwerk. Zum Zeitpunkt t = 0 werde der Schalter S geschlossen.
R1
t=0
S
R2
iL
L
U0
iC
C
uC(t)
1. Stellen Sie die Differenzialgleichung für t ≥ 0 für die Spannung u(t) auf.
2. Ermitteln Sie die notwendigen Anfangsbedingungen. Nehmen Sie dazu an, dass sich die Schaltung für t < 0 im stationären Zustand befindet.
3. Lösen Sie die Differenzialgleichung und errechnen sie uC (t) für: R1 = 500 Ω, L = 1 mH, R2 =
220 Ω, C = 100 nF, U0 = 12 V.
4. Errechnen sie uC (t) für: R1 = 500 Ω, L = 1 mH, R2 = 500 Ω, C = 100 nF, U0 = 12 V.
5. Errechnen sie uC (t) für: R1 = 500 Ω, L = 1 mH, R2 = 20 Ω, C = 100 nF, U0 = 12 V.
6. Errechnen Sie den Maximalwert ûC und den Zeitpunkt tM , an dem ûC auftritt, jeweils für die drei
vorherigen Aufgabenpunkte.
7. Skizzieren Sie die Kurvenverläufe.
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Ergebnisse:
R2 1
1
1
uC = 0
+ R1R+R
1. üC + u̇C C(R11+R2 ) + RR11+R
2 L
2 LC
2. uC (t = 0) = 0; u̇C (t = 0) =
U0 1
R1 +R2 C
t
3. uC (t) = 1, 667 · 105 Vs ·te− 12 µs
t
t
4. uC (t) = 0, 55 V · e− 47,85 µs − e− 4,18 µs
t
5. uC (t) = 2, 4 V sin(96, 154 · 103 s−1t)e− 52 µs
6. tm = 12 µs; ûC ≈ 0, 736 V
tm = 11, 17 µs; ûC ≈ 0, 398 V
tm = 14, 28 µs; ûC ≈ 1, 788 V
Aufgabe 10: RCL-Reihenschwingkreis
Pos.2
S
Pos.1
U0
R
uR
L
uL u
C
uC
i
Zum Zeitpunkt t = 0 werde der Schalter S von Position 1 in Position 2 geschaltet. Für t ≤ 0 gelte:
uC (t) = 0 und i(t) = 0.
1. Leiten Sie die Differenzialgleichung für uC (t) für t ≥ 0 her.
2. Lösen Sie die Differenzialgleichung und errechnen sie uC (t) für: L = 1 mH, R = 60 Ω, C =
100 nF, U0 = 12 V.
3. Errechnen Sie den Maximalwert ûC und den Zeitpunkt tm , an dem ûC auftritt.
4. Skizzieren Sie den Kurvenverlauf für uC (t).
5. Ermitteln Sie die Extremwerte der Spannung uC (t) für den Fall, dass die Spannungsquelle zum
Zeitpunkt t = 0 ein- und zum Zeitpunkt t = T /2 ausgeschaltet werde.
6. Der Schalter S soll nun beliebig zwischen den Positionen 1 und 2 geschaltet werden. Wie groß
kann die Spannung uC (t) maximal werden?
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Ergebnisse:
U0
1
uC = LC
1. üC + RL u̇C + LC
h
h
i ti
2. uC (t) = U0 1 − cos(ωd t) + ω1d τ sin(ωd t) e− τ
3. ûC = 16, 47 V
h
h
i ti
4. uC (t) = U0 1 − cos(ωd t) + ω1d τ sin(ωd t) e− τ
5. uC (T /2) = 16, 47 V; uC (T ) = −6, 13 V
6. ûC = 19, 11 V
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